الاتزان الاستاتيكي لأجسام جاسئة بسيطة

(٧-١) إذا أخذنا السلم بأكمله كنظامٍ، فإن القوى الخارجية الوحيدة هي القوى الرأسية من الأرضية (التي لا يمكنها التأثير بقوى أفقية؛ حيث إنه لا يوجد احتكاك) والأوزان؛ ومن ثَمَّ فإن:

بالنسبة إلى القضيبين ١ و٢ نجد في الاتجاه الأفقي أن:

نستطيع أيضًا الحصول على هذا من قانون نيوتن الثالث بتطبيقه على المفصل. بحساب العزم حول مركز كتلة القضيب ١، بفرض أن طولي القضيبين ، نحصل على:

بجمع هاتين المعادلتين ينتج أن:

(٧-٢) الحالة المبيَّنَة في الشكل ٧-٢ تصوِّر القالب عند زاويةٍ تجعل القيمة العظمى لقوة الاحتكاك الاستاتيكي كافيةً بالكاد لمنع الانزلاق، وعند الزاوية التي تجعل القالب بالكاد في حالة اتزان غير مستقر، بحيث يكون على وشك أن ينقلب. تطلب المسألةُ تحديدَ الشرط الذي به تكون هاتان الزاويتان متماثلتين، بمعنى أن قيمة هي التي تحدِّد أن تكون زاوية تحقُّق هذين الشرطين (الانقلاب والانزلاق) واحدة. شرط الانقلاب مباشر؛ حيث لا يكون بالإمكان الحفاظ على الاتزان إذا كان مركز ثقل الصندوق غير مدعوم بقاعدته. يحدث الاتزانُ غير المستقر إذنْ للزاويةِ التي عندها يكون الركن السفلي الأيمن تحت مركز الثقل مباشَرةً؛ ومن ثَمَّ فإن:

حيث عرض الصندوق، و ارتفاعه، و الزاوية الحرجة التي يحدث عندها الانقلاب. زاوية الانزلاق الحرجة تتعين عن طريق القيمة العظمى لقوة الاحتكاك الاستاتيكي ومركبة قوة الجاذبية المتجهة لأسفل المنحدر. القيمة العظمى للاحتكاك الاستاتيكي تتحدد من القوة العمودية .

لكي تكون زاويتا الانقلاب والانزلاق واحدة، نحتاج إلى أن يكون:

إذنْ الشرط العام هو: إذا كان معامل الاحتكاك الاستاتيكي أكبر من لحالة الانقلاب، فإن زيادة سوف تؤدي إلى حدوث الانقلاب، وإلا يبدأ الصندوق في الانزلاق قبل حدوث الانقلاب. بمعنى أنه إذا كان ينقلب، وإذا كان ينزلق.

(٧-٣) بالنسبة إلى القضيب BC، يكون العزم حول محورٍ يمر بالنقطة B هو:

بالنسبة إلى القضيب AB، يكون العزم حول المفصل عند السقف هو:

(٧-٤) مخطط القوة مبيَّن في الشكل ٧-٤. باختيار محور الدوران بحيث يمر بالنقطة C، يمكننا سريعًا تعيينُ القوة الرأسية المؤثِّرة على القضيب رقم ١ عند النقطة A؛ حيث إن كلًّا من المفصل عند C ووزن ليس لديهما ذراعُ رفعٍ عند C. لا بد أن يكون الشد في الحبل المربوط عند نهاية الطرف الأيمن للقضيب رقم ١ مساويًا للوزن ؛ لأن تلك الكتلة في حالة اتزان.

والآن نستخدم النقطة A كمحور وننظر إلى معادلة العزم للقضيب رقم ١؛ حيث و مركبتا القوة المؤثرة على القضيب رقم ١ عند النقطة C.

كان في استطاعتنا أيضًا الحصول على ذلك من معادلة اتزان القوة الرأسية للقضيب رقم ١. ليست من مركبات القوة التي أردناها، ولكن جميع نقط المحور الأخرى تساهم بمركبتي قوة مجهولتين. بالنظر إلى معادلة القوة في للقضيب رقم ٢، وبملاحظة أنه، باستخدام قانون نيوتن الثاني، تكون هنا عكس اتجاه على القضيب رقم ١، فإن:

والآن فإن حساب العزم للقضيب رقم ٢ حول النقطة C يعطي:

نرى الآن أن مركبتي القوة الأفقية الوحيدة المؤثِّرة على القضيب رقم ٢ هما و؛ إذنْ لا بد أنهما متساويتان في المقدار (تذكَّرْ أن تشير إلى شمال القضيب رقم ٢). وهذا أيضًا صحيح ﻟ و، فلا بد أنهما أيضًا متساويتان في المقدار؛ إذنْ فإن:

إذا ما اتَّبعنا مبدأ تقليص الحسابات، فإن أقصر طريق للإجابة هو معاملة رقم ١ ورقم ٢ و كجسم جاسئ واحد. يكون إذنْ العزم حول النقطة A:

بالنسبة إلى هذا النظام، لا توجد قوًى خارجية مؤثِّرة عند C؛ ومن ثَمَّ تكون القوتان الأفقيتان الوحيدتان مؤثرتين عند A وB، وينتج أن:

يمكننا الآن اعتبار القضيب رقم ١ وحده؛ حيث إن:

كما سبق، يؤدي حساب العزم حول C للقضيب رقم ١ إلى ، بينما يعطي العزم له حول A: وتُعطي معادلة القوة للقضيب رقم ١:

(٧-٥) في النص، تمَّ إثبات أن نتيجة محصلة جمع العزم التثاقلي على كلِّ قطعة من الطوق هي أن القوة تؤثِّر كما لو كانت تؤثِّر على مركز الكتلة، وهو مركز الشكل الهندسي للطوق. يمكننا ملاحظة أن محصلة القوة على الطوق في الاتجاه الموازي للمنحدر لا بد أن تكون كالآتي: وذلك لأن محصلة القوة على الطوق لا بد أن تكون صفرًا. إذا نظرنا إلى العزم حول محورٍ خلال مركز كتلة الطوق، نرى أن وزن الطوق ليس لديه ذراع رفع، وتشير القوة العمودية على طول المتجه المركزي في اتجاه النقطة A حيث تؤثِّر القوة العمودية، وبالتالي فلا بد أن العزمَ نتيجة الكتلة النقطية والعزمَ نتيجة قوة الاحتكاك الاستاتيكي يلاشيان أحدهما الآخر حول هذا المحور. نسمي نصف قطر الطوق ؛ إذنْ فإن: