بعض الهندسة

(١) أهمية المربعات على أضلاع المثلثات

حقًّا أنه أمر سهل. ولا أستطيع التفكير في سبب وجيه يمنع عرض هذا البرهان في المدارس. فالواقع أنه إذا كان هناك عيب في هذا البرهان، فهو أنه شديد القِصَر لدرجة أنك تنتهي من قراءته قبل أن تشعر. الشخص المتشكك قد يسأل: أين أثَّرَت بالضبط حقيقة أن المثلث له زاوية قائمة في البرهان؟ إجابة هذا السؤال تكشف أن البرهان افترض على الأقل افتراضًا واحدًا خفيًّا، وهو الذي سنشرحه الآن.

شكل ٣-١

شكل ٣-٢

لنفعل ذلك، نحن في حاجة إلى بعض الخواص الأساسية للزوايا.

شكل ٣-٤

شكل ٣-٥

(٢) فيثاغورث يكشف الحقيقة حول الدوائر

لا تكون قوةُ نتيجةٍ ما واضحةً دائمًا من النظرة الأولى، وقد لا يكون منافيًا للمنطق، على الرغم من التوكيدات السابقة، أن نقول إن نظرية فيثاغورث تبدو حقيقةً مملةً حول مثلث خاص جدًّا. إذ لماذا نكون مهتمين برسم مربعات على أضلاع مثلث من الأساس؟

شكل ٣-٦

(٣) المثلثات والمساحات

وهذا يدل على أننا ينبغي أن نحاول إثبات مساحة الدائرة عن طريق نوع من تثليث الشكل (تقسيمه إلى مثلثات).

شكل ٣-٧

شكل ٣-٨

شكل ٣-٩

شكل ٣-١٠

فكرة التثليث هذه، أي تقسيم الكائن الهندسي إلى مثلثات بطريقة خاصة قد تبدو ساذجة وبسيطة للغاية، ولكنها مثمرة جدًّا في الهندسة، والتوبولوجيا، وهو فرع الرياضيات الذي يهتم بالخواص العامة للأشكال والفراغ. وقد يكون من المفاجئ أحيانًا رؤية كيف يمكن التعامل مع الكثير من المسائل الصعبة جدًّا في الرياضيات بنجاح، من خلال الصبر والبناء من الحالات الخاصة إلى العامة.

شكل ٣-١١

(٤) نظريات الدائرة

(٤-١) الأشكال السداسية الأضلاع

الدائرة التي نصف قطرها ومركزها هي مجموعة النقاط في المستوى التي تبعد عن مسافة تساوي . وتعتبر الدوائر هي الكائنات الأكثر تماثلًا في المستوى، وبذلك فمن المتوقع أن يكون للدائرة بعض المميزات الخاصة.

واحدة من هذه المميزات ترتبط بالأشكال السداسية الأضلاع. وكما هو معروف منذ القدم عن نحل العسل وصانعي الألحفة المكونة من قطع متنوعة، من الممكن تقسيم المستوى إلى مضلعات سداسية — أي إن المستوى يمكن تغطيته بمضلعات سداسية متطابقة بحيث لا تتداخل مع بعضها إلا عند حدودها — وهذه الخاصية تستغل في عملهم.

سوف أخرج عن الموضوع للحظة لأذكر أنه من الممكن أيضًا تغطية المستوى بمثلثات متساوية الأضلاع أو بمربعات، ولكن ليس بأي نوع آخر من المضلعات المنتظمة. لأنه لنفترض أن هناك عددًا مثلًا من المضلعات المنتظمة ذات عدد من الأضلاع تتقابل في نقطة مشتركة لكي يتم تغطية المستوى (مثل الفسيفساء) فيكون مجموع زواياها هو دائرة كاملة، . أثبتنا سابقًا أن مجموع زوايا المضلع هو أي إن كل زاوية تساوي . ومن ثَم فإن من هذه الزوايا تكوِّن معًا دائرة كاملة، بمعنى أن:

أو . غير أن العدد هو عدد صحيح، والتعبير على اليمين لن يكون صحيحًا إلا بقيم أو ؛ عند القيمة نحصل على ولأي عدد آخر أكبر من فإن القيمة تقع بين و. ومن ثم لا توجد تغطيات أخرى للمستوى بمضلعات منتظمة إلا هذه الثلاثة أي إن . يوجد العديد من طرق التغطية بالفسيفساء، ولكنها ليست من هذا النوع على أية حال. نُسخ من أي مثلث يمكن أن تغطي المستوى (كوِّن متوازيات الأضلاع باستخدام المثلث كما فعلنا سابقًا واكتشف سهولة عمل ذلك)، والمضلعات الثمانية والمربعات معًا يمكن أن تكون غطاء كاملًا، بينما السداسيات والخماسيات معًا تكون شكلًا كُرويًّا مثل كرة القدم. منذ بضع سنوات مضت أثبت روجر بنروز من جامعة أكسفورد أنه من الممكن تغطية المستوى بنسخ من اثنين من الأشكال البسيطة غير المنتظمة بحيث إن النمط لا يتكرر أبدًا؛ أي إن التغطية تبدو مختلفة اعتمادًا على مكانك في المستوى.

بالعودة إلى المضلعات السداسية، غالبًا ما ينصح صانعو الألحفة بتكوين المضلع السداسي الأساسي لبطانة اللحاف برسم دائرة وتوصيل نصف القطر من مركز الدائرة إلى المحيط ست مرات ليحددوا بذلك رءوس المضلع السداسي. وقد سمعت مرة شخصًا (ليس صانع ألحفة) يشرح هذا معتذرًا، فيقول إن هذه الطريقة ليست دقيقةً لكنها مناسبة عمليًّا، واستطرد حديثه المشوش مسهبًا وهو يقول إن عدم دقة هذه الطريقة ناجم عن أن لا تساوي بالضبط. ولكن هذا غير صحيح! فهي طريقة دقيقة (بالرغم من أن فعلًا أكبر من ) ويمكن للمرء رؤية هذا بسهولة، كما يلي.

افتح الفرجار (البرجل) لمسافة نصف قطر الدائرة وضع سن الفرجار عند ، وهي أي نقطة على محيط الدائرة، ثم ضع علامة عند النقطة حيث يقطع سن الفرجار الدائرة. سوف نُطلق على مركز الدائرة ، ومن ثَم نحصل على شكل ٣-١٢. الملاحظة الرئيسية هي أنه بما أن النقاط و و تبعد كلٌّ منها عن الأخرى بمسافة ، إذن فهي تُكوِّن مثلثًا متساوي الأضلاع. بشكل خاص الزاوية تساوي ؛ أي بالضبط من قياس الدائرة الكاملة . ومن ثم فإن تكرار رسم خمس نقاط على محيط الدائرة تبعد كلٌّ منها عن الأخرى مسافةً تساوي طول نصف قطر الدائرة، سوف يعود بنا إلى نقطة البداية وستُكوِّن النقاط الستة على الدائرة مضلعًا سداسيًّا منتظمًا.

شكل ٣-١٢

قد يكون هذا أبسط شكل من الأشكال المتماثلة العديدة للدائرة، والتي تُعرف باسم نظريات الدائرة. على الرغم من أن بعض هذه النظريات مدهشة تمامًا، فإن برهانها يستغل الخاصية المميزة للدائرة على نحوٍ متكرر، وهذه الخاصية هي أن جميع النقاط على محيط الدائرة دائمًا على نفس المسافة من مركز الدائرة، بالإضافة إلى حقيقة أن مجموع زوايا أي مثلث هو .

(٤-٢) الزوايا في أنصاف الدوائر

المثال التالي عن نظرية الدائرة هو أن الزاوية المرسومة في نصف الدائرة هي زاوية قائمة قياسها . بمعنى أنه إذا كان و هما نقطتي نهاية قطر في دائرة وكانت هي أي نقطة أخرى في الدائرة، إذَن فزاوية زاوية قائمة. بعبارة أخرى، عند تحرك النقطة حول محيط الدائرة، فعلى الرغم من تغيُّر المسافات و، فهذه الزاوية لا تتغير أبدًا؛ إذ يلتقي الخطان دائمًا عند زاوية قائمة (انظر شكل ٣-١٣). وهذا يمكن رؤيته بسهولة بتوصيل النقطة بمركز الدائرة ، وهذا يُقسِّم المثلث الكبير إلى مثلثَين صغيرَين متساويَي الساقَين، حيث الأضلاع الثلاثة ( و و) لها الطول المشترك . وبما أن المثلثين متساويا الساقين، فكلٌّ منهما يحتوي على زاويتَين متساويتَي القياس، سنرمز لهما ﺑ و على الترتيب في شكل ٣-١٣. وكما نرى مجموع زوايا المثلث الأكبر أي إن اللتَين تساويان قياس الزاوية عند تساوي .

شكل ٣-١٣

هذه الحقيقة بعينها تُستخدَم غالبًا في إنشاء الفِرجار القياسي والحافة المستقيمة. فمثلًا كيف ترسُم مُماسًّا لدائرة (لأنه يوجد اثنان منها) من نقطة معينة خارج الدائرة؟ أولًا تذكر طريقة إنشاء المنصف العمودي على القطعة المستقيمة كما هو موضح في شكل ٣-١ في الفصل السابق. أوجِد مركز الدائرة بأخذ تقاطع الأعمدة المنصفة لأي وترَين في الدائرة. وصِل مركز الدائرة بالنقطة وأوجِد النقطة في منتصف (أيضًا من خلال رسم المنصفات العمودية) (شكل ٣-١٤). ارسُم دائرة مركزها ونصف قطرها ؛ وسوف تقطع الدائرة الأصلية عند نقطتين و، والخطان و يمثلان المُماسَّين المطلوبَين.

شكل ٣-١٤

لماذا؟ الخاصية المميزة لمُماسِّ الدائرة هي أنه يُكوِّن زاوية قائمة مع نصف القطر عند نقطة التماس. فالزاوية هي زاوية قائمة، حيث (وبالمثل ) تقع على محيط الدائرة التي قطرها .

إن كون الزاوية في نصف الدائرة زاوية قائمة هي حقيقة لافتة ومفيدة، ولكنها فقط حالة خاصة من النظرية التالية.

(٤-٣) الزوايا عند مراكز الدوائر

الزاوية عند مركز الدائرة ضعف الزاوية المحيطية المرسومة على نفس القوس أي إن: .

هذه النظرية قد تحتاج بعض الشرح، والأشكال المرافقة يمكن أن تقطع شوطًا في هذا الاتجاه. ليكن أي قوس في الدائرة كما في الشكل ٣-١٥. نقصد بالزاوية عند مركز الدائرة المقابلة لهذا القوس، زاوية . والآن لنفترض أن أي نقطة على محيط الدائرة خارج القطاع الدائري . فالزاوية هي ما نقصد بالزاوية المحيطية المقابلة للقوس . ومن ثَم تنصُّ النظرية على أنه مهما تحركت على الدائرة من إلى فهذه الزاوية لا تتغير أبدًا وتساوي دائمًا نصف الزاوية المركزية . بشكل خاص، إذا كانت النقاط و و على استقامة واحدة، أي إنها جميعًا على نفس الخط المستقيم؛ فإن القوس هو عبارة عن نصف دائرة، والزاوية هي زاوية مستقيمة والزاوية هي زاوية قائمة.

لإثبات صحة النظرية، انظر إلى الشكل ٣-١٥ ولاحظ الطريقة التي استخدمناها كما في نظرية نصف الدائرة السابقة في تمييز أنصاف أقطار الدائرة وتسمية الزوايا المتساوية في القياس. ويصبح المطلوب هو اختبار أن . حيث إن مجموع زوايا أي مثلث هو فإن الزوايا غير المُسمَّاة عند لها القيم و على الترتيب. ولأن مجموع الزوايا الثلاث عند هو نحصل على:

شكل ٣-١٥

بحذف من طرفَي المعادلة نحصل على:

هذا هو البرهان لكن ليس كله لأن شكل ٣-١٥ لا يمثل جميع الحالات. عند تحرك النقطة مثلًا حول الدائرة في اتجاه عقارب الساعة، في لحظة معينة ستقع و و على خط مستقيم واحد. الإثبات السابق ينطبق أيضًا على هذه الحالة — الزاوية تصبح صفرًا ولا يتغير أي شيء آخر. ومع ذلك، عند استمرار تحرك حول الدائرة فالمركز سيظهر خارج المثلث ، كما في الشكل ٣-١٦. هذه تُمثِّل حالة مختلفة حقًّا، وهناك برهان مختلف (رغم أنه مشابه)، ولن أذكره، يبين أن الزاوية ستظل تساوي ضعف قياس الزاوية .

شكل ٣-١٦

ما زال هناك جانب واحد لمواجهته في هذه الحالة. بالعودة إلى الشكلين ٣-١٥ و٣-١٦. عندما تتحرك النقطة حول المحيط من إلى ، ستظل الزاوية دائمًا . على أية حال عندما تمر على يوجد عدم اتصال — أو قفزة مفاجئة، إذا شئت استخدام هذا التعبير. الزاوية ما زالت نصف الزاوية المركزية لكنها الآن الزاوية المنعكسة التي تستخدم. فمثلًا بقياس الدرجات، نعود إلى الشكل ٣-١٥ ونفترض أن الزاوية . فتكون الزاوية حتى تمر فعلًا على وتدخل القطاع السفلي من الدائرة، حيث تصبح فجأة:

وتظل على هذه القيمة حتى تمر على حيث تعود القيمة .

كثيرًا ما يتم التعبير عن حقيقة أن الزاوية هي نفسها بالنسبة لأي نقطة بقول إن الزاويتين المقابلتين لنفس القوس — القوس في هذه الحالة — متساويتان. وهذا له تأثير على المضلعات المنتظمة، بالرغم من أن الصلة قد لا تبدو تامة الوضوح. وسوف يكون لدينا سبب لاستدعائها عندما نتكلم عن «النسبة الذهبية»؛ ولذا فإننا نَلفت الانتباه إليها هنا.

ليكن أي مضلع منتظم وله عدد من الأضلاع، و أحد أركان المضلع ، وكذلك هو أحد أضلاع (شكل ٣-١٧). بغض النظر عن الركن الذي اخترته ليكون هو الركن ، فستظل الزاوية هي نفسها دائمًا وتساوي . ولكي ترى لماذا هذا صحيح، خذ دائرة وتخيل إنشاء مضلع منتظم له عدد من الأضلاع، وذلك بوضع عدد من النقاط على أبعاد متساوية على محيط الدائرة. فإذا كان ضلعًا، و ركنًا كما ذكرنا آنفًا؛ فنرى أن الزاوية هي الزاوية المقابلة للقوس من الدائرة؛ ومن ثم تساوي نصف الزاوية عند المركز. ولأن نقاط المضلع موزَّعة على مسافات متساوية حول الدائرة فإن الزاوية عند المركز هي ومن ثم تكون هي وهذا يُثبت الفرض.

شكل ٣-١٧

وثمة نتيجة أخرى من السهل توضيحها الآن، وهي أن مجموع الزاويتَين المتقابلتين فيما يُسمى الرباعي الدائري هو . الرباعي الدائري هو الشكل الرباعي الذي يمكن رسمُه داخل الدائرة. ليست جميع الأشكال الرباعية لها هذه الخاصية. فمن الصحيح أن أي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة — أي لا تقع على نفس الخط — تقع على دائرة وحيدة ويمكن بسهولة إنشاء هذه الدائرة كما يلي.

المركز لأي دائرة تمر بالنقط و و يبعد بمسافة متساوية عن كل من النقاط الثلاث. المنصف العمودي للقطعة المستقيمة يتكون من جميع النقاط التي تبعد المسافة نفسها عن و؛ ومن ثم يجب أن تقع على هذا المنصف وبنفس هذا المنطق يجب أن تقع على المنصف العمودي على أيضًا. أي إن هي نقطة تقاطع المنصفين العموديين على و (شكل ٣-١٨). بالمثل فإن يجب أن تقع على العمود المنصف للضلع ، بحيث تكون المنصفات العمودية الثلاث متقاطعة؛ أي إنها خطوط تتقابل في نقطة واحدة. بالنظر إلى كمثلث عشوائي، يمكننا أن نفسر هذا التكوين بأن نقول إن الأعمدة المنصفة لأضلاع أي مثلث لا بدَّ أن تتقابل في نقطة واحدة.

شكل ٣-١٨

الآن، بالنسبة لأي شكل رباعي ، دائمًا ما يكون مجموع زواياه هو . كما رأينا توجد دائرة وحيدة تحتوي على القوس ، وبشكل عام، لا يوجد سبب يجعل الرأس الرابع يقع على الدائرة. ولكن، إذا حدث ذلك وكان يقع على محيط هذه الدائرة، فإننا نقول إن هو شكل رباعي دائري، ويتمتع بخاصية إضافية ذكرت سابقًا: كل زاويتَين متقابلتَين متكاملتان؛ أي إن مجموعهما . ويمكن للقراء إقناع أنفسهم بسهولة عن طريق رسم الشكل المناسب وتوصيل كل ركن بمركز الدائرة، وبذلك يتم إنشاء أربع مثلثات متساوية الساقين. قم بتمييز كل الزوايا، بحيث يتم تمييز الزوايا المتساوية القياس بنفس الرمز، وسوف تجد أن مجموع كل زاويتين متقابلتين متساوٍ. أي إن مجموع كل زاويتَين متقابلتَين يجب أن يساوي نصف .

الهندسة الإقليدية لا يُهتم بها كثيرًا في المدارس في الوقت الحاضر. ويُنظر إلى الهندسة أساسًا من خلال وجهة نظر ما يُسمى بالهندسة التحليلية. وهذا النهج ابتدعه رينيه ديكارت، ويمكن الادعاء بأنه نجح نجاحًا كبيرًا. الفكرة الأساسية هي العمل دائمًا داخل إطار نظام الإحداثيات المتعامدة — أي المحور والمحور المتعامدَين. ويتم التعامل مع الخطوط والمنحنيات من خلال معادلات تربط بين إحداثيات نقطها. فمثلًا أي خط مستقيم يتكون من جميع النقاط الموجودة في المستوى وفي الوقت نفسه تحقق المعادلة ؛ حيث تقيس ميل الخط بينما العدد يخبرنا أين يقطع الخط المحور . هذا النهج في الواقع يسمح لنا بتشفير الهندسة كالجبر؛ ومن ثم تتحول النظريات الهندسية لتصبح تدقيقات جبرية. ومن المؤكد أن هذا جيد لترسيخ أقدام الطلاب في الجبر، ويتيح الإعداد الجيد لتعلُّم حساب التفاضل والتكامل. ولكنه نهج جامد إلى حدٍّ ما؛ ومن ثم يمكن أن ينتج طلابًا ذوي أُفقٍ رياضيٍّ ضيق. والاستخدام الحصري لهذا النهج في الهندسة ينجم عنه خَسارة حقيقية. فجزء كبير من الهندسة الأساسية من الأحسن معاملته وَفقًا لما يتلاءم معه، فنتائج مثل التي رأيناها توًّا ستُفهم بوضوح أكبر دون الرجوع إلى الإحداثيات.

(٥) المتجهات

هناك شيءٌ وسَطٌ بين الهندسة الكلاسيكية والهندسة الإحداثية، ويتمثل في استخدام المتجهات. هذا المفهوم له أهمية هائلة في الفيزياء الرياضية. وسوف نكتفي هنا بتقديم الفكرة وإعطاء مثال يوضح طريقة استخدامها عندما يكون المطلوب شرح أنواع معينة من الحقائق الهندسية.

شكل ٣-١٩

شكل ٣-٢٠

شكل ٣-٢١

لدينا أيضًا معادلة متجهات أخرى:

وهناك مثال آخر على نفس المنوال وهو حقيقة أن الأقطار في متوازي الأضلاع تتقابل عند منتصفاتها. يمكنك إقناع نفسك بذلك باستخدام منهاج مشابه: ابدأ عند أحد الأركان وانتقل إلى نقطة المنتصف لكل قطر وقم بترميز كل عملية انتقال على أنها مجموع متجهات. يبقى لك إثبات أن هذين المجموعين للمتجهات في الحقيقة متساويان أي إن منتصفي القطرين ينطبقان.