كمية التحرك

(٤-١) لاحِظ أن تعريف موضع مركز الكتلة بالنسبة إلى نقطة الأصل هو:

لكل جسيم في النظام:

والآن فإن المقدار لا يتغير تحت جميع الحركات المحتملة للجسم الجاسئ الذي يتكون من ، و، و؛ ومن ثَمَّ لا تتغير مسافةُ بُعْدِ مركز الكتلة عن جميع الجسيمات (ذات معامل ) في الجسم تحت جميع الحركات للجسم، وبالتالي فإن مركز الكتلة هو نقطة من نقط الجسم.

(٤-٢) القوة الكلية على الأرضية عند أي كمية معطاة من الجزء الساقط من الحبل ، وهي أي مسافة يُسقِطها طرفُ الحبل العلوي أسفل نقطةِ تحرُّرِه الابتدائيةِ، وبالتالي يكون الطول الكلي من الحبل الموجود على الأرضية هو ، تكون: حيث تمثِّل القوة اللازمة لجعل طولٍ متناهٍ من الحبل كتلتُه يتوقَّف إذا كانت السرعةُ التي اكتسبها أثناء سقوطه . هي كتلة الحبل الموجود بالفعل على المنضدة؛ ومن ثَمَّ تساوي ؛ حيث . لأي طول متناهٍ من الحبل ، يمكن تسمية السرعة اللحظية ؛ حيث ؛ وذلك لأننا نعتبر في حالة سقوطٍ حرٍّ، وبالتالي يكون و؛ حيث الطول المتناهي المناظِر للكتلة ؛ إذنْ فإن:

للإجابة على الجزء (ب). لاحظنا للتو أن أقصى قوة تتحقَّق عندما يكون قيمة عظمى، بمعنى أن ، تكون عندئذٍ القوة العظمى وتتحقَّق عندما ترتطم آخِرُ قطعة من الحبل بالمنضدة. هذه النتيجة معقولة لأن آخِر ترتطم بأقصى مقدار للسرعة (لأنها تسقط من أقصى ارتفاع )، والوزن الأكبر (تقريبًا) من الحبل يكون بالفعل على المنضدة.

(٤-٣) (أ) بقاء كمية التحرُّك الخطي يتطلب: حيث و هما كميتَا التحرك للشظيتين ١ و٢، على التوالي. ينبغي أن تتطاير الشظيتان في اتجاهين على نفس الخط؛ إذنْ يمكن تعيينُ السرعتين الأفقيتين من المسافتين المقطوعتين والزمنين المعطيين كالتالي:

بمعلومية أن مجموع كميات التحرُّك على طول المحور ينبغي أن يكون صفرًا، يكون لدينا:

عندما يصل الصاروخ لأعلى نقطة تكون سرعته صفرًا؛ ومن ثَمَّ ينبغي أن تكون كميتَا التحرك الرأسيتان للشظيتين متساويتين في المقدار ومختلفتين في الإشارة:

إذا استخدمنا موقعَ الانفجار على أنه نقطة الأصل لنظام محاورنا، فإن السقوط الرأسي للشظيتين يُوصَف على النحو التالي:

(ب) بالعلم أن الشظية ١ تذهب لأعلى، نحصل على أقصى ارتفاعٍ باستخدام حركة الشظية. باتخاذ نقطة الأصل عند الأرضية، يكون لدينا:

(٤-٤) ينبغي أن تكون كمية التحرُّك محفوظةً في كلٍّ من الاتجاهين الموازي والمتعامِد مع اتجاه الهيكل الأصلي (أي في اتجاه الشرق). بالإضافة إلى ذلك، فإن الكتلة محفوظة. المعادلات الثلاث الناتجة من هذه الحالات تكون على النحو التالي:

من معادلة ومعادلة حفظ الكتلة نحصل على:

بالتعويض في معادلة ينتج: إذنْ فإن: ملحوظة: كثير من الطلاب يخفقون في هذه المسألة لأن لديهم معادلتين (كميتَي التحرك في و) في ثلاثة مجاهيل، ويجهلون أن القيد على مجموع كتل الشظيات يشكل المعادلة الثالثة!

(٤-٥) قوة الدفع هي قوةٌ مقدارُها يساوي المعدل الزمني للتغيُّر في كميةِ تحرُّكِ غاز العادم. المعدل الزمني للتغيُّر في كتلة الصاروخ هو المعدل الزمني لكتلة الوقود المستهلَك في صورة غاز العادم؛ إذنْ فإن:

ومن ثَمَّ تكون قيمةُ قوة الدفع هي:

ينبغي أن نذكر أن معادلة الصاروخ المثالية (4.29) ليست دقيقة جدًّا هنا؛ لأنه كان علينا اعتبارُ تأثيرِ الجاذبية. التعديل يطرأ على (4.27) بحيث ينبغي علينا — بدلًا من التعامل مع كمية التحرك على أنها محفوظة — أن نبحث عن التغير في كمية التحرُّك نتيجة قوة الجاذبية الخارجية، وهو: حيث أزلنا حاصل ضرب التفاضلين، ونلاحظ أن سالبة. بقسمة الأطراف على كما في الفصل الرابع، وحذف مع ملاحظة أن: ينتج أن:

بالتفاضُل نحصل على (تذكَّرْ أنَّ ):

تكون معادلة الصاروخ المثالية المعدلة بالجاذبية هي:

هناك افتراضان استُخِدَمَا هنا: الأول أن الارتفاع ٦٧ كيلومترًا هو ارتفاع منخفض بدرجةٍ كافيةٍ بالنسبة إلى نصف قطر الكرة الأرضية، بحيث يمكننا الاستمرار في استخدام القيمة كعجلة للجاذبية. والثاني أنه عند فإن: وإلا فإن الصاروخ لا يغادر من البداية، وإنما يظل على قاعدة الإطلاق حارقًا الوقود حتى تصبح الكتلة الكلية صغيرةً بالقدر الكافي الذي يسمح لقوة الدفع برفع الصاروخ.

الأرقام ذات الصلة بهذه المسألة تتطلَّب إيجادَ الكتلة بعد نهاية أول مرحلةٍ للاحتراق. هذه الأرقام هي:

ومن ثَمَّ فإن سرعةَ الصاروخ على ارتفاع ٦٧ كيلومترًا تكون:

(٤-٦) نعلم سرعة القذيفة، ولكن في إطارٍ لاقصوريٍّ. أثناء تسارُعِ القذيفة داخل ماسورة المدفع، تعني حقيقة أن القذيفة تتسارع أن هناك قوةً تؤثِّر عليها بواسطة المدفع؛ ومن ثَمَّ فلا بد أن هناك قوةً تؤثِّر على المدفع بواسطة القذيفة طبقًا لقانون نيوتن الثالث. مع خروج القذيفة من المدفع، تتحرك بزاوية بالنسبة إلى الأفقي في الإطار القصوري (الثابت بالنسبة إلى الأرض). يمكن حسابُ مقدار سرعة العربة المسطَّحَة؛ لأن كمية تحرُّك النظام على طول الاتجاه الأفقي محفوظ بسبب عدم وجود قوًى مؤثِّرة على طول . لنُسَمِّ مقدار سرعة العربة المسطحة على طول المحور بمجرد خروج القذيفة من ماسورة المدفع . الشكل ٤-٢ هو الرسم البياني المتجهي المناسب لإيجاد سرعة القذيفة؛ حيث السرعة النهائية للقذيفة بالنسبة إلى الأرض. يؤدِّي حفظ كمية التحرُّك على طول المحور (بفرض أن اليمين هو الاتجاه الموجب ﻟ ) إلى:

تُشتَقُّ الزاوية من الرسم البياني المتجهي بملاحظة أن ، مما يعني أن المركبتين الرأسيتين متساويتان، ومركبة الأفقية سبق أن حسبناها بالفعل؛ إذنْ فإن: