في الفصل الثاني رأينا أنه على الرغم من أن ليس عددًا عشريًّا متكررًا، فإن له مفكوكًا متكررًا من نوع مختلف. وسوف
أشرح الآن كيف يتحقق ذلك.
نبدأ بكتابة . ثم نفكر في العدد على أنه معكوس معكوسه. وهذا يبدو محيرًا، لكن صبرًا:
والآن فلنطبق قاعدة أساسية من قواعد الجبر، لتتيح لنا القيام بشيء مهم.
وتلك هي عملية التخلص من الجذر الموجود في المقام، والتي سنطبقها على. سنقوم بضرب كل من البسط والمقام في المرافق، في هذه الحالة ؛ لأنه بفك المقام يصبح خاليًا من الجذور التربيعية؛ لأن تغيير الإشارة
سوف يؤدي إلى حذف الحدود المتوسطة:
وفي هذه الحالة سيصبح المقام الجديد . وهذا يعطينا:
يمكننا الآن استبدال الظهور الجديد للعدد بالعدد ثم نكرر العملية بلا توقف، لنحصل على:
إذن فمفكوك الكسر المستمر للعدد هو:
يمكننا استخدام ترميز الكسر العشري المتكرر لتمثيل هذا ونكتب . وعندما نقطع هذا التمثيل بعد عدد معين من عمليات القسمة، فسنحصل على
تقريب نسبي للعدد (ويساوي بالتقريب لأقرب ثلاثة أماكن عشرية العدد ). باستخدام الخطوات ، و، و فقط سنحصل على الكسور الآتية:
ما صادفناه هنا هو في الحقيقة تطبيق آخر لخوارزمية إقليدس التي تحدثنا
عنها في الفصل الرابع. لتفسير ذلك، دعونا نبدأ مرة أخرى بالعدد
النسبي ، ونرى كيفية بناء مفكوكه الكسري المستمر. أولًا نطبق خوارزمية إقليدس على
العددين و، وستكون النتيجة في هذه الحالة هي:
وهكذا نرى أن أكبر عامل مشترك بين و هو ، وهذا يدل على أن الكسر في أقل صورة له. يمكننا الآن بناء مفكوك كسري
مستمر للعدد كما يلي. لنبدأ بالسطر الأول من الخوارزمية، فيصبح لدينا:
(9-1)
من السطر الثاني نحصل على:
(9-2)
وبالتعويض في المعادلة الأخيرة نحصل على:
(9-3)
باستخدام السطر الثالث، نحصل على:
وبالتعويض نحصل على:
وفي النهاية، من السطر الرابع نحصل على ؛ ومن ثم فإن:
وهكذا يتضح لنا أن المفكوك الكسري المستمر للعدد ولأي عدد نسبي، له قسمة واحدة في كل سطر من خوارزمية إقليدس، وَفقًا
للعددين. لاحظ أنه، على النقيض من العدد وهو عدد غير نسبي، المفكوك الكسري المستمر سوف يتوقف.
الطريقة القياسية عند دراسة المفكوكات من هذا النوع أن نَقصُر اهتمامنا على الكسور
المستمرة التي يكون البسط فيها دائمًا . ومع ذلك، فإننا تناولنا هنا المفكوكات التي توجد بها أعدد أخرى في
البسط، إلا أننا سوف نقيد أنفسنا بالنوع العادي.
ليس هناك ما يمنعنا من القيام بنفس نمط الحسابات لأي عدد غير نسبي موجب وليكن : كل ما هنالك أننا سنطبق ببساطة خوارزمية إقليدس على زوج الأعداد . الفرق هو أننا في هذه الحالة لن نصل أبدًا إلى الباقي ؛ لأنه إذا حدث أمكننا تنفيذ العملية السابقة للتعبير عن في صورة كسر مستمر منتهٍ يمكن تبسيطه في صورة كسر عادي، مما يدل على أن كان عددًا نسبيًّا من الأساس. على أية حال، يمكن أن يظهر نمط متكرر في
المفكوك الكسري المستمر، كما رأينا في حالة . وقد تبين أن الأعداد غير النسبية التي تنتج مثل هذا النمط المتكرر هي
بالضبط الجذور غير النسبية للمعادلات التربيعية حيث تكون المعاملات أعدادًا صحيحة. كمثال
آخر لننظر للعدد .
الخطوة الأولى هي كتابة العدد المعطى على شكل حيث عدد صحيح، و هو الباقي وهو أقل من : وهذا هو السبب أننا كتبنا في المثال الأول: لأن ؛ ومن ثم يكون و، وبأخذ واتباع نمط الحسابات المُعطى في
)9-1(، نحصل على:
باتباع )9-2(، بعد ذلك
سنحتاج للتعبير عن في صورة أي: عدد صحيح الباقي. ويتحقق ذلك بحذف الجذر من المقام:
والآن بما أن ، فإننا نستطيع أن نكتبها على النحو التالي:
نستطيع الآن التقدم للخطوة المناظرة للخطوة رقم
)9-3( السابقة:
بالاستمرار بهذه الطريقة نحصل على:
بكتابة ذلك على الصورة فسنحصل على:
ومن ثم نصل إلى:
وبما أن هو عدد غير نسبي فإن العملية غير منتهية، ولكننا نحصل على نفس الباقي ، كما في الخطوات السابقة. ومن ثم تصل العملية إلى نمط متكرر حيث قيمة تتراوح بين و:
أو في الصورة المختصرة التي سبق تقديمها:
(9-4)
بالمثل يمكننا حساب مفكوك الكسر المستمر لكلٍّ من و:
يعتبر المفكوك الكسري المستمر لعدد ما غنيًّا بالمعلومات.
ويطلق على الكسور الناتجة من إنهاء المفكوك عند أي خطوة تقريبات العدد . وهي تقترب بالفعل من العدد ، كما يقترح اسمها، معطية تقديرات متناوبة أعلى وأسفل القيمة الدقيقة. وهي
أيضًا لها خصائص أخرى جيدة تسمح، مثًلا، باختبار عدم النسبية لأعداد معينة. وكما ذكرنا
سابقًا، المفكوكات المتكررة التي يساوي البسط فيها لا تظهر إلا لأعداد من نوع خاص جدًّا، على الرغم من أن بعض الأعداد غير
النسبية لها تمثيلات على صورة كسور مستمرة لها نمط خاص. على سبيل المثال، من تطبيقات
حاصل
ضرب واليس المذكور في الفصل السابع نثبت أن:
ولأننا رأينا في الفصل الثاني أنك تستطيع تحويل أي كسر عشري متكرر إلى
كسر اعتيادي، فهذا يشجعنا أن نسأل هل يمكننا التحرك في الاتجاه العكسي في هذا السياق
الجديد
أم لا. على سبيل المثال، مؤكد أن العدد:
أي إن لا بدَّ أنها حالة خاصة جدًّا. هذا العدد يُسمى: «النسبة الذهبية» ويمكن
استخلاصه من مفكوكه الكسري المستمر بسهولة شديدة. الشيء الواجب
إيضاحه هو أن ما يظهر أسفل خط القسمة الأولى هو نسخة
أخرى من بحيث تحقق المعادلة:
(9-5)
بضرب طرَفَي المعادلة في يتبين لنا أنها معادلة تربيعية:
(9-6)
بحل هذه المعادلة بالصيغة التربيعية نحصل على حلَّين؛ أحدهما موجب والآخر
سالب، وبطبيعة الحال، نحن نريد الموجب:
ولا توجد ذروة في هذه العملية؛ إذ إن الإجابة تبدو غير مميزة. وسوف نكتشف
المزيد إذا ركزنا على خصائص الرقم بدلًا من التركيز على التعبير عنه بهذه الطريقة. ثمة
علاقة أخرى للعدد تنشأ من خلال طرح من طرفي المعادلة )9-5(:
(9-7)
ثم بأخذ معكوس طرفَي المعادلة
)9-7( نحصل على:
(9-8)
ضع هذا في اعتبارك عندما نفكر في مستطيل أطوال أضلاعه و (انظر شكل ٩-١). وإذا اقتطعنا من هذا المستطيل أكبر
مربع ممكن في الجزء (أ)، فسنحصل على مربع كما في الشكل، والجزء الباقي سيكون عبارة عن مستطيل له ضلع طوله وحدة وضلع قصير طوله من الوحدات. هذان المستطيلان في الحقيقة متماثلان: فإذا نظرنا إلى النسبة
بين أضلاعهما، فسنجدها على الترتيب و وتوضح المعادلة )9-8( أن النسبتين
متساويتان. وبطبيعة الحال، بما أن المستطيل الصغير له نفس شكل المستطيل الأصلي، إذن فتطبيق
العملية نفسها على المستطيل الأصغر (شكل ٩-١(ب)) يؤدي إلى النتيجة
نفسها، وهذا يمكن تَكراره إلى ما لا نهاية.
شكل ٩-١
يطلق على مثل هذا المستطيل «المستطيل الذهبي». وقد كانت خصائصه المتميزة مصدرًا لافتتان
اليونانيين، حتى إن عالم الرياضيات باتشولي قد ألَّف كتابًا في بدايات القرن السادس عشر
عن
هذا الموضوع. كثيرًا ما يقال إن المستطيل الذهبي هو ذلك المستطيل الذي يسرك النظر إلى
نسب
أطوال أضلاعه؛ ومن ثم فإنه مفضل في التصميم. لست متأكدًا من هذه النقطة: فمثلًا شكل بطاقة
الائتمان القياسية لا ينطوي على أبعاد ذهبية، ولكنه يقترب منها بشدة. ومع ذلك فأنا أتوقع
أن
القراء يمكنهم العثور على أمثلة من المستطيل الذهبي مطبقة في أنماط ورق الحائط وفي الهندسة
المعمارية وما شابه.
هذه العملية لاستخلاص أكبر مستطيل تساوي أطوال أضلاعه أعدادًا صحيحة من مستطيل تساوي
أطوال أضلاعه و، تناظر بناء التمثيل الكسري المستمر للعدد . الاستخلاص الأول يناظر كتابة ، حيث هو طول الضلع الأقصر في المستطيل الباقي. ويمكن اعتبار الخطوة التي يتم
فيها قسمة بسط ومقام الكسر الباقي على اختزالًا للمستطيل الباقي، بحيث يعامل الضلع الأقصر الذي طوله معاملة الضلع الذي طوله . وكان من المعلوم لليونانيين والهنود القدماء أننا إذا أخذنا لأي عدد صحيح فإن اثنين من المستطيلات المتبقية سيكونان متماثلين في النهاية؛ ومن ثم
فإن الكسر المستمر سيكون من النوع التكراري، على الرغم من أن هذا لم يثبت إلا على يد
لاجرانج في القرن الثامن عشر.
هناك حالة هندسية ربما تكون أبسط مما سبق تسمح بظهور النسبة الذهبية، وهي أن تأخذ
قطعة
مستقيمة وتسأل: ما قيمة ، بحيث إنه إذا حُذف جزء من القطعة المستقيمة بطول ، فإن نسبة إلى الجزء الباقي من القطعة المستقيمة تساوي نسبة القطعة المستقيمة
الأصلية إلى نفسها؟ (انظر شكل ٩-٢.) فلنفترض أن الجزء الباقي من
القطعة المستقيمة طوله وحدة؛ ومن ثم فإن القطعة المستقيمة الأصلية لها الطول . نحن نطلب أن:
شكل ٩-٢
ووفقًا لذلك نرى أن تحقق بالفعل المعادلة
)9-5( التي تُعيِّن . في هذا السياق العدد يُرمز له غالبًا بالقطعة الذهبية.
(١) أهمية الشكل الخماسي المنتظم
المثال الهندسي الثالث الذي تظهر فيه النسبة الذهبية بشكل مفاجئ هو أقطار الشكل الخماسي المنتظم الذي طول ضلعه الوحدة. في
الواقع الطول لأي قطر من أقطار هذا الخماسي هو النسبة الذهبية. ويوضح شكل ٩-٣، المضلع الخماسي بأقطاره. وكثيرًا ما يصور هذا الشكل على أنه رمز
القوة، إن لم يكن الشر. إذ إن الأقطار تمنح الشكل قوته، بينما تمنحه تماثلاته المختفية
غموضه. ولنبدأ الآن في دراسة هذا الشكل على نحو أعمق.
شكل ٩-٣
تذكر أننا تحدثنا في الفصل الثالث عن نظرية الدائرة التي تنص على أن أي زاويتين
محيطيتين تقابلان نفس قوس الدائرة متساويتان في القياس. وبناء عليه، لأي مضلع منتظم له
عدد من الأضلاع، أي زاوية من النوع حيث ضلع و رأس آخر للمضلع، تساوي (انظر شكل ٣-١٧ في الفصل الثالث). بتطبيق هذا على
المضلع الخماسي، نجد أن الزوايا أمثال و كلها تساوي . في نفس الفصل رأينا أن مجموع زوايا أي مضلع يساوي ، أي إن كلًّا منها لها القياس .
في حالة المضلع الخماسي حيث تساوي ، سنجد أن الزاوية تساوي . والآن المثلث متساوي الساقين لأن الزاويتين و متساويتان وكلتاهما تساوي .
ومن ثم:
وينتج عن ذلك أن القطعتين المستقيمتين و يبلغ طول كل منهما الوحدة، والقطعة المستقيمة ، التي نرمز لها بالرمز ، ترتبط مع القطر بالعلاقة .
بعد ذلك المثلثان و متشابهان لأن كليهما لهما نفس الزوايا ؛ ومن ثم بأخذ نسب الأضلاع المتقابلة نحصل على أو التعبير المساوي . ومن ثم لدينا المعادلتان:
بضرب المعادلة الأولى في والاستعانة بحقيقة أن ، نجد أن:
وهي نفس المعادلة
)9-6( للنسبة الذهبية أي إن . ومن ثم فإن قطر الشكل الخماسي المنتظم له طول يساوي النسبة الذهبية.
علاوة على ذلك، قد اكتشفنا خصائص أخرى للخماسي المنتظم بما فيها خاصية مهمة ممثلة في
المعادلة . وهي تكافئ العبارة التي تنصُّ على أن القطعة المستقيمة التي لها الطول ، هي قطعة ذهبية من القطر ؛ حيث إنه بما أن ، فيصبح لدينا:
والعبارة:
تقول بالضبط إن القطعة من القطر هي قطعة ذهبية.
الخلاصة، أن طول كل قطر في الشكل الخماسي المنتظم هو نسبة ذهبية في حين تتقاطع
الأقطار أحدها مع الآخر في القطعة الذهبية.
(٢) أرانب فيبوناتشي والنسبة الذهبية
ترجع مسألة أرانب فيبوناتشي لبداية القرن الثالث عشر. وقد قدمت متتابعة من الأعداد
التي تُنتَج بطريقة بسيطة وطبيعية للغاية، تجعل من السهل أن تظهر مرة أخرى. ومع ذلك،
فظهورها المتكرر في الظواهر الطبيعية وبخاصة المواقف التي تنطوي على النمو، ظهور لافت
للنظر. وفي الواقع، يعتبر الموقف الأصلي الذي ظهرت فيه هذه المتتابعة هو مسألة التعداد
التالية.
فلنبدأ بقاعدة. كل زوج من الأرانب يلد زوجًا آخر في الجيل الثاني وزوجًا ثانيًا في
الجيل الثالث، وبعد ذلك يصبح عجوزًا فيتوقف عن التناسل.
الجيل الأول يتكون من زوج واحد؛ والجيل الثاني يتكون أيضًا من زوج واحد (جديد)، ولكن
في الجيل الثالث، سيولد زوجان لأن زوجَي الأرانب من الجيل الأول والثاني كليهما يلدان.
أما الجيل الرابع، فسيولد به ثلاثة أزواج: زوجان منهما من نسل أبناء الجيل الثالث
والزوج الثالث من نسل الجيل الثاني. ويكون الاثنا عشر عددًا الأولى لفيبوناتشي، أي عدد
الأزواج في كل جيل، على النحو التالي:
هل يمكنك أن ترى نمطًا؟ لن تكون بالضرورة قادرًا على أن ترى النمط،
على الأقل ليس بالسهولة التي رأيت بها المتتابعات العددية التي قابلناها حتى الآن. لا
توجد صيغة «سهلة» تربط ، الحد الذي ترتيبه في هذه المتتابعة، بالعدد نفسه (بالرغم من وجود صيغة معقدة). ومع ذلك فهذه متتابعة سهلة
التوليد بسبب الملاحظة التالية. لتكن عدد الأرانب التي ولدت في الجيل الذي ترتيبه . والجيلان الوحيدان القادران على التناسل في أي جيل معين هما الجيلان
السابقان لهذا الجيل. وكل زوج وُلد في الجيل الذي ترتيبه ، والذي يوجد فيه من الأزواج، وكل زوج من الجيل السابق الذي ترتيبه ويضم من الأزواج، يسهم بزوج واحد في الجيل الذي ترتيبه . ومن ثم نستطيع أن نقول إن:
وهذا يتيح لك بالتأكيد حساب أعداد فيبوناتشي بسهولة شديدة (تحقق من
أول عددًا بنفسك)، على الرغم من أن هذه الطريقة تُعرف باسم التكرارية،
وهي ليست صيغة؛ لإيجاد ستحتاج لإيجاد جميع الأعداد السابقة في المتتابعة أولًا.
ما صلة ذلك بالنسبة الذهبية؟ لا يبدو أن ثمة صلةً واضحة بينهما. فمتتابعة فيبوناتشي
طبعًا ليست متتابعة هندسية؛ لأن النسبة بين الحدود المتتالية ليست ثابتة، ومن السهل أن
تتأكد من ذلك. ومع ذلك، يجدر بنا أن نصبر قليلًا. إذا حسبت خارج القسمة للعديد من قيم فستلاحظ شيئًا لافتًا. على الرغم من أنه لا توجد نسبتان متساويتان
تمامًا، فإنه بعد وقت ستجدهما متساويتين تقريبًا. وإذا كنت أكثر دقة في الملاحظة، فسوف
تلاحظ أنها جميعًا تتقارب إلى القيمة تقريبًا، أي النسبة الذهبية. أي إن متتابعة فيبوناتشي تسلك على المدى
البعيد سلوك المتتابعات الهندسية بنسبة مشتركة . فما أسباب ذلك؟
في الحقيقة، بمجرد أن تشك أن هذا صحيح، فستجد أنه سهل بما فيه الكفاية للتفسير، ويمكن
استخدام التكرارية لإثباته. بفرض أن ، سوف نبدأ بالمعادلة . قم بالقسمة على للحصول على:
بعد ذلك نكتب للحصول على:
حيث قسمنا البسط والمقام على لنحصل على المتساوية الأخيرة. نستمر بالتعويض عن ﺑ ثم نقسم البسط والمقام الخاص بالكسر الناتج على لنحصل على:
من خلال الاستمرار على هذا النحو سنتوصل في النهاية إلى كسرٍ مستمر
منتهٍ يتكون بالكامل من رقم متكرر حيث إن نسبة فيبوناتشي النهائية هي . ونستنتج من ذلك أن نسب أعداد فيبوناتشي المتتالية تقابل بالفعل
المفكوك المقتطع الكسري المستمر للنسبة الذهبية كما في المعادلة رقم
)9-5(. والقيمة النهائية لهذه
النسبة هي نفسها ومن ثم فإن قيمة النسبة تَئول إلى لقيم الكبيرة.
إرضاءً لفضول القراء سوف أُنهي هذا الجزء من المناقشة بالجملة الخاصة بصيغة عدد
فيبوناتشي الذي ترتيبه وهي صيغة تبدو غريبة بعض الشيء:
(9-9)
تبدو هذه الصيغة مخيفة عند رؤيتك لها لأول مرة: فرغم كل شيء، ليس
هناك سبب واضح لماذا يمكن أن نكتشف أن هذا التعبير المعقد في الطرف الأيمن يمكن أن
يساوي عددًا صحيحًا، فما بالك بعدد فيبوناتشي الذي ترتيبه . ومع ذلك، سوف تلمح الوجود المطمئن للنسبة الذهبية في الصيغة. بل
إننا سنرى كلا جذرَي المعادلة التربيعية الذهبية ، فلنطلق على هذين الجذرين ، أي النسبة الذهبية، و.
يمكن التحقق من هذه الصيغة بالاستعانة بحجة استنتاجية. سوف نتأكد من أن الصيغة تصلح
للتعامل مع و ثم نستخدم تكرارية فيبوناتشي لإثبات أن الصيغة ستظل صالحةً عند كل
خطوة. الحجة واضحة ومباشرة بما فيه الكفاية وتستغل حقيقة أن كلًّا من العددين و يتمتَّع بخاصية مميزة وهي أنهما يحققان المعادلة التربيعية . ومع ذلك، فهذا لا يفيد في تفسير كيفية اكتشاف هذه الصيغة في المقام
الأول! ولكن تأكد أن هناك تقنية قياسية لإيجاد صيغ لكل التكراريات من نوع فيبوناتشي
يمكن من خلالها حل هذه المسألة.
فيما تستخدم مثل هذه الصيغة المعقدة على أي
حال؟ لا تستخدم لحساب أعداد فيبوناتشي؛ فإذا رغبت في إيجاد فمن الأسهل بالنسبة لك أن تستخدم التكرارية مرارًا بدلًا من أن
تستخدم مثل هذه الصيغة الصعبة. ومع ذلك، فهذه الصيغة لها استخدام نظري. على سبيل
المثال، رغم أنني لن أستعرض هنا أي تفاصيل، يمكنك بسهولة استخدام الصيغة لإثبات أن
النسبة تَئول إلى النسبة الذهبية كلما زادت قيمة .
(٣) متتابعة البابا
في الجزء التالي لديَّ نوع مختلف تمامًا من ظاهرة فيبوناتشي. ابدأ بحرفين و واجعلهما أول «كلمتين» في متتابعة من الكلمات تكونت وفقًا لقاعدة
فيبوناتشي: كل كلمة في المتتابعة تكونت بلصق الكلمتين السابقتين في كلمة واحدة.
المتتابعة تبدأ هكذا:
حيث تعني . استوحت هذه المتتابعة اسمها من اسم البابا يوحنا بولس الأول في
١٩٧٨؛ فالبابا اتخذ اسمه من اسمَي اثنين من أسلافه السابقين بهذه الطريقة. ومتتابعة
البابا هذه هي المتتابعة التي ستنتج إذا شعَر خلفاؤه بالاضطرار إلى أن يحذوا حذوه في
هذا الصدد. على أية حال، منذ ذلك الحين أصبحت متأكدًا أن هذه المتتابعة تنشأ طبيعيًّا
في مجالات متنوعة؛ مثل نظرية اللغات المجردة في علوم الكمبيوتر ودراسة البلورات. وسوف
أكتفي بتوضيح بعض الأوجه المهمة لهذه المتتابعة من الكلمات محاولًا تقديم وصف منطقي
للاسم للبابا الذي ترتيبه .
إذا بدأنا ترقيم المتتابعة عن طريق أخذ الكلمة الأولى لتكون (بالنظر إلى و كمولدات) فيمكننا بسهولة أن نرى أن عدد كلمات في الكلمة التي ترتيبها هو عدد فيبوناتشي الذي ترتيبه ، بينما عدد كلمات في الكلمة التي ترتيبها هو في الحقيقة ؛ ومن ثم فطول هو . كما أنه ليس من الصعب أن ندرك أنه إذا كان فإن سوف ينتهي ﺑ . وبما أن الكلمات في متتابعة البابا دائمًا ما تنتهي ﺑ ولا تبدأ أبدًا ﺑ (فهي تبدأ إما ﺑ أو )، إذن ﻓ لا يمكن أن تحتوي على كلمتَي متتاليتَين أو على ثلاث كلمات متتالية.
لنرمز لعكس بالرمز ، يمكننا تعريف متتابعةٍ لا نهائية من الحروف بالوضع في الاعتبار الترتيب العكسي لمتتابعة البابا:
هذا له معنًى؛ لأن عكس متتابعة البابا «ثابت» بمعنى أنه لأي عدد صحيح فإن آخر عدد من الكلمات في متتابعة البابا دائمًا ما يكون ثابتًا من نقطة ما في
المتتابعة فصاعدًا.
إذا استطعنا توليد المتتابعة ، فيمكننا إيجاد الاسم : كل ما علينا هو أن نأخذ أول عدد من حروف وهذا سوف يعطينا .
من الأسهل أن نتابع العملية باستبدال حروف بالأعداد و و، حيث يستخدم بدلًا من ، و بدلًا من ، و بدلًا من . وفي هذه الحالة تتكون المتتابعة من الأعداد و يفصل بينها أعداد ؛ علاوة على ذلك، نحن نعرف أن مستحيلة الحدوث ونعرف أن المتتابعة لا بدَّ أن تبدأ بالعدد . في ضوء هذه الملحوظات يمكن إعادة تكوين إذا علمنا كيفية توليد نمط تكرار العددين و. لتكن هي المتتابعة المشتقة من بعد حذف جميع الأصفار. فنجد أن يمكن أن يتم توليدها باستخدام قاعدتين بسيطتين.
لتكن متتابعة مكوَّنة فقط من الرمز . يمكننا أن نكوِّن أيضًا المتتابعات و، إلخ باستخدام قواعد إعادة الكتابة التالية:
وهي تعني: كلما رأينا استبدلنا به ؛ وكلما رأينا استبدلنا به . أول أربع متتابعات هي:
تحمل المتتابعات المعلومات التي تسمح باستدعاء اسم البابا الذي ترتيبه . فمثلًا للحصول على نحتاج إلى . وفيما يلي الطريقة:
قم بعكس ، ثم أدخل في البداية وبين كل زوج من الرموز و، وأخيرًا قم بالتحويل إلى و و مرة أخرى، لتستعيد الاسم:
ومن ثم:
(٤) المجسمات المنتظمة الخمسة والنسبة الذهبية
سنختتم حديثنا بمثال من العصور القديمة، على الرغم من أن الربط بالنسبة الذهبية كان
نتاج رياضيات عصر النهضة.
ثلاثي الأبعاد المناظر للمضلع المنتظم هو متعدد السطوح المنتظم، وهو شكل محدود
بمضلعات منتظمة متطابقة حيث عدد السطوح متساوٍ عند أي ركن. على سبيل المثال، المكعب هو
متعدد سطوح منتظم له وجوه مربعة الشكل. بالطبع يمكن أن توجد مضلعات منتظمة لها أي عدد
من الأضلاع، ولكن متعددات السطوح أكثر ندرة. ففي الحقيقة يوجد خمسة أشكال منتظمة متعددة
السطوح فقط.
كم عدد متعددات السطوح التي يمكن تخيل وجودها والتي تكون وجوهها على شكل مثلثات
منتظمة (أو بعبارة أخرى متساوية الأضلاع)؟ عند كل ركن من أركان متعدد السطوح هذا يمكن
أن يوجد ثلاثة أو أربعة أو خمسة مثلثات متلاقية ولكن لا يمكن أن يوجد ستة مثلثات؛ لأن
مجموع الزوايا عند كل ركن ستساوي ومن ثم سيكون هذا الركن مستويًا. (من الواضح أن وجود أكثر من ستة
مثلثات متساوية الأضلاع عند كل رأس أمر مستحيل الحدوث.)
باستخدام المربعات، رأينا بالفعل أنه يمكن أن يوجد ثلاثة مربعات تلتقي عند كل ركن
وهذا يعطي مكعبًا، ولكن مرة أخرى، سوف يؤدي وجود أربعة مربعات إلى أن يكون هذا الركن
مستويًا، ومن المستحيل أن يوجد أكثر من أربعة.
الزاوية الداخلية للخماسي المنتظم تساوي ؛ ومن ثم يبدو أنه من الممكن تكوين متعدد سطوح منتظم باستخدام أشكال
خماسية متطابقة كسطوح، بحيث يلتقي عند كل ركن ثلاثة أشكال خماسية، ولكن ليس أكثر من
ثلاثة. أمَّا سداسي الأسطح فهو مستحيل لأن زاويته الداخلية تساوي ؛ ومن ثم فالتقاء ثلاثٍ منها عند ركن واحد لن يحدث أبدًا إلا فقط في
السطح المستوي، في حين أن الأكثر من ذلك غير ممكنٍ على الإطلاق. بالنسبة لمتعددات
السطوح ذات سبعة الأضلاع أو أكثر، من الواضح أنه لا يوجد أمل، لأن الزوايا الداخلية
لهذه المضلعات تزيد على .
هل هذه الاحتمالات الخمسة يمكن تحقيقها؟ لنفحص الحالات الثلاث التي تشترك فيها مثلثات
متساوية الأضلاع. مما لا شك فيه أن متعددَ السطوح الذي تلتقي فيه ثلاثة مثلثات متساوية
الأضلاع عند كل ركن؛ مشهورٌ للغاية: ويطلق عليه رباعي السطوح المثلثية أو الهرم الثلاثي
(شكل ٩-٤). ومن الممكن أيضًا أن تلتقيَ أربعة مثلثات عند كل ركن،
وفي الحقيقة يمكن توليد هذا المجسم من أي مكعب: بتوصيل مراكز وجوه المكعب التي تشترك
في
نفس الحرف، وستكون النتيجة هي ثُماني السطوح (انظر شكل ٩-٥). ويعد
ثُماني السطوح هو متعدد السطوح المزدوج للمكعب. (الازدواجية هي طريق ذو اتجاهين: إذا
أوصلنا مراكز أوجه ثماني السطوح التي تشترك في حافة مشتركة، سينتج لدينا مكعب.)
شكل ٩-٤
شكل ٩-٥
شكل ٩-٦
قد يحاول المنتبهون منكم لطريقة تفكير علماء الرياضيات فعل المزيد بفكرة الازدواجية
هذه. فهل يمكن أن نحصل على متعدد سطوح منتظم بأخذ رباعي السطوح المثلثية المزدوج؟
الإجابة نعم، ولكن ربما يكون من المخيب للآمال أن رباعي الأسطح المثلثية ذاتي الازدواج؛
إذ إن توصيل مراكز وجوه رباعي الأسطح لا يعطينا إلا رباعي أسطح آخر بداخله (شكل ٩-٦). تذكر هذه الفكرة على أية حال. على الرغم من أن المجسمات
المنتظمة الخمسة كانت كائنات رياضية أخذت مكان الصدارة في أعمال إقليدس، فإن لوكا
باتشولي صديق ليوناردو دافنشي هو الذي وجد بمهارة طريقة بناء مجسم منتظم تلتقي فيه خمسة
مثلثات عند كل رأس من رءوسه. ما علينا إلا أن ندرس تقاطع ثلاثة مستطيلات ذهبية كما في
الصورة التي ظهرت في كتاب جون ستيلويل الشهير «الرياضيات وتاريخها» (انظر شكل ٩-٧). تُكوِّن الأركان الاثنا عشر مجسمًا له وجهًا مثلثيًّا؛ حيث يوجد خمسة أوجه عند كل ركن. لقد رسمتُ خمسة
مثلثات متساوية الأضلاع مرتبطة صراحة بركن واحد في الصورة. ولأن هناك ركنًا، كلٌّ منها يتصل بخمسة مثلثات، ولأن كل مثلث يشتمل على ثلاثة
أركان باعتبارها رءوسه؛ ومن ثم نجد أن المجسم الناتج سيشتمل على وجهًا مثلث الشكل.
شكل ٩-٧
يبقى التأكد من أن كل هذه المثلثات متساوية الأضلاع: في الحقيقة طول ضلع المثلث
النموذجي يساوي ، كما يكشف تطبيقان من تطبيقات فيثاغورث. تذكر أنه في كل مستطيل طول
الضلعين القصيرين يساوي بينما طول الضلعين الطويلين يساوي ، أي النسبة الذهبية، وأن لها خاصية أن . لتكن هي نقطة المنتصف للضلع و هي النقطة التي يلتقي عندها المستطيلان اللذان يحدد أركانهما المثلث ، كما هو موضح في شكل ٩-٧. أولًا، من
فيثاغورث:
فيكون و. ولذلك:
ولهذا نحصل على:
وباستخدام نظرية فيثاغورث مرة ثانية، نصل إلى:
أي إن طول يساوي وحدة واحدة، كما هو الحال لباقي أضلاع المثلثات في الصورة،
وهذا يدل على أن المثلثات متساوية الأضلاع حقًّا. ويطلق على المجسم المنتظم المكون من
مثلثًا متساوي الأضلاع عشريني الأسطح.
شكل ٩-٨
للوصول إلى المجسم المنتظم الخامس والأخير نعود لفكرة الازدواجية (المرافقة). المكعب
له ستة أوجه ومن ثم فإن المزدوج (المرافق) الخاص به، أي الثماني الأسطح، له أركان، واحد لكل وجه من أوجه المكعب، وهذه الأوجه هي عبارة عن مثلثات
متساوية الأضلاع، لأن المكعب له ثلاثة أوجه تلتقي عند كل ركن من أركانه. وبنفس الطريقة
فإن المزدوج (المرافق) الخاص بعشريني الأسطح، ويطلق عليه «المجسم ذو الاثني عشر وجهًا»،
له ركن واحد لكل وجه من العشريني الأسطح، أي إن له ركنًا في المجمل. ونظرًا لأن خمسة أوجه تلتقي عند كل ركن من المجسم
العشريني الأسطح، فإن هذا يجعل وجوه الشكل المزدوج خماسية الأضلاع؛ ومن ثم يكون المجسم
الاثنا عشري مجسمًا منتظمًا خماسي الأوجه. كل وجه من المجسم العشريني الأسطح متصل
بثلاثة وجوه أخرى، بحيث تلتقي ثلاثة وجوه (سطوح) من المجسم ذي الاثني عشر وجهًا عند كل
ركن من أركانه. ويوضح شكل ٩-٨ الزوج النهائي المرافق للمجسمات
المنتظمة.
ولذلك نرى أنه يوجد خمسة مجسمات منتظمة، مع أنه لا يزال من المتصور أنه قد يوجد أكثر
من ذلك؛ على سبيل المثال، كيف نعلم أنه لا يوجد مجسم منتظم آخر له خمسة أوجه مثلثية
تلتقي عند كل رأس وعدد من الأحرف والأوجه مختلف عن المجسم العشريني الأسطح؟ سنعرف السبب
في عدم وجود مثل هذا الكائن في الفصل الأخير من الكتاب.
