كثير من الأشياء في العالم لها جانب رياضي، ووظيفة الرياضيات هي محاولة فَهْم هذا
الجانب
من طبيعة الأشياء. والمنطق الرياضي غالبًا ما يفسر الأشياء التي لولاه لَظلَّت غامضةً
أو
محيرة، وأحيانًا يكون هذا المنطق من السهل فهمه عندما يُقدَّم إليك.
يتكون هذا الفصل التمهيدي من مجموعة من الأمثلة بهدف إثبات ذلك. فإذا شعرتم أنكم أكثر
فَهمًا بعد تصفُّحها فأدعوكم إلى متابعة القراءة. إن هذا الكتاب لا يسعى إلى التعمق في
الرياضيات، ولكني آمل من خلاله أن أنقل إليكم نكهة الرياضيات الحديثة. كما يمكن استخدامه
لتوضيح بعض جوانب الجبر والهندسة المدرسية، وحتى الحساب الذي ربما كنتَ دائم القلق من
صعوبته إلى حدٍّ ما. على سبيل المثال، من الممكن جدًّا أن يفهم أيُّ شخص نظريةَ فيثاغورث
كما يفهمها عالم الرياضيات المتخصص؛ فمستوى الصعوبة التي يصادفها تشبه صعوبة تجميع قطع
مبعثرة لتشكيل صورة مكونة من ست قطع. وليس هناك سبب يدعو إلى أن تظل مثل هذه الجوانب
المهمة
الشائقة من الرياضيات غامضةً؛ فمعظم المفكرين من الناس يُمكِنهم فهمُ هذه الأشياء بقليلٍ
من
الصبر فهمًا تامًّا. بل إن بعض الجوانب العميقة لرياضيات القرن العشرين يمكن فهمها، وآمُل
أن أعطيَ القارئ الإشباع الناجم عن رؤية بعض أجزاء من عالم الرياضيات لم تُكتشف حتى للنوابغ
في الماضي.
في المدرسة وكذلك في الجامعة تكون غاية الطلاب هي الحصول على درجات مُرْضية في
الامتحانات، ويساعدهم المدرسون في تحقيق هذه الغاية؛ ومن ثم لا يوجد لديهم وقت للإعجاب
بالمشهد الرياضي. إلا أن هذه ليست حالتنا. فالقارئ هنا لا يُرضي أحدًا سوى نفسه. ولسنا
في
عجَلةٍ مِن أمرنا، كما أننا لا نخشى حُكمًا صادرًا على نتائجنا. تمهل في التفكير فيما
يُطرح
عليك. الورقة والقلم قد يساعدان أحيانًا، فلا تمنع نفسك من الرسم والتخطيط. وعلى الرغم
من
أن هذه الخطوط قد تبدو طفوليةً وغيرَ مُجدية، فإنها تساعد حقًّا في عملية التفكير ولا
ينبغي
أبدًا التقليلُ من أهميتها.
(١) كم عدد المباريات التي تُلعب في بطولة للتنس؟
هذا سؤال عملي من المؤكد أن منظمي البطولة يحتاجون إلى معرفة جوابه. لنأخذ البطولة
الكبرى (جراند سلام) مثالًا، حيث يوجد مشتركًا. ويتكون كل دور من تجميع أزواج من اللاعبين المتبقين من
الدور السابق له. ثم يلعب كلُّ لاعبٍ مع منافسه بعد قرعة. ويخرج الخاسرون من البطولة
ويصعد الفائزون إلى الدور التالي حتى يُتوَّج البطل.
هذه المسألة ليست صعبةً في حلها. من الواضح أن هناك في الدَّور الأول ويصعد لاعبًا للتنافس في الدور الثاني. ومن ثم يتطلب الدور الذي يليه مباراة، وهكذا. فالعدد الكلي للمباريات في هذه البطولة يصبح:
المشكلة قد حُلت، ولكن يبدو أن هناك بذورًا لشيءٍ مهم في الإجابة
نفسها؛ ، وهو عدد يقل بمقدار واحد عن العدد الإجمالي للاعبين. فماذا يحدث
إذن؟
يجب ملاحظة أن عدد المشتركين () يثير الفضول في حد ذاته. فالمنظمون اختاروا بفطنة عددًا هو في
الحقيقة قوة للعدد ؛ إذ إن أي . وذلك يؤدي إلى التأكد من صعود عدد زوجي من اللاعبين عند نهاية كل
دور، بحيث يَسهُل تقسيمُهم في الدور الذي يليه إلى أزواج (إلا في الدور النهائي، حيث
يبقى لاعب واحد لم يُهزم). فالشخص الذي ينعم بمعرفة ما يُسمى بالمتسلسلة الهندسية
يُمكِنه الآن فهمُ المقصود بكل ذلك، وأننا فقط نختبر صحة: ، وهي مجرد حالة خاصة من صيغة مجموعات القوى للعدد ، أنه لأي عدد صحيح ،
أسارع بالتأكيد على أن هذه ملاحظة فنية بعيدة عن الموضوع. أي موضوع؟
حتى ترى ما أحاول توضيحه دعنا نُغير المثال قليلًا. لنفترض أننا سمحنا باشتراك لاعب بدلًا من في هذه البطولة. هذا قد يحدث في بطولة للهواة حيث نسمح لكل من يرغب
في اللعب بدخول المسابقة. واضح أن هناك مباراة في الدور الأول و مباراة في الثاني؛ لكن بعد ذلك أصبح لدينا عدد فردي من اللاعبين (). للتعامل مع هذا الوضع، علينا أن نختار أحد اللاعبين عشوائيًّا
ليصعد مباشرة إلى الدور التالي بدون أن يلعب. ومن ثم يكون هناك لاعبًا بعد الدور الثالث ( لاعبًا فائزًا من الدور الثالث مع لاعب صَعِد مباشرة دون أن يلعب).
وبالتفكير قليلًا نجد أن العدد الإجمالي للاعبين عند بداية كل دور يكون طبقًا للتسلسل
، ، ، ، ، ، ، ويكون إجمالي المباريات في هذه البطولة هو:
مرة أخرى حصلنا على الإجابة بالرغم من الوصول إلى الجواب الأخير
بطريقة صعبة قليلًا. فإذا كررنا الحسابات لأعداد مختلفة من المشتركين فإنك ستجد أنه إذا
بدأت بعدد من اللاعبين، فإن عدد المباريات سيكون دائمًا . أعتقد أنه يجب أن يكون هناك سبب لذلك، أو برهان إذا شئت. هناك برهان
يعتمد على القسمة على ثم تَكرار الجمع عددًا معينًا من المرات، ويبدو أنه ممتلئ بالصعوبات.
فأنت مُعرَّض للوصول إلى أعداد فردية من اللاعبين المتبقين من حين لآخر بشكل غير منتظم،
كما حدث معنا، ويبدو أنه من الصعب وصف العملية كلها بشكل عام بطريقة دقيقة للوصول إلى
النتيجة المطلوبة مع أنها أفكار بسيطة.
هذا النوع من الأشياء يحدث كثيرًا لعلماء الرياضيات. فهم يشعرون بالثقة في افتراض
معين، ويبدو للوهلة الأولى أن هناك طريقةً مباشرة لإثباته، لكنهم يصادفون صعوبات في
إتمام برهانهم. خط معالجة المشكلة يضعك أمام كثير من المساومات ويجعلك مجبرًا على أن
تتعامل مع جوانبَ أخرى لم تكن مهتمًّا بها من قبل. يحدث كثيرًا كما في حالتنا تلك أننا
لا نستطيع أن نرى الأشياء المُهمَّة لتركيزنا على التفاصيل الصغيرة. لذلك فالمطلوب
العودة إلى الخلف لنلاحظ ما يحدث. الملاحظة الأساسية هي أن عدد المباريات هو بالضبط عدد
الخاسرين: فكل مباراة يخرج منها لاعب خاسر وكل لاعب فيما عدا اللاعب الفائز بالبطولة،
سوف يخسر مباراة واحدة. ومن ثم يجب أن يكون هناك دائمًا عدد من المباريات يقل واحدًا
عن
عدد اللاعبين.
هذا برهان رائع لا تشوبه شائبة؛ فهو يمسُّ لُب المشكلة مباشرة ويسمح لنا أن نفهم ما
يحدث بتقديم سبب واضح لا شبهة فيه عن سبب هذه النتيجة وكونها دائمًا بهذا الشكل. على
الرغم من بساطة وقصر هذا الاستنتاج فليس من السهل بأي حال من الأحوال الوصولُ إليه؛
فلذلك لا تخجل إذا لم تعرفه وحدك. أمَّا إذا كنت قد استطعت إدراكه وحدك، فلك الحق في
أن
تُهنِّئ نفسك.
شكل ١-١
هذا المبدأ (تناظر واحد لواحد) بين مجموعةٍ ما لدينا ومجموعةٍ أخرى أسهل نسبيًّا
في
العد (انظر شكل ١-١) يظهر دائمًا في نظرية العد والاحتمالات. رغم أن
هذه الفكرة تبدو بسيطةً، فهي حقًّا فكرة مُهمَّة للغاية. ومن حقك أن ترى، على الأقل إذا
وجدت الحل سريعًا جدًّا، أنني أعطي هذه الفكرة أكثرَ من حقها؛ نظرًا لأن الفكرة واضحة
بشدة. على أية حال، أنا أعرف أن أذكياء الناس كثيرًا ما يُحدِّقون في مسألة كتلك التي
في حالتنا لساعات دون أن يكتشفوا التناظر الأساسي إطلاقًا. ومن المتوقع أن يواجه علماء
الرياضيات صعوباتٍ أقل، لكن ذلك أساسًا لأنهم تعلموا هذه الحيل. إنها حقًّا غير واضحة،
وإنما هي فقط بسيطة، ومن ثَمَّ فهي سهلةُ الفَهْم فعلًا بمجرد أن يشرحها لك
أحدهم.
•••
فيما يلي مسألة مشابهة تتعلق بتقسيم لوح من الشيكولاتة على شكل مستطيل.
(٢) ما أقلُّ عدد من مرات الكسر مطلوب لتقسيم لوح من الشيكولاتة إلى القطع المكونة
له؟
لنفترض أن لدينا لوحًا من الشيكولاتة به قطعة أي قطعة. جواب السؤال سيكون: . لماذا؟ لأنه في كل مرة تكسر قطعة من الشيكولاتة فإن العدد الكلي
للقطع يزيد واحدًا. وبما أنك بدأت بقطعة واحدة، فإنك تحتاج إلى كسر اللوح مرة حتى تحصل على العشرين قطعة من الشيكولاتة.
دائمًا هناك الكثير لنتعلمه من أي مسألة بعد حلها. تذكر أنك لا تحاول الحصول على
درجات في امتحان ما ولكنك تحاول تعلُّم شيء عن الرياضيات. هناك الكثير من الأشياء يمكنك
استنتاجها إذا ما أخذت لحظات في التفكير فيما شاهدته.
أولًا: حقيقة أن لوح الشيكولاتة كان مستطيلًا لم تُسهِم في الحل. أي إنها يُمكن أن
تكون كتلةً واحدة من أي شكل. ثانيًا: حصلنا على الحل للوح مكون من قطعة مُربعة، ولكن من الواضح أن المنطق نفسه سيكون صحيحًا لأي عدد من
المربعات؛ فبشكل عام إذا كان هناك من المربعات، فإن عدد مرات الكسر المطلوبة هو . هذا هو التفكير الرياضي، إيجاد نتائج ومبادئ عامة أكثر من حل مسألة
ذات قيمة خاصة مثل في هذه الحالة. سوف تصادف فكرة الانتقال من الخاص إلى العام في
مناسبات عديدة خلال هذا الكتاب.
وأخيرًا، كان المطلوب هو إيجاد أقل عدد من مرات الكسر، لكن برهاننا يوضح أنه أكبر
عدد
أيضًا. على أية حال دعنا نرَ ذلك، من مرات الكسر يُنتج عدد من قطع الشيكولاتة. النتيجة لا تعتمد على طريقة كسر الشيكولاتة. ولا
توجد طريقة خاصة متميزة لفعل ذلك. قد يكون هذا مخيبًا للآمال، لكن يجب معرفته جيدًا.
هذه واحدة من استخدامات الرياضيات — فهي تخبرك دائمًا عندما تهدر وقتك محاولًا أن تفعل
المستحيل.
•••
مسألتنا الثالثة تتعلق بوجه الساعة، وسوف نحلها بثلاث طرق.
(٣) متى ينطبق عقربا الساعة؟
لنكن أكثر تحديدًا. متى ينطبق عقرب الدقائق بالضبط على عقرب الساعات، بعد الساعة
ظهرًا؟ (انظر شكل ١-٢(أ)). يمكننا أن نرى فورًا
أن ذلك يحدث بعد قليل من الوقت ، ولكن متى بالضبط؟
شكل ١-٢
فيما يلي حل سريع. بعد مرور الساعة ظهرًا وحتى منتصف الليل، توجد فرصة لتطابق عقربَي الساعة (نعم وليس ). وكلها على فترات زمنية متساوية، ولذلك فإن الزمن بين تطابقَين
متتاليَين يجب أن يكون من الساعات وهو بالتقريب إلى أقرب ثانية: ساعة و دقائق و ثانية.
هذا حل بسيط يستغل التماثل الكامن في السؤال: الأزواج المتتالية من التطابق متساوية
البعد. على أية حال، هذا الحل يترك لدينا شعورًا بعدم الارتياح بأننا قد خُدعنا
رياضيًّا. إن عد التطابقات يتطلب بعض التفكير، والطريقة التي تركنا بها إحدى نقاط
النهاية (الظهر) وأخذنا النقطة الأخرى (منتصف الليل) قد تبدو مشكوكًا بها. قد يكون من
الأوضح أن نبدأ من نقطة أخرى — مثلًا الساعة الواحدة — ونتأكد من حدوث تطابقًا خلال فترة اﻟ ساعة التالية. تتجنب هذه الطريقة أية صعوبات تظهر من نقاط النهاية
للفترة الزمنية المستخدمة.
على أية حال، هذه مسألة جيدة، ولهذا دعنا نحلها مرة أخرى. هذه المرة سننظر إليها
بطريقة مختلفة. دعنا نتخيل أن رأس عقرب الدقائق ورأس عقرب الساعات على الترتيب يمثلان
اثنين من هُواة العَدْو يَجريان حول مسار دائري. عقرب الدقائق يكمل بالضبط دورة واحدة
في الساعة، بينما عقرب الساعات يزحف ببطء شديد إلى من الدورة في الساعة. السؤال الآن: متى يتراكب عقرب الدقائق أولًا مع
عقرب الساعات؟
سوف نترجم المسألة إلى معادلة سهلة جدًّا كما يلي. بعد من الساعات لفَّ عقرب الدقائق عدد من الدورات، بينما عقرب الساعات لف فقط عدد من الدورات؛ فمثلًا إذا كانت فإن عقرب الدقائق لف بالضبط أربع دورات بينما عقرب الساعات وصل إلى الدورة فحسب؛ أي إنه في الساعة الرابعة. المسألة الآن هي إيجاد قيمة التي عندها يتراكب عقرب الدقائق لأول مرة مع عقرب الساعات. سيكون هذا
هو الوقت الذي يقطع فيه عقرب الدقائق لفَّة كاملة
أكثر مما قطعه عقرب الساعات. وينتج عن ذلك تلك المعادلة:
أي إن:
إذا طرحنا من كلا الطرفين فسنحصل على أو بعبارةٍ أخرى، فسوف نحصل على الحل الأصلي: ساعة.
هذه الطريقة يمكن استخدامها لحل أي مسألة من هذا النوع. فمثلًا ساعات العرض التي
لا
تعمل لدى بائعي الحلي دائمًا ثابتة على زمن دقيقة بعد الثامنة. حيث يكون عقربا الساعات والدقائق على مسافات
متساوية من الرقم على وجه الساعة (انظر شكل ١-٢(ب)). اللحظة الأكثر
دقة التي يحدث فيها التماثل هي: دقيقة بعد الثامنة. والمعادلة التي نحتاجها معقدة قليلًا هذه المرة.
لكل دقيقة تمر، يتحرك عقرب الدقائق بمقدار بينما عقرب الساعات يمر عبر من هذه الزاوية: درجة أي نصف درجة. ومن ثم بعد من الدقائق بعد الثامنة فإن الزاوية بين عقرب الدقائق والخط المار من
مركز وجه الساعة إلى الرقم نحصل عليها من خلال من الدرجات. والزاوية المناظرة الخاصة بعقرب الساعات تبدأ ﺑ وتزيد بمقدار درجة في كل دقيقة. ونحن نرغب في إيجاد قيمة عندما تتساوى الزاويتان؛ أي إن المطلوب هو حل المعادلة:
وهذا يؤدي إلى:
ويعطي قيمة دقيقة كما ذُكر سابقًا. فالنتيجة هي: دقيقة و ثانية بعد الساعة الثامنة مقربة لأقرب ثانية.
الحل النهائي لهذه المسألة هو أقل براعة وأكثر تعقيدًا من الناحية الرياضية. ومع
ذلك
فهو يستخدم الاتجاه الذي يتبناه معظم البشر بشكل طبيعي لهذه المسألة وهي تقنية أخيل
والسُّلَحفاة. لأننا نستطيع رؤية الحل التقريبي على الفور فالطريقة العملية التي لا
تقاوم أن نتابع التقريبات المتتالية كما يلي. يحدث التطابق الأول بعد الساعة الواحدة
فنتخيل أن عقربَي الساعة يقفان عند هذا الوقت. بعد خمس دقائق أخيل (عقرب الدقائق) قد
وصل إلى الرقم في الساعة. بينما السلحفاة (عقرب الساعات) في نفس الوقت تحرك قليلًا،
وطلبًا للدقة حيث إن من الساعة مرت، والسلحفاة تتحرك بسرعة من محيط الدائرة كل ساعة، تكون السلحفاة قد قطعت مسافة مقدارها () من الساعة، ويسمح هذا الوقت لأخيل أن يصل إلى مكان السلحفاة التي
تكون قد قطعت مسافة مقدارها () من الساعة، وهكذا.
لا يبدو هذا حلًّا على الإطلاق، فقط مجرد سلسلة متعاقبة من التقريبات الأحسن ثم
الأحسن. في الواقع، ظن الإغريق في العصور القديمة أن هذه الطريقة تؤدي إلى صعوبات لا
يمكن تخطيها لأنها تنتج قائمة لا تنتهي من المهام، على أخيل أن يؤديَها قبل أن يلحق
بالسلحفاة. قد يستغرق ذلك وقتًا لا نهائيًّا؛ ومن ثم فإن المسكين أخيل لن يمسك
بالسلحفاة أبدًا. وهذه واحدة من مفارقات زينون.
لا داعي للانزعاج. فحقيقة أننا تخيلنا فترة زمنية محدودة كمجموعة لا نهائية من فترات
صغيرة لن تسبب أي صعوبة لأخيل. الفرض الخاطئ الذي أدَّى إلى تلك المفارقة هو أننا عندما
نجمع متتابعة لا نهائية من الأعداد الموجبة فإن المجموع يجب أن يتجاوز كل الحدود. قد
يبدو هذا معقولًا، لكننا أثبتنا أن ذلك غير صحيح. وبما أننا حللنا بالفعل هذه المسألة
—
مرتين في الحقيقة — فإننا نستطيع أن نستنتج ما يلي:
ماذا يعني ذلك؟ هذا يعني أن هو أقل عدد لا يمكن تجاوزه بإضافة أي عدد محدود من حدود (أعداد) هذه
المتتابعة اللانهائية. بعبارة أخرى، فإن المجموع الذي نحصل عليه من هذه المتتالية بعد
إضافة المزيد والمزيد من الحدود يزداد أكثر وأكثر، ولكنه لا يتجاوز أبدًا قيمة النهاية
.
وهذا يعتبر مثالًا آخر على المتسلسلات الهندسية. وقد صادفنا واحدة منها في سؤالنا
الأول عن بطولة التنس. (حيث كانت تحتوي على قوى للعدد وعدد محدود من الأرقام.) وسوف نتحدث أكثر عن هذا النوع المهم من
المتسلسلات في فصلٍ لاحق، ولكن لإشباع فضول القارئ عن هذا الموضوع بشكل مؤقت سنقول
بطريقة عابرة إن المتسلسلة:
حيث عدد موجب أقل من ، لها قيمة نهائية تساوي . في مثالنا كانت ، والمثال الأبسط عندما نعتبر ، فإن صيغة المجموع (غير المثبتة) سوف تعطي:
لقد تبين لنا أن مسألة الساعة مثمرة للغاية. أما مسألتنا الرابعة فهي
أسهل.
(٤) هل تخفيض الذي يتبعه زيادة ليس له تأثير إجمالًا؟
عامل يتقاضى أجره بالساعة، تم تخفيض هذا الأجر بمقدار بينما زادت ساعات عمله بنسبة . رئيسه في العمل أكَّد له أن هذا لمصلحته؛ لأن الرئيس قد أُجبر على
تخفيض الأجر حتى يظلَّ قادرًا على المنافسة، وزاد عدد ساعات عمل العامل كنوع من
الترضية:
«صحيح أنك الآن تحصل على أقل في الساعة، لكن لديك زيادة في عدد الساعات؛ ومن ثم فسيصبح أجرك الأسبوعي كما
هو.»
هل هذا صحيح؟ لنفترض أن أجر العامل كان جنيه إسترليني في الأسبوع في الأساس. وخُفِّض أجره عن الساعة بنسبة فمعنى ذلك أن أجره الأسبوعي قد أصبح جنيهًا إسترلينيًّا. ثم زاد عدد الساعات بنسبة . والآن من جنيهًا إسترلينيًّا تساوي جنيهات إسترلينية، فهذا سيزيد أجره الأسبوعي جنيهات أسبوعيًّا، مما سيجعل أجره الأسبوعي جنيهًا إسترلينيًّا — وليس جنيه إسترليني.
هل يساعد في ذلك إذا حسبنا بطريقة معكوسة؟ نتخيل أننا زدنا عدد الساعات أولًا بنسبة
: ما يعني أن مرتبه يرتفع إلى جنيهات إسترلينية. ثم خفضنا أجر الساعة بنسبة ، فإن من هي أي إن أجره انخفض إلى جنيهًا إسترلينيًّا. ومن ثَمَّ، فإننا عندما نحسب بأي طريقة، فسنجد
أن العامل سوف يخسر. وهذا يبدو ظالمًا للغاية — والرياضيات تبدو متآمرةً مع رئيس العمل
لاستغلال العامل. على أية حال، ما الخطأ في حُجة رئيس العمل؟
حُجة رئيس العمل مَعيبة، والعيب يكمن في أنه لم يحدد عندما تحدث بشكل فضفاض عن ولم يقل من أي قيمة. فإذا أنت خفضت بنسبة ثم زدت ما معك الآن بنفس النسبة، فإنك لن تعود أبدًا إلى ما بدأت به؛
ومهما كان الترتيب الذي تؤدي به العملية، فإن النتيجة ستكون دائمًا الانخفاض بنسبة إجمالًا.
يبدو أننا بصدد افتقار شديد للتماثل هنا. دعنا ندرس مسألة أخرى مشابهة لنرى هل سنتمكن
من استعادة الموازنة. لنفترض أن العامل قد حصل على زيادة في أجر الساعة بنسبة وانخفضت ساعات عمله بنسبة . ربما كان هذا هو الوجه الآخر للعملة — فمرتبه الأسبوعي سيرتفع الآن
إلى جنيه إسترليني؟ أخشى أن يكون هذا ما نتمناه أن يحدث بالرغم من أن ذلك
غير ممكن. ولكن إذا بحثت الأمر فسوف ينتهي عند جنيهًا إسترلينيًّا مرة أخرى، بالرغم من أن العامل تبعًا لهذه
القاعدة سيكون لديه عدد ساعات عمل أقل. (الحسابات هي نفسها كما سبق وتستطيع أن تجرب ذلك
بنفسك.)
مرة أخرى، ليس من الصعب اكتشاف اللغز. لتكن هي الأجر الأسبوعي للعامل. في كلتا الحالتين يُتخذ إجراءان: أحدهما
يؤثر بزيادة الأجر بنسبة ، أي حاصل ضرب في ، والآخر يخفض الأجر بنفس النسبة ونحصل عليه بضرب الأجر في . الترتيب الذي تتم به عمليات الضرب هذه غير مهم على الإطلاق (ولم يكن
أبدًا مهمًّا):
ومن ثم فإن هذا العامل المسكين دائمًا ما ينتهي به الأمر بفقد من أجره نتيجةً لهذا الزوج من التغييرات. نلاحظ أننا عمَّمنا المسألة
مرة أخرى، ولأسباب وجيهة، فإن دراسة الموقف العام يجعل الأمر أكثر وضوحًا؛ وذلك لأننا
أصبحنا أقل انشغالًا بالجوانب الخاصة للحالة (وهي القيمة الفعلية للأجر ) حيث إنها لا تؤثر بصورة كبيرة على المشكلة القائمة.
المسائل والبراهين التي تحتوي على نسب مئوية تسبب الكثير من الالتباس، ولا يمكن
تجاهلها لأنها تتغلغل في جميع تعاملاتنا المالية وأشياء أخرى كثيرة. لكن ما النسبة
المئوية ولماذا تظهر باستمرار؟
الجزء الأول من السؤال إجابته سهلة: من أي مقدار هو ببساطة جزء قدره من المقدار. لماذا نضع كل هذا التركيز على هذا الكسر الخاص؟
الإجابة عملية تمامًا ولهذا السبب فهي لا تحظى بأهمية كبيرة لدى علماء الرياضيات
(بالرغم من أن المسائل التي تحتوي على فائدة مركبة أصبح لها مضمون رياضي، وتؤدي إلى
أسئلة ليست مجرد أسئلة حسابية بسيطة، وسوف نتعرف على الكثير منها لاحقًا.)
ما نستخدمه هو قوى العدد لأنه أساس النظام العددي الذي اخترنا التعامل به (بلا شك، بسبب عدد
أصابعنا). ربما تعلم أن أنظمة الكمبيوتر غالبًا ما تستخدم الأساس أو النظام الثنائي؛ ولهذا فإن الرمزين ، هما فقط المطلوبان ليناظرا حالتي الآلة من حيث التشغيل أو الإيقاف.
وكثيرًا ما قيل إن العمليات الحسابية ستصير أسهل، ومفهومة أكثر، إذا ما استخدمنا النظام
الاثني عشري، الذي يكون الأساس فيه هو العدد ، لأن العدد له عوامل أكثر من العدد . ويجبرنا ذلك على تقديم رمزين جديدين للعددين و لكن الأساس سوف يستخدم تمامًا مثل الأساس . فمثلًا العدد بالنظام الاثني عشري سيصبح ، حيث إن معنى في النظام الاثني عشري هو . وأيُّ عدد ينتهي بالرقم في الأساس هو مضاعف للعدد (أي يقبل القسمة على ) لأن عامل من عوامل . (ويناظر هذا الموقف بالضبط ما يحدث في النظام العشري، حيث إن كل عدد
ينتهي بالرقم في النظام العشري هو مضاعف للعدد .) وليس من الواضح أن مضاعف للعدد في النظام العشري (رغم أن من السهل التحقق من ذلك بجمع أرقامه
والتأكد من كون المجموع مضاعفًا للعدد ، وهو ما تحقق في حالتنا هذه؛ حيث إن مجموع أرقامه ).
مثل لغة الإسبرانتو (وهي لغة اصطناعية اختُرعت عام ١٨٧٨ كمشروع لغة اتصال دولية
سهلة)، سيكون للنظام الاثني عشري دون شك مزايا كثيرة إذا استطاع العالم أن يواكب
التغيير. ورغم كونه نظامًا منطقيًّا، فإنه يبدو أنه سيظل فكرة سديدة لا يتبناها
أحد.
لماذا أعطينا اسمًا خاصًّا للكسر بدلًا من أو ؟ الأعداد الصغيرة أسهل في التعامل معها من الأعداد الكبيرة، وهذا هو
السبب لرفض العدد . والميزة العملية الأساسية للعدد على العدد — كقاعدة عملية — هي أن الكسر من أي كمية هو أصغر جزء له معنًى، فمثلًا خَفْض الأجور بنسبة كبير بما فيه الكفاية ليُشعرنا بالضيق. ومن ثم من الطبيعي أن نعطيَ
اسمًا خاصًّا (هو النسبة المئوية) للكسر . وتأثير ذلك هو أنه في معظم المناقشات المتعلقة بالأمور المالية
خصوصًا ستكون الأعداد المُستخدَمة ذات حجمٍ معقول يمكن عدُّها على أصابع اليدين
والقدمين.
وتعتبر تلك النقطة العملية، الحجم الفعلي للوحدات، عاملًا غالبًا ما يُغفَل عنه عندما
تناقش مزايا نظام من الوحدات على الآخر. على سبيل المثال، أنا متأكد أن كل واحد تقريبًا
يفترض أن الأشخاص ذوي الميول العلمية المَهَرة في التعامل مع الأعداد سيُفضِّلون بشكل
تلقائي النظامَ المتريَّ للقياس على النظام الإنجليزي. إلا أن الحقيقة غير ذلك. فكلا
النظامين له مزايا وعيوب نسبية. النظام المتري له وحدات تعتمد على قوى العدد ، مما يجعله متوافقًا مع العمليات الحسابية ذات الأساس وهذا يمنحه سهولة في الاستخدام. هناك توافق آخر في وحدة الحجم
(اللتر) جرى اختياره حتى يكون لتر واحد من الماء النقي يزن كيلوجرامًا واحدًا. هذه
أيضًا فائدة عملية. إلا أن حجم المتر اعتباطي تمامًا، وربما يمكننا القول إنه سخيف
تمامًا، فهو يساوي من المسافة من خط الاستواء إلى القطب الشمالي. وهذا يجعله وحدة
طبيعية بطريقةٍ ما لكنها ليست طريقة جيدة للاستخدام الواقعي.
من ناحيةٍ أخرى فإن الأحجام الفعلية للوحدات الإنجليزية للبوصة والقدم عملية جدًّا
لأنها تتماشى مع المقاييس البشرية للأشياء بعكس السنتيمتر (صغير جدًّا) والمتر (كبير
نوعًا ما). تتراوح أطوال البشر ما بين و أقدام وأيديهم ما بين إلى بوصات. ومن ثم فهم يُحيطون أنفسهم بأشياءَ من نفس المقاييس، التي
تقاس بارتياح بوحدات من القدم والبوصة. سبب آخر لتفضيل الوحدات القديمة هو أن كلمات
مثل: «قدم» و«بوصة» أقصر وأسهل على اللسان من سنتيمتر وما شابه ذلك. بالإضافة إلى ذلك،
فإن كلمتَي ميل وقدم قد استُخدمتا في تعبيرات اصطلاحية معروفة في اللغة الإنجليزية منذ
وقت طويل، وهو ما لم يحدث مع المقاييس المترية، ومع أن هذه نقطة لُغوية تمامًا فإنها
ليست أقل أهمية. لو احتوى القدم على بوصات لغزا النظام الإنجليزي العالم.
بالضبط كما أنه من الممكن للناس تعلُّم لغتَين، فإنه من الممكن أن توظف بشكل جيد
نظامين للقياس. وآمُل أن يبقى كلا النظامين لفترة طويلة، وأن نتعلم أن نكون أكثر
تعايشًا معهما. لا يوجد سبب لأن نتهم أحدهما أو الآخر بالهرطقة. فكلاهما جزء من
ثقافتنا.
الكلام عن «جزء» أو «أجزاء» له معنًى فقط إذا علمنا ما الهدف من وراء النقاش. كما
رأينا في المثال، الارتباك والغموض نشآ عندما سمحنا لأنفسنا بالكلام عن كما لو كانت شيئًا معزولًا — فهي تعني من شيء ما ونحتاج أن نعرف ماهية هذا الشيء.
ثمة ادعاء شائع وهو أنه لا يمكنك الحصول على أكثر من من أي شيء؛ ومن ثم فإن بيانًا يحتوي على نسبة أكثر من هو أصلًا بدون معنى. من المؤكد أن
بيانًا مثل: «ثمن الأسهم في فابتكس قد انخفض بنسبة » ليس له معنًى. غير أن أسهم فابتكس يمكن أن يرتفع ثمنها بنسبة ، وهذا يعني ببساطة أن الزيادة في السعر تساوي مرة من ثمنها الأصلي.
حديثًا تعرَّض أحد مراسلي التليفزيون للنقد عندما قال إن نسبة البطالة في مدينة ما
قد
ازدادت من إلى بزيادة . ويبدو أن عددًا من المواطنين قاموا بالاتصال بمحطة التليفزيون
لتوضيح أن المقدار إذا زاد من وحدة إلى وحدة، فإن زيادة النسبة المئوية تكون
أي إن الزيادة تساوي ربع العدد الأصلي. في هذه الحالة يكون المقدار
المقصود هو نسبة مئوية، وهذا لا يهم، فقد زاد المقدار بنسبة وليس . إن ملاحظة المعلقين لها معنى بالتأكيد، لأن الزيادة في عدد العاطلين
تساوي من القوة العاملة بالمدينة. مرة أخرى، المسألة ببساطة لها علاقة
باتفاقنا على ما نشير إليه عندما نتكلم عن نسبة مئوية معينة.
وأعترف أن مسألة أجر العامل، على الرغم من أنها تبدو غريبة، فإنها من وجهة نظر رياضية
بحتة أقل أهمية من المسائل الأخرى التي طرحناها حتى الآن، رغم أنني رأيت طالبة فوجئت
مفاجأة مذهلة حينما توصلت إلى شيء مشابه. فقد لاحظت أنك إذا أخذت أي عدد مثل ، وضربت العدد السابق له في العدد التالي له، أي في هذه الحالة فسوف تحصل دائمًا على مربع هذا العدد ناقص واحد؛ أي إن .
لقد سألتني بحماس: «أليس هذا مذهلًا؟» وبقدر ما كنت مترددًا أن أفعل أي شيء يمكن
أن
يكبح حماس أي طالبة، فإنني أخبرتها أن هذا ليس مذهلًا كما تتصور، ويمكن شرح هذا على
الفور. فكل ما لاحظَته الطالبة هو أنه لأي عدد :
وأي شخص ما زال يتذكر جبر المدرسة الثانوية سوف يستطيع ضرب الأقواس
في الطرف الأيسر ويتحقق من تلك المعادلة الصغيرة. مرة أخرى نرى أن بعض الأشياء قد تبدو
غامضةً وصعبةَ التوضيح في حالات خاصة، ولكنها يمكن أن تصبح واضحة تمامًا عند فحص الحالة
العامة. فإذا لم تكن على دراية بقواعد الجبر المتضمنة في هذا المثال، فلا تنزعج؛ فسوف
نعود إلى هذه الأشياء في فصلٍ لاحق. فهي تستحق بالفعل بعض التبرير، وهذا يعطي لطالبتي
بعض الحق في تعجُّبها ويعطي للعامل بعض الحق في انزعاجه. فحتى الرياضيات البسيطة مثل
هذه تحمل درجةً من التعقيد.
(٥) أيهما أفضل أداء؟
حرصًا على الكفاءة والنزاهة، ينتشر وجود مؤشرات الأداء في كل مكان. ومعظمنا يخضع لها.
وثمة نموذج يظهر عادةً عند تَكرار دورات مقاييس الأداء وهو أن الأداء يتحسن — ويتحسن
أكثر مما كنا نتصور. وهذا ينطبق على كل شيء من نتائج امتحانات تلاميذ المدارس إلى
مُعدَّلات الحد من الجرائم إلى تقديرات الأبحاث الجامعية.
إن مقاييس الأداء تجعل حقًّا من يخضعون لها يركزون على تحقيق معدل أداء جيد، ولكنهم
لا يركزون على الأداء نفسه؛ فالناس يتعلمون كيف تسير اللعبة. إن مهمة قياس الأداء ليست
سهلةً كما قد تتوقع. وحتى في مجال الألعاب الرياضية تظهر الصعوبات في مواقف عادية
تمامًا. وفيما يلي نعرض مثالًا بسيطًا.
مؤشر الأداء الرئيسي للرامي في لُعبة الكريكت هو متوسط عدد الأشواط التي يخسرها لكل
ويكيت يحرزها؛ فكلما قلَّ العدد كان ذلك أفضل. نفترض في مباراة واحدة أن أحد الفريقَين
له اثنان من الرماة، «أ» و«ب»، حقَّقا الأرقام التالية:
في الجولة الأولى: أحرز «أ» ويكيت من شوطًا، بينما أحرز «ب» ويكيت من .
في الجولة الثانية: أحرز «أ» من ، وأحرز «ب» من .
في الجولة الأولى كان أداء «أ» أفضل لأن لديه متوسط شوطًا للويكيت، في حين أن متوسط «ب» كان . في الجولة الثانية مرة أخرى كانت أرقام اللاعب «أ» هي الأفضل أيضًا،
حيث كان متوسطه بينما كان متوسط «ب» . على الرغم من ذلك، إذا نظرنا الآن إلى أداء كلا اللاعبَين في
المباراة فسوف نرى أن «أ» أخذ إجمالي ويكيت من ، بمتوسط ، بينما «ب» أخذ ويكيت من ، بمتوسط . ومن ثم نجد أنفسنا أمام نتيجة غير مستساغة وهي أن «ب» كان أداؤه في
المباراة أعلى من «أ»، لكن أداء «أ»، باستخدام نفس مؤشر الأداء، أعلى من أداء «ب» في
كلتا الجولتين!
•••
مسألتنا السادسة لها طبيعة مختلفة تمامًا: فقد أوردناها للتأكيد على خاصية من خواصِّ
الأعداد التي غالبًا ما يراها الناس صادمةً أو مدهشة.
(٦) لماذا يؤدي جمع أعداد فردية متتالية دائمًا إلى مربع تام؟
جرِّب حالة — أو اثنتين — إضافية. بلا شك، قد تشعر أنك قادر على
كتابة صيغة عامة للتعبير عن هذه الفرضية: مجموع أول من الأعداد الفردية هو . أنت تحتاج لرؤية كيف تعبر عن رتبة العدد الفردي بدلالة لتفعل ذلك. فالعدد الفردي الأول والعدد الفردي الثاني والثالث وهكذا، أي إن النمط هو مضاعفة العدد ثم طرح ، بحيث تصبح رتبة العدد الفردي هي . ( هو اختصار ﻟ .) ومن ثم يمكننا كتابة الفرضية كما يلي:
(1-1)
شكل ١-٣
نحن فعلًا اختبرنا هذه الصيغة
)1-1( للقيم الأربع الأولى ﻟ ، ولكن هل نستطيع الحصول على حُجَّة مقنعة بشكل عام؟ هناك بعض منها.
سوف أعطي حُجةً ذات طابَعٍ هندسي. الفكرة أخذ شكل بسيط وحساب مساحته بطريقتين مختلفتين
يتفق كلٌّ منهما مع أحد طرفَي المعادلة. والشكل الواضح الذي نختاره هو المربع الذي طول
ضلعه حيث إن مساحته هي . وبعد ذلك نجزئ المربع إلى أشكال شرائح غير متداخلة على شكل حرف ، كما في شكل ١-٣، بحيث لا تكون الشريحة في الركن
على شكل حرف وإنما على شكل مربع . وبما أن كل شريحة تتكون من التي قبلها بإضافة مربعين، واحد عند كل
طرف، فإننا نرى أن المساحة الكلية لهذه الشرائح هي في الحقيقة كما هو متوقع.
كما ذكرت سابقًا، مثل هذه الحُجَج البسيطة يمكن استخدامُها لإثبات نتائج مُهمَّة
كثيرة، بما في ذلك النظرية الشهيرة لفيثاغورث كما سنرى في الفصل الثالث.
•••
مسألتنا التالية مشابهة للغاية، على الرغم من أن الحل الذي اخترته مختلف
تمامًا.
(٧) ما مجموع أول من أعداد العد؟
سوف نُثبِت أن الإجابة هي:
من السهل جدًّا عليك اختبار أن هذه الصيغة صحيحة للأعداد الصغيرة؛
فمثلًا كما تقترح الصيغة السابقة. البرهان المعطى هنا ناتج من إعادة ترتيب
المجموع. سوف نجمع الحد الأول مع الحد الأخير، والثاني مع الحد قبل الأخير وهكذا. فنحصل
على:
الفكرة وراء ذلك أن المجموع في كلٍّ من هذه الأقواس هو نفس العدد . كل ما علينا فعله هو ضرب هذا القوس بعدد الأزواج للحصول على
الإجابة. هذا سهل إذا كان نفسه عددًا زوجيًّا؛ حيث سيكون عدد الأزواج عندئذٍ ، ومِن ثَم نستنتج أن الإجمالي هو ، وهو نفس الصيغة المعطاة آنفًا: . فمثلًا عند فإننا نقول:
أما إذا كان عددًا فرديًّا فإنه توجد صعوبة بسيطة. طبعًا من المستحيل تقسيم عدد
فردي من الأشياء إلى أزواج، فنفس الطريقة السابقة ستترك لنا عددًا واحدًا في الوسط يجب
إضافته منفردًا. يمكن التغلب على ذلك بحيلة صغيرة. نكتب فقط صفرًا في بداية العدد. هذا
لن يغير الجواب لكنه سيعطينا عددًا زوجيًّا من الحدود نجمعها معًا مرة أخرى وتسمح لنا
بإعادة استخدام فكرتنا. مثلًا لقيمة نعتبر:
بشكل عام، للعدد الفردي، فالمعالجة تجري كما يلي. ضع قبل الجمع وكون الأزواج كما سبق. في هذه الحالة مجموع كل زوج هو وعدد الأزواج هو ؛ حيث إنه يوجد من الأعداد في المجموع الكلي لأن الصفر أضيف في البداية. ويكون المجموع هو بالضبط كما في حالة أن يكون عددًا زوجيًّا.
هذه الصيغة مُهمَّة؛ لأنه بمجرد إيجادها أصبح سهلًا إيجادُ صيغةٍ لِما يُسمى
المتسلسلة الحسابية؛ ولكن سننتظر حتى الفصل السابع قبل الكلام عن هذه النقطة مرة
أخرى.
•••
مسألتنا التالية سهلة لكن خادعة؛ ولهذا السبب فهي مُسلِّية. تخيل أن لدينا خيطًا يمتد
حول خط الاستواء (على اعتبار أنه دائرة). ومن المقرر رَفْع الخيط مسافة متر واحد فوق
سطح الأرض.
(٨) ما مقدر الزيادة التي يجب أن يزيد بها طول الخيط الذي يمتدُّ حول خط الاستواء لكي
يرتفع بمقدار متر واحد عن سطح الأرض؟
دعنا نقترح أربعة احتمالات:
(أ)
أمتار.
(ب)
كم.
(جـ)
كم.
(د)
كم.
هل قمت بالتخمين؟ الإجابة الصحيحة هي: (أ). سواء تفاجأت، أو لا، فكيف
يمكننا الوصول إلى هذه الإجابة؟ يبدو أننا بحاجة إلى معلومات أكثر، خاصَّة معرفة محيط
الكرة الأرضية من أجل حساب الإجابة. ربما نعم وربما لا. دعنا نبدأ دون خوف، وباستخدام
رمز للمجهول: ليكن هو نصف قطر الأرض، ومِن ثَمَّ يكون محيط الأرض (حيث هي النسبة التقريبية ). أي إن الطول الأصلي للخيط هو . عند رفع الخيط مترًا واحدًا أعلى سطح الأرض فإن الخيط يُغطِّي
دائرةً نصف قطرها ويصبح طوله . كل ما نريد معرفته الآن هو الفرق بين المحيطين، وعلى الأقل يمكننا
كتابة تعبير لهذا الفرق:
بضرب الأقواس (وتَذكَّر أنه لأي عدد فإن: وأنَّ ما هو إلا عدد)، سوف نحصل على:
وبالطبع أكبر قليلًا من ، مما يوضح أن أ هو الاختيار الأصح.
سواء إذا كنت قد وجدت الإجابة مدهشةً أم لا، فحقيقة أننا نستطيع إجابة السؤال من
الأساس مدهشة. فنحن لم نحتَجْ إلى معرفة نصف قطر الأرض. وهذا له نتائجُ صادمة. فحيث إن
الإجابة لم تعتمد على قيمة ، فهذا يعني أن الإجابة ستظل هي نفسها لأي كرة، سواء أكانت كرة سلة أو
حتى كوكب المُشترِي!
الحقيقة أنَّ افتراضَنا أن خط الاستواء دائرة تامة لم يكن له تأثيرٌ مُهم في نتيجتنا.
فافتراض أنه دائرة سمَحَ لنا بكتابة التعبير الدقيق للمحيط. والتغيير لشكل مختلف حتى لو كان غيرَ منتظمٍ تمامًا سوف يغير
ثابت التناسب قليلًا، لكن عددًا صغيرًا مثل الإجابة أ سيظل ساريًا. الأهمُّ من ذلك أن
عدم اعتماد الإجابة على حجم الشكل لا يزال صحيحًا — لأي شكلين متماثلين، سواء أكانا
دائرتين أم قطعَين ناقصَين أم شكلين أقل انتظامًا، فالزيادة في طول الخيط لا تعتمد على
حجم الكوكب المذكور. (جرب بنفسك المسألة بأخذ كوكب مكعب، وستكتشف أنك تحتاج إلى زيادة
طول الخيط بمقدار ثمانية أمتار.)
(٩) كيف يقتسم عدد من الرجال زجاجة من الفودكا؟
لقد أكَّد لي عددٌ من الزملاء الرُّوس أن هذه مشكلة في الواقع خطيرة جدًّا. توجد
زجاجة واحدة ليشترك فيها من الشاربين، وكلٌّ منهم ينبغي أن يقتنع أنه أخذ حصة عادلة. كيف يمكن
تحقيق هذا؟
إذا كانا شخصين اثنين، فالأمر بسيط. أحدهما يصبُّ في كأسَين كميَّتَين متساويتَين
تقريبًا من وجهة نظره من المشروب الثمين، بمعنى أن من يصب سيكون سعيدًا بالحصول على
أيهما. ويُعطَى الثاني حريةَ اختيار إحدى الكأسين، أيًّا كانت. وبهذا لا يشتكي أيٌّ
منهما.
إنها ليست عملية صعبة جدًّا مع عدد أكبر من الشاربين أن نبتكر أسلوبًا عمليًّا لأي
عدد . الأول أ يصبُّ ما يدَّعي أنه حصة عادلة. فإذا فكر أيٌّ من الآخرين
أنها حصة كبيرة، فليأخذ واحد منهم — وليكن ب — كأس أ وينقصها إلى الكمية التي يراها
مناسبة، (طبعًا بدون أن يشربها). ومن المفترض ألَّا يعترض أحد إذا اعتقدوا أن أ راضٍ
بما يبدو أنه أقل من نصيبه.
إذا اعتقد أحدهم أن ب أخذ أكثر من حقه، فعلى هذا الشخص أن يأخذ كأس ب ويصب الزيادة
التي يظنها. وتستمر العملية. ومن الأهمية بمكان ملاحظة أنه عندما تمر الكأس من يد إلى
يد، فلن يعترض أحد من الأشخاص السابقين على المستوى الحالي للكأس؛ فمثلًا أ لا يستطيع
الشكوى من أن ب حصل على زيادة لأن ب وضع كمية أقل مما حسبه أ حصة عادلة. وفي كل خطوة
يقل عدد المعارضين المحتملين، حتى نصل إلى الوضع الذي يمسك فيه أحد الأشخاص، وليكن س،
الكأس التي يعتقد أنها تمثل حصة عادلة ولا يميل أحد من الآخرين إلى معارضته.
وعندئذٍ يصبح السيد س سعيدًا وينسحب من العملية ليحتسيَ شرابه. ويكرر الباقون نفس
العملية بكاملها، ولكن بشارب أقل والباقي من الفودكا حتى يحصل كلٌّ منهم على شرابه
ويكون سعيدًا.
رغم ذلك، فإن أحدهم قد لا يكون سعيدًا تمامًا. فهذا النظام المرهق، بصرف النظر عن
أنه
يختبر صبر المشاركين، يُخفِق في ضمان ألَّا يحسد أحدُهم الآخرَ على كأسه. فصحيح أن
أحدهم لا يستطيع الادِّعاء أنه لم يحصل على حصةٍ عادلة، ولكنَّ واحدًا من الذين خرجوا
مبكرًا من العملية (مثل السيد س الذي أخذ أول كأس) قد يكون مقتنعًا أنَّ واحدًا ممن
خرجوا لاحقًا حصل على حصة أكبر من حصته؛ لأن الباقين كانوا حمقى لدرجة تركه يحصل على
ذلك.
الرياضيات المحتواة في هذا السؤال تكمن في أسلوب البرهان أكثر منها في المهارة في
الحسابات. هذا المنهج، الذي نحول فيه الوضع من التقسيم على عدد إلى التقسيم على يُطلق عليه الحُجَّة الاستقرائية.
•••
مسألتنا التالية تُحل أيضًا بنفس هذه الطريقة خطوةً بخطوة.
(١٠) كم من الوقت يستغرق بناء برج هانوي؟
تتكون مسألة برج هانوي الكلاسيكية من ثلاثة أوتاد: أ، ب، ﺟ، مع برج مدرج من حلقات
مُتَّحدة المركز موضوعة على الوتد الأول كما في شكل ١-٤. والهدف هو
نقلُ البرج من أ إلى ﺟ، مع التقيُّد بالشرطين التاليين عند تحريك الحلقات بين الأوتاد:
(أ)
يمكنك تحريكُ حلْقةٍ واحدة في المرَّة الواحدة.
(ب)
لا تضع حلْقةً أكبر فوق حلْقةٍ أصغرَ منها.
جرِّب اللُّعبة ببرج صغير مُكوَّن من ثلاث أو أربع حلَقات. وسوف تفهم
على الفور كيف يتم ذلك. وعليك أن تجد أقلَّ عددٍ من التحركات حتى تصل إلى الهدف.
شكل ١-٤
بعد ذلك علينا أن نُوجِد أقلَّ عدد من التحركات المطلوبة لإنجاز اللعبة المكونة من
عدد من الحلقات.
الخاصية الرياضية التي يجب فَهمُها هي أنك لكي تلعب اللعبة المكونة من عدد من الحلقات، فعليك أولًا أن تلعب اللعبة المكونة من عدد من الحلقات. فمثلًا انظر إلى اللُّعبة المكونة من أربع حلقات، والتي
تمثل تمثيلًا تامًّا الوضع العام. لن تستطيع تحريك الحلقة الكبيرة في الأسفل حتى تكون
قد نقلت برجًا مكونًا من ثلاث حلقات إلى وتد آخر؛ أي يجب أن تلعب أولًا المباراة بثلاث
حلقات. بعد ذلك يمكنك وضعُ الحلْقة الكبيرة في المكان المطلوب بحيث لا تتحرك ثانيةً.
لإتمام العملية عليك تحريك برج الحلقات الثلاث وتضعه على الحلقة الكبيرة، أي إنك سوف
تلعب اللُّعبة المكونة من ثلاث حلقات مرة أخرى.
فإذا رمَزنا إلى أقلِّ عدد من التحركات المطلوبة لنقل البرج ذي الحلقات الأربع بالرمز
، ورمزنا إلى أقل عدد من التحركات لنقل البرج الثلاثي الحلقات بالرمز ، فالبرهان السابق يوضح أن: أو بعبارة أخرى . وبطبيعة الحال فإن هذه الحجة تنطبق على اللعبة المكونة من عدد من الحلقات، مما يدل على أنه لأي عدد يكون:
حيث يرمز إلى أقل عدد من التحركات المطلوبة لإنجاز اللعبة المكونة من عدد من الحلقات. وحيث إنه من الواضح أن (أي إننا نحتاج حركة واحدة لتحقيق الهدف في اللعبة المكونة من حلقة
واحدة) يمكن استخدام هذه الصيغة — واسمها التقني التكرارية — لحساب القيم المتتالية من
؛ على سبيل المثال: و و ومن ثم نحصل على متتابعة الأعداد التالية:
هل ثمة نمط معين يبدأ في الظهور؟ الإجابة: نعم، فإذا بدأنا بالعدد وضاعفناه في كل مرة، فإننا نحصل على نفس المتتابعة تقريبًا:
رتبة العدد في هذه المتتابعة الأخيرة هو ؛ ومن ثَمَّ فإن ، وهو أقل عدد من التحركات المطلوبة لبناء برج هانوي ينتج
بالمعادلة:
القصة التي عادة ما تصاحب لعبة برج هانوي (الذي يحتوي على حلقة) هي أن الرهبان يمكنهم تحريك حلقة واحدة في اليوم، وعندما
يُكمِلون مُهمَّتهم ستحدث كارثة تعمُّ الجميع. لا داعي للانزعاج بهذا الشأن. حتى لو كان
عدد الحركات اليومية المتاحة في اللعبة المكونة من حلقة، فإننا سنحتاج إلى سنة تقريبًا — كما أن مهمة الرهبان في اللعبة المكونة من حلقة ستستغرق بلايين السنين.
على الرغم من ذلك، فهذه ليست نهايةَ القصة في الرياضيات. يمكننا بالطبع تعميم السؤال،
ونسأل ماذا يحدث إذا كان هناك أوتاد! أو حتى عدد من الأوتاد؟ هذه الأسئلة تنتج مسائل مشابهة لكن أكثر تعقيدًا. وتوجد
رياضيات مختلفة إذا كنَّا مهتمين بالبحث عن المتتابعات الفعلية للتحركات وتشفيرها
بطريقة طبيعية، كما أشار إلى ذلك كتاب مارتن جاردنر «ألغاز وألعاب رياضية». فإذا قمنا
بتسمية الحلقات الأربع في ترتيب تصاعدي بالنسبة للحجم ولعبنا لعبةً مكوَّنة من أربع حلقات وكتبنا اسم كل حلقة حركناها
فسنحصل على المتتابعة:
هذا النوع من المتتابعات جدير
بالملاحظة لأنه يظهر في أماكنَ أخرى غير هذه المسألة. على سبيل المثال، إذا أخذنا
المسطرة القديمة حيث البوصات مقسمة ثنائيًّا إلى أنصاف، وأرباع وأثمان و (شكل ١-٥) وهو ما يقابل أصغر حلقة ، بينما الثُّمن يقابل الحلقة ، وهكذا، فسوف تحصل على القائمة السابقة نفسها. مثل هذه الظاهرة
الرياضية أحيانًا توفر عاملًا مشتركًا في حالتين لولا ذلك لكانتا غير مرتبطتَين، وهو
ما
يعتبر غالبًا مفتاحًا للفَهْم.
