في معظم بلدان العالم الغربي تُتاح للمواطنين فرصةُ
المشاركة في يانصيب تديره الدولة. وقد انضمَّت بريطانيا حديثًا لهذه اللُّعبة، ولم يوحد
الدولة منذ عام ١٩٩٤ شيء مثلما فعَل اليانصيب الوطني، وعلى ذلك فكتاب مثل كتابنا هذا
حريص
على الإجابة عن السؤال التالي:
(١) ما احتمالات فوزك في اليانصيب؟
تتشابه أشكال اليانصيب تقريبًا في جميع أنحاء العالم. وفي بريطانيا تنطوي اللعبة
الأساسية على اختيار مجموعة من كرات مُرقَّمة (بأي ترتيب)، وتفوز إذا كان اختيارك يتفق مع اختيار
الآلة العشوائي للست كرات من مجموعة الكرات المرقمة من إلى .
عدد الطرق المحتمل أن تظهر بها الكرات الست، مع
أخذ الترتيب في الاعتبار، هو . إذ لا يمكن اختيار نفس الكرة مرتين، ومن ثَم تنقص الاحتمالات واحدًا
في الكرة التالية في كل مرة. لقد اخترت مجموعة معينة من ست كرات، وستشمل من هذه الترتيبات الممكنة. ومن ثم فإن فرصتك في الفوز هي:
ففرصتك في الفوز هي واحد من مليونًا. ويعتمد اليانصيب على عدم تقديرنا لضخامة هذا الرقم. فلو
وضعنا مليون قلم في صفٍّ واحد، لامتدَّ هذا الصف من إنجلترا إلى منغوليا،
فهل تتوقع أن يقع الاختيار العشوائي على القلم الخاص بك من بين هذه الأقلام؟
النصيحة الوحيدة التي يستطيع عالم الرياضيات أن يقدمها لك إذا قررت أن تشارك في هذه
اللعبة هي ما يلي. أولًا: اختر الأرقام الكبيرة لأن الأرقام الصغيرة، ولا سيما الأقل
من ، أرقام شائعة؛ فالناس عادة تختار تاريخ ميلاد أصدقائهم أو أقاربهم.
وباختيارك الأرقام الكبيرة، فإذا حصلت على جائزة كبيرة، فمن المحتمل أن تكون ضخمة جدًّا
لأنك اخترت الأرقام التي اختارها عدد قليل من الناس. ثانيًا، ولراحة البال، من المهم
ألَّا تختار نفس الأرقام في كل مرة؛ فإذا فعلت فإنك ستكون مجبرًا على اللعب كل أسبوع
وتقضي باقي حياتك في رعبٍ خشية أن تفوز أرقام «الحظ» الخاصة بك في الأسبوع الوحيد الذي
نسيت أن تشارك فيه! بالتأكيد لا تختر الأرقام فالآلاف من الناس يفعلون ذلك كل أسبوع؛ فإذا حدث وفاز هذا الاختيار
يومًا فإن حصتهم من الجائزة المشتركة ستكون ضئيلة. وبطبيعة الحال، لا تزال هذه الجائزة
أكثر من لا شيء. إلا أن ما أقصده هو أنك لن تستطيع أبدًا الفوز بجائزة كبيرة بهذه
الأرقام أو ما يشبهها لأنها أرقام شائعة جدًّا.
توجد طريقة أخرى، أكثر ديناميكية، لحل هذه المسألة، وهي تتفق مع توتر الموقف في
الواقع. سيظل احتمال اختيارك للأرقام الستة «قائمًا» بعد سحب الكرة الأولى ويبلغ لأنك بدأت بستة من اﻟ رقمًا المتاحة. ومن هذه الأسابيع التي يحالفك فيها الحظ، ستكون
احتمالات أن يظل اختيارك «قائمًا» بعد الكرة الثانية ؛ لأن الآلة لديها كرة مرقمة باقية، وأنت لديك خمسة من الأرقام؛ إذ تم استخدام الرقم
السادس بالفعل في الكرة الأولى. ومن ثم فإن نسبة الأسابيع التي تكون ما زلت مشاركًا
فيها ولديك احتمال للفوز بعد سحب كرتين هي من ، أي حاصل الضرب
عند الاستمرار بهذه الطريقة، نرى أن احتمال أن يظل اختيارك «قائمًا»
بعد سحب الكرات الستة كاملة، كما في السابق، هو:
السؤال التالي عبارة عن مسألة احتمالات عملية من نوع مختلف تمامًا.
لقد فهمت أن هذا السؤال وُضِعَ لطلاب الطب في أمريكا، وكانت الإجابة تُنذر بالخطر بشكل
ما.
لدينا اختبار لمرض معين يعطي بلا شك نتيجة
إيجابية إذا كان الشخص مصابًا بهذا المرض، ولكن هناك احتمال أن تكون نتيجة الاختبار إيجابيَّة إذا كان الشخص غير مريض. ومن
المعروف أن واحدًا في الألف من السكان مصاب بهذا المرض. وفيما يلي السؤال.
(٢) شخص اختير عشوائيًّا من مجموعة السكان وكانت نتيجة اختباره إيجابية، فما احتمال أن
يكون هذا الشخص مصابًا بالمرض؟
يبدو أن العديد من الطلاب كانت إجابتهم ، وكان تبريرهم البسيط هو أن الاختبار دقيق بنسبة . في الواقع هذا غير صحيح بالمرة. فإجابتهم لم تضع في الحسبان انتشار
المرض في السكان وهذا الانتشار سيؤثر بوضوح في الإجابة. فمثلًا إذا كان المرض هو الجدري
— الذي تم التخلص منه تمامًا — فإن الإجابة ستكون ؛ إذ لا يوجد احتمال لمريض بالجدري حتى إذا كانت نتيجة الاختبار
إيجابية. ولهذا فإننا نرى أنه إذا كان المرض نادرًا جدًّا فإن فرصة أن تكون نتيجة
الاختبار الإيجابية زائفة ستكون مرتفعة جدًّا؛ فكلما ندَر المرضُ زاد احتمال أن تكون
النتيجة الإيجابية زائفة. إذن ما إجابة سؤالنا؟
احتمال أن شخصًا ما مصاب بهذا المرض هو واحد في الألف؛ أي . ولكننا هنا نعرف المزيد؛ حيث إن هذا الشخص اختير عشوائيًّا من نوعٍ
خاص: وهو النوع ذو النتيجة الإيجابية في الاختبار، ولنسمِّ هؤلاء «الأفراد الإيجابيين».
ويصبح السؤال: ما نسبة المرضى بين الأفراد الإيجابيين؟
لنأخذ قطاعًا عاديًّا من السكان يتكون من فرد (شكل ٦-١). في المتوسط سيكون هناك شخص واحد
مصاب بالمرض، و من الباقين؛ أي شخصًا إذا قربنا العدد لأقرب عدد صحيح، ستكون نتيجة اختبارهم إيجابية
زائفة. ما لدينا إذَن هو فرد اختير عشوائيًّا من الأفراد الإيجابيين، ويمكننا الآن أن
نرى أنه يوجد احتمال من أن الشخص يعاني من المرض. ويترتب على ذلك أن الإجابة الصحيحة ستكون
أقل قليلًا من ؛ وليست
شكل ٦-١
مسائل الاحتمالات عادة تكون خادعة بعض الشيء، لا سيما المسائل التي
تحتوي على احتمالات مشروطة حيث تُسأل عن احتمال وقوع حدث مرتبط بوقوع حدث آخر. (في هذا
المثال تريد معرفة احتمال أن يكون الشخص مريضًا في ظل أن نتيجة اختباره إيجابية.) مثل
هذه المسائل يمكن أن تكون خادعة للغاية؛ فألَّا تتمكن من حل مسألة شيءٌ، وأن تتصوَّر
أنك تستطيع حلها وتقاد إلى نتيجة خاطئة تمامًا شيءٌ آخر. وهذا المثال يوضح كيف يمكن
بسهولة خداع حتى الأذكياء والمتعلمين. ومن المفيد والمهم أن يكون هناك من يفهم
الرياضيات بحق.
•••
مسألة الاحتمالات المشروطة التالية قديمة، ولكنها بطريقة ما تستطيع معاودة الظهور
من
آنٍ لآخر بأشكال مختلفة. أحيانًا تُعرَف باسم «مسألة مونتي هول» وفيما يلي النسخة
الشائعة المتداولة منها.
متسابق في برنامج ألعاب تليفزيوني يعرض أمامه ثلاثة أبواب مرقمة. يوجد خلف أحدها
الجائزة الكبرى وخلف كلٍّ من البابَين الآخرَين يوجد ماعز. (لا تسألني لماذا الماعز.)
اللاعب يختار أحد الأبواب. فيفتح مقدم البرنامج التليفزيوني، الذي يعلم ماذا وراء كل
باب، بابًا آخر فيجد المتسابق ماعزًا. عندئذٍ يكون للمتسابق حق الاختيار إما أن يظل عند
اختياره الأول أو يختار الباب الآخر الذي لم يُفتح بعد. والسؤال هو:
(٣) هل ينبغي أن يظل المتسابق مصرًّا على اختياره أم يغيره في مسألة مونتي هول؟
الجواب: نعم، يجب أن يغير؛ لأن التغيير يضاعف له فرص الفوز! ومعظم الناس — إن لم يكن
جميعهم — يجدون أن هذا يعارض توقعاتهم. فلماذا يكون الباب الباقي الذي لم يُفتح بعد
أكثر ترجيحًا لوجود الجائزة خلفه مقارنة بالباب الذي اختاره المتسابق في المقام الأول؟
سنوضح هنا لماذا يكون التغيير هو الاستراتيجية الأفضل.
يختار المتسابق مبدئيًّا الباب رقم مثلًا. واحتمال أن يكون هذا الاختيار صحيحًا يساوي . ويستطيع مونتي هول دائمًا أن يريك ماعزًا وراء أحد البابَين
الآخرَين؛ ومن ثَم فإن احتمال أن يكون الباب رقم هو الاختيار الصحيح لا يزال يساوي بعد أن يفعل هذا. وبما أن الجائزة ليست خلف الباب الذي فتحه مونتي،
فإن احتمال أن تكون خلف الباب الثالث يصبح .
آلية هذا العمل تصبح أكثر وضوحًا إذا زدنا عدد الأبواب من إلى . وبما أن هذه تجربة فكرية، يمكننا أن نزيد العدد إلى مليونًا. وتوجد جائزة واحدة، والباقي مَعْز. إذا اخترت الباب رقم ، فمن المؤكد تقريبًا أنك مخطئ لأن فرصتك ستكون من على وجه الدقة. والآن يريك مونتي ماعزًا خلف كل بابٍ من الأبواب ما
عدا الباب رقم وبابًا آخر. فإذا أنت لم تكسب اليانصيب بدايةً (وهذا مؤكد عمليًّا)
وكان هناك ماعز خلف الباب رقم أيضًا، فإنه لن يستطيع أن يفعل ذلك إلا إذا أراك كل المَعْز الأخرى،
وفي هذه الحالة ستكون الجائزة وراء الباب المتبقي بالتأكيد. والواضح أن عليك تغيير
اختيارك، لأن التغيير لن يكون خاطئًا إلا في الحدث غير المحتمل أنك اخترت اختيارًا
صحيحًا في البداية.
والبرهان لا يختلف في حالة الأبواب الثلاثة، كل ما هنالك هو أن الاحتمالات أقل
تطرفًا. إذا كنت غير مقتنع حتى الآن، حاول تجربة هذه الطريقة مع صديق مثلًا باستخدام
عشر علب كبريت أو ما يشبه ذلك. ولن تحتاج لتَكرار التجربة كثيرًا لكي تقتنع بالبرهان
السابق، نظرًا لقوته. على أية حال يوجد القليل الذي يمكن أن يضاف لأن التفسير الذي
قدمتُه يفترض ضمنيًّا أن مونتي، إذا كان لديه اختيار بين اثنين من المَعْز ليريهما لك
(في حالة أن الباب رقم هو الباب الفائز)، فهو يختار عشوائيًّا؛ وإذا استخدم طريقة أخرى،
وعَلِم المتسابق بذلك فقد يمكنه استخدام استراتيجية أفضل. على سبيل المثال، إذا علمنا
أن مونتي شخص كسول ويختار دائمًا الباب ذا الرقم الأعلى في الأبواب الثلاثة، ولا يختار
الباب ذا الرقم الأقل إلا إذا اضطُر لذلك حتى لا يفتح الباب الذي وراءه الجائزة، فهذه
بالفعل ستكون معلومة قيمة جدًّا؛ ففي حالة أن المتسابق اختار الباب رقم وأن مونتي أراه الماعز خلف الباب رقم ، فإن اللاعب سوف يكون على يقين من أن الجائزة خلف الباب رقم وسوف يحصل عليها.
ثمة نسخة مماثلة من هذه المشكلة وهي تخصُّ ثلاثة سجناء: سميث وجونز وأنت. حُكم عليكم
جميعًا بالإعدام وسيُنفَّذ الحكم في الصباح. وقرر الحاكم عشوائيًّا أن يؤجل الإعدام
لواحد منكم، وقد اتخذ قراره فيمن يقع عليه الاختيار. وفي الواقع تم إخبار الحارس بمن
سيعيش ومن سيموت، ولكن الحاكم رغب في أن يحتفظ بالأنباء السارَّة لتكون مفاجأة، ومنع
الحارس من كشف الحقيقة.
أنت وضعت خُطة ماهرة لتحسين فرصك في النجاة. فاقتربت من الحارس لتقول له إنك تعرف
أنه
لا يستطيع الإفصاح عن الشخص المختار، ولكن على الأقل واحد من زميلَيك في الزنزانتين
المجاورتين سينفذ فيه حكم الإعدام، ومن ثَم لن يضيره أن يكشف اسم واحد، بخلافك أنت، لم
ينل العفو. الحارس تأخذه الشفقة ويوافق ويقول كلمة واحدة: «جونز». أنت الآن تُطَمْئِن
نفسَك بالمنطق الزائف التالي:
«إذن فجونز المسكين ستقطع رأسه. حسنًا ذلك يعني أن لدي احتمال لأن الآخر الذي سينفذ فيه الحكم قد يكون سميث أو أنا.»
بطريقة ما يبدو أنك قد رفعت احتمالات نجاتك من من إلى من ومن ثم تستطيع أن تنام مطمئنًّا أكثر.
بالطبع أنت لم ترفع فرصتك في النجاة على الإطلاق. (إذا كانت هذه الاستراتيجية صالحة
فماذا يحدث إذا استخدمها كلٌّ منكم أنتم الثلاثة!) الحارس ببساطة أراك الماعز خلف أحد
البابَين الآخرَين، وما زال يوجد احتمال واحد من ثلاثة أن يكون خلف بابك في الصباح
جائزة العفو. أما بالنسبة لجونز وسميث اللذين صادف أن استمعا لحديثك مع الحارس،
فالموضوع مختلف تمامًا. جونز البائس سيُنفَّذ فيه الحُكم في الصباح بلا شك. أما سميث
فله الحق في أن يشعر بالارتياح إلى حدٍّ ما. ونظرًا لأن فرصتك في النجاة لا تزال ، فقد زادت فرصته إلى الاحتمال التكميلي الذي يساوي . فخطتك الصغيرة لم تُفِدك أنت، وإنما أفادت سميث بعض الشيء. ومع ذلك
فإن كلًّا منكما أنت وسميث لا بدَّ أن ينتظر حتى الفجر عندما تُفتح كل الأبواب لمعرفة
مصيركما الحقيقي.
ثمة نسخة أخرى أقل درامية من المسألة نفسها كانت شائعة الاستخدام لدى مؤلفي كتب
الألغاز وممتحني الرياضيات لسنوات. لديك كرة حمراء وكرتان صفراوان، إحداهما تحمل الرقم
والثانية ، ووضعت جميعها في قبعة. أخذ صديقك كرتين من القبعة عشوائيًّا في نفس
الوقت. ما احتمال أن تكون الكرتان صفراوَين؟
لأنك تختار كرتين من أصل ثلاث كرات وكلها متساوية في احتمالات الاختيار، فإن احتمال
أن تكون إحداهما حمراء يساوي ، ومن ثَم فإن احتمال أن تكون الكرتان من اللون الأصفر (أي عدم اختيار
الكرة الحمراء) يساوي .
والآن لنفترض أنك رأيت لونًا أصفر من بين أصابع
صديقك عندما سحب الكرتين. بالحصول على هذه المعلومة الإضافية، ماذا يكون الآن احتمال
أن
تكون الكرتان من اللون الأصفر؟
الإجابة لا تزال طبعًا، لأنك لم تحصل على معلومة إضافية على الإطلاق؛ فأنت تعرف أصلًا
أن واحدة على الأقل من الكرات لا بدَّ أن تكون صفراء؛ ومن ثم فإن نظرتك التي اختلستها
لم تُضِف إلى معلوماتك شيئًا.
أخيرًا، لنفترض أنه صادف أن رأيت ليس فقط اللون الأصفر بل رأيت أيضًا الرقم على الكرة الصفراء التي كانت بين أصابع صديقك. فما احتمال أن تكون
الكرتان من اللون الأصفر الآن؟
هذه المعلومة تغيِّر الوضع حقًّا! فأنت تعلم أن واحدةً من الكرات هي الكرة الصفراء
رقم والأخرى قد تكون الصفراء رقم أو الكرة الحمراء. ومن ثم فإن احتمال أنه سحب كرتين صفراوين قد زاد
من إلى .
لماذا يهم أن تعرف أن الكرة الصفراء التي رأيتها رقمها أو ؟ الإجابة أنه لا يهم الرقم الذي رأيته، ما يهم هو «معرفة» هذا الرقم.
•••
وبالرجوع إلى موضوع الإعدام الذي أثير في السؤال السابق، دعونا ننظر إلى الموضوع
الآتي.
(٤) ما احتمال فوز اللاعب الأول في لعبة الروليت الروسية؟
إذا كنت لا تعرف هذه اللعبة القاتلة، فاسمح لي بشرح قواعدها لك. يتناوب لاعبان في
تفريغ خِزانة مسدس من ست طلقات بحيث يصوب كلٌّ منهما المسدس إلى رأسه. وتوجد طلقةٌ
واحدةٌ في أحد الأماكن الستة في الخزانة المستديرة للمسدس، وكل واحد من اللاعبين يأخذ
دوره في إطلاق المسدس، وقبل الإطلاق يدير اللاعب الخزانة حتى لا يعرف مكان الطلقة داخل
الخزانة، ويستمر اللعب حتى ينجح أحدهما في قتل نفسه، وهنا يعلن اللاعب الثاني أن اللاعب
الأول هو الفائز.
هذه لعبة «غير عادلة» لأن اللاعب الذي يبدأ له «ميزة» طفيفة، لكن السؤال هو: ما
احتمال أن يقتل اللاعب الأول نفسه (يفوز) بالضبط؟ سوف نرى في الفصل القادم أنه توجد
طريقة طبيعية لحل هذه المسألة باستخدام المتسلسلة الهندسية. ومع ذلك، فمن الممكن الحصول
على الإجابة حالًا باستغلال تماثل المواقف.
ليكن اللاعب الأول ، والثاني ، وليكن ، يرمزان لاحتمالات فوزهما على الترتيب. بالطبع، بما أن المسدس سوف
يُطلق عاجلًا أو آجلًا فيكون لدينا ، أي من المؤكد أن أحد اللاعبَين سوف يفوز. والآن الطلقة الأولى في
المسابقة ستكون قاتلة أو لا. فإذا كانت قاتلة فستكون فرصة اللاعب في الفوز صفرًا. على أية حال يوجد احتمال أن تكون غير قاتلة، في هذه الحالة يتبادل اللاعبان و الأدوار، ويكون هو اللاعب صاحب الميزة. بعبارة أخرى، في حالة أن الطلقة الأولى
فارغة، فإن احتمال أن يكون هو الفائز هو ، وهو الاحتمال الأصلي لفوز . هذا يعطي معادلة سهلة للعلاقة بين و وهي:
بتعويض ذلك في العلاقة نحصل على:
أي إن فرصة اللاعب الأول في الفوز هي .
•••
لننظر الآن إلى مسألة تجمع بين الاحتمال والهندسة.
(٥) إذا تدحرجت عملة معدنية على رقعة شِطْرنج، فما احتمال أن تستقر بحيث تغطي ركنًا من
مربع؟
المقصود بهذا السؤال هو: إذا كررنا هذه التجربة مرات عديدة، فما النسبة على المدى
الطويل، كعدد بين و، لوقوع حدث تغطية العملة المعدنية لركن من أحد مربعات الشِّطْرنج؟
تعتمد الإجابة، بطبيعة الحال على حجم العملة. وسوف نفترض هنا ما يكون طبيعيًّا في
الواقع، وهو أن قطر العملة لا يزيد على طول ضلع المربعات على رقعة الشطرنج. وسوف نرى
لاحقًا ما الذي يحدث في حالة كون طول القطر مختلفًا.
مرة أخرى لحل هذه المسألة علينا رؤيتها من زاوية مختلفة. الملاحظة الرئيسية هنا هي
أن
العملة سوف تغطِّي ركنًا إذا — وفقط إذا — كانت المسافة من مركز العملة لأحد الأركان
لا
تزيد عن نصف قطر العملة: انظر شكل ٦-٢(أ). يقع مركز العملة داخل
أحد المربعات، واحتمالات أن يقع في أي مكانٍ على رقعة الشطرنج متساوية. ويبين شكل ٦-٢(ب) مناطق مظللة وهي المناطق القريبة من الركن والتي إن وقع مركز
العملة بداخلها، لغطت العملة هذا الركن. إذن فاحتمال أن تغطي العملة الركن هي بالضبط
النسبة بين المساحة المظللة إلى المساحة الكلية للمربع. وتكوِّن المناطق المظللة معًا
دائرة تكافئ مساحتها مساحة دائرة العملة نفسها ومن ثَم يمكننا صياغة الإجابة على النحو
التالي: احتمال أن تغطي العملة ركنًا ما يساوي:
ولنضرب مثالًا محددًا، لنفترض أن قطر العملة يساوي طول ضلع المربع.
ليكن هذا الطول وحدة ومن ثَم نصف القطر للعملة يساوي وحدة. مساحة العملة هي ومساحة المربع هي: . ومن ثَم تكون الإجابة في هذه الحالة .
المسألة ليست أصعب كثيرًا إذا كانت العملة أكبر من المربع. فمن حيث المبدأ يمكن
حلُّها بنفس الطريقة، لكن الآن تبدأ أرباع الدوائر في الشكل السابق في التداخل؛ ومن ثَم
فإن حساب مساحتها الكلية سوف يكون أصعب قليلًا، وإن كان لا يزال يعتمد على القواعد
الأساسية للرياضيات. ويقحم علماء الرياضيات أنفسهم أحيانًا في مسائل تصبح مربكةً بعض
الشيء إذا لم تنطوِ على شيء جديد. وربما تجدر الإشارة إلى أنه لا بدَّ من الإجابة عن
السؤال عن مدى كبر العملة لكي نضمن أن تغطيَ أحد الأركان. وهذا سيحدث عندما تغطي أرباع
الدوائر المربع بالكامل، وهذا ما نراه يحدث الآن عندما يساوي نصف قطر العملة على الأقل
نصف طول قطر المربع، أو إذا أردنا التبسيط عندما يكون طول قطر العملة مساويًا على الأقل
لطول قطر المربع.
شكل ٦-٢
هذه مسألة احتمالات هندسية، وهي فرع من
الرياضيات يدرس سلوك الأشكال الاحتمالي. ويمكن تطبيق الاحتمالات الهندسية في المسائل
التي تحتوي استنتاجًا عن كائن من مشاهدات قطاعات عرضية عشوائية للكائن — وقد يكون
الكائن المعني أي شيء، سواء كان هذا الشيء عينة من معدن خام أو نسيجًا من المخ. والأكثر
من ذلك، أن المسائل الوجيهة، مثل مسألة العملة المتدحرجة على رقعة الشطرنج، غالبًا ما
تسفر عن نتيجةٍ مفيدة. فهذه المسألة توضح أن من الممكن تعيين قيمة العدد من خلال تجربة دحرجة العملة: إذا كررت التجربة مرات عديدة بعملة
يساوي قطرها طول ضلع المربع، فإن قيمة ستقرب إلى أربع مرات نسبة النجاح في التجربة، والنجاح هنا يعني أن
تغطي العملة الركن.
الحصول على العدد من هذه المسألة لا يثير الدهشة نظرًا لأن المسألة تحتوي على كائن
دائري. إلا أن قيمة يمكن تقديرها بواسطة السؤال التقليدي عن الاحتمال الهندسي، أي مسألة
إبرة بوفون التي يبدو أنها لا تحتوي إلا على خطوط مستقيمة.
ها هي المسألة. أسقطت إبرة على ألواح الأرضية. فما احتمال أن تسقط الإبرة في شق بين
الألواح؟ مرة أخرى الإجابة تعتمد على طول الإبرة، ومرة أخرى فهي تحتوي ؛ ومن ثَم فإننا نستطيع أن نوجد تقديرًا لقيمة عن طريق ملاحظة نسبة حالات سقوط الإبرة في شق في تجربة طويلة الأمد.
دون الخوض في حسابات، يمكنني إعطاء تفسير أين يوجد الجانب الدائري في المسألة بحيث تظهر
في الحل. سواء صادفت الإبرة شقًّا أم لا فهذا يعتمد على متغيرَين
مستقلَّين: المسافة بين مركز الإبرة وأقرب شق، ويمكن أن يكون أي قيمة من إلى نصف عرض لوح الأرضية، والزاوية التي تصنعها الإبرة مع الخط المار
بمركزها والموازي لخط لوح الأرضية، وهذا أيضًا يمكن أن يكون أي قيمة بين حتى . هذا الجانب الأخير من الحسابات يُدخل حساب المثلثات الدائري في
المسألة؛ ومن ثَم يؤدي في النهاية إلى حل يتضمن .
•••
وأخيرًا، ونحن ما زلنا نتحدث عن مسألة رقعة الشِّطْرنج، دعونا نفكر في السؤال
التالي.
(٦) كم عدد المربعات على رقعة الشطرنج؟
هذه المسألة ليست تافهةً كما تبدو لأننا طبعًا لا نعني فقط وحدة مربعة، بل أيضًا و كل المربعات الأكبر. مرة أخرى مثل مسألة العملة المتدحرجة، ربما تكون
أسهل قليلًا إذا حاولنا استخدام سمة هندسية أخرى تكافئ السمة محل النظر حاليًّا. لنكون
أكثر دقة، دعونا نقُل إن الأسهل، على سبيل المثال، أن نحصيَ كل المربعات ، عن طريق إحصاء مراكزها (شكل ٦-٣). يشكل مربع
الوحدة نفسه مركزًا لمربع إذا — وفقط إذا — لم يكن واقعًا على حافة الرقعة: هذه المربعات تمثل
رقعة صغيرة داخل الرقعة الأصلية؛ ومن ثَم يوجد مربعًا من هذا النوع. مراكز المربعات هي جميع أركان المربعات المكونة للرقعة الأصغر المركزية ؛ يوجد من هذه الأركان أي مربعًا . ومن ثَم فإن مجموع كل مربعات الوحدة، والمربعات ، والمربعات ، يساوي . ومن ثَم لا توجد صعوبة في أن تقتنع أن العدد الكلي للمربعات على هذه
الرقعة هو مجموع المربعات:
هذه الحُجة، طبعًا وبالمثل، ستحل المسألة لأي رقعة بأي أبعاد. ورغم
ذلك، فسيكون من الجيد أن نصل إلى صيغة لجمع المربعات كما وصلنا إلى واحدة لجمع الأعداد
الصحيحة (الفصل الأول، مسألة رقم ). وسوف نوجد واحدة في الفصل القادم.
شكل ٦-٣
•••
قبل عرض السؤال التالي، أود أن أقدم تمهيدًا بسيطًا. إذا كان لدينا أطفال و لعبات، فسيكون لدينا مشكلة؛ فعلى الأقل يجب أن يشترك طفلان في لعبة.
وهذا مثال على مبدأ مهم جدًّا في الرياضيات يعرف باسم «مبدأ برج الحمام» أو «مبدأ فتحات
حفظ رسائل البريد». وهذا المبدأ ينصُّ على أنه إذا كان لدينا خطابات عددها يجب وضعها في عدد من فتحات حفظ البريد وكانت (أي إن أكبر من )، فإن فتحة واحدة على الأقل يجب أن تحتويَ على خطابَين أو أكثر.
بتطبيق ذلك على مجموعة الأطفال التي تحدثنا عنها، يجب اعتبار اللُّعب وكأنها فتحات
البريد، والأطفال هم الخطابات؛ الصعوبة هي أن ومن ثَم فإحدى اللعب على الأقل يجب أن يتقاسمها طفلان (شكل ٦-٤).
شكل ٦-٤
هذه الفكرة يمكن استخدامها لكي نثبت، بما لا يدع مجالًا للشك، الأشياء التي تظهر
للوهلة الأولى بعيدة عن الوضوح. إذا كان ثمة مدينة بها ساكن، فإنه يوجد ساكنان على الأقل لهما نفس تاريخ الميلاد؛ لأن عدد
السكان يزيد على عدد أيام السنة. وللسبب نفسه، يوجد في لندن شخصان على الأقل لهما نفس
العدد من الشعر على رءوسهم: يوجد أكثر من ملايين شخص، لكن عدد شعر رأس أي فرد لا يزيد على ألف شعرة. (هذا ليس واضحًا من تلقاء نفسه، ولكنه قابل للتصديق بدرجة
كبيرة؛ وإذا ما شُكِّك به، يمكننا زيادة العدد لعدة ملايين وسيظل مبدأ برج الحمام ينتج
نفس النتيجة.) في الواقع يمكننا أن نقول أكثر من ذلك. يجب أن يكون في العاصمة على الأقل
شخص يحتمل أن يتساوى أحدهم في عدد شعر رأسه مع شخص آخر في لندن؛
والسبب في هذا أن عدد الناس في لندن الذين لا تنطبق عليهم هذه المقولة لا يمكن أن يزيد
عن ألف شخص. ها قد ظهر أمامنا شيء من تعقيد هذا المبدأ ودقته. وسوف
نستخدم الفكرة من ورائه لمعالجة مسألتنا التالية.
(٧) في أي حفل هل من الضروري أن يوجد شخصان لهما نفس العدد من الأصدقاء الحاضرين
الحفل؟
نعم، ضروري. ليكن عدد الناس في الحفل . (وبالطبع ستكون لأن الحفل لن يكون حفلًا إلا بحضور شخصين على الأقل.) وأكبر عدد من
الأصدقاء لأي شخص في هذا الحفل هو ، فمثلًا، المضيف قد يكون على عَلاقة جيدة بكل الضيوف الذين دعاهم.
وأقل عدد هو . (هذا يبدو سيئًا لكن من الممكن أن يكون هناك متطفل على الحفل.)
والآن لنفترض العكس، أي إنه لا يوجد شخصان في الحفل لهما نفس العدد من الأصدقاء. لكل
مشارك في الحفل، يوجد عدد مرفق، وسوف نطلق عليه «عدد الأصدقاء»، وهو يتراوح ضمنيًّا ما
بين ، و. ونفترض أن جميع هذه الأعداد مختلف بعضها عن بعض. ليس هذا سهلًا لكنه
يبدو ممكنًا: يوجد أعداد مختلفة قدرها توزع بين عدد من الأشخاص، وهذا يعني أن كلًّا من هذه الأعداد ( و و و… و) استخدم مرة واحدة. إلا أن هناك تفصيلة نهائية تجعل هذا الأمر
مستحيلًا. لنفترض أن شخصًا ما عدد أصدقائه (ليس لديه أي صديق في الحفل) وشخصًا آخر عدد أصدقائه هو ، هذا يعني أن يعتبر كل من في الحفل، بما فيهم ، أصدقاءه. على أية حال، إذا كان و أصدقاء فإن لا يمكن أن يكون له عدد من الأصدقاء. وبذلك نكون قد وصلنا إلى النتيجة أن الافتراض بعدم وجود
شخصَين لهما نفس العدد من الأصدقاء يؤدي إلى تناقض منطقي؛ ومن ثَم فإن هذا الافتراض
خاطئ. البديل الوحيد هو أن هناك مدعوَّين في الحفل لهما عدد متساوٍ من الأصدقاء حاضرون
في الحفل، ويجب أن يكون الأمر كذلك، في كل حفل أقيم في الماضي أو سيقام في المستقبل أو
في أي وقت.
•••
وفيما يلي مسألة أخرى تتعلق بالحفلات.
(٨) في أي حفل من ستة أفراد أو أكثر، هل يوجد بالضرورة ثلاثة يعرف بعضهم بعضًا أو ثلاثة
غرباء؟
الإجابة نعم، والحُجة التي سأقدمها هنا لترسيخ هذه القاعدة بسيطة ولكنها دقيقة جدًّا.
وتكمن الصعوبة في أن وجود ستة أشخاص في الحفل، مثلًا، يقتضي وجود الكثير من الترتيبات
الممكنة لشكل المعرفة بينهم. وحُجتنا ينبغي أن تكون قادرةً على التعامل معها جميعًا.
وإذا انحرفنا عن الصواب، فسننجرف في عدد رهيب من الحالات. مرة أخرى، نحن في حاجة إلى
وضع إصبعنا على المفتاح الرئيسي للمسألة.
لنأخذ أي ستة أفراد في الحفل ونركز على واحد
منهم ولنسمِّه (شكل ٦-٥). إما أن يعرف على الأقل ثلاثة من الخمسة الآخرين، أو إذا لم يكن يعرف، فهناك
على الأقل ثلاثة منهم لا يعرفهم. (هذا هو المكان الوحيد الذي نستغل فيه حقيقة وجود ستة
أفراد.) ولنفترض الآن أن يعرف ثلاثةً من هؤلاء. إذن، فإما أن يكون هؤلاء الثلاثة غرباء بعضهم
عن بعض، وفي هذه الحالة وُجد المثلث المطلوب من ثلاثة لا يعرف أحدهم الآخر، أو على
الأقل اثنان منهم و مثلًا يعرف أحدهما الآخر. ومن ثَم يجب أن نلاحظ فقط أن ثلاثة أفراد و و يشكلون مثلثًا من المعرفة المتبادلة. في الحالة البديلة حيث يوجد
ثلاثة أشخاص لا يعرفهم ، فإن الحُجة هي نفسها، أنت تحتاج فقط إلى تطبيقها مرة أخرى عن طريق
مبادلة «المعرفة المتبادلة» و«عدم المعرفة المتبادلة». نستنتج من ذلك أنه من المستحيل
تجنب ثلاثي المعرفة المتبادلة أو عدم المعرفة المتبادلة عندما يجتمع ستة أفراد أو أكثر
معًا.
شكل ٦-٥
نحن نحتاج حقًّا لستة أفراد على الأقل لاستخدام
هذه الحُجة. لرؤية ذلك، تصور حفلًا من خمسة أفراد يجلسون حول مائدة عشاء، وافترض أن كل
فرد يعرف الفردَين الجالسَين بجواره فقط ولا يعرف الفردين الآخرين. في هذا الحفل لا
توجد مجموعة من ثلاثة يعرف أحدهم الآخر وأيضًا لا
يوجد ثلاثة لا يعرف أحدهم الآخر، كما يمكن رؤيته برسم صورة مناسبة.
شكل ٦-٦
بعض المسائل التي تطرَّقنا إليها يمكن تعميمها
بسهولة على أعداد أكبر، لكن هذه المسألة لا يمكن تعميمها. لفهم ما أريد قوله، فكر في
المسألة نفسها، ولكن هذه المرة اسأل نفسك: ما عدد الموجودين بالحفل حتى نتأكد من وجود
مجموعة من أربعة أفراد يعرف بعضهم بعضًا أو أربعة غرباء لا يعرف أحدهم الآخر. ستجد أنه
من الصعب تعميم النهج الذي اتبعناه سابقًا. ويمكن أن يساورك الشك أنه لا توجد إجابة
للسؤال؛ فعلى الرغم من كل شيء، من الممكن تفهُّم أنه مهما كان عدد الأفراد المشاركين
في
الحفل كبيرًا، فربما يمكن ترتيب الأمور بحيث لا يظهر أبدًا أي نوع من الرباعيات
المطلوبة. ولكن الحقيقة ليست كذلك، وهذا ما أثبته عالم الرياضيات الإنجليزي فرانك رامزي
في الثلاثينيات من القرن العشرين. وتعد نظرية رامزي هي نتيجة عبقرية مفيدة في رياضيات
التوافيق التي تؤكد أنه إذا أُعطيت أي عدد ، في أي تجمع كبير بما يكفي من الناس (أصغر عدد يعتمد على ) توجد مجموعة من من الأفراد الذين يعرف بعضهم بعضًا أو لا يعرف بعضهم بعضًا. على سبيل
المثال أنت في حاجة لعدد شخصًا على الأقل لتضمن وجود مجموعة من أربعة أشخاص؛ ونحن نقول إن عدد
رامزي الرابع هو . ولا أحد يعرف قيمة العدد الخامس أو أي عدد تالٍ لرامزي، ولكنها
موجودة بالفعل؛ وقد أثبت رامزي ذلك.
•••
مسألتنا التاسعة تتعلق بموضوع سنتناوله في الفصل الأخير، وهو موضوع الشبكات. وهي
مسألة كلاسيكية تعرف باسم «جسور كونيجزبرج». تقع مدينة
كونيجزبرج البروسية القديمة على ضفتَي نهر بريجوليا،
وقد أُنشئ فيها سبعة جسور تُوصل إلى الضفتين وكذلك إلى جزيرتين في وسط النهر (انظر شكل
٦-٦). فيما يلي السؤال المطروح:
(٩) هل يمكن للمرء أن يعبر كل جسور مدينة كونيجزبرج مرة واحدة فقط؟
المواطنون الذين لم يصلوا إلى إجابة لهذا السؤال طلبوا عون عالِم الرياضيات أويلر،
وقد شرح لماذا لا يمكن القيام بذلك. ورغم سهولة المسألة، فقد كانت الأولى في نظرية
الشبكات؛ ومن ثم كانت تحتاج لنهجٍ جديد: فحتى ذلك الوقت لم تكن هذه المسألةُ تُعامَل
على أنها مسألة رياضية.
فيما يتعلق بشبكة الجسور، يوجد أربعة أماكن فقط يمكن أن يبدأ المشي منها، كما تشير
الحروف المكتوبة على شكل ٦-٦. التبسيط الأول في الطريقة التي ننظر
بها إلى المسألة هو تمثيل هذه الأماكن الأربعة (ضفتي النهر والجزيرتين) كعُقَد أو نقاط
في شكل توضيحي. ثم نرسُم خطًّا للدلالة على كل جسر يربط بين عقدتين، لنحصل على الرسم
التوضيحي في شكل ٦-٧، وهو شكل بسيط ويحتوي كل المعلومات ذات
الصلة بالمسألة.
شكل ٦-٧
فلنفترض أن هناك شخصًا ما عبر كل الجسور مرةً واحدة فقط. سوف تبدأ الرحلة عند عُقدة
وتنتهي عند عُقدة (ربما تكون نفس عُقدة البداية)، ولكن سيوجد على الأقل عُقدتان لن
يكونا نقطتَي البداية أو النهاية في الرحلة. لتكن هي إحدى هاتين العُقدتين. لذلك سوف نصل إلى عددًا من المرات ونغادر عددًا مساويًا من المرات. وهذا سوف يجعلنا نستخدم عددًا زوجيًّا من
الجسور؛ في كل مرة تصل إلى ثم تغادرها تستخدم عددًا زوجيًّا من الجسور التي لن يُسمَح بعبورها
ثانية. ومن ثَم فإن يجب أن تتصل بعدد زوجي من الجسور.
للأسف الشديد هذا لا ينطبق على أيٍّ من العُقَد الموجودة في الشكل: تتصل بخمسة جسور، في حين أن كلًّا من العُقَد الأخرى تتصل بثلاثة
جسور لكل منها. وهذا يعني أنه لا يوجد مسار تنطبق عليه الخصائص التي نبحث عنها.
هذا النوع من المسائل أصبح مألوفًا ومعروفًا شعبيًّا كلُغز: ارسم هذا الشكل دون أن
تمر على نفس الخط مرتين (أي إن الجسر لا يُعبَر مرتين) ودون أن ترفع القلم عن الصفحة
(لا تقفز). سوف نحُل هذا النوع من المسائل بشكلٍ كامل في الفصل العاشر، إلى جانب مجموعة
من التطبيقات المختلفة، بعضها أكثر حداثة. في المقابل، مسألتنا التالية قديمة جدًّا في
الواقع وقد نسبت إلى العَالِم هيرون السكندري في عام ٧٥
ميلادية تقريبًا.
•••
ماري تعيش في وترغب في زيارة جدتها في بعد أن تشرب من النهر كما هو واضح في شكل ٦-٨.
شكل ٦-٨
(١٠) ما أقصر طريق تأخذه ماري في رحلتها؟
لأن أقصر مسافة بين نقطتين هي الخط المستقيم، فإن طريق ماري سيتكون من خطين متصلين،
الأول من إلى نقطةٍ ما على النهر، والثاني من إلى (شكل ٦-٨). السؤال الوحيد المتبقي هو: كيف تختار
ماري النقطة ؟
هذا السؤال قد يكون محيرًا حتى نرى أنه سؤال عن
الانعكاس. لننظر إلى السؤال من هذا المنطلق. لنفترض أن ماري لها أخت توءم اسمها ماريا
تعيش معها وترغب في زيارة أخت جدتها التوءم التي تعيش عند التي تقع في الجهة المقابلة تمامًا من على الضفة الأخرى من النهر، تمامًا على نفس المسافة من ضفة النهر مثل . سوف تنتقل الأختان معًا إلى نقطة متفق عليها على النهر، ويشربان معًا من النهر، ثم يتفرقان فتتجه ماري
إلى وماريا إلى . (ماريا عليها عبور النهر ولكن هذا لا يغير من حل المسألة.)
حيث إن تقع على انعكاس بالنسبة للخط الذي تصنعه ضفة النهر، فإن المسافتين و متساويتان لأن هي انعكاس . ومن ثَم يمكننا تقصير رحلة ماري إذا قصرنا من طول رحلة ماريا، ولكن
هذا سهل؛ لأن ماريا لتقصير رحلتها قدر الإمكان، عليها أن تنتقل في خطٍّ مستقيمٍ من إلى . ومن ثَم حدَّدنا أفضل موقعٍ للنقطة : وهي تقاطع خط ضفة النهر مع الخط الواصل بين و حيث هي انعكاس ، بالنسبة لخط النهر.
توجد صلة وثيقة حقيقية ما بين هذه المسألة الجميلة وسلوك الضوء. حيث إن شعاع الضوء
المرسل من ليصطدم بمرآة وضعت عند بحيث يكون وجهها على خط النهر سوف ينعكس إلى لأنه، كما نرى في شكل ٦-٩، وضعت في هذا الموقع بحيث تكون الزاوية التي يصنعها النهر مع تساوي التي يصنعها مع . وهذا يوضح الكفاءة الطبيعية للضوء؛ لأننا نرى أن الشعاع الضوئي يأخذ
أقل وقت ممكن لينتقل من إلى عبر ضفة النهر.
شكل ٦-٩
هذا مثال على مبدأ فيرما لأقل زمن، الذي ينطبق أيضًا على انتقال الضوء عبر الأوساط
المختلفة الكاسرة للأشعة كما هو موضح في شكل ٦-١٠. شعاع الضوء هنا
لا ينتقل عبر أقصر مسار من إلى ولكن عبر المسار الذي يحتاج لأقل زمن: الخط
المستقيم من إلى سينطوي على اضطرار الشعاع للمرور عبر الوسط الأكثر كثافة، الزجاج؛
ومن ثَم ستقل سرعته؛ ومن ثَم فإن الضوء الذي سينتقل عبر هذا المسار (إذا كان هذا
مقبولًا من الناحية الفيزيائية) سوف يستغرق وقتًا أطول للوصول إلى مقارنة بالوقت الذي سيستغرقه إذا اتخذ المسار الموضح. ويمكننا أن
نستنتج من مبدأ فيرما قانون الانكسار الذي يطلق عليه أيضًا قانون سنيل، وهو يخص النسبة
بين جيبي زاوية سقوط وزاوية انكسار الشعاع المار بين وسطَين شفافَين.
شكل ٦-١٠
الفكرة الكامنة وراء هذه المسألة عادت للظهور في القرن التاسع عشر، في سياق يبدو أنه
مختلف تمامًا؛ وهو إيجاد احتمالات أن المرشح الفائز في انتخابات سيظل متصدرًا طَوال
فترة إحصاء الأصوات. وسوف نرى كيف نجيب عن هذا النوع من الأسئلة باستخدام مبدأ الانعكاس
في الفصل الثامن.
•••
المسألة الآتية يمكن التفكير فيها بنفس الطريقة. توجد نملة على السطح الخارجي لكوب
زجاجي أسطواني الشكل ارتفاعه بوصات ومحيطه بوصات. في داخل الكوب وعلى بعد بوصة واحدة من أعلاه توجد قطرة من عسل
النحل. والنملة تقف على الجانب العكسي من الكوب بالنسبة لقطرة العسل وعلى بعد بوصة
واحدة من قاع الكوب.
(١١) كم تبعد النملة عن قطرة العسل؟
السؤال سيكون أسهل جدًّا إذا تناولناه متصورين
أن الأسطوانة قد فُتحت وتم فردها لتصبح مستطيلًا مستويًا. (مع التخلص من قاع
الأسطوانة!) النملة التي تبدأ عند النقطة ، يجب أن تسير صاعدةً على السطح الخارجي للكوب إلى أن تصل إلى النقطة ثم تنزل إلى أسفل حتى تصل إلى العسل عند النقطة : انظر شكل ٦-١١. ويمكننا أن نرى الآن أن هذه ليست
إلا صورة أخرى من مسألة هيرون، مع إحلال النقطة محل النقطة الأصلية والنقطة محل النقطة ؛ والمطلوب هو تعيين النقطة غير المعروفة على حافة الكوب.
مرة أخرى نستخدم مبدأ الانعكاس: تقابل ومن ثَم فإن هي نقطة تقاطع الخط الواصل من إلى مع الحافة العليا للكوب. ومن ثَم فإن طول أقصر مسار يساوي ، ومن نظرية فيثاغورث نجد أن: أي إن الطول يساوي بوصات.
شكل ٦-١١
لا ينبغي أن تخجل أبدًا من أن تتشكك في أي حُجة مثيرة للرِّيبة مثل هذه الحُجة؛ فرغم
أنها صحيحة، فهي تنطوي على وثبة في التفكير وهو ما يجب أن نلاحظه على الأقل. نحن لم
نُجب عن سؤال الأسطوانة، ولكن أجبنا عن سؤال المستطيل الناتج من قص الأسطوانة لفتحها.
فهل هذا يغير المسألة؟ مؤكد أننا إذا حاولنا التعامل مع مسألة مماثلة عن الكرة بفردها
لتصبح مستوية، فإن الانحرافات الناتجة ستؤدي إلى إجابة خاطئة. الشيء الجيد في الأسطوانة
هو أنها ليست منحنية في الحقيقة؛ ومن ثَم فإن فرد السطح المنحني للأسطوانة لا يسبب أي
تشويه. لا سيما أن طول أي مسارٍ على الأسطوانة لن يتغير بعد فردها. تخيل نفسك قطعة من
الخيط مفرودة على سطح أسطوانة دون مط. عند فتح الأسطوانة فإن شكلك سيتحول من منحنًى إلى
خط مستقيم لكن بنفس الطول؛ ولن يتم مطك وفي الوقت نفسه لن تكون متراخيًا. وهذا هو السبب
في أن المسألتَين متكافئتان وأن حل الثانية يعني حل الأولى.
•••
إذا كنت مستعدًّا لأن تعتقد أننا يمكننا أن نفعل هذا الشيء مع الأسطوانات، إذن فنحن
نستطيع حل المزيد من المسائل كالمسألة التالية.
(١٢) ما حجم كعكة الدونات؟
الاسم الرياضي الصحيح لشكل الدونات هو الطارة (شكل ٦-١٢(أ)). وهو
الشكل الناتج من دوران دائرة حول خط «المحور» في مستوى الدائرة، بحيث لا يتقاطع الخط
مع
الدائرة. ولتكن هي نصف قطر الدائرة، و هي المسافة من مركز الدائرة حتى محور الطارة (كما في شكل ٦-١٢(ب)).
شكل ٦-١٢
تعد الطارة واحدة من الكائنات الرياضية الأساسية في الكون. وهذه الحقيقة ليست واضحةً
بذاتها على الإطلاق؛ ولذا فأنا حريص على ذكرها على سبيل التحذير. الكثير من كتب
الرياضيات، وعلى الأخص كتب الطوبولوجيا، يمكن أن تثير حنقك بعدم توضيحها القاطع للأشياء
التي يمكن أن تنفذ على سطح الطارة أو لا؛ ومن ثم فمطالعتها قد تبدو أسوأ طريقة تقضي بها
يوم عطلتك في المنزل، حتى وإن كانت السماء تمطر بغزارة مانعةً إياك من الخروج. إلا أن
هذه الأسئلة مهمة بحق. ولكني لن أحاول أن أثبت هذا الآن؛ وإنما سأبدأ في شرح كيفية
إيجاد حجم الدونات.
شكل ٦-١٣
الفكرة أن نقطع الدونات عبر مقطع عرضي دائري ثم نفردها بحيث تصبح أسطوانة مشطوفة
عند
الطرفين بمقدار نصف أسطوانة من كل طرف (شكل ٦-١٣). ويمكننا تشكيل
أسطوانة كاملة واحدة من هذا الكائن عن طريق قطع نصف الأسطوانة من أحد الطرفين، ثم قلبه،
وتركيبه عند الطرف الآخر بحيث يكمل نصف الأسطوانة الناقص في هذا الطرف. كما تتذكر، حجم
الأسطوانة هو مساحة القاعدة في الارتفاع. وفي هذه الحالة قمنا بإعادة تشكيل الطارة إلى
أسطوانة نصف قطرها ، وهو نصف قطر القطاع العرضي الدائري للطارة، وارتفاعها هو طول محيط
الدائرة التي نصف قطرها ويساوي . ومن ثَم فإن الحجم للطارة هو . أي:
بطريقة مماثلة، مساحة سطح الطارة تساوي مساحة سطح الأسطوانة. وعندما
نقص الأسطوانة لفتحها بشكل موازٍ لمحورها ثم نفردها بحيث تصبح مستوية، فإننا نشكل
مستطيلًا ارتفاعه يساوي ارتفاع الأسطوانة وعرضه هو محيط قاعدتها. مساحة هذا المستطيل،
ومن ثَم مساحة سطح الطارة هي أي:
