قانون نيوتن الثاني

(٣-١) (أ) مخطط الجسم الحر لهذه الحالة كما يلي: البكرةُ عديمةُ الوزن؛ مما يجعل من الحتمي أن تكون محصلة القوة المؤثِّرة عليها صفرًا، فإذا كان الاتجاه لأعلى هو الاتجاهَ الموجب (اتجاه متجه الوحدة المبيَّن في شكل ٣-١)، فإن:

(3-1)

إن عجلة أيٍّ من الكتلتين في إطارٍ قصوريٍّ هي الجمع المتجهي لعجلة مركز القرص وعجلة تلك الكتلة بالنسبة إلى مركز القرص. لنُسَمِّ الأخيرة للكتلة و للكتلة . وبما أن الخيط غير ممطوط، إذنْ فنحن متأكِّدون أن . إذا كانت عجلة مركز القرص ، إذنْ بكتابة ، يكون لدينا . الآن يمكننا كتابة معادلات القانون الثاني للكتلتين.

(3-2)

شكل ٣-١: مخطَّط الجسم الحر للمسألة (٣-١) (أ).

يمكن إعادة كتابة هاتين المعادلتين كما يلي:

(3-3)

بجمع المعادلتين يمكننا حلهما في ، ثم في كما يلي:

(3-4)

إذا ما طرحنا بدلًا من ذلك المعادلةَ الأولى من المعادلة الثانية؛ إذنْ فإن:

(3-5)

(٣-٢) نحل المسألة في إطار قصوري له نفس السرعة التي كان عليها المصعدُ عندما تحرَّرَتِ الكرةُ (نفترض أن الكرة لا ترتطم بسقف المصعد). إذا جعلنا في اللحظة التي تحرَّرت عندها الكرة وسمَّينا المحور الرأسي ، إذنْ فإن و. ارتفاع الكرة فوق الأرضية ، ويكُون قيمةً عظمى عند ومقداره:

(3-6)

نرى أن أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة فوق الأرضية هو نفس الارتفاع الذي كانت ستصل إليه لو أنها قُذِفت لأعلى بسرعةٍ داخلَ صندوق غير متسارع فوق كوكبٍ عجلةُ جاذبيتِه (بدلًا من ؛ حيث ، و تشير رأسيًّا لأعلى من فوق سطح الكرة الأرضية). رأينا بالفعل (مثال ٣-٢) أن القوة المتجهة لأعلى التي تؤثِّر بها الأرضيةُ على شخصٍ كتلتُه داخل مصعد متسارِع (القوة التي يقيسها الميزان) هي ، وهي التي كان سيقرؤها الميزان إذا لم يكن المصعد متسارعًا، ولكنه على كوكبٍ عجلةُ جاذبيتِه .

بصورةٍ أعمَّ إلى حدٍّ ما، يمكننا توضيح أنه إذا كان لصندوقٍ ما عجلة (دون أن يدور) بالنسبة إلى إطار قصوري، فإنه يمكننا معاملة أي محاور مرتبطة بالصندوق كما لو كانت إطارًا قصوريًّا، بشرط أن نضيف لقائمة القوى المؤثرة على جسمٍ داخل الصندوق قوةَ الاحتكاك . لهذه القوة الإضافية نفس صورة قوة الجاذبية ، نسميها «خيالية» لأنها ليسَتْ ناتجةً من أي جزءٍ قابل للتحديد من المادة.

برهان. إذا كانت محاور الإطار القصوري هي ، وكانت المحاور المرتبطة بالصندوق هي ، فإن أيَّ جسيم عجلته بالنسبة إلى المحاور المميزة بالشرطات تكون عجلته بالنسبة إلى الإطار القصوري. معادلة الحركة للجسيم هي ؛ حيث هي القوة الكلية المؤثِّرة على الجسيم. يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة ؛ حيث هي مجموع القوة الحقيقية والقوة الخيالية .

(٣-٣) (أ) إذا كان اللوح لا ينزلق فإن عجلة الصبي في إطار قصوري تكون أيضًا ؛ لا بد إذنْ أن تكون هناك قوة تؤثر على الصبي، ولا بد أنه يؤثِّر بقوة لها نفس المقدار على اللوح؛ ومن ثَمَّ فإن أقل عجلة للصبي تتسبب في الانزلاق هي:

(3-7)

(ب) عجلة الصبي تتخطى . ليكن اتجاه عجلة الصبي، ولأن اللوح ينزلق على الجليد فسنسمي عجلته ، وتكون عجلة الصبي عندئذٍ (بوحدات المتر/ثانية تربيع)، وعندها ينبغي أن تكون القوة المؤثرة على الصبي كالتالي:

(3-8)

باستخدام قانون نيوتن الثالث، تكون إذنْ محصلة القوة الأفقية على اللوح كالتالي:

(3-9)

شكل ٣-٢: الموضعان الابتدائي والنهائي للإسفين والكتلة المنزلقَيْن في المسألة (٣-٤).

عجلة الصبي بالنسبة إلى الجليد هي:

(3-10)

(٣-٤) الحالة الابتدائية والنهائية مبيَّنَة في شكل ٣-٢. مخطَّطَا الجسم الحر للوتد والقالب مبيَّنَان في شكل ٣-٣. نختار إطار الكرة الأرضية القصوري بحيث يكون المحور في الاتجاه الأفقي (نحو اليمين)، والمحور رأسيًّا لأعلى؛ عندئذٍ تكون معادلات القانون الثاني هي:

(3-11)

حيث و هما مركبتَا عجلة القالب في الاتجاهين و، و هي العجلة الأفقية للوتد. نعلم أن سطح المنضدة والجاذبية يمنعان أي عجلة رأسية للوتد. مع عدم معلومية كلٍّ من ، و و، و، نحتاج إلى معادلة واحدة إضافية لحلِّ جميع المجاهيل. المعادلة المتبقية هي القيد الذي يُلزِم القالبَ بأن يظلَّ مُلامِسًا للوتد خلال الرحلة بالكامل (وإلا فإن القوة الأفقية على الوتد سوف تتوقف). إذا كان الوتد ساكنًا، فينتج من حركة القالب على الوتد لأسفل لمسافة أن و. في الإطار المتحرك الذي ينزلق فيه الوتد بحرية، (نستخدم الشرطة كعلامة للمحاور في هذا الإطار)، ينبغي أن تكون دائمًا النسبة بين المسافتين و هي من أجل أن يحافظ القالب على البقاء ملامِسًا للوتد؛ ومن ثَمَّ يكون لدينا في الإطار القصوري للكرة الأرضية:

(3-12)

حيث إننا اتخذنا فقط المشتقة الثانية بالنسبة إلى الزمن للحصول على العجلة. ويكون لدينا الآن من معادلات القوة:

(3-13)

شكل ٣-٣: مخطَّط الجسم الحر للإسفين والكتلة المنزلقَين في المسألة (٣-٤).

والتعويض في معادلتنا، والجمع بين و يُنتِج:

(3-14)

لتكن المسافةُ التي يقطعها الوتد في الزمن الذي يحتاجه القالب ليصل إلى قاعدة الوتد هي . نعيِّن كلًّا منهما من المسافة الرأسية التي يقطعها القالب كالآتي:

(3-15)

شكل ٣-٤: مخطط الجسم الحر في المسألة (٣-٥) (أ).

(٣-٥) (أ) مخطط الجسم الحر مبيَّن في الشكل ٣-٤. مركبتا القوى و تكون أولاهما موازية للسطح المائل والثانية عمودية عليه. يحافظ الخيط على عجلة كرة البندول على طول الاتجاه ، مساوية لعجلة الصندوق المستطيلي على طول السطح المائل في الاتجاه الأسفل، وهي لأن نظام الصندوق بالكامل بالإضافة إلى يمكن اعتباره معرَّضًا فقط لقوة الجاذبية والقوة العمودية للسطح المائل. بالنسبة إلى نظام يتكوَّن فقط من ، يكون لدينا على طول المحور :

(3-16)

الحل الوحيد الذي لا يكون به مقدار قوة الشد صفرًا هو . بمجرد تحقُّق حالةٍ منتظمةٍ يكون الشدُّ على طول الاتجاه العمودي على السقف، وتعطي العجلة الموازية للسطح المائل؛ وذلك لتحافظ على عجلة مساويةً لنفس عجلة نظام الصندوق بالإضافة إلى .

(ب) مع وجود احتكاك سيسقط نظام الصندوق بالإضافة إلى بعجلة أقل من . إذا كانت كتلة النظام الكلية ، فإن:

(3-17)

الكتلة كنظامٍ منفصلٍ تكون الآن تحت تأثير القوى التي تمَّ فقط اعتبارها في الجزء (أ)، ولكن ينبغي استخدام القيمة الجديدة المستنتجة حاليَّا للعجلة على طول المحور . يتضح لنا من ذلك أن قوةَ الشد عليها أن تسحب لأعلى على طول المحور لمنع المركبة من جعل تتسارع لأسفل على طول السطح المائل؛ بحيث تكون أسرع من الصندوق المستطيلي؛ ومن ثَمَّ فإن الشكل ٣-٤ يبيِّن أن الخيط في المكان غير الصحيح؛ حيث ينبغي أن يكون في اتجاه أسفل المنحدر بالنسبة إلى العمودي على السقف. دعنا نؤكِّد ذلك عن طريق إيجاد .

(3-18)

الإشارة السالبة تعكس حقيقة أن الخيط ينبغي أن يكون معلَّقًا في اتجاهِ أسفلِ المنحدر بالنسبة إلى العمودي (وهو الأمر الواضح عندما يكون كبيرًا جدًّا وتكون عجلة الصندوق، تبعًا لذلك، صغيرة جدًّا).

(٣-٦) ينبغي على القوى في الاتجاه الرأسي (أي المتعامِدة مع القرص الدوَّار) أن تتزن؛ ومن ثَمَّ يتضح لنا فورًا أن ؛ حيث القوة العمودية للقرص الدوَّار على العملة، و مقدار قوة الجاذبية المؤثِّرة على العملة. القوة الوحيدة المؤثِّرة في الاتجاه الأفقي (مستوى سطح القرص الدوَّار) هي قوة الاحتكاك الاستاتيكي (استاتيكي لأن العملة تحافظ على موضعها بالنسبة إلى القرص الدوَّار)؛ ومن ثَمَّ ينبغي أن يحقِّق الاحتكاكُ الاستاتيكي شرطَ الجذب المركزي للإبقاء على العملة متحركةً في دائرةٍ بسرعةٍ مقدارُها ثابتٌ ويساوي . أقصى نصف قطر يمكن أن تكون عنده العملة من مركز الدوران يتحدَّد على حسب مقدار أقصى قوة للاحتكاك الاستاتيكي؛ ومن ثَمَّ:

(3-19)

شكل ٣-٥: مخطط الجسم الحر للمسألة (٣-٦).

(٣-٧) إذا ما افترضنا أن المدارات الدائرية ممكنة مع أيٍّ من أنصاف أقطار المدارات المرفوعة إلى الأس في قانون القوة، فيمكننا إجراء استنتاج قانون كبلر الثالث بطريقةٍ معكوسةٍ. ليكن الزمنُ الدوريُّ للمدار الدائري هو . إذا كان إذنْ ثابتُ التناسب في قانون كبلر الثالث هو ، نجد أن:

(3-20)

وبما أنه يمكننا تعريف الثابت كما نريد، فإننا نقوم بدمج العامل داخله ليتضح لنا أن:

(3-21)

إذنْ قانون القوة يتناسب مع الأس لنصف القطر. يتضح لنا أنه إذا كان فإن كما هو متوقَّع.

شكل ٣-٦: مخطط للمسألة (٣-٨).

(٣-٨) يبيِّن شكل ٣-٦ المنحنى فقط. لجعل المزلجة مثاليةً عبَّرنا عنها بمجرد نقطة عند الموضع من بداية المنحنى. يمكننا أيضًا تمييز الموضع بدلالة طول القوس من بداية المسار المنحني. لقد أهملنا قوة الجاذبية لكننا يجب أن نأخذ في الاعتبار الاحتكاك الحركي ()، والقوة العمودية للممر على المزلجة، والتي تحقِّق الشرط:

(3-22)

وذلك لجعل المزلجة مستمرةً في مسار الممر المنحني. تكون عندئذٍ معادلة الحركة المماسية:

(3-23)

نريد السرعة كدالة في الإزاحة الزاويَّة، وليس الزمن، لذلك نستخدم قاعدة السلسلة للاشتقاق:

(3-24)

حيث هي السرعة المماسية للمزلجة. إن حل المعادلة التفاضلية يكون سهلًا إذا ما حدَّدنا المسافةَ الكلية للممر الدائري لتكون فقط ، بمعنى أننا الآن نجعل مقدار الميل للمنحدر المؤدي إلى الممر المنحني كما يلي:

(3-25)

(٣-٩) يرشدنا التلميح إلى اعتبار الإطار القصوري الذي يكون فيه سيْرُ الناقلة ساكنًا، وهو إطار يتحرك بالنسبة إلى الأرضية بسرعة . في إطار الأرضية، يتخذ القرص مسارًا منحنيًا أثناء تباطؤ سرعته بالنسبة إلى سيْرِ الناقلة، يجعل هذا من حساب معامل الحركة أمرًا صعبًا. في الإطار الساكن لسير الناقلة، يتحرك القرصُ في خط مستقيم؛ حيث لا توجد قوًى مؤثرة متعامدة على مسار القرص في هذا الإطار (فيما عدا قوة الجاذبية التي تتجه لأسفل، وبالتالي ليس لها تأثير مباشِر على حركة القرص بالنسبة إلى سيْرِ الناقلة). يتحرك القرص قطريًّا إلى الوراء في هذا الإطار، وبما أن قوة الاحتكاك محدَّدة، فإن سرعة القرص (بالنسبة إلى الأرضية) لا تزال بمجرد أن يكون القرص على السير.

شكل ٣-٧: مخطط المسألة (٣-٩).

قوة الاحتكاك الحركي هي ، و هي كتلة القرص؛ ومن ثَمَّ يكون مقدار العجلة على طول المسار . وبالنظر إلى المركبة لحركة القرص، تكون العجلة نتيجة للاحتكاك هي:

(3-26)

أقل قيمة ﻟ تجعل المركبة لسرعة القرص تصل إلى صفر، بمجرد أن يصل القرص إلى حافة السير الأخرى؛ إذنْ فإن:

(3-27)

يمكننا أيضا الوصول لهذه المعادلة عن طريق اعتبار حركة على طول القطر. في هذه الحالة يكون لدينا:

(3-28)

استبدل المتغيرات لجعل مع ملاحظة أن:

(3-29)

شكل ٣-٨: مخطط المسألة (٣-١٠).

(٣-١٠) مخططات الجسم الحر للوتد والقالب فوقه مبيَّنَة في شكل ٣-٨. نعلم بالنظر إلى القوى المؤثرة أنه لا توجد حركة أفقية للقالب في الإطار القصوري للمنحدر الثابت؛ لأنه لا توجد قوًى لها مركبة أفقية تؤثِّر على القالب؛ ومن ثَمَّ فإن القالب يحافظ على تلامُسِه مع الوتد فقط إذا كانت عجلتاهما الرأسيتان متطابقتين، بينما ينزلق الوتد أيضًا أفقيًّا بالنسبة إلى المنحدر أو القالب. ليكن مقدار عجلة الوتد على طول المنحدر هو . اتجاه يكون على طول المنحدر بزاوية أسفل الأفقي. لتكن القوة العمودية للمنحدر على الوتد، و القوة العمودية للوتد على القالب. تكون معادلات الحركة على النحو التالي:

(3-30)

الحل الآني لهذه المعادلات الثلاث في المجاهيل الثلاثة و و هو:

(3-31)

العجلة الموازية للمنحدر هي الحل المطلوب.

يمكننا استخدام حساباتٍ أقل لإيجاد الحلِّ إذا لاحظنا أن عجلة القالب على طول الاتجاه الرأسي ينبغي أن تكون:

(3-32)

وعجلته على طول اتجاه السطح المائل هي:

()

بالنظر إذنْ إلى مركبتي القوة الموازيتين للسطح المائل على كلٍّ من الوتد والقالب، يكون لدينا:

(3-34)

بجمع المعادلتين نحصل فورًا على عجلة الوتد:

(3-35)

(٣-١١) لكي تكون في حالة اتزان ينبغي أن يكون الشدُّ في الخيط مساويًا للوزن ؛ ومن ثَمَّ يُوضَع الشرطان لأقل وأقصى نصف قطر للُعبة السيارة عندما تكون أقصى قوةِ احتكاكٍ استاتيكيٍّ متجهةً إلى الداخل والخارج، على التوالي، بالنسبة إلى مركز المسار الدائري (انظر شكل ٣-٩). يتضح لنا ذلك لأن شرط الجذب المركزي يتطلَّب، طبقًا للشكل ٣-٩:

(3-36)

حيث هو الاتجاه نحو مركز المسار الدائري؛ ومن ثَمَّ يكون هو نفسه اتجاه الشد. اتجاه الشد ثابت على طول ، لذلك فإن الاتجاه (أي الإشارة) اللازم ﻟ يتعيَّن بواسطة مقدار قوة الاحتكاك، بحيث تكون المعادلة المتجهية بالأعلى صحيحة. في الصورة القياسية، يتحدَّد شرطَا الاحتكاك على النحو التالي:

(3-37)

شكل ٣-٩: مخطط الجسم الحر للمسألة (٣-١١).

وحيث إن ، فإنه بقسمة المعادلة الأولى على الثانية ينتج:

(3-38)

زائر

(١) حلول مسائل قانون نيوتن الثاني للحركة