المتسلسلات

(١) بعض أمثلة للمتسلسلات

تنطوي بعض من أبسط المسائل التي تقابلها في البداية في الرياضيات على اكتشاف الأنماط في متتابعة من الأعداد. وهذا، بطبيعة الحال، يؤدي إلى أسئلة عن المتسلسلات، وعن جمع متتالية من الأعداد، وسرعان ما يجد المرء نفسه في المياه العميقة، وربما دون أن يدرك ذلك. وعلى الرغم من أن هذا الكتاب لا يمثل مقررًا في هذه الأمور، فإنني يرضيني أن أصف في هذا الفصل نتائج عن المتسلسلات، لا أن أذكر كيفية الوصول إلى هذه النتائج. أمَّا في الحالات التي تخضع فيها المتسلسلات لعمليات بسيطة وقصيرة، فسوف أقدم شرحًا كاملًا.

على مدى القرون القليلة السابقة، استُثمِر كمٌّ مذهل من الجهد والإبداع العبقري في المسائل التي تنطوي على جمع متسلسلة من الأعداد. بالطبع يمكننا دائمًا جمع أي مجموعة معينة من الأعداد؛ وما أُشير إليه هنا هي المسائل المتعلقة بالمتسلسلات غير المنتهية مثل:

في حين أن بعض المتسلسلات لا يمكن التعامل معها إلا باستخدام آلاتٍ رياضية مُعقدة، فإن بعضها الآخر من السهل التعامل معه بقواعد الجبر البسيطة، بما في ذلك المثالان السابقان اللذان سنتحدَّث عنهما في وقتٍ لاحق.

• في المتسلسلة ) 7-3 (: يعتبر الحد الذي ترتيبه هنا هو وتعرف هذه المتسلسلة باسم المتسلسلة التوافقية. ما الذي نعنيه بقولنا إن المجموع لا نهائي؟ لنبدأ الشرح بمثال أبسط.

  متسلسلة مثل:

  من الواضح أنها تتباعد إلى اللانهائية، بمعنى أنه كلما جمعنا حدودًا أكثر من المتسلسلة زاد المجموع متجاوزًا كل الحدود؛ في هذه الحالة مجموع من الحدود الأولى هو . لقد رأينا أن هذا لا يحدث دائمًا، وفي الواقع، ما دامت حدود المتسلسلة تقترب من الصفر، فإن المجموع المأخوذ من متسلسلة غير منتهية من الأعداد الموجبة قد يقترب من حدٍّ معين: على سبيل المثال، لننظر إلى مثالنا ) 7-1 (؛ كلما جمعنا أكثر وأكثر من الأعداد من هذه المتسلسلة اقتربت المجاميع أكثر من القيمة النهائية . نفهم من ذلك إذن أن السؤال عن متسلسلة غير منتهية تتقارب إلى حدٍّ معين لا يثار إلا إذا كانت حدود المتسلسلة تتقارب من الصفر. والآن المتسلسلة ) 7-3 ( تستوفي هذا المعيار: كلما زاد ، تتناقص الحدود بانتظام مقتربة من الصفر؛ ولذا يبدو أن هناك احتمالَ أن يقترب مجموع الحدود من قيمة نهائية مثلما حدث في المتسلسلة ) 7-1 (. لكن ليس هذا هو ما يحدث: إذ تتباعد المتسلسلة إلى ما لا نهاية، بمعنى أنه لأي عدد سواء أو ملايين، فإن هذا العدد سيجري تجاوزه إذا جمعنا حدودًا كافية من المتسلسلة. وهذا الموضوع ليس واضحًا من تلقاء نفسه، إلا أنني سوف أثبت بعد قليل أنه صحيح. عدد الحدود المطلوب لتجاوز سيكون أكثر من ، أما عدد الحدود المطلوب لتجاوز ملايين فهو كبير بدرجة هائلة.
  ما الفرق بين المتسلسلة ) 7-1 (، والمتسلسلة ) 7-3 ( الذي قد يكون مسئولًا عن التفاوت في سلوكيهما؟ يكمن الفرق المهم في حقيقة أن الحدود في المتسلسلة الأولى تتقارب إلى الصفر بسرعة أكبر بكثير من حدود . بالنسبة للقيم الكبيرة من ، فإن الحدَّين بالطبع صغيران جدًّا، ولكن الحد الذي ترتيبه في المتسلسلة الأخيرة لا يزال أكبر بكثير جدًّا من الحد الذي ترتيبه في المتسلسلة الأولى. على سبيل المثال، إذا كانت (لقد اخترنا العدد لا لشيء إلا لأنه يعتبر قوة للعدد ؛ ومن ثم فإن الحسبة التالية تصبح بسيطة):
  ومن ثَم لقيمة ، فإن أكبر آلاف المرات من .
• المتسلسلة ) 7-4 (: هي مثال لمتسلسلة هندسية (غير منتهية) وهي في الحقيقة مماثلة للمتسلسلة ) 7-1 (؛ فلكي تمرَّ من حدٍّ إلى الحد التالي عليك أن تضرب في عدد ثابت، وهو ما يُطلق عليه النسبة المشتركة أو أساس المتوالية الهندسية وهو يساوي في هذه الحالة. الحد الذي ترتيبه هو ؛ وبالمثل الحد العام في المتسلسلة ) 7-1 ( هو حيث النسبة المشتركة هي . ومن السهل التعامل مع المتسلسلات الهندسية وهي مهمة بذاتها وأيضًا بوصفها أدوات لمعالجة أسئلة متسلسلات أكثر صعوبة. وسوف نرى كيف نوجد مجموع متسلسلة هندسية في وقت لاحق.
• المتسلسلة ) 7-5 (: هي متسلسلة توافقية بإشارات متناوبة. من السهل جدًّا الاقتناع أن هذه المتسلسلة تتقارب من حدٍّ معين، بمعنى أن المجاميع المتعاقبة تقترب أكثر وأكثر من نهاية ما. إذا قمنا بتمييز بعض المجاميع المتعاقبة من المتسلسلة على خط الأعداد، كما في شكل ٧-١، فإنه يصبح واضحًا تمامًا ماذا يحدث. فالمجاميع المتعاقبة من المتسلسلة تتقافز على جانبَي قيمة نهائية، وتصبح القفزات أصغر وأصغر في كل مرحلة. وتنطبق هذه الملاحظة على أي متسلسلة من هذا النوع: فإذا كانت المتسلسلة متناوبة الإشارة وكانت القيمة المطلقة لكل حد أصغر من الحد الذي سبقه، فإن المتسلسلة تتقارب. في الواقع يمكن أن نقول أكثر من ذلك: إذا قمنا بإيجاد مجموع أول عدد من الحدود، فإن الفرق بين هذا المجموع ومجموع المتسلسلة كلها لن يزيد على ، وهو الحد التالي في المتسلسلة. في هذه الحالة، على سبيل المثال، مجموع الحدود الخمسة الأولى هو:
  وهو يزيد على القيمة النهائية بمقدار وهو أقل من وهو الحد التالي في المجموع. مرة أخرى اختبار شكل ٧-١ يجب أن يقنعك بصحة هذه الملاحظة: عند أي مرحلة في المجموع، الحد التالي يدفعك لتجاوز حد النهاية، وهو ما يبين أن مجموع أول عدد من الحدود في المتسلسلة أقرب إلى حد النهاية من .
  

  شكل ٧-١
  هذا لا يساعدنا على أية حال في إيجاد القيمة الدقيقة لمجموع المتسلسلة ) 7-5 ( وهو (الرمز يعني اللوغاريتم الطبيعي، الذي يستخدم الأساس ). من الواضح أن هذه مسألة أصعب في الحل، فمن أين سيأتي اللوغاريتم على أية حال؟ هذه النتيجة ليست أساسية؛ ومن ثَم فهي تقع خارج نطاق هذا الكتاب؛ إذ تحتاج للقليل من التفاضل والتكامل لإيجادها.
• المتسلسلة ) 7-6 (: أيضًا متسلسلة متناوبة الإشارة لحدود دائمة التناقص؛ ولهذا، كما في المثال الأخير، المتسلسلة تتقارب إلى نهاية، ولكن مرة أخرى القيمة النهائية، ، تعتبر قيمة غير متوقعة، فمن أين يأتي المقدار ؟ مرة أخرى هذه نتيجة نحصل عليها من خلال استخدام التفاضل والتكامل.
• في المتسلسلة ) 7-7 (: نجمع مقلوبات مربعات الأعداد؛ أي إن الحد العام هو . نظرًا لأن المتسلسلة التوافقية ) 7-3 ( لم تتقارب إلى قيمة نهائية، فقد تندهش من أن هذه المتسلسلة تفعل. وعلى الرغم من ذلك، فإن الحد الذي ترتيبه في هذه المتسلسلة وهو هو أصغر بمقدار من المرات من الحد الذي ترتيبه في المتسلسلة التوافقية ، ويبدو أن هذا كافٍ لدفعها للتقارب. ومع ذلك فهذا غير واضح، ويحتاج لبعض التفسير. في هذا المثال، لا يخرج البرهان خارج حدود اهتمام الكتاب، ولكنه ينطوي على خدعة بسيطة سوف نتحدث عنها في وقت لاحق. إلا أن القيمة النهائية الغامضة ، سوف تظل خارج نطاق هذا الكتاب. فالطريقة المعتادة للحصول على هذه النتيجة هي استخدام تقنيات معينة من تقنيات متسلسلة فورييه، وهي تعتبر تقنيات مهمة في دراسة الموجات والحركة الدورية.
• في المتسلسلة ) 7-8 (: هل وجدت النمط هنا؟ الحد الذي ترتيبه في هذه الحالة هو . وهذا يبدو تقريبًا مثل المتسلسلة ) 7-7 (، وفي الواقع سوف نرى كيف نستخدم التقارب في ) 7-8 ( لإثبات التقارب في ) 7-7 (. لحسن الحظ هناك خدعة جبرية بسيطة تثبت أن مجموع المتسلسلة ) 7-8 ( يساوي بالفعل ، كما سترى لاحقًا.
• المتسلسلة ) 7-9 (: هي متسلسلة صعبة للغاية بالتأكيد. فهي ببساطة مجموع مقلوب مكعبات الأعداد؛ ولهذا فهي شبيهة جدًّا بالمتسلسلة ) 7-7 (. ومن المؤكد أنه ليس من الصعب أن نثبت أن المتسلسلة تتقارب إلى نهايةٍ ما، ويمكن حساب هذه النهاية إلى أي عدد من الأماكن العشرية. ولكن ما ينقصنا هو إيجاد صيغة للمجموع بدلالة أعداد أخرى مثلما فعلنا في المتسلسلات ) 7-5 ( و) 7-6 ( و) 7-7 (. في الواقع، كانت صفة هذه القيمة النهائية غير معروفة حتى السنوات الأخيرة عندما أثبت الرياضي الفرنسي إيبري أنها قيمة غير نسبية. أما بالنسبة لمجموع معكوسات القوى الخامسة وما بعدها من القوى الفردية، فلم يحدد بعد. في المقابل، من المعروف، منذ زمن، أن مجموع معكوسات القوى الزوجية للأعداد الموجبة يمكن التعبير عنه كمضاعفات نسبية لقوى العدد ، (مجموع ) 7-7 ( كمثال) ومن ثَم فمجموع المعكوسات غير نسبي.

• المتسلسلة ) 7-10 (: هي متسلسلة أخرى متناوبة الإشارة، الحد الذي ترتيبه لها هو ، مضروبًا في وَفقًا لكون فرديًّا أو زوجيًّا. هذه المتسلسلة تتقارب بسرعة كبيرة؛ إذ إن الفرق بين مجموع أول عدد من حدودها وبين القيمة النهائية؛ دائمًا ما يكون أقل من الحد التالي . فمثلًا، قارن مجموع أول ثمانية حدود، وهو يساوي ، بالقيمة النهائية . ستجد أن الفرق هو فقط.
  يمكن أن تكون مثل هذه المتسلسلات التي تتقارب بسرعة وسيلة مفيدة في الحسابات العملية. ويبدو أن هذه المتسلسلة على الأخص هي حل المسألة الطريفة التالية. لنفترض وجود عدد من الخطابات المختلفة وأيضًا عدد من الأظرف. ظن أحد الموظفين المهملين أن الخطابات محض مراسلات دورية متطابقة، فوضع كل خطاب في ظرف عشوائيًّا. فما احتمال عدم تطابق أيٍّ من الخطابات مع العنوان المدون على الظرف الذي وُضع فيه؟
  يمكن حل هذه المسألة، بفضل أويلر، باستخدام ما يُعرف بمبدأ التضمين والاستبعاد. ونحن لن نتعمق في ذلك باستثناء أننا سنقول إن الإجابة هي مجموع أول عدد من الحدود في المتسلسلة ) 7-10 (. ولهذا نتيجة مفاجئة لا تتفق مع الحدس للوهلة الأولى. الحدود اللاحقة من المتسلسلة صغيرة جدًّا بحيث يمكن عمليًّا إهمالها. وهذا يعني أنه إذا كان ، وهو عدد الخطابات، أكبر من تقريبًا، فإن الإجابة ستكون تقريبًا نفسها وتقترب من القيمة النهائية . بعبارة أخرى، إذا كان هناك خطاب، فإن هناك احتمالًا أكبر من أن يكون الموظف المسكين قد أرسل جميع الخطابات خطأ! وهو بلا شك سيظن نفسه سيئ الحظ جدًّا حتى يُخطئ مرة في مرة، ولكن الرياضيات للأسف تدينه.

• في المتسلسلة ) 7-11 (: الحد الذي ترتيبه هو . مرة أخرى يمكنك تقدير هذا المجموع بقليل من التفاضل والتكامل. ومع ذلك، فحساب التفاضل والتكامل ليس ملزمًا؛ إذ يمكنك الحصول على النتيجة عن طريق إعادة كتابة ) 7-11 ( كمتسلسلة هندسية وجمعها معًا. وهذه حالة أخرى ينطوي فيها النهج الأساسي على عمل أكثر من استخدام التقنيات الأكثر تطورًا. ففي الرياضيات كلمة «أساسي» لا تعني بالضرورة السهولة؛ فهي تعني فقط أن المسألة قد حُلت دون اللجوء إلى الرياضيات الأكثر تعقيدًا.
• المتسلسلة ) 7-12 (: هي متسلسلة من نوع مختلف؛ مجموع معكوسات الأعداد الأولية. وعلى الرغم من وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية كما رأينا في الفصل الرابع، فإن هذا لا يستتبع بالضرورة أن تتباعد هذه المتسلسلة مثلما حدث في المتسلسلة التوافقية ) 7-3 (. فرغم كل شيء، يوجد عدد لا نهائي من القوى للعدد ، ولكن مجموع معكوسات قوى ، كما وضحنا في ) 7-1 (، له قيمة نهائية هي . ويكفي القول إن البرهان القياسي على أن مجموع معكوسات الأعداد الأولية يتباعد؛ برهانٌ قصيرٌ جدًّا وبُدائي، على الرغم من احتوائه على ملاحظة دقيقة. ولكني لن أذكرها هنا.

(٢) المتسلسلات المنتهية

رأينا في الفصل الأول، السؤال السابع ما يلي:

أي إن:

وهي نفس النتيجة التي رأيناها هندسيًّا في السؤال السادس في الفصل الأول.

ثمة سؤال شائع في اختبارات الذكاء وهو أن تكتب الأعداد الثلاثة التالية في متتابعة مثل:

وفي الواقع تعتبر متتابعة المربعات:

هي أيضًا من نفس نوع متتابعة الفروق، كما رأينا من قبل مرتين، أي إنها متتابعة حسابية للأعداد الفردية.

لنأخذ المجموع الغريب التالي:

ومع ذلك، هناك شيء يمكننا تعلُّمه إذا ادَّعينا للحظة أننا لم نلاحظ هذا. فالحد القياسي في هذا المجموع هو:

يجب أن نكون فضوليين بما يكفي للسؤال عما يحدث إذا أبدلنا الفرق بين مكعبين بالفرق بين مربعين، هل سنحصل على شيءٍ جديد؟ دعونا نُلقِ نظرة على:

و

(٣) المتسلسلات الهندسية

تُعدُّ المتسلسلات الهندسية أهم فئة من المتسلسلات. وهي تظهر باستمرار في التطبيقات ولا سيما في دراسة الفائدة المركبة (بل إنها تتغلغل في معظم مبادئ الاقتصاد الأساسية) وكذلك في مواضيع مثل النمو السكاني.

إذا جمعنا المتتابعة الهندسية، حصلنا على المتسلسلة الهندسية:

ثم نقوم بفك هذا باستخدام قانون التوزيع، فنحصل على:

ومن ثم نجد أن الحدين الأول والأخير فقط هما من سيتبقيان بعد الحذف، فيصبح لدينا:

حبة قمح! من الواضح أن الملك لم يكن يدرك سرعة تزايد المتسلسلة الهندسية. (وعلى الرغم من أن الملك بدا أحمق، فإننا على يقين من أنه كان سمحًا وأخذ الأمر بصدر رحب.)

ولكننا دخلنا بالفعل إلى عالم المتسلسلات غير المنتهية.

(٤) المتسلسلات غير المنتهية

المتسلسلات غير المنتهية تكون أسهل في التعامل معها من المتسلسلات المنتهية، فمثلًا في حالة المتسلسلة الهندسية غير المنتهية:

وهذه أيضًا فرصة لإعادة النظر في مسألة لعبة الروليت الروسية (السؤال الرابع في الفصل السادس). تذكر أن هناك فرصةً واحدة من ست طلقات تطلق على كل لاعب في دوره. احتمال أن تكون الطلقتان فارغتَين لكلا اللاعبين في أي جولة معينة هو:

مما يؤكد الحل الذي وصلنا إليه في الفصل السابق. هذا النهج يتطلب المزيد من العمل، ولكنه يكشف عن بعض المعلومات الإضافية.

لنلقِ نظرة على بعض المتسلسلات غير المنتهية غير الهندسية. كما ذكرنا من قبل، المتسلسلة التوافقية — مجموع معكوسات الأعداد الصحيحة الموجبة — تتباعد، أي إن:

تتزايد متجاوزة كل الحدود (على الرغم من أن ذلك يتم ببطء شديد). حدود المتسلسلة صغيرة، ولكنها ليست في صغر حدود المتسلسلة في المثال السابق، وهذا يجعلها تسلك سلوكًا مختلفًا تمامًا. في الواقع من السهل إثبات أن المتسلسلة التوافقية تتباعد. وينطوي البرهان القياسي على تجميع الحدود ثم المقارنة:

من المدهش أن توجد صيغة بسيطة تسمح لنا بحساب مجموع أي عدد من الحدود من المتسلسلة التوافقية بدرجة كبيرة من الدقة:

ومن ثم نجد أن:

هذا يسمح لنا بكتابة المتسلسلة في صورة:

يمكننا الآن أن نثبت أن المتسلسلة الأصلية لمجموع معكوسات مربعات الأعداد تتقارب باستخدام حجة المقارنة. بمقارنة المتسلسلتين:

و