الفصل الرابع

الهندسة في الحضارة الإسلامية

أثارت «السندهند» حماس العقلية العربية الناهضة المتشوفة آنذاك، فأمر جعفر البرمكي (٧٦٧–٨٠٣ﻫ) بترجمة كتاب إقليدس «أصول الهندسة» ليكون — كما ذكرنا — أولَ ما ترجمه العرب من كتُب اليونان. وغنيٌّ عن الذكر أن كتاب الأصول واحدٌ من أهم النصوص في تاريخ العقل العلمي والرياضياتي، وهو الصرح الأعظم والأوحد للهندسة، الذي ظلَّ هكذا حتى مجيء القرن التاسع عشر وظهور الهندسات اللاإقليدية. ويظل كتاب إقليدس الكتاب التعليمي الأول في الهندسة، تُطبع نسخة منه لكل مَن يتعلم. وباستثناء الكتب المقدسة، لا كتاب في تاريخ البشر يُضاهي كتاب إقليدس في عدد النسخ المطبوعة.

أسمَى إقليدس كتابَه Stozia، وترجمَه العرب باسم «الأصول»، وكما يقول ابن القفطي (١١٧٢–١٢٤٨): «وسماه الإسلاميون «الأصول»، وهو كتاب جليل القدر، عظيم النفع، أصل هذا النوع. لم يكن لليونان قبله كتابٌ جامع في هذا الشأن، ولا جاء بعده إلا مَن دار حوله وقال قوله، وما في القوم إلا من سلَّم إلى فضله وشَهِد بغزير نُبْله.» ثم نقلت أوروبا الأصول باسم Elements of Euclid على يد الراهبِ الإنجليزي المعنيِّ بالطبيعيات أدلار الباثي Adelard of Bath (١١٥٢–١٠٨٠)، الذي أتقن العربية، ودَلَف إلى مدارس الرياضيات الإسلامية في قرطبة — مركز العلم في أوروبا آنذاك — فترجم حوالي عام ١١٢٠م كتاب «الأصول» من العربية إلى اللاتينية. وظلت هذه الترجمة تُدرس في مدارس أوروبا حتى العام ١٥٨٣، حينما تم اكتشاف الأصل اليوناني.^١

•••

ولنُلقِ نظرة تاريخية على أصول «الأصول» ذاته ومساره من أجل مزيد من التحديد لدوره البارز في تاريخ الرياضيات في الحضارة الإسلامية … تاريخ عطائها الأوفى. وفي هذا نعود إلى أرسطو وكتُبِه المنطقية الستة المعروفة باسم «الأورجانون Organon»، وتشغل المجلد الأول من مجموع أعماله التي تدور جميعها حول البرهنة. كتاب «التحليلات الثانية» Analytica Posterior، الكتاب الرابع من كتب الآورجانون الستة،^٢ هو الذي أفضى إلى أصول الهندسة لإقليدس.

وهذه واقعة أفاض في شرحها كتاب «النجاة» لابن سينا الذي يُعَدُّ أعلى نقطة لتطوُّر المنطق العربي في المشرق الإسلامي. هذا على الرغم من أن ابن سينا ليس تابعًا وفيًّا لأرسطو كابن رشد مثلًا، بل كان اتجاهه المستقل نحو أرسطو فريدًا حقًّا، مشوبًا بعناصر إشراقية قوية. وكما يقول نيقولا ريشر: «لم يكن ابنُ سينا مجردَ جامع أو شارح تحليلي، بل عقلية أصيلة على وجه قوي. وعلى الرغم من إخلاصه لمصادره المنطقية، لم يكن جهده في الشرح بل في التنسيق.»^٣ وقد أجاد تنسيق المسار الهندسي من أرسطو إلى إقليدس أو من التحليلات الثانية إلى الأصول.

«التحليلات الثانية» يدرس البراهين والقياسات اليقينية، فيستبان كيف أن اليقين الذي تمتاز به الرياضيات راجعٌ إلى أنها علم برهاني؛ أي يرتكز على نقطة بدء، على أسس ومبادئ يبدأ منها برهان قضاياه. هذه الأسس القليلة غير قابلة للبرهنة في العلم نفسه، وإن كان يمكن برهنتها في علم أعلى كالميتافيزيقا التي هي علم المبادئ الأولى للوجود، ومنها مبادئ الرياضيات ذاتها. وأرسطو في ترتيبه للعلوم يَعُد أدقَّها وأوَّلَها هو أقربَها للمبادئ الأولى. وعلى هذا جعل الرياضيات أولًا، وجعل الحساب قبل الهندسة. ثم ميَّز أرسطو في التحليلات الثانية بين الأسس والمبادئ المشتركة لكل العلوم، وهي قوانين الفكر الأساسية: الهوية وعدم التناقض والثالث المرفوع، وبين المبادئ الخاصة بكل علم على حدة. والمبادئ الخاصة بالرياضيات هي: أولًا التعريفات للحدود المستعملة، وثانيًا البديهيات وهي قضايا واضحة بذاتها، وتُعَد صادقة عند كلِّ مَن يفهم معناها بغير حاجة إلى برهان، وثالثًا المسلَّمات التي نُصادر عليها كي تؤسسَ العلم وتُقيمَ البرهان، وقد لا تكون واضحة لكنها تتضح فيما بعد. وبهذا التحليل غير المسبوق كان أرسطو يُرسي على أساس منهجي ومنطقي مقنن حجرَ الزاوية للتعاون بين الرياضيات والفلسفة، والذي لن تنفصم عُراه بعد ذلك أبدًا، مثلما يُرسي أسُسَ نسقِ الهندسة. لكن أرسطو لم يتجاوز حدَّ التأسيس، ولم يُقِم نسقًا رياضيًّا^٤ على الرغم من أن جهوده الرياضية تمتدُّ إلى محاولة إثبات بعض المبرهنات، مثل مبرهنة تساوي الزاويتَين المقابلتين للساقين المتساويَين في المثلث.^٥

ثم جاء إقليدس، تاريخَا ميلاده ووفاته غيرُ معروفين تحديدًا، لكن الثابت أنه أصغر من أفلاطون وأكبر من أرشميدس، فكان معاصرًا تقريبًا لأرسطو، وقام بتطبيق التحليل الأرسطي في إقامة نسقه. لم يُضِف إقليدس كثيرًا للجهود السابقة عليه، لكنه فعل ما هو أهم: تجميعها معًا والربط المنطقي بينها ربطًا بلغ حدًّا جعله مثالًا يُحتذَى للمنهج الرياضي الاستنباطي طوال ألفَين من السنين. عالج إقليدس كلَّ الرياضيات المعروفة في عصره: الهندسة والحساب ونظرية الأعداد، وأودعها كتابَه «الأصول». ينقسم هذا الكتاب إلى عدة كتاب؛ بمعنى عدة فصول قصيرة، الستة الأولى منها تشكِّل نسقًا متكاملًا لهندسة السطح المستوي. الكتاب الأول أساسي يشمل التعريفات والمسلَّمات، ويتناول المثلثات والمتوازيات ومتوازيات الأضلاع … ويمكن أن يسمَّى محتوى الكتاب الثاني بدايات الجبر الهندسي. والكتاب الثالث عن هندسة الدائرة، والرابع يعالج الأشكال المنتظمة متعددة الأضلاع، والخامس يعالج نظرية في النسب المستخدمة في الكميات التي تُعَد والتي لا تُعَد، والكتاب السادس يطبِّق النظرية على الهندسة المستوية. أما الكتب من السابع إلى العاشر ففيها الحساب ونظرية الأعداد، وهي تعالج أعدادًا من أنواع شتى: أولية وأولية بالنسبة لبعضها والمضاعف المشترك الأصغر والأعداد التي تكون المتوالية الهندسة … وخصص الكتاب العاشر للمستقيمات غير الجذرية …^٦

هكذا كان أول ما فعله إقليدس — تبعًا للدرس الأرسطي — هو وضع تعريفات من قبيل: النقطة هي ما ليس له أجزاء وليس له حجم، والخط طول بغير عرض … إلخ، فيستهل الكتاب الأول بخمسة وثلاثين تعريفًا، بخلاف التعريفات المطروحة في صدر كلِّ كتاب من الكتب الخمسة التالية.^٧ وأيضًا وضع إقليدس في مقدمة الكتاب الأول من الأصول اثنتي عشرة بديهية بخلاف بديهيات مطروحة في كتب أخرى، من قبيل: الكل أكبر من جزئه، والمقدران المساويان لثالث متساويان … إلخ. واكتملت مقدمات إقليدس بخمس مسلَّمات من قبيل: يمكن رسم خط مستقيم بين أيِّ نقطتين ويمكن مدُّه إلى أي طول نشاء … ومن هذه المقدمات؛ أي التعريفات والبديهيات والمسلَّمات، أقام البرهان على نظرياته العديدة التي كانت جميعها مناطَ الإكبار والإعجاب، باستثناء المسلَّمة الخامسة التي تنصُّ على أن الخطَّين المتوازيَين لا يلتقيان مهما امتدَّا، ظلَّت ألفَي عام مثارَ أرقِ الرياضيين في الشرق وفي الغرب رافضين اعتبارها مسلَّمة، وفي الآن نفسه عاجزين عن البرهنة عليها. ونذكر من هؤلاء الحسن بن الهيثم ونصير الدين الطوسي (٥٩٧–٦٧٢). وكما هو معروف كان كفاح الرياضِّيين في هذه القضية هو الذي أفضى في النهاية، تحديدًا في القرن التاسع عشر إلى ظهور الهندسات اللاإقليدية.^٨

كان كتاب «أصول الهندسة» لإقليدس قد تُرجم من اليونانية إلى السريانية. ولأول مرة ترجم الحجاج بن يوسف بن مطر (٧٨٦–٨٣٣م) بعض أجزائه من اللغة السريانية إلى العربية في النصف الأول من القرن التاسع الميلادي من أجل الخليفة هارون الرشيد، ثم راجع ترجمته من أجل ولده الخليفة المأمون. إنه ما هو مذكور آنفًا من توالي جهود المترجمين والمراجعين طلبًا للتجويد والتحسين. وعلى مدار عهدَي هارون الرشيد والمأمون وما تلاهما عمل على ترجمة أجزاء كتاب الأصول ومراجعة الترجمات وتنقحيها كوكبة من ألمع المترجمين الرياضيِّين، منهم أشهر المترجمين إسحاق بن حنين (٢١٥–٢٩٨ﻫ/٨٣٠–٩١٠م) الذي ترجمه عن اليونانية، وراجع ترجمته ثابت بن قرة الحراني الصابئي (ت ٢٢١ﻫ/٨٣٥م). وقد أتقن ثابت السريانية واليونانية والعبرية، وكان جيدَ النقل إلى العربية، حتى عدَّه جورج سارتون أعظمَ المترجمين، فضلًا عن أنه من أعظم الرياضيِّين في عصره. وكان سهل بن ربَّان الطبري حوالي (٧٨٠–٨٧٠م) قد ترجم كتُبًا أخرى؛ أي أجزاء أخرى من الأصول. وسهل مسيحي، كجمهرة مترجمي الحضارة الإسلامية عن اللغة اليونانية. وهو فارسي من أهل مرو في طبرستان، وكانت مرو إحدى مراكز الثقافة الإغريقية في فارس بعد غزو الإسكندر لها. وقد اعتنق الإسلام وعلا صيتُه في الطب والهندسة معًا، متقفِّيًا خُطَى أبيه. وقام الحجاج بن يوسف بمراجعة ترجمات سهل، كما راجعها فيما بعد محمد بن جابر بن سنان البتاني حوالي العام ٩٢٩م. وفي ذلك الأوان — النصف الأول من القرن العاشر الميلادي — راجع قسطا بن لوقا البعلبكي (حوالي ٨٢٠–٩١٢م) الترجمة الأصلية التي قام بها الحجاج (٩١٢م)، كما قال سعيد الدمشقي حوالي عام ٩١٠ بترجمة كتبٍ أخرى من الأصول. «وفي عام ١٨٩٣ حقق مخطوطات هذه الترجمات المستشرقان بستورن وهيبرج.»^٩

وكان الكندي أول فيلسوف عربي، وأول مَن يهتم بإقليدس، وعلى الإجمال لازم الرياضيون العرب أصول الهندسة لإقليدس طوال فترة تألقهم؛ أي حتى القرن السابع الهجري، فلا فيلسوف أو رياضياتي عربي يمر من دون أن يصنف رسالة أو أكثر في الأصول أو في أحد جوانبها. لقد كثرت شروح الأصول والتعليقات عليه ورد الشكوك عنه، ومناقشة مسلمته الخامسة، وأيضًا مختصراته وأشهرها مختصر ابن سينا الوارد في كتابه «الشفاء».^١٠

وفتح الأصول شهية العرب للرياضيات البرهانية بمنهجها الاستنباطي المنتج خصوصًا في عصرها الذهبي — العصر السكندري — فتوالَت دفعة واحدة ترجمة العديد من أمهات هذا التراث. ولعل أهمها كتاب أبلونيوس Apollonius (١٩٠–٢٦٠ق.م. تقريبًا) «القطوع المخروطية Conic Sections». ولأن أصول إقليدس معنيَّة بهندسة المسطحات، فإن اقتحام عالم المجسمات والقطوع المخروطية كان خطوةً أبعد قطعها العقل الرياضي الهندسي. ولما كنَّا سنعود إليه — من زاوية أخرى — في الفصل السادس فيجمل بنا أن نُلقيَ نظرةً على وضعه الآن في سياق تاريخ الهندسة.

•••

وُلد أبولونيوس حوالي عام ٢٦٢ق.م. في برجا، ولما أبدَى نبوغًا أُرسل في سنٍّ مبكرة للدراسة في الإسكندرية، حيث تعلَّم على يد تلاميذ إقليدس، وأمضى فيها معظم حياته، وترعرع إبَّان حكم بطليموس الثالث والرابع. لقد أنجز الكثير في الهندسة، واشتهر بحلِّ مسألة تُسمَّى «مسألة أبولونيوس»، وهي: كيفية رسم دائرة تمسُّ ثلاثَ دوائر معلومة. وله مؤلفات أخرى غير «القطوع المخروطية»، تُرجم إلى العربية منها: «كتاب النسبة المحدودة» و«كتاب القطع المحدد» و«إنشاء الآلات التي تعمل على الماء».^١١

ومثلما اشتهر إقليدس فقط ﺑ «الأصول» مع أن له أعمالًا أخرى، اشتهر أبولونيوس ﺑ «القطوع المخروطية، اتجهت إليها عبقريته، حاول أن يفهم أشكالها ومواضعها فضلًا عن إدراك ما بينها من علاقات يمكن أن تميز كل نوع منها عن الآخر،^١٢ ممهدًا السبيل لفهم أفضل لوحدة القطوع المخروطية، فتتبع جميعها أسرة واحدة مقسمة لمجموعات. وينقسم كتابه إلى ثمانية كتُب أو أجزاء. الكتاب الأول يشتمل على طرق تكوين القطوع المخروطية الثلاثة: القطع الناقص الأقل مساحة والقطع المكافئ المساوي للمساحة والقطع الزائد الأزيد مساحةً. وأيضًا الفروع الأخرى من القطع الزائد. والكتاب الثاني عن خواص أقطار القطوع ومحاورها. ويحتوي الكتاب الثالث على نظريات يستفاد بها في ربط المحلات الهندسية المجسمة، وفي هذا الكتاب استطاع أبولونيوس أن ينشئ القطوع المخروطية بواسطة المماسات، وأن يُنشئ قَطعًا مخروطيًّا بمعرفة خمس نقاط عليه. وبين الكتاب الرابع بطرق متعددة كيف تتقاطع القطوع المخروطية مع بعضها ومع محيط الدائرة. ويعالج الخامس النهايات الصغرى والعظمى، والسادس القطوع المخروطية المتشابهة. والكتاب السابع عن النظريات الخاصة بتعيين النهايات، أما الكتاب الثامن والأخير فهو مفقود، والمتوقع أن يعالج مسائل أخرى متعلقة بالقطوع المخروطية».

بطبيعة الحال تقدِّم الأساليب الرياضية الحديثة طُرُقًا لدراسة القطوع المخروطية أعمق وأسهل من طريقة أبولونيوس وسابقيه أمثال مينايخوموس وأريستايوس. وتوضح الهندسة التحليلية وحدة القطوع المخروطية بطريقة أبسط؛ إذ تمثِّلها بمعادلات من الدرجة الثانية في مجهولين. فلا يُعَد كتاب أبولونيوس أو شروحه من لدن الحسن بن الهيثم وإبراهيم بن سنان ونصير الدين الطوسي مجدية في الوقت الحاضر، ولكنه قام بدوره التاريخي في تطور الهندسة، وساهم كعامل جوهري في نشأة الهندسة التحليلية أصلًا في القرن السابع عشر مع ديكارت، ومع بيير دي فيرما P. de Fermat (١٦٠١–١٦٦٥) الذي ساهم في أسس حساب الاحتمال بمعزل عن بسكال وفي أسس الهندسة التحليلية بمعزل عن ديكارت. وقد ثبت تأثُّر فيرما الكبير ﺑ «القطوع المخروطية»؛ ليحتفظ الكتاب بدوره في تاريخ الرياضيات وتطور مساراتها.^١٣

وكشأن «الأصول» نجد كوكبة من المترجمين الرياضيِّين في عصر المأمون توالَت على ترجمة كتاب «القطوع المخروطية» لأبولونيوس، تحت اسم «المخروطات»، ومراجعة الترجمات وتنقيحها، في مقدمتهم بنو شاكر وجميعهم مترجمون ورياضيون، خصوصًا أبا جعفر محمد بن موسى بن شاكر (ت ٣٥٩ﻫ/٨٧٣م)، أكبر أخوته وأعلمهم، شاركه في الترجمة وفي إصلاحها أخواه أحمد والحسن فضلًا عن ثابت بن قرة والحمصي … وأيضًا كشأن «الأصول»، قلَّ أن يمرَّ رياضياتي عربي بغير أن يصف رسالة في «المخروطات».

والجدير بالذكر أن أصول هذا السفر قد ضاعت، ولم يبقَ للبشرية إلا الترجمة العربية، استخدمها يوهانس كبلر في ثورته الفلكية الكبرى، نظريته في حركة الأجرام أو الميكانيكا السماوية التي استقام بفضلها وضعُ هذه الحركة في منظومة العلم الحديث. وفي جامعة أكسفورد كان عالم الفلك الإنجليزي إدموند هالي الذي اكتشف مسار المذنب الموسوم باسمه ودعم نيوتن ترقيته لدرجة بروفيسور، قد أتقن العربية وأخرج العام ١٧٠٦ ترجمة «القطوع المخروطية» أو «المخروطات» من العربية إلى اللاتينية، فكان دوره المذكور في حركية العلم الحديث، وتحديدًا في نشأة الهندسة التحليلية، التي تقف على الحدود بين الهندسة والجبر.

^١ في تفاصيل هذا انظر: د. يمنى طريف الخولي، إدلارد الباثي ومدارس الرياضيات في قرطبة، في: مجلة كلية الآداب، جامعة القاهرة، العدد ٥٣ المخصص لأعمال المؤتمر الدولي الثالث للحضارة الأندلسية، مارس ١٩٩٢، ص٢٤٧–٢٦٥.

^٢ Works of Aristotle, W. David Ross ed., (Oxford: Clarendon Press, 1930), 1947. Vol. I Organon, Organon IV–Posterior Analytics, trans. G. R. Mure.

^٣ نيقولا ريشر، تطور المنطق العربي، ترجمة د. محمد مهران، القاهرة، دار المعارف، ١٩٨٥، ص٢٤٥–٢٤٦.

^٤ د. محمد ثابت الفندي، فلسفة الرياضة، دار المعرفة الجامعية، الإسكندرية، ١٩٨٧، ص٤٣ وما بعدها.

^٥ Thomas Heath, Mathematics in Aristotle (1949), Theommes Press, Bristol, 1988. p. 23–24.

^٦ جورج سارتون، تاريخ العلم: العلم والحضارة الهلينستية في القرون الثلاثة الأخيرة قبل الميلاد، ترجمة لفيف من المترجمين، القاهرة، دار المعارف، ط٢، ١٩٧٠، الجزء الرابع، ص٨٥.

^٧ The Elements of Euclid, ed. by I. Todhunter, Everyman’s Library, J. M. Dent & Sons, London, 1948. pp. 105, 71–72, 113–114, 134–137, 173.

^٨ تعرضتُ لهذا بالتفصيل في أكثر من موضع. انظر: «مشكلة المسلمة الخامسة» في: د. يمنى طريف الخولي، محاضرات في منهج العلم، القاهرة، دار الثقافة العربية، ط٨، ٢٠١٥، ص٤٦–٥٩.

^٩ لأبي الريحان البيروني استخراج الأوتار في الدائرة بخواص الخط المنحني فيها، تحقيق د. أحمد سعيد الدمرداش، من مقدمة بقلم المحقق، ص١٠.

^١٠ الشيخ الرئيس أبو علي بن سينا، الشفاء، الرياضيات، تحقيق محمد رضا مدور وإمام إبراهيم أحمد، مراجعة وتقديم إبراهيم بيومي مدكور، القاهرة، الهيئة المصرية العامة للكتاب، ١٩٨٠، ص٦٥٩.

^١١ شاخت وبوزورث (مصنفان)، تراث الإسلام، الجزء الثاني، ترجمة د. حسن مؤنس وإحسان صدق العمد، سلسلة عالم المعرفة، المجلس الوطني للثقافة والفنون والآداب، الكويت، ط٢، ١٩٨٨، ص٢٨٥.

^١٢ جورج سارتون، تاريخ العلم، الجزء الرابع، ص١٦٠.

^١٣ انظر مقدمة الترجمة العربية في: يمنى الخولي، في الرياضيات وفلسفتها عند العرب، م. س، ص٣١–٦٧.