الفصل التاسع
ملحوظات على الجاذبية
(١) حلول مسائل ملحوظات على الجاذبية
(٩-١) طاقة الحركة لمدار دائري هي نصف طاقة الجهد التثاقلي للمدار؛ إذنْ فإن:
(9-1)
يمكن الحصول على الزمن الدوري لذلك المدار بسهولة من قانون كبلر الثالث.
(9-2)
(٩-٢) (أ) الرسم التوضيحي في هذه الحالة كما يلي: يتحرك مدار هوهمان مبتعدًا عن الشمس أكثر من الكرة الأرضية، لذلك نحتاج إلى زيادة الطاقة الكلية لحضيض المدار الانتقالي. وهذا يعني زيادة طاقة الحركة؛ ومن ثَمَّ نطلق الصواريخ بحيث تتسارع في اتجاه الكرة الأرضية في مدارها.
شكل ٩-١: مخطط المدار للمسألة (٩-٢) (أ).
(ب) لتعيين مقدار السرعة اللازم للإطلاق من مدارٍ قريبٍ من الأرض، يمكننا استخدام
مبدأ حفظ الطاقة. وبما أن مدار الكرة الأرضية دائري تقريبًا، فيمكننا استخدام التقريب
(كتلة سفينة الفضاء ، ومقدار سرعة الكرة الأرضية في مدارها ، ونصف قطر مدار الكرة الأرضية من الشمس هو ).
(9-3)
بالطبع فإن السفينة تدور في مدار؛ ومن ثَمَّ فإن مقدارَ السرعةِ الحقيقيَّ أعلى من
هذا، ولكن التصحيح حوالي ٢٥٪. دعنا نستخدم بالأعلى.
بالنسبة إلى المدار الإهليجي (المدار الانتقالي) تظل الطاقة الميكانيكية محفوظة مثلها
مثل كمية التحرك الزاوي. نستخدم الآن كمقدار سرعة المجس بالنسبة إلى الشمس عند نقطة الحضيض (الإطلاق من الأرض).
(9-4)
بدمج النتيجتين من كمية التحرك الزاوي وحفظ الطاقة، نرى أن:
(9-5)
إذنْ لا بد أن يكون مقدار سرعة الإطلاق:
(9-6)
شكل ٩-٢: مواضع المريخ بالنسبة لمدار هوهمان الانتقالي.
لإيجاد الزمن اللازم يمكننا الاستفادة من استنتاجنا لقانون كبلر الثالث للمدارات
الإهليجية كالآتي:
(9-7)
(ﺟ) بما أن كوكب المريخ ينبغي أن يكون عند نقطة الأوج وقت وصول سفينة الفضاء إليه؛
إذنْ نحتاج أن يكون المريخ عند زاوية عند إطلاق المجس كما هو مبيَّن في الشكل أدناه.
الزاوية التي نرغب في حسابها هي الفرق بين موضع الإطلاق للمريخ وموضعه عند نقطة الأوج للمدار الانتقالي.
(9-8)
