الفصل الأول

كينماتيكا

(١) حلول مسائل الكينماتيكا

(١-١) حركة أحادية البعد

(١-١) (أ) نُوجِد المساحةَ تحت الرسم البياني للسرعة مقابلَ الزمن للحصول على المسافة المقطوعة (أي الإزاحة). من شكل ١-١، يمكننا بسهولة تقسيم المساحة تحت المنحنى البياني للسرعة مقابل الزمن إلى ٣ مساحات. بجمع هذه المساحات نحصل على الإجابة.

(1-1)

شكل ١-١: قياس إزاحة السيارة من منحنى السرعة مقابل الزمن.

المسافة الكلية من إلى هى 525 m.

(ب) العجلة ما هي إلا ميل الرسم البياني للسرعة مقابل الزمن؛ إذنْ فإن:

(1-2)

(ﺟ) نحتاج إلى الإزاحة الكلية للسيارة عند ، ونحصل عليها كما يلي:

(1-3)

عندئذٍ تكونُ الإزاحة الكلية ٥٢٥ + ١٠٠ = ٦٢٥ مترًا، والسرعة المتوسطة هي:

(1-4)

(١-٢) (أ) نبدأ بوصفِ موضعَي الظبي والفهد لكلٍّ من الزمنِ الابتدائي والزمنِ الذي عنده يلحق الفهدُ بالظبي (الزمن «النهائي»). عند البدء في حلِّ مسائل الفيزياء لأول مرة، يكون من المفيد وجودُ جدولٍ يحتوي على المعلومات المعروفة والمجهولة. من المناسب أن تكون جميع الوحدات m/s أو m/s²، وبما أننا نرغب في هذه الوحدات، فإننا نحتاج لإجراء بعض التحويلات:

(1-5)

(1-6)

حدَّدَتْ لنا المسألةُ إيجادَ الزمن الذي يكون عنده الفهدُ والظبي عند نفس الموضع. باستخدام (1.11c)، يكون لدينا:

(1-7)

المسافة المقطوعة بواسطة الفهد هي:

(1-8)

(ب) الموقف هنا هو ذاته كما في الجزء (أ)، إلا أنه في هذه الحالة يكون موضعُ البداية للظبي مجهولًا، وزمنُ اللحاق . وبذلك يكون:

(1-9)

(١-٣) (أ) رغم أننا لا نعلم ارتفاعَ قاعدة النافذة عن النقطة التي رُمِيَتْ من عندها الكرة، فإن هذا غير مهمٍّ؛ طالما أن العجلة ثابتة ومعلومة، وأن زمن الانتقال خلال مسافة معلومة معلوم أيضًا. ولهذا، إذا كانت هي مقدار سرعة الكرة عند مرورها بقاعدة النافذة، و هو الزمن الذي تمرُّ خلاله الكرة من قاعدة النافذة إلى قمتها، و هو موضع قاعدة النافذة، و هو موضع قمة النافذة؛ فإن:

(1-10)

هذا يعطينا القيمةَ العظمى للارتفاع الذي تصل إليه الكرةُ؛ حيث إنَّ مقدارَ السرعة النهائية صفر، ويكون:

(1-11)

وبذلك فإن أقصى ارتفاع فوق قمة النافذة هو:

(1-12)

(ب) مقدار سرعة الكرة عندما تصل إلى قمة النافذة لأول مرة هو:

(1-13)

الفترة الزمنية، ، بين المرور بقمة النافذة أثناء الصعود وأثناء الهبوط (نسمِّي ذلك ) هي:

(1-14)

(١-٤) نحلُّ المسألةَ في إطارٍ مرجعيٍّ له نفس السرعة التي كان عليها المصعدُ عند انطلاق الكرة (نفترض أن الكرة لا ترتطم بسقف المصعد). إذا أخذنا في اللحظة التي أُطلِقَتْ عندها الكرة ورمزنا للمحور العمودي بالحرف ؛ إذنْ و. ارتفاع الكرة فوق الأرضية هو ، الذي تكون قيمته العظمى عند ، وتكون هذه القيمة هي .

نرى أن أقصى ارتفاع فوق الأرضية تصل إليه الكرة هو نفس الارتفاع الذي كانت ستصل إليه إذا قُذِفت لأعلى بسرعة داخل صندوقٍ لا متسارعٍ على كوكبٍ عجلةُ جاذبيتِه (بدلًا من ). سوف نرى (مثال ٣-٢) أن القوة المتجهة لأعلى التي تؤثِّر بها الأرضيةُ على شخصٍ كتلتُه داخلَ مصعد متسارِع (القوة التي يقيسها الميزان) هي ، وهي التي كان سيقرؤها الميزانُ إنْ لم يكن المصعدُ متسارِعًا، ولكنه على كوكبٍ عجلةُ جاذبيتِه .

(١-٥) (أ) طول الممر أقلُّ من 200 m. إذا سمَّينا طولَ الممر ، فَلِكَي ينتهيَ السباقُ بالتعادُلِ، ينبغي على مريم أن تجري المسافةَ بمعدل ، بحيث تكون محصلة الزمن فوق الممر (المحدَّد بمقدار سرعتها )، والزمن بعد انتهاء الممر تساوي المسافة 200 m التي قطعتها أليسون مقسومةً على مقدار سرعتها الثابت ؛ إذنْ فإن:

(1-15)

العامل المشترك بين الأرقام ٦، و٧، و٨ هو ١٦٨ ()؛ لهذا نضرب الأطراف في هذا العامل ونحل المعادلة في .

(1-16)

(ب) ينبغي الآن أن ننظر إلى زمنَيْ أليسون ومريم على نحو منفصل:

(1-17)

تفوز مريم بالسباق.

(١-٢) حركة ثنائية وثلاثية الأبعاد

(١-٦) نستخدم معادلات الفصل.

(أ) نستخدم المعادلة (1-16):

(1-18)

(ب)

(1-19)

(ﺟ) السرعة المتوسطة تُعطَى بالمعادلة (1-1):

(1-20)

(١-٧) لاحِظْ أن ميلَ التلِّ يمكن وصفُه بدلالة:

(1-21)

بحيث و هما إحداثِيَّا سطحِ التل. نتخذ الاصطلاحَ المعتادَ بأن الاتجاه لأعلى هو اتجاه ، وبذلك نحتاج إلى أن تتجه زاوية التل لأسفل الأفقي. وبفرض أن نقطة البداية لها الإحداثيان ، يكون موضع المتسابِق كدالة في الزمن:

(1-22)

بحذف من المعادلتين نحصل على:

(1-23)

معنى «الهبوط» هو أن يكون لدينا و في نفس الوقت. دعنا إذنْ نُزِيل الدليلَ السفليَّ ونعرِّف على أنها المسافةُ الأفقيةُ من نقطة الانطلاق؛ إذنْ فإن:

(1-24)

لاحِظْ أن الجذر الآخَر للجذر التربيعي يعطي الإجابةَ المناظرة للمكان على المنحدر الذي كان سيبدأ منه المسارُ إذا لم يكن هناك ميلٌ لأعلى.

(١-٨) الفترة الزمنية مشتَّقَة من مقدار سرعة نقطةٍ على الإطار الخارجي، والتي تُعيَّن بدورها من قيمة العجلة المركزية. إذا كان نصفُ قُطْرِ الإطار الخارجي ، وكانَتِ الفترةُ الزمنية ؛ إذنْ فإن:

(1-25)

(١-٩) يمكن استنتاج نصف القطر من تعريف العجلة المركزية على النحو التالي:

(1-26)

يبدو الناتج كبيرًا على نحوٍ غريبٍ. في الواقع، يجب على المهندسين إمالةُ الطُّرُق (تمامًا كما تميل طائرةٌ ما أثناءَ الطيران لكي تنعطِف) لتجنُّبِ نصف قُطْر الانحناء الكبير هذا.

(١-١٠) نحتاج إلى نصف قُطْر المسار الدائري لحساب العجلة. بمجرد حصولنا عليه، وطالما أننا نعلم السرعة، يمكننا استخدام (1-18):

(1-27)

اتجاه العجلة يكون دائمًا نحوَ مركزِ المسار الدائري.