قانونَا نيوتن الأول والثالث

معادلات القانون الأول للوزنين هي:

(ب) والآن، على حسب الوزن قد تكون الكتلةُ على وشك أن تُسحَب لأعلى المستوى أو تنزلق لأسفل المستوى. لنَدَعْ مُناظِرًا لأقل وزنٍ قبل أن تنزلق الكتلةُ لأعلى المنحدر، و مُناظِرًا لأقصى وزن قبل أن تنزلق الكتلةُ لأسفل المنحدر. مخطَّطَا الجسم الحر لهاتين الحالتين موضَّحَان في الشكلين ٢-١ و٢-٢. لاحِظْ أنه في هاتين الحالتين الخاصتين فقط تكون قوة الاحتكاك عند أقصى مقدار لها، . في هاتين الحالتين، تظلُّ معادلة القانون الأول للوزن كما كانت في الجزء (أ)؛ ومن ثَمَّ لا يزال لدينا . بالنسبة إلى قيمة الصغرى، تكون معادلات القانون الأول ﻟ هي:

بالنسبة إلى قيمة العظمى، تكون معادلة القوة العمودية كما هي، ولكن تُعرَف الآن القوة المحصلة على طول المنحدر بأنها:

(٢-٢) يمكننا استخدام مخطَّطَيِ الجسم الحر (أ وب) المبيَّنَين في الشكل ٢-٣ لتفقُّد القوى الأفقية والرأسية المؤثرة. ينتج من ذلك ٤ معادلات (واحدة في وواحدة في لكلٍّ من الوزنين)، ولكن في ٤ مجاهيل (قوَّتَا الشد و والزاويتان). وبما أننا مهتمون فقط بالزاويتين، من الأسهل فعليًّا تدبُّر مخطَّط الجسم الحر (ﺟ)، وهو لنظام يحتوي على كلا الوزنين، وبالتالي يكون مقدار قوة الجاذبية المؤثرة هو ، في حين أن قوة داخلية، وبالتالي تكون غير ظاهرة، وتكون القوتان الخارجيتان الوحيدتان بالإضافة إلى الوزن هما و؛ ومن ثَمَّ يكون لدينا معادلتا القوة:

نقسم المعادلة الأولى على الثانية لنحصل على:

لإيجاد اعتبر مخطط الجسم الحر (ب).

مرة أخرى، نقسم المعادلة الأولى على الثانية لنحصل على:

(٢-٣) مخطَّط الجسم الحر مبيَّن في الشكل ٢-٤، ومعادلات القوى موضحة أدناه. لاحِظْ أن القوة المحصلة المؤثرة على المتسابق قيمتها صفر؛ لأن السرعة ثابتة. حيث هو الاحتكاك نتيجة مقاومة الهواء المناظرة للسرعة النهائية. الآن يمكننا العودة إلى معادلة للحصول على:

(٢-٤) مخطط القوة لهذه الحالة مبيَّن في شكل ٢-٥. معادلتَا و للقوة هما:

باستبدال القوة في المعادلة بما يعادلها من المعادلة ينتج:

لاحِظْ أنه يمكنك التأكُّد من صحة الإجابة عندما ترى أنك تحصل على عن طريق استبدال الدليلين السفليين في معادلة .

(٢-٥) يعرض مخطط القوى المبيَّن في شكل ٢-٦ جميعَ الزوايا التي نحتاجها. الخط الواصل بين مركز الأنبوب الذي طوله وبين أيٍّ من مركزَيِ الأنبوبين الأصغر طولًا يصنع زاوية مع الرأسي بحيث:

نرى من مخطط القوى في الاتجاه أن حالة الاتزان تتطلب أن تكون المركبتان الأفقيتان و (وهما القوتان الطبيعيتان للأنبوبين السفليين على الأنبوب الذي طوله ) متساويتين؛ إذنْ فإن:

لاحِظْ أن هذا واضح أيضًا بالتماثل. يوجد لدينا أيضًا باستخدام قانون نيوتن الثالث مقدار القوتين العموديتين للأنبوب الذي طوله المؤثر على أيٍّ من الأنبوبين الأصغر طولًا. نحصل إذنْ من المركبة على:

في حالة الاتزان تكون كلٌّ من المركبة الرأسية والأفقية للقوة المحصلة عل كلِّ أنبوبٍ صفرًا. وعلى وجه التحديد، يمكن كتابة محصلة القوة الأفقية على كلٍّ من الأنبوبين الأصغر طولًا على الصورة التالية: