البراهين

(١) عدم نسبيَّةِ الجذر التربيعي للعدد

يُستهَلُّ البرهان من هذا النوع بافتراض أن النتيجة المطلوب إثباتُها غيرُ صحيحة. ربما تبدو هذه طريقةً غريبة لتقديم البرهان، لكننا في الحقيقة نَستخدِمُ غالبًا التقنية نفسَها في المحادثة اليومية. إذا ذهبتَ إلى قسم الشرطة لتقديم بلاغٍ بأنك رأيتَ عرَبةً محطَّمة عمدًا، واتُّهِمتَ بأنك أنت مرتكبُ هذا الفِعل، فإنك ربما تقول «إذا كنتُ أنا الفاعل، فما كنتُ لِأَلفِت الانتباهَ إليَّ على هذا النحو». وعندئذٍ، ستتبنَّى مؤقتًا الفرضيَّةَ (غيرَ الصحيحة) بأنك أنت الفاعل؛ لإثباتِ مدى سخفِ هذه الفرضية وعدم منطقيَّتها.

(٦-ب-٤) وعليه، فإن كل عددٍ صحيح موجب هو عددٌ صالح، وهو ما كنا بصدَدِ إثباتِه.

يُعرَف هذا بمبدأ الاستقراء الرياضي، أو الاستقراء فقط للذين يعتادون استخدامَه. وبمفرداتٍ أقلَّ تخصُّصًا، فإنه ينصُّ على أنه إذا كان لديك قائمةٌ غير مُنتهية من الجمل الرياضية التي ترغب في إثباتها، فإن إحدى الطرق للقيام بذلك أن تُبرهن على أن الجملة الأولى صحيحة، وأن كلًّا منها يستلزم صحةَ الجملة التي تليها.

إنَّ ما قلتُه في الفقرة السابقة أبعدُ ما يكون عن الوضوح: في الواقع إنه كان أحد الاكتشافات الكبرى في مطلع القرن العشرين، ويرجع بدرجةٍ كبيرة إلى كلٍّ من فريجه وراسل ووايتهيد (راجع جزء «قراءات إضافية»). هذا الاكتشاف كان له عميقُ الأثر في الرياضيات؛ لأنه يعني إمكانيةَ حَسم أيِّ خلافٍ حول صحة أي برهانٍ رياضي. في القرن التاسع عشر، على النقيض من ذلك، كان يُوجَد اعتراضاتٌ حقيقية حول مسائلَ رياضيةٍ جوهرية. على سبيل المثال، اخترع جورج كانتور مؤسِّس نظرية المجموعات الحديثة براهينَ تعتمِد على فكرةِ أن مجموعةً غير مُنتهية يمكن أن تكون «أكبر» من أخرى. هذه البراهين مُتفَق عليها الآن، لكنها أثارت كثيرًا من الشكِّ في وقتها. اليوم، إذا كان هناك خلافٌ على أن برهانًا ما صحيحٌ، فإما لأنه لم يُكتَب بتفاصيلَ كافية، وإما لأنه لم يُبْذل جهدٌ كافٍ لِفَهمه واختباره بعناية.

في الواقع، هذا لا يعني أن الاعتراضات لن تَحدث أبدًا. فعلى سبيل المثال، غالبًا ما يحدُث أن أحدَهم يُقدِّم برهانًا طويلًا جدًّا، غيرَ واضحٍ في بعض الأجزاء، ويتضمَّن كثيرًا من الأخطاء الصغيرة، لكنه غيرُ صحيح بطريقةٍ واضحة وجوهرية. وعادةً ما يستغرق الأمرُ جهدًا هائلًا لإثباتِ ما إذا كان البرهانُ المطروح مُحكَمًا على نحوٍ قاطع. وحتى صاحب البرهان قد يُفضِّل عدمَ المجازفة لإثباتِ عدم صحته.

على الرغم من ذلك، فإن حقيقة أن الخلافات يمكن أن تُحَل «من حيث المبدأ» لا تجعل الرياضياتِ مُتفرِّدة. ولا يُوجَد مكافئٌ رياضي لعلماء الفلك الذين لا يزالون يعتقدون في نظريةِ استقرار الكون، أو لعلماء الأحياء الذين يتبنَّون باقتناعٍ شديد وجهاتِ نظرٍ مختلفةً جدًّا حول مقدارِ ما تم تفسيرُه بواسطة الانتخاب الطبيعي، أو الفلاسفة الذين يختلفون جَذريًّا حول العلاقة بين الوعي والعالم المادي، أو الاقتصاديِّين الذين يتبعون مدارسَ فكرية مُتعارِضة مثل ترشيد الإنفاق والاقتصادات الكينزية الجديدة.

من المهم أن نفهمَ العبارة السابقة «من حيث المبدأ». لا يُوجَد عالمُ رياضيات يُلقي بالًا لكتابةِ برهانٍ كامل التفاصيل — بمعنى أن يكتبه على صورةِ استنتاج من مُسلَّماتٍ أساسية مستخدمًا فقط الخطواتِ الأوضحَ على الإطلاق، والأسهلَ اختبارًا. وحتى لو كان هذا ممكنًا، فسيكون غيرَ ضروريٍّ تمامًا؛ فالأبحاث الرياضية مكتوبةٌ لقُراء على درجةٍ عالية من التدريب، ولا يحتاجون إلى أن يكون كل شيءٍ موضَّحًا بعباراتٍ لا التباسَ فيها. ومع ذلك، إذا قدَّم أحدُهم ادِّعاءً مُهمًّا، ووجد علماءُ الرياضيات الآخَرون أنه من الصعب تتبُّعُ البرهان، فإنهم سيطلبون إيضاحات، وستبدأ عندئذٍ عمليةُ تقسيم خطوات البرهان إلى خطواتٍ فرعية أصغر، وأسهلَ استيعابًا. وعادةً، لأن الحضور على درجةٍ عالية من التدريب، لن تستغرق هذه العملية وقتًا طويلًا حتى يُقدَّم التوضيح اللازم أو يتَّضح الخطأ. وعليه، فإن أي برهانٍ مزعوم يُقدم نتيجةً يهتمُّ لها علماءُ الرياضيات الآخَرون لا يكون مقبولًا غالبًا إلا إذا كان صحيحًا.

(٢) عدم نسبية النسبة الذهبية

من الخبرات العامة لدارسي الرياضيات المتقدِّمة الوصولُ إلى نهاية البرهان، ثم التفكير في الجملة الآتية: «لقد فهمتُ تتابُعَ خطوات البرهان، لكنني بشكلٍ ما لا أستطيع الحكمَ على صحة النظرية، أو استخلاصَ رأيِ أيِّ شخصٍ في هذا البرهان.» عادةً ما نفترض في البرهان ما هو أكثرُ من مجرد ضمانِ صحته. ونشعر بعد قراءة برهانٍ جيدٍ أنه يُمِدُّنا بتوضيحٍ للنظرية، وأننا فهِمنا شيئًا لم نكن قد فهمناه سابقًا.

شكل ٣-٢: وجود النسبة الذهبية

شكل ٣-٣: اقتطاع مربعاتٍ من مُستطيلات

(٣) أجزاء الدائرة

شكل ٣-٤: أجزاء الدائرة

يحوي هذا المثالُ التحذيريُّ العديدَ من الدروس المهمَّة فيما يخصُّ تفسير الجُمَل الرياضية. وأوضحُ هذه الدروس أنك إذا لم تهتمَّ بإثباتِ صحَّة ما تقول، فإنك عُرضةٌ لقول شيءٍ غير صحيح. المغزى الأكثرُ إيجابيةً هو أنك إذا حاولتَ إثبات جملٍ ما، فستكون المحصِّلة أنك سوف تفهمها بطريقةٍ مختلفة تمامًا، وأكثر إمتاعًا بكثير.

(٤) نظرية فيثاغورس

شكل ٣-٥: برهان مُوجز لنظرية فيثاغورس

(٥) تغطية شبَكةٍ من المربعات بإزالة الأركان

شكل ٣-٦: تغطية شبكة من المربعات بإزالة الأركان

ما يميِّز الحجة الثانية أنها تعتمد على فكرةٍ واحدة، وهي وإنْ كانت غيرَ متوقعة، فإنها تبدو طبيعيةً جدًّا ما دام المرءُ قد فهمها. كثيرًا ما يتحيَّر الناس عندما يستخدم علماءُ الرياضيات كلماتٍ مثل «أنيق»، أو «جميل» أو حتى «ظريف» لوصفِ برهانٍ ما، إلا أن مثالًا كالسابق يعطي فكرةً عمَّا يَعنون بهذه الكلمات. يمكن الاستعانة بالموسيقى كتشبيهٍ مُفيد: ربما نستمتع تمامًا عند عزف مقطوعةٍ موسيقية بنغمةٍ توافقية غير متوقَّعة، ويبدو فيما بعدُ أنها مناسبة بدرجة مدهِشة، أو عندما يبدو نسيجُ الأوركسترا أكثرَ من مجرد مجموع آلاته، بطريقة لا يمكن فَهمُها فهمًا تامًا. يمكن للبراهين الرياضية أن تُمِدَّنا بمتعةٍ مماثلة من خلال ما تكشف عنه من تجلياتٍ مُفاجئة، وأفكار غير متوقَّعة ولكنها طبيعية، ومع تلميحاتٍ مثيرة بأنه لا يزال يُوجَد الكثير لاكتشافه. بالطبع، جمالُ الرياضيات ليس هو نفسه جمالَ الموسيقى، ولكن الجمال الموسيقي لا يتماثل كذلك مع جمالِ لوحةٍ فنِّية أو قصيدة أو حتى وجه إنسان.

(٦) ثلاثُ جُمَل تبدو واضحةً ولكنها تحتاجُ إلى براهين

من مظاهر الرياضيات المتقدِّمة، التي يجدها الكثيرون محيِّرة، أن بعض نظرياتها تبدو واضحة جدًّا، لا تحتاج إلى برهان. إزاء نظرية كهذه يسأل الناسُ كثيرًا: «إذا لم يعتبر ذلك واضحًا، فما الواضح إذن؟». زميل سابق لي لدَيه إجابةٌ جيدة لهذا السؤال، وهي أن الجملة تكون واضحةً إذا تبادَر إلى الذِّهن على الفور برهانٌ يُثبت صحَّتها. في الجزء الباقي في هذا الفصل، سأعطي ثلاثة أمثلةٍ على جُمَل ربما تبدو واضحة، لكنها لا تجتاز هذا الاختبار.

شكل ٣-٧: عقدة ثلاثية الوُرَيقات

شكل ٣-٨: أربعة أنواع من المنحنى

شكل ٣-٩: هل تقع النقطة السوداء داخل المنحنى أم خارجه؟