الاحتمال وألعاب الاحتمال

(١) أعياد الميلاد والفائزون المحظوظون المُدهِشون

إذا عادت ابنتك الصغيرة من المدرسة تقول إن طفلَين في الفصل لهما يوم الميلاد نفسه، وتسأل «أليس هذا مُدهِشًا؟» فإن الإجابة الرياضية الصحيحة عن سؤالها هي: «نعم، ليس هذا مُدهِشًا، بل هو أمرٌ متوقَّع بين الحين والآخر.» وعلى الرغم من أن هذه ليست الإجابة التي يمكن أن يُنصَح بها الآباء، فسيكون من الطريف أن نعرف سبب صحة هذه الإجابة؛ لأن الإجابة الصحيحة مُدهِشة.

لنفترض الآن أن لدينا ثلاثة أشخاص، ما احتمالات أن يكونوا مولودين في أيام مختلفة من الأسبوع؟ هذا النوع من المسائل يشبه مسألة اليانصيب الوطني التي تناولناها في الفصل السادس. بالمنطق نفسه الذي ذكرناه هناك، ستكون الإجابة كما يلي:

صحيح أنني افترضت أن احتمالات أن تقع أعياد الميلاد في أي يومٍ من السنة متساوية. وأنا أتوقع أن هذه الفرضية سليمة إلى حدٍّ بعيد، رغم أن مستشفيات الولادة التي تحتفظ بأرقام تخصُّ أكثر الأوقات ازدحامًا بالمواليد قد تعرف أكثر مني. ومع ذلك فإلغاء فرضية التوزيع المنتظم للمواليد على أيام السنة لن يُضعِف الحُجة؛ لأن هذا سيؤدي إلى زيادة احتمال اتفاق أعياد الميلاد. لنأخذْ مثالًا خياليًّا جدًّا؛ لنفترضْ أننا سألنا السؤال نفسه في مجتمع حيث الرجال والنساء مضطرون إلى عيش حياة منفصلة تمامًا بعضهم عن بعض باستثناء شهر واحد من العام، فليكن يوليو مثلًا؛ ومن ثَم فإن حمل النساء في أطفال لن يتم إلا في هذا الشهر؛ ومن ثَم فإن جميع الأطفال سيُولَدون بعد تسعة أشهُر — أي في شهر أبريل. في هذه الحالة سيكون شِبه مؤكَّد أنه في مجموعة من ثلاثين فردًا سيتقاسم اثنان أو أكثر عيد الميلاد نفسه (في أبريل).

كثيرًا ما نسمع عن قصص فيها شخصٌ ما محظوظ بدرجة لا تُصدَّق، واستبعاد وقوع حدث معيَّن بتأكيد أن نِسبته واحد في المليون. مع ملايين الفرص التي تُنتهز يوميًّا، فإن من الصحيح أن أحداثًا متطرِّفة وغير عاديةٍ أو محتمَلةٍ تحدُث بالصدفة. على الرغم من ذلك، ففي بعض الأحيان تكون هذه الأحداث، التي تبدو غير محتمَلة، غيرَ مستبعَدة بشكل خاص على الإطلاق. وربما يرجع هذا التناقض الواضح إلى عدم التمييز بين حدوث الحدث غير المحتمل لأي شخص وبين حدوثه لشخص بعينه. على سبيل المثال، ليس هناك ما يدهش بشأن فوز أحدهم باليانصيب، الأمر المدهِش حقيقةً هو أن يفوز شخص معيَّن محدَّد مسبَّقًا باليانصيب؛ أنت مثلًا. عدم إدراك هذه النقطة في حالات أكثر تعقيدًا يمكن أن يؤديَ إلى نتائج محيِّرة للغاية.

ماذا عن حقيقة أنك لا تفوز أبدًا في هذا اليانصيب؟ بالطبع يمكن ألا تفوز؛ فهناك احتمال واحد في الألف فقط أن تفوز.

(٢) مسألة صامويل بيبس

لديَّ انطباع بأن نيوتن فكَّر في أن المسألة نوعًا ما أقلُّ من مستواه، لكنه مع ذلك أعطى بيبس إجابته. لعلك تشكُّ بوجود تماثُل كافٍ في اللعبة لتكون عادلة، بحيث لا يَملِك أيٌّ من اللاعبَين فرصةً أعلى في الفوز، ولكن خبرة بيبس قادته لأن يظن غير ذلك، وإذا كان الأمر كذلك فقد كان على حق. أحد اللاعبَين يتمتع بفرصةٍ أعلى في الفوز، وإن كانت فرصةً بسيطة، ولكنها مؤكدة. فلنعرف معًا؛ أيهما؟

(٣) مسائل العد والانتخابات والانعكاس

على المستوى الأبسط، تنطوي أسئلة الاحتمال على عدد محدود من النتائج المحتملة المرجحة بالقدر نفسه، ونسأل ما احتمال حدوث حدث ملائم معيَّن. بصفة عامة، النسبة المطلوبة تساوي:

وهي الإجابة السابقة نفسها.

مسألتنا التالية تُشبِه، إلى حدٍّ ما، المسألة السابقة، ولكن الغريب أن الحل يرجع بنا إلى الأفكار التي طرحناها سابقًا في مسألة هيرون في الفصل السادس ومسألة النملة التي تسير حول الكوب. وقد يبدو هذا غريبًا نوعًا ما للوهلة الأولى نظرًا لطبيعة السؤال.

شكل ٨-١

شكل ٨-٢

مرةً أخرى معظم الحدود ستُحذف، ويبقى لدينا:

شكل ٨-٣

تُعد أسئلة الاقتراع فئةً مهمة من المسائل، وتظهر في سياقات مختلفة مثل فيزياء الجُسيمات والجبر المجرد. ولا يفيد أن نحكم على الفكرة الرياضية في السياق الذي شُرحت فيه أولًا، والذي قد يكون أو لا يكون ذا أهمية خاصة. وأي فكرة جديدة تسمح بحل مسألة بطريقة جيدة تستحق الاحترام.

(٤) الفوز بالقوة في الروليت

الطُّرق السريعة المؤكَّدة للكسب في ألعاب الورق أو عجلة الروليت مطلوبة دائمًا، وتوجد طريقة واحدة تبدو للوهلة الأولى صالحة تمامًا. ويمكن تطبيق هذه الفكرة على أي لعبة مقامرة يُسمح فيها بالرهانات غير المحدودة، ولكن لنأخذ مثلًا لعبة الروليت. اللعبة ببساطةٍ أن تضع رهانًا على اللون الأحمر أو اللون الأسود، وإذا ظهر لونك فإنك تأخذ الرهان الذي وضعتَه بالإضافة إلى المبلغ الذي راهنتَ عليه.

هل يحدث هذا حقًّا في الحياة العملية؟ الإجابة أنه يكاد يكون من المؤكَّد حدوثه. بعد هذا القول أُسارع إلى نصحك بألا تستخدم هذه الاستراتيجية أبدًا؛ لأنك ستكون مهدَّدًا بالإفلاس من أجل جنيه واحد.

الوضع عكس ذلك في اليانصيب. في اليانصيب تُقدِم على مخاطرة مهولة (لأنك من شِبه المؤكَّد أنك ستخسر) برهانٍ صغيرٍ من أجل الحصول على فرصة ضئيلة جدًّا للفوز بمبلغ كبير جدًّا؛ أما في لعبة الروليت السابقة، فأنت تُقدِم على مخاطرة ضئيلة برهانٍ ضخمٍ جدًّا من أجل الحصول على فرصة شِبه مؤكَّدة للفوز بمبلغ هزيل جدًّا جدًّا. إذَن، فمن الأفضل بالنسبة لك أن تراهن على اليانصيب.

(٥) ميزة لعب الفريق البطولات العالمية على ملعبه

وبالمثل يمكننا حساب:

(٦) مباراة من الأفضل

هذا النوع من المباريات يشارك فيه لاعبان عند حلقة كرة السلة، لكن يمكن تطبيقه على أي لعبة مهارية. يتناوب اللاعبان في محاولة تسجيل هدف بالطريقة التي تحلو لهما. فإذا نجح اللاعب الأول في التسجيل، فعلى اللاعب الثاني أن يحاول أداء اللعبة نفسها بالطريقة نفسها؛ فإذا فشل، يكون اللاعب الأول قد أحرز نقطة؛ السؤال المطروح هو: هل تحاول أداء حيل صعبة أم حيل سهلة؟ المنطق السليم يخبرنا أن اللاعب يُفضل أن يحاول أداء حيلة يجدها أسهل بالنسبة له، ولسببٍ ما ربما يجدها المنافس صعبة. أنا متأكد من أن هذا هو الحل، ولكن يبقى السؤال: بما أن كل الأشياء متساوية، فأي استراتيجية تمنحك أعظم احتمال لإحراز النقط؟

(٧) الألعاب ونظرية الألعاب

ليس هناك كثير منا — وخاصةً الأشخاص الذين يحبون العلم — ممَّن لم يشاهد مسلسل «ستار تريك» على مر السنين. فهذا المسلسل احتوى دائمًا على شخصية تتصرف بطريقة ميكانيكية. في الحلقات الأصلية كانت هذه الشخصية هي السيد سبوك، وهو رجل من كوكب فولكان تخلَّص من كل السلوكيات الانفعالية، وفي «نيو جنيريشن» لدينا مستر داتا، وهو إنسان آلي مهذَّب، لكنه في النهاية خالٍ من العاطفة. السيد سبوك يؤكد لنا دائمًا أنه يتصرف بطريقة منطقية. ولا أستطيع أن أتذكر قيام الشخصية بتفسير ما المقصود بذلك، ولكننا استنتجنا ضمنًا أنه يعيش وَفقًا لمجموعة من المبادئ والقيم، ويتصرف بطريقة تتوافق معها دائمًا. فهو لن يُقدِم على أي عمل غير عقلاني؛ بمعنى أنه لن يخالف بقصدٍ مبادئه، ولن يفعل شيئًا سخيفًا، وإن كان غير مؤذٍ، لأنه ليس لديه دافعٌ للتصرف بهذه الطريقة.

أقرَّ البشريون في هذا المسلسل بأن هاتين الشخصيتين كانتا على العموم متفوقتين جسديًّا وعقليًّا عليهم. وعلى الرغم من ذلك، فقد كانوا يصرون على امتلاكهم ميزة معينة طَوال الوقت. كان البشر دائمًا ما يصرون على أن قدرتهم على التصرف بلا منطق أحيانًا ما تكون في مصلحتهم. قد تكون هناك بعض الحقيقة في هذا، لكن معظم الأمثلة التي جاءت في المسلسل، هي في رأيي مغالطات. وتكمن المشكلة في افتراض أن القدرة على مخالفة التوقعات هي أقرب ما تكون إلى اللاعقلانية، وهذا بعيدٌ كل البعد عن الحقيقة في كثير من المواقف الواقعية.

في بعض الألعاب، لا سيما البوكر، من المهم أن يكون لعبك بشكلٍ ما غير متوقَّع. وطبعًا هذا لا يعني أن تلعب بطريقة غير عقلانية. الإنسان الآلي داتا دائمًا ما يخسر في البوكر؛ ربما لأنه لا يستطيع التعامل مع خدع منافسه البشري «اللامنطقية». وهذا يعني أنه بُرمِج بطريقة سيئة. في لعبة مثل البوكر من المهم ألا تقدم معلومات عمَّا معك من أوراق إلى منافسك. لكنك مضطر لذلك إلى حدٍّ ما عند المراهنة؛ لأن اللاعب — عمومًا — سيكون مستعدًّا للمخاطرة بمبالغ أكبر عندما يكون معه مجموعة أوراق قوية (تطلق على مجموعة الأوراق التي في يد اللاعب كلمة يد)، مقارنةً بما إذا كانت معه مجموعة أوراق ضعيفة. فإذا كان أحد اللاعبين لا يخادع أبدًا، فسوف يلاحظ منافسه ذلك؛ ومن ثَم يستطيع قراءة قوة أوراقه من خلال حجم مراهنته؛ ومن ثَم يكون اللاعب «المنطقي» في وضعٍ غير ملائم. لا يوجد شيء غير منطقي ضمنيًّا في الخداع في لعبة البوكر؛ فالخداع جزء من طبيعة اللعبة، ويمثل جزءًا لا يتجزأ من الاستراتيجية الجيدة. لا يوجد سبب يمنع تصميم استراتيجية اللعبة على الكمبيوتر بحيث يدخل فيها الخداع كعنصر عقلاني.

عندما يتكلم عالم رياضيات أو اقتصادي أو واضع الاستراتيجيات العسكري عن الاستراتيجية المُثلى للعبة، فأنا أعتقد أن كثيرين من المستمعين سوف يفترضون على الفور أن الاستراتيجية تحتوي في بنائها على أفضل استجابةٍ لأي سيناريو ممكن أن ينشأ خلال هذه اللعبة. في الألعاب الواقعية ونظرية الألعاب الواقعية نادرًا ما يحدث هذا بالتأكيد؛ إذ من المهم ألَّا يستطيع خصمك التنبؤ باستجابتك على نحوٍ يقيني. فعنصر المفاجأة في حد ذاته له قيمته، ولا ينبغي تسليمه لخصمك دون انتزاع الثمن.

هذا واضح في الألعاب الأسهل جدًّا من البوكر، مثل لعبة «ورقة وحجر ومقص» التي يلعبها لاعبان. في هذه اللعبة يختار اللاعبان في الوقت نفسه أحد الاختيارات؛ ورقة أو حجرًا أو مقصًّا بإشارة من اليد. الورقة «تغطي» الحجر الذي «يقلل حدة» المقص الذي بدوره «يقص» الورقة، واللاعب يُحرز نقطة عندما تسيطر يده على يد خصمه. من الواضح أنك لا تستطيع تحمُّل اللعب على نحوٍ متوقَّع في هذه اللعبة؛ فعلى سبيل المثال إذا اتبعت ترتيبًا معينًا ثابتًا، مثل ورقة ثم حجر ثم مقص، في كل مرة، فسوف يلاحظ خصمك ذلك، ويتبع ترتيبًا مثل مقص ثم ورقة ثم حجر، ويفوز عليك في كل مرة. إذَن فمن الضروري أن تكون عشوائيًّا في أي استراتيجية جيدة لممارسة لعبة «ورقة وحجر ومقص». وليس هناك ما هو غير منطقي في هذا.

وهكذا نرى أن مخالفة التوقعات يمكن أن تكون منطقية. على أي حال توجد حالات يكون الخصم غير المنطقي فيها هو خصمًا أقوى كثيرًا من الخصم المنطقي العقلاني. فلنأخذ أزمة الرهائن مثلًا. تخيل أنك رجل شرطة يفاوض في محاولة للقبض على السيد سبوك، الذي يهدِّد بقتل رهينة. يمكنك أن تقول:

شخصية سبوك المنطقية ستكون عاجزةً عن دحض هذه الحُجة؛ ومن ثَم سيمكنك إلقاء القبض عليه بكل سهولة. من ناحية أخرى إذا كنت تتعامل مع انتحاريٍّ معتوه، فسوف تواجه صعوبات حقيقية. يمكنك تقديم نفس الحُجة، ولكن سوف تقابل بالرد الآتي من الخصم:

حجة المعتوه مُحكَمة للغاية. إذا حاولت القبض عليه، فإنك ستخاطر حقيقةً بحياة الرهينة. تكمُن الصعوبة في أن المعتوه إنسان يمكن أن تكون لديه رغبات متناقِضة، وذلك على النقيض من سبوك. فمن ناحية قد لا يرغب في معاناة عقوبة أشد، مثله في ذلك مثل سبوك، لكنه من ناحية أخرى، ربما يحتاج للتنفيس عن شعوره القوي بالغضب والانتقام. ومن يدري؟ لا يستطيع أحدٌ التنبؤ بأي رغبة منهما سوف تسيطر عليه في اللحظة الحاسمة من الصراع؛ فتصرفاته يمكن أن تخالف جميع التوقعات حتى توقعاته هو شخصيًّا. وهذه الطبيعة المعقَّدة والمتقلِّبة تمثِّل صعوبةً خطيرة للمفاوض. ومن ثَم، فهو بالتأكيد خصمٌ صعب التعامل معه أكثر من السيد سبوك في لعبة الرهينة.

أن تكون أقوى لاعب لا يعني بالضرورة أنك ستكون في مكانة أفضل لكسب المباراة. قد يبدو هذا تناقضًا، ولكن هذا النوع من التناقض ينشأ غالبًا في الألعاب التي يلعبها أكثر من لاعبَين، مثل الأوضاع الدبلوماسية التي تدخل فيها أممٌ عديدة. في مثل هذه المواقف من الجيد أن تكون قويًّا دون إظهار التهديد. لأنك إذا مثَّلتَ تهديدًا غير محتمل للاعبين الآخرين، فربما يشكِّلون حلفًا ضدك ويقضون عليك.

مثال على هذا النوع من الألعاب هو اللعبة المتعددة اللاعبين لتبادُل إطلاق النار؛ فيها يكون لدى اللاعبين درجات مختلفة من مهارة التصويب معروفة لجميع اللاعبين. وقد يتبدَّى لنا أن اللاعبين الأقل مهارة في التصويب هم الأقوى؛ لأن اللاعبين الأكثر مهارةً لا يملكون إلا خيار تصويب بنادقهم بعضهم نحو بعض؛ مما يؤدي إلى إبادتهم جميعًا أو إبادة أكثرهم مخلِّفين وراءهم الرماة الأقل مهارةً ليفوزوا. في الواقع في لعبة إطلاق النار الثلاثية أضعف الرماة، وفقًا لنظام احتمالي معيَّن، قد يكون أفضل حالًا بإطلاق النار في الهواء.

لعل أهم مثال على هذا النوع في نظرية الألعاب يحمل اسم «معضِلة السجينَين». وأحيانًا يُسمى «متناقضة السجينين» لأنه يوضِّح أنه يمكن لسياسة الأنانية أن تكون أسوأ من سياسة التعاون لكل فرد من أفراد المجتمع. عادةً ما ينطوي وصف اللعبة على سجينَين يواجهان عواقب معيَّنة عند الاعتراف بالجريمة أو عدم الاعتراف بها، والنتيجة لا تتوقف على قرار أحدهما فقط بل تتوقف أيضًا على قرار الآخر.

شكل ٨-٤