الحركة الدورانية، وكمية التحرك الزاويِّ، وديناميكا الأجسام الجاسئة

(٨-١) (أ) القوى المؤثِّرة مبيَّنة في الشكل ٨-١. العزم حول محور خلال مركز الكتلة هو:

(8-1)

حيث الشد في الحبل، وقد استخدمنا شرط التدحرج بدون انزلاق، بحيث إن العجلة الزاوية تساوي العجلة الخطية لمركز الكتلة مقسومة على نصف قطر الأسطوانة. يمكننا الآن النظر لمعادلة القوة لمركز الكتلة:

(8-2)

(ب) مخطط القوة لم يتغيَّر، ولكن عجلة مركز كتلة الأسطوانة الآن صفر بالنسبة إلى مراقب ثابت، وبالتالي فإن الشد لا بد أن يساوي الوزن، بمعنى أن ؛ إذنْ يكون العزم حول محور خلال مركز الكتلة هو:

(8-3)

شكل ٨-١: القوتان المؤثرتان على أسطوانة هابطة ملفوفة بخيط في المسألة (٨-١).

شكل ٨-٢: مخطط القوة والعزم للمسألة (٨-٢).

من المفترض أن يكون شرط التدحرج بدون انزلاق لا يزال مطبقًا، بمعنى أن الأسطوانة لا تنزلق على الحبل؛ إذنْ لا بد أن تتسارع اليد لأعلى بالقيمة:

(8-4)

(٨-٢) العزم المؤثِّر بواسطة سلسلة الدراجة يُعتبَر معلومًا. لسنا في حاجةٍ لمعرفةِ نصف القطر الذي يؤثِّر عنده. بما أن السرعة الزاوية لكلٍّ من العجلتين تتزايد، والعزم الوحيد على العجلة الأمامية (حول مركزها) ناتج عن قوة الاحتكاك الاستاتيكي، فلا بد أن تكون تلك القوة متجهة للخلف. وبما أن محصلة القوة على الدراجة وراكبها لا بد أن تكون في الاتجاه الأمامي، فإن قوة الاحتكاك الاستاتيكي المؤثِّرة بواسطة الأرض على العجلة الخلفية لا بد أن تكون في الاتجاه الأمامي، وبالتالي — بالنسبة إلى العجلة الخلفية — يكون:

(8-5)

بينما للعجلة الأمامية يكون لدينا:

(8-6)

قوى الاحتكاك الاستاتيكي هي القوى الخارجية المؤثرة بواسطة الأرض على نظام الدراجة والراكب؛ إذنْ فإن:

(8-7)

(٨-٣) (أ) محصلة العزم حول نهاية القضيب المربوط بخيط تكون صفرًا؛ إذنْ فإن:

(8-8)

حيث نلاحظ أن القوة المؤثرة بواسطة الأرضية تكون فقط على طول الاتجاه الرأسي؛ لأن الأرضية الملساء لا يمكنها التأثير بأي مركبة أفقية للقوة على القضيب.

شكل ٨-٣: القوة المؤثرة على قضيب معلَّق من السقف ومُلامِس للأرضية في المسألة (٨-٣).

(ب) مازال عند قطع الخيط لا يوجد مركبات أفقية لأيٍّ من قوة التلامس من الأرضية أو قوة الجاذبية؛ إذنْ تظل المركبة لموضع مركز الكتلة ثابتةً، وهذا يعني أن نقطة التلامس مع الأرضية مُعرَّضة لعجلة نحو اليسار. لا يمكننا استخدام هذه النقطة لحسابات العزم، أما بالنسبة إلى محورٍ يمرُّ خلال مركز الكتلة، فيمكننا حساب العزم.

(8-9)

العجلة الرأسية لمركز الكتلة هي نتيجة القوة العمودية والجاذبية؛ إذنْ فإن:

(8-10)

بفرض أن هي الاتجاه الرأسي (لأعلى) و مقدار عجلة مركز الكتلة. لإيجاد علاقةٍ بين العجلة الزاوية والعجلة الرأسية نلاحظ أن الموضع الرأسي، بحيث تكون الأرضية هي نقطة الأصل، يحدد أن:

(8-11)

بالنسبة إلى الزمن ، تكون السرعتان الابتدائيتان الخطية والزاويَّة لمركز الكتلة قيمتهما صفر؛ إذنْ فإن ؛ ومن ثَمَّ فإن العجلة الرأسية لمركز كتلة القضيب عند هي:

(8-12)

يمكننا استخدام معادلتَي القوة والعزم لإيجاد ، وهي العجلة الرأسية:

(8-13)

وتكون القوة العمودية:

(8-14)

(٨-٤) نعلم أن قوة الاحتكاك الاستاتيكي تؤثِّر على الأسطوانة لأعلى على طول المنحدر. قوة المنحدر العمودية على الأسطوانة هي ؛ حيث كتلة الأسطوانة. القيمة العظمى لقوة الاحتكاك الاستاتيكي لأي زاوية تكون إذنْ:

(8-15)

والتي تقل بزيادة . القيمة العظمى للعزم الذي يمكن أن يؤثِّر حول محور خلال مركز الأسطوانة تقل أيضًا. لا بد أن يُعطِي هذا العزم العجلة الزاوية التي تكافئ شرطَ التدحرج بدون انزلاقٍ للعجلة الخطية لمركز كتلة الأسطوانة. ومن ثَمَّ، إذا كان نصف قطر الأسطوانة، يكون لدينا:

(8-16)

ولكن لا بد أن تحقِّق عجلة مركز الكتلة أيضًا قانونَ نيوتن الثالث. على طول اتجاه أسفل المنحدر:

(8-17)

قارن هذه النتيجة بحقيقة أن أقصى انحدار يمكن أن تستقر عليه الكتلة دون أن تنزلق عنده .

(٨-٥) يتحرك مركز كتلة غطاء الإطار بالأساس مع العجلة بسرعة خطية ، وبالتالي تكون السرعة الدورانية بالأساس:

(8-18)

عرَّضَتْ صدمةُ الطريق غطاءَ الإطار لدفعة غيَّرَتِ السرعةَ الخطية لمركز كتلة غطاء الإطار من إلى ، والسرعة الزاوية من إلى . لاحِظْ أنه إذا بطَّأ (أو سرَّع) اتجاهُ الدفعة السرعةَ الخطية، فلا بد أن يزيد (أو يقلِّل) السرعة الزاوية بعلم اتجاه العزم حول مركز الكتلة:

(8-19)

لاحظ أن بينما ، علينا أن نتوقَّع أن السرعة الخطية سوف تقل لأن أدنى نقطة لغطاء الإطار لها سرعة في الاتجاه الأمامي قبل أن تصدم الطريق، وبالتالي فإن القوة الاحتكاكية تكون متجهة إلى الوراء. يساهم اتجاه القوة الاحتكاكية هذا أيضًا بعزمٍ حول مركز الكتلة يزيد من السرعة الدورانية.

(٨-٦) (أ) يبيِّن مخطط القوى أعلاه أنه إذا كان ، فإن الشرط الذي يُبقِي الكرة على نصف القطر الصغير لحرف المكعب المنحني (باللون الأحمر) هو:

(8-20)

شكل ٨-٤: القوة المؤثرة على كرة جاسئة تتدحرج على حافة مكعب في المسألة (٨-٦).

هذا هو شرط الجذب المركزي اللازم للمسار الدائري. بفرض أن ، فيمكننا إهمال ونفترض فقط أن نصف القطر للمسار المنحني ما هو إلا نصف قطر الكرة. تعريف «الحفاظ على التلامس» هو ألَّا تكون القوة العمودية صفرًا؛ ومن ثَمَّ إذا كانت السرعة الابتدائية لمركز كتلة الكرة مرتفعة للغاية، فإن لا بد أن تكون أقل من صفر (أمر غير فيزيائي!) لتحقِّق المعادلة، وبالتالي تترك الكرة المكعب دون أي انحرافٍ في اتجاه ؛ ولهذا نريد تعيين قيمة عند .

(8-21)

(ب) نسمح الآن أن تكون . تزداد كلٌّ من السرعة الخطية لمركز الكتلة والسرعة الزاوية حول مركز الكتلة كلما انخفض مركز الكرة وهي تتدحرج على الحافة. يمكن حساب طاقة الحركة الابتدائية على النحو التالي:

(8-22)

من الأسهل اعتبار أن الحركة دورانية صرف حول نقطة التلامس الثابتة (بفرض عدم وجود انزلاق!) بين الكرة وحرف المكعب؛ إذنْ، باستخدام نظرية المحور المتوازي وشرط التدحرج بدون انزلاقٍ، الذي يقتضي أن مقدار السرعة الزاوية حول مركز الكتلة متماثِل مع مقدار السرعة الزاوية لمركز الكتلة حول المحور الذي يمر خلال نقطة التلامس للتدحرج، يكون لدينا:

(8-23)

يزيد مقدار السرعة مع تدحرج الكرة على الحافة بانخفاض مركز الكتلة. باعتبار السطح العلوي للمكعب أنه النقطة الصفرية للموضع الرأسي، نحسب هذه الزيادة في مقدار السرعة كما يلي:

(8-24)

من تحليلنا في الجزء (أ) من هذه المسألة، نعلم أن هناك قيمة عظمى لمقدار السرعة مناظِرة لحالة الحفاظ على التلامس، وهي الحالة التي تصل عندها القوة العمودية إلى صفر.

(8-25)

بالتعويض بهذا في معادلتنا السابقة للطاقة، نرى أن:

(8-26)

(ﺟ) كما سبق، تصل القوة العمودية إلى صفر عند الزاوية الحرجة ، فإذا كان ، فإن المعادلة من الجزء (ب) تعطينا:

(8-27)

(د) تدبَّرْ شكل ٨-٥ حيث نوضِّح الكرة وهي على وشك أن تترك حرف المكعب. نعلم الزاوية الحرجة لحدوث ذلك إذا كان . من الشكل نرى أنه، في الزمن الذي يستغرقه مركز كتلة الكرة للتحرك أفقيًّا لمسافة ، إذا كانت الكرة قد تحرَّكَتْ رأسيًّا لأسفل أقل من مسافة ، فإن الحافة اليُسرَى للكرة تفوِّت آخِر نقطة تلامس بين الكرة والمكعب، وبالتالي لا ترتطم بالحرف. معادلات السقوط الحر لمركز الكتلة هي:

(8-28)

شكل ٨-٥: شكل كرةٍ لحظةَ تركِها حافةَ المكعب.

يمكن حلُّ أول معادلة في ؛ ومن ثَمَّ نستطيع التعويض بها في معادلة .

(8-29)

حيث استخدمنا في المعادلة الأخيرة النتيجة من الجزء (ﺟ). بما أننا حسبنا ووجدنا من شكل ٨-٥ أننا نريد لحساب مسافة السقوط، ؛ إذنْ فإن:

(8-30)

وهذه هي المسافة التي تسقطها أقصى نقطة على يسار حرف الكرة (لأن الكرة جسم مصمت) في الزمن الذي تستغرقه نفس تلك النقطة للمرور فقط بحرف المكعب. ينبغي على الكرة لترتطم بالحرف أن تسقط رأسيًّا مسافة:

(8-31)

في هذا الزمن، لا تسقط الكرة لهذه المسافة قبل أن تترك أقصى نقطة على اليسارِ الحافةَ؛ ومن ثَمَّ لا ترتطم بها.

بدلًا من ذلك، نستطيع أيضًا النظر إلى مركز الكرة كدالةٍ في الزمن بعد أن تفقد الكرة تلامُسَها مع حافة المكعب. حسبنا سرعة مركز الكتلة عند هذا الموضع في الجزء (ب)، فنسميها إذنْ .

(8-32)

حيث نعلم مرة أخرى أن . سرعتا مركز الكتلة الابتدائيتان في الاتجاهين و بمجرد أن تفقد الكرة تلامسها هما:

(8-33)

موضع مركز الكتلة كدالة في الزمن هو:

(8-34)

وبالتالي فإن مربع المسافة التي يقطعها مركز الكتلة من آخِر نقطة تلامس، كدالة في الزمن، هي:

(8-35)

بما أن لجميع ، فقد رأينا أن الكرة دائمًا تفوِّت الارتطام بالحافة.

(٨-٧) (أ) سرعة هذه النقطة هي نتيجة لمزيج من الحركتين الدورانية والانتقالية. الحركة الانتقالية نتيجة حركة مركز الكتلة (CM) كردِّ فعلٍ لكمية التحرُّك المنتقلة من الدفعة وحقيقة أن القضيب جسم جاسئ. ومن ثم فإن السرعة الانتقالية للنقطة هي:

(8-36)

حيث هي كتلة القضيب، وبافتراض أن الدفعة في الاتجاه . دوران حول مركز الكتلة يأتي من كمية التحرك الزاوية التي نقلتها الدفعة، ومن ثم نحسب ، السرعة الزاوية حول مركز الكتلة، على النحو التالي:

(8-37)

تكون إذنْ سرعة نتيجة الدوران في اتجاه (لأنها على الجانب العكسي من مركز الكتلة بالنسبة إلى الدفعة)؛ ومن ثَمَّ فإن:

(8-38)

إذنْ محصلة سرعة هي:

(8-39)

(ب) قيمة السحرية تجعل ؛ إذنْ فإن:

(8-40)

إذا كان ؛ إذنْ فإن:

(8-41)

لاحظ أن و قابلتان للتبادل (). إذا أُرسِلَتِ الدفعةُ عند مسافة من مركز الكتلة، فإن نقطةً ما عند مسافة من مركز الكتلة على الجانب العكسي لن ترتدَّ.

شكل ٨-٦: المسألة (٨-٨).

(ﺟ) احسب كمية التحرك الزاوي حول محور التماثُل بعد الدفعة. استخدم نظرية المحور المتوازي لحساب عزم القصور الدوراني حول محور التماثل.

(8-42)

تُستنتَج سرعة مركز الكتلة من حقيقة أنها تنفذ حركة دورانية بحتة حول محور التماثل الثابت.

(8-43)

نحصل على كمية التحرُّك الخطي لمركز الكتلة من مزج الدفعة والدفعة من محور التماثل. نعلم أنهما في اتجاهين متعاكسين، وإلا فإن المضرب سوف يطير في اتجاه .

(8-44)

لكيلا تكون هناك دفعة عند محور التماثل نحتاج إلى:

(8-45)

(٨-٨) (أ) التصادم غير مرنٍ؛ ومن ثَمَّ فإن الطاقة الميكانيكية غير محفوظة. يؤثِّر المفصل بقوى خارجية على القضيب، وبالتالي فإن كمية التحرُّك الخطي للقضيب والصلصال غير محفوظة في التصادم هي أيضًا. كمية التحرُّك الزاوي للقضيب والصلصال حول محورٍ يمرُّ خلال المفصل وعمودي على المستوى تكون محفوظة لأن المفصل لا يمكنه التأثير بأي عزم حول ذلك المحور؛ إذنْ نحسب السرعة الزاوية بعد التصادم مباشَرةً على النحو التالي:

(8-46)

بعد التصادم، تكون الطاقة الميكانيكية الدورانية محفوظة لأن المفصل مرة أخرى لا يسبب أي عزم خارجي لأي محور يمر خلاله، وتكون الجاذبية المؤثرة على مركز كتلة النظام المتكون من القضيب والصلصال محفوظةً؛ يمكننا إذنْ إيجاد أقصى زاوية للأرجحة من حالة الاتزان على النحو التالي:

(8-47)

ملحوظة: ماذا يحدث لو أن الحد بين القوسين المربعين أقل من −١؟ في هذه الحالة فإن القضيب سيدور في دائرة تامة إلى الأبد (إذا لم يكن السقف موجودًا).

(ب) لا تقوم الجاذبية بأي دور في التصادم لأنها قوة محددة (ومن ثَمَّ لا يمكنها إحداث أي دفعة)، وحتى لو أمكن أن تسبِّبَ دفعة فإن تلك الدفعة ستكون عمودية على اتجاه التغيُّر في كمية التحرك في هذه المسألة. نعتبر أن نظامنا متكوِّن من القضيب والصلصال. تكون كمية التحرك للنظام قبل التصادم مباشَرةً هي:

(8-48)

وبعد التصادم مباشَرةً:

(8-49)

الدفعة الخارجية الوحيدة على النظام هي المؤثِّرة بواسطة المفصل. لتكن هذه الدفعة ؛ إذنْ فإن:

(8-50)

الدفعة التي يعطيها المفصل إلى القضيب هي:

(8-51)

زائر

(١) حلول مسائل الحركة الدورانية