البُعد

(١) كيفية تعريف فراغٍ كثير الأبعاد

شكل ٥-١: ثلاثة نقاط في المستوى الديكارتي

لقد عرَّفتُ الآن نموذجًا رياضيًّا من نوعٍ ما، لكنه ليس جديرًا بعدُ بأن يُسمَّى نموذجًا لفراغٍ ثُمانيِّ الأبعاد؛ لأن كلمة «فراغ» تحمل معها كثيرًا من الدلالات الهندسية التي لم أصِفْها بعدُ بدلالةِ النموذج؛ الفراغ أكثرُ من مجردِ تجمعٍ هائل من النقاط المفردة. على سبيل المثال، نحن نتحدَّث عن المسافة بين زوجٍ من النقاط، وعن الخطوط المستقيمة، والدوائر، وأشكالٍ هندسية أخرى. فما نظائرُ هذه الأفكار في الأبعاد الكبيرة؟

شكل ٥-٢: حساب المسافات باستخدام نظرية فيثاغورس

تُوجَد طريقةٌ عامة للإجابة عن أسئلةٍ كثيرة من هذا النوع. على ضوءِ مفهومٍ مألوف من الفراغ الثنائيِّ البُعد والفراغ الثلاثيِّ الأبعاد، علينا أولًا أن نصفَ هذه الطريقة من حيث الإحداثيات، ثم نأمُلَ أن يُصبح تعميمُها على الأبعاد الأكثرِ واضحًا. لنرَ كيف نُطبِّق هذا على مفهوم المسافة.

هذه الطريقةُ في تناوُل الموضوع مُضلِّلة نوعًا ما؛ لأنها تشير إلى أن هناك دائمًا مسافةً بين أي زوج من النقاط الخُماسية الأبعاد (تذكَّر أن النقطة الخماسية الأبعاد ما هي إلا متتابعةٌ من خمسةِ أعداد حقيقية) وأننا استنتجنا كيف نحسب هذه المسافات. ولكن، في واقع الأمر، ما فعلناه هو تعريفُ مفهوم المسافة. وليست هناك حقيقةٌ مادية تُجبرنا على أن نُقرِّر أن المسافة الخُماسية الأبعاد يجب أن تُحسَب بالطريقة الموضَّحة. ومن ناحيةٍ أخرى، من الواضح جدًّا أن هذه الطريقة هي التعميم الطبيعي لما قُمنا به في حالة البُعدَين والثلاثة الأبعاد، حتى إنه لَيبدو من الغريب تبنِّي أي تعريف آخر.

يمكن تلخيصُ ما نفعله هنا بأننا بصددِ تحويل الهندسة إلى جبر، حيث نستخدم الإحداثياتِ لتحويل مفاهيمَ هندسيةٍ إلى مفاهيمَ مُكافئة لها تُعْنى فقط بالعلاقات بين الأعداد. وعلى الرغم من أننا لا نستطيع تعميمَ الهندسة على نحوٍ مباشر، فإننا نستطيع تعميم الجبر، ويبدو أنه من المعقول أن نُسمِّيَ هذا التعميم الهندسةَ الكثيرةَ الأبعاد. ومن البديهيِّ أن الهندسة الخماسيةَ الأبعاد لا ترتبط ارتباطًا مباشرًا بخبراتنا المباشرة كما في حالة الهندسة الثلاثية الأبعاد، لكنه أمرٌ لا يستحيل معه التفكيرُ فيها، ولا يحول دون أن تكون مُفيدةً كنموذج.

(٢) هل يمكن تصوُّر فراغ رباعي الأبعاد؟

في الواقع إنَّ هذه الجملة التي تبدو واضحةً في تقريرها بأنه يمكن تصوُّر العناصر الثلاثية الأبعاد، بخلاف العناصر الرباعية الأبعاد التي لا يمكن تصوُّرها، لا تصمد أمام إنعامِ النظر الدقيق. على الرغم من أن تصوُّر عنصرٍ ما يُشبه بالأحرى النظر إلى ذلك العنصر، فإنه تُوجَد أوجهُ اختلافٍ مهمة بين الخبرتَين. فمثلًا، إذا طُلِب إليَّ تصوُّرُ حجرةٍ مألوفة لي، لكنها ليست مألوفةً بدرجة كبيرة، فلن أجد صعوبةً في فعل ذلك. لكن إذا طُرِحَت عليَّ بضعةُ أسئلة بسيطة عنها، مثل السؤال عن عدد الكراسي التي تحتويها أو لونِ الأرضية، فلن أتمكَّن غالبًا من الإجابة. هذا يوضح أنه، أيًّا كانت الصورة الذهنية، فإنها ليست تمثيلًا فوتوغرافيًّا.

شكل ٥-٣: مربع الوحدة ومكعب الوحدة

في سياق الرياضيات، الفارق المهمُّ بين إمكانية تصوُّرِ شيءٍ ما وعدم إمكانية تصوُّره هو أنه في الحالة الأولى يمكن للمرء إلى حدٍّ ما أن يُجيب عن الأسئلة بطريقةٍ مباشرة، بدلًا من التوقُّف برهةً وإجراءِ حساباتٍ في ذهنه. هذه القدرة على إعطاء إجاباتٍ مباشرة هي أمرٌ نِسبي بطبيعة الحال، ولكن هذا لا ينتقِص من واقعيةِ تلك الإجابات. على سبيل المثال، إذا طُلِبَ أن أُحدِّد عدد الأحرف في مكعبٍ ثلاثي الأبعاد، فيُمكنني معرفةُ ذلك «بمجرد النظر»، حيث سأدرك أن هناك أربعةَ أحرف في الجزء العلوي، وأربعةَ أحرف في الجزء السفلي، وأربعةً من الجزء العلوي إلى الجزء السفلي، وهذا يعني وجودَ اثنَي عشَر حرفًا.

(٣) ما فكرة الهندسة الكثيرة الأبعاد؟

شتَّانَ ما بين إقرار إمكانية فهم الهندسة الكثيرة الأبعاد وإدراك المغزى منها، وبين توضيح السبب الذي يجعلها موضوعًا جديرًا حقًّا بأن يُؤخَذ على مَحمل الجد. في موضعٍ سابق في هذا الفصل، زعمتُ أنه يمكن الاستفادة بها كنموذج، ولكن كيف يتأتَّى هذا، عِلمًا بأن الفراغ الفعليَّ الذي نعيشه ثلاثيُّ الأبعاد؟

الإجابة عن هذا السؤال بسيطةٌ إلى حدٍّ ما. كان من بين الموضوعات التي تناولتُها في الفصل الأول أن النموذج يمكن أن تكون له استخداماتٌ كثيرة مختلفة. بل إن الهندسة الثنائية الأبعاد والثلاثية الأبعاد تُستخدَمان لأغراضٍ عدَّة، بخلاف النَّمْذجة المباشرة للفراغ المادي. على سبيل المثال، نحن نُمثِّل دائمًا حركةَ جسمٍ ما بإنشاءِ رسمٍ بياني يُسجِّل المسافة التي قطعَها في نقاطٍ زمنية مختلفة. وسيكون هذا الرسم البياني عبارةً عن منحنًى في المستوى، والخصائص الهندسية للمنحنى تُناظر المعلوماتِ المتعلقةَ بحركة الجسم. لماذا تكون الهندسة الثنائية الأبعادِ مناسبةً لنمْذَجة هذه الحركة؟ لأن هناك عددَين مُهمَّين — الزمن المنقضي والمسافة المقطوعة — وكما قلت، يمكن للمرء أن يُفكِّر في الفراغ الثنائي الأبعاد على أنه تجمُّعٌ من كل أزواج الأعداد.

يعطينا ذلك لمحةً عن السبب في أن الهندسة الكثيرةَ الأبعادِ يمكن أن تكون مفيدة. قد لا يُوجَد أيُّ فراغ كثيرِ الأبعاد في مكانٍ ما في الكون، لكن يُوجَد العديد من الحالات التي تقتضي منا التعاملَ مع مجموعاتٍ من أعدادٍ كثيرة. سأصفُ حالتَين بإيجازٍ شديد، وينبغي أن يتَّضح بَعدهما أن ثمة حالاتٍ أخرى كثيرة.

الهندسة المتعددة الأبعاد لها أهميةٌ كبيرة أيضًا في مجال الاقتصاد. إذا تساءلت — مثلًا — عمَّا إذا كان من الحِكمة أن تشتريَ أسهُمًا في شركةٍ ما، فإن كثيرًا من المعلومات التي تساعدك في اتخاذ قرارك تأتي في هيئة أرقام — حجم القوة العاملة، قِيَم الأصول المختلفة، تكلفة الموادِّ الخام، معدَّل الفائدة، وهكذا. يمكن التفكيرُ في هذه الأعداد، التي تُعامَل على أنها مُتتابعة، بوصفها نقطةً في فراغٍ معيَّن كثيرِ الأبعاد. وما تودُّ عمله، ربما بتحليلِ كثيرٍ من الشركات الأخرى المشابهة، هو تحديدُ منطقةٍ بعينها في هذا الفراغ، وهي المنطقة التي سيكون شراءُ أسهمٍ فيها فكرةً سديدة.

(٤) البُعد الكَسْري

إذا كان هناك شيءٌ ما بدا واضحًا من المناقشة حتى الآن، فهو أن أبعاد أيِّ شكلٍ دائمًا ما تكون أعدادًا صحيحة. فماذا يمكن أن يعنيَ القولُ بأننا نحتاج إلى بُعدَين ونصفٍ لتعيين نقطةٍ ما، حتى لو كانت نقطة رياضية؟

شكل ٥-٤: تقسيم مربع إلى عدد من المربعات الأصغر، وتقسيم مكعبٍ إلى عدد من المكعبات الأصغر

شكل ٥-٥: إنشاء منحنى ندفة الثلج لكوخ

يُلقي هذا الأمرُ على نحوٍ مثير للاهتمام الضوءَ على عمليتَي التجريد والتعميم المتناظرتَين. أشرتُ إلى أن تعميم مفهومٍ ما يستلزم بدوره تحديدَ بعض الخصائص المرتبطة به وتعميمها. وتُوجَد غالبًا طريقةٌ بديهية وحيدة للقيام بذلك، إلا أنه أحيانًا ما تؤدي مجموعاتٌ مختلفة من الخصائص إلى تعميماتٍ مختلفة، وأحيانًا يكون وجودُ أكثرَ من تعميم واحدٍ مُثمِرًا.