محمد بن موسى الخوارزمي وأثره في علم الجبر

إن عناية الأمم بتراثها العلمي ونشرها له وحرصها عليه لمن أول الواجبات. فهذا التراث هو بمثابة الغذاء الروحي لعلماء الأمة ومفكريها وسائر المتعلمين فيها. ولعلنا نحن المصريين أغنى الأمم تراثًا، فقد تعاقبت علينا حضارات مختلفة منذ فجر التاريخ إلى اليوم، وفي كل دور من هذه الأدوار قمنا بقسط وافر من واجبنا العلمي نحو الأسرة البشرية. وأقرب هذه الحضارات إلينا وأعمقها أثرًا فينا هي ولا شك الحضارة العربية.

فهذه العبارة وما ذكره ابن النديم يدلَّان دلالة واضحة على معاصرة الخوارزمي للمأمون، ولو أنهما لا تمكِّنانا من تحديد تاريخ ولادته أو تاريخ وفاته.

مثال آخر لتقسيم مساحة معلومة إلى مربعات — إذا طُلِبَ منك أن تقسِّم ١٠٠ ذراع مربع بين مربعين بحيث يكون ضلع أحد المربعين ثلاثة أرباع ضلع المربع الآخر، فأوجد كلًّا من المجهولين، ويلي ذلك حل للمسألة بافتراض أن ضلع أحد المربعين هو الوحدة وأن ضلع الآخر هو ٣ / ٤، وبذلك يكون مجموع المساحتين ٢٥ / ١٦ الذي جذره ٥ / ٤ وجذر المائة ١٠ فتكون نسبة ١٠ إلى طول الضلع المطلوب كنسبة ٥ / ٤ إلى ١ ومنه يكون طول ضلع أحد المربعين ٨ والآخر ٦. والمقابل الجبري لهذه المسألة الهندسية هو بداهة:

وقد وضع البابليون القدماء جداول للمربعات والمكعبات، ولا تزال بعض هذه الجداول محفوظة في صحف سنكرة المشهورة، وهي صحف معاصرة لبردي أحميس. ويقول كانتور^١٥ إن العبرانيين القدماء كانوا يعرفون العلاقة ٣ و٤ و٥ للمثلث القائم الزاوية كما أن رياضيي الصين كانت لهم دراية أيضًا بهذه العلاقة وبحل مسائل المربعات^١٦ ويعتبر في حكم المقرر الآن أن رياضيي الإغريق كانوا يعلمون الحل الهندسي لمعادلات الدرجة الثانية في عصر فيثاغورس، ففي مؤلفات بخراطيس — من القرن الخامس قبل الميلاد — نجد محاولات لتربيع الدائرة تئول إلى حل المعادلة:

س^٢ +  أ س = أ

س = مما يدل على استخدامه طريقة تحليلية لحل المسألة.

ونجد الحل على الصورة الآتية:

س =

مما يدل على أن المعادلة  س^٢ +  س = ٢١٢

وضعت على الصورة  ١١س^٢ + ٥٨ س = ٢١٢ × ١٤

حيث س رمز على القطر والمجموع المعلوم للقطر والمساحة والمحيط هو ٢١٢ والنسبة التقريبية بين المحيط والقطر معتبرة . ومما يستلفت النظر في هذه المسألة جمع المساحات والأطوال معًا، وهو إجراء نجده في المؤلفات الإغريقية بين عصر هيرون وعصر ديوفانتوس (إلى حوالي سنة ٢٥٠ ميلادية).

وقد ذكر ابن النديم في الفهرست أن الفلكي الإغريقي حيبار قوص الذي عاش في القرن الثاني قبل الميلاد وضع مؤلَّفًا في الجبر. إلا أن مؤلفًا من هذا النوع لم يصل إلينا ولم يشر إليه أحد غير ابن النديم إلى حد علمنا، ولذلك يعتقد سوتر مترجم الفهرست إلى الألمانية (طبعة ليبزج عام ١٨٩٢م) أنه قد حدث خطأ في النص الوارد في كتاب ابن النديم في هذا المقام.

«اجمع إلى الحد المطلق مضروبًا في معامل المربع مربع نصف معامل المجموع، ثم اطرح من الجذر التربيعي لهذا المجموع نصف معامل المجهول واقسم النتيجة على معامل المربع تحصل على قيمة المجهول.»

والمقابل التحليلي لذلك هو أن أحل المعادلة:

هذا ملخص للكيفية التي نشأ بها علم الجبر ونما في البلاد المختلفة من أول علمنا بالتاريخ حتى عصر الخوارزمي. ولا شك في أن كلًّا من هذه البلاد قد تأثر بما كان يجري في البلاد المجاورة. ومن الثابت أن الإغريق أخذوا علم الرياضة عن المصريين، وأن البابليين والإغريق كانوا على اتصال دائم، وحتى الهند والصين لم تكونا بمعزل عن تلك البلاد، فظهور جداول المربعات والمكعبات في بابل، والمتواليات الهندسية وقوى الأعداد في مصر، ونظرية فيثاغورس كما تسمى عادة في الهند والصين، والحل الهندسي لمعادلات الدرجة الثانية قبل زمن أقليدس في اليونان — كل هذه تُعْتَبر تطورات مؤدية إلى نشوء علم الجبر بمعناه الصحيح، كما أنها تدل على أن نشوء هذا العالم لم يكن مجهودًا مصطنعًا وتمرينًا عقليًّا منعزلًا، بل جاء نتيجة طبيعية لاهتمام القوم بمسائل الهندسة وخواص الأعداد.

وفي المقدمة التي وضعتها بالاشتراك مع الدكتور مرسي لكتاب الخوارزمي (طبعة القاهرة سنة ١٩٣٧م) قد وضحنا أهمية العصر الإسلامي في تاريخ العلوم عامة والعلوم الرياضية خاصة.

وسأقتطف بعض فقرات من كتاب الخوارزمي لكي يقف القارئ منها على روح المؤلف ومبلغ علمه وطريقته. ففي أول الكتاب بعد أن حمد الله وأثنى عليه قال:

«ولم تزل العلماء في الأزمنة الخالية والأمم الماضية يكتبون الكتب مما يصنفون من صنوف العلم ووجوه الحكمة نظرًا لمن بعدهم واحتسابًا للأجر بقدر الطاقة ورجاء أن يلحقهم من أجر ذلك وذخره وذكره، ويبقى لهم من لسان الصدق ما يصغر في جنبه كثير مما كانوا يتكلفون من المئونة، ويحملونه على أنفسهم من المشقة في كشف أسرار العلم وغامضه، إما رجل سبق إلى ما لم يكن مستخرجًا قبله فورَّثه من بعده، وإما رجل شرح مما أبقى الأولون ما كان مستغلقًا فأوضح طريقه، وسهَّل مسلكه، وقرَّب مأخذه، وإما رجل وجد في بعض الكتب خللًا فلمَّ شعثه وأقام أوده، وأحسن الظن بصاحبه غير راد عليه ولا مفتخر بذلك من فعل نفسه.»

وإن المرء ليلمس في هذه العبارات روح العالم المدقق. وفي رأيي أنه يصعب أن نضع دستورًا للبحث العلمي والتأليف العلمي وأدب العلم خيرًا مما وضعه الخوارزمي في هذه العبارات السهلة الممتنعة.

ثم قال الخوارزمي:

«وإني لما نظرت فيما يحتاج إليه الناس من الحساب وجدت جميع ذلك عددًا، ووجدت جميع الأعداد إنما تركبت من الواحد، والواحد داخل في جميع الأعداد، ووجدت جميع ما يُلْفَظ به من الأعداد ما جاوز الواحد إلى العشرة يخرج مخرج الواحد، ثم تُثَنَّى العشرة وتُثَلَّث كما فُعِل بالواحد فتكون منها العشرون والثلاثون إلى تمام المائة. ثم تُثنى المائة وتُثلث كما فُعل بالواحد وبالعشرة إلى الألف، ثم كذلك تردد الألف عند كل عقد إلى غاية المُدْرَك من العدد. ووجدت الأعداد التي يُحْتاج إليها في حساب الجبر والمقابلة على ثلاثة ضروب: وهي جذور وأموال وعدد مفرد لا يُنْسَب إلى جذر ولا إلى مال. فالجذر منها كل شيء مضروب في نفسه من الواحد وما فوقه من الأعداد وما دونه من الكسور، والمال كل ما اجتمع من الجذر المضروب في نفسه، والعدد المفرد كل ملفوظ به من العدد بلا نسبة إلى جذر ولا إلى مال. فمن هذه الضروب الثلاثة ما يعدل بعضها بعضًا وهو كقولك أموال تعدل جذورًا، وأموال تعدل عددًا. وجذور تعدل عددًا.»

ويلي ذلك حل كل نوع من هذه الأنواع شارحًا ذلك بأمثلة عددية بفرض أن أ، ب، ﺟ كلها موجبة، وليس معنى هذا أن الخوارزمي لم يكن يستخدم الأعداد السالبة، بل بالعكس إننا نجد في باب للضرب شرحًا لاستخدام الأعداد السالبة؛ إذ يقول:

«اعلم أنه لا بد لكل عدد يُضْرَب في عدد من أن يُضَاعَف أحد العددين بقدر ما في الآخر من آحاد، فإذا كانت عقود ومعها آحاد أو مستثنى منها آحاد فلا بد من ضربها أربع مرات: العقود في العقود، والعقود في الآحاد، والآحاد في العقود، والآحاد في الآحاد. فإذا كانت الآحاد التي مع العقود زائدة جميعًا فالضرب الرابع زائد، وإذا كانت ناقصة جميعًا فالضرب الرابع زائد أيضًا، وإذا كان أحدهما زائدًا والآخر ناقصًا فالضرب الرابع ناقص.» ثم يقول:

وإنما افترض الخوارزمي أن أ، ب، ﺟ في معادلات الدرجة الثانية كميات موجبة لكي يفرق بين أحوال الجمع وأحوال الطرح في كل صورة من الصور التي يبحث فيها، وعلى وجه الخصوص لكي تنطبق المعادلة على الأمثلة العملية التي يوردها في آخر الكتاب (باب الوصايا على الخصوص) تطبيقًا على حل هذه المعادلات.

تنبَّه الخوارزمي إلى أن المسألة قد يكون لها حلان [والحل في نظر الخوارزمي هو دائمًا القيمة الموجبة ﻟ س التي تحقق المعادلة] فقال:

«فبابه أن تنصف الأجذار فتكون خمسة فاضربها في مثلها تكون خمسة وعشرين، فانقص منها الواحد والعشرين التي ذُكِرَ أنها مع المال فيبقى أربعة، فخذ جذرها وهو اثنان فانقصه من نصف الأجذار وهو خمسة فيبقى ثلاثة وهو جذر المال الذي تزيده، والمال تسعة، وإن شئت فزد الجذر على نصف الأجذار فتكون سبعة وهو جذر المال الذي تريده والمال تسعة وأربعون، فإذا وردت عليك مسألة تخرجك إلى هذا الباب فامتحن صوابها بالزيادة، فإن لم يكن فهي بالنقصان لا محالة، وهذا الباب يعمل بالزيادة والنقصان جميعًا، وليس ذلك في غيره من الأبواب الثلاثة التي يُحْتَاج فيها إلى تنصيف الأجذار.»

ثم إن الخوارزمي تَنبَّه إلى شيئين آخرين في هذا الباب فقال:

«واعلم أنك إذا نصفت الأجذار في هذا الباب وضربتها في مثلها فكان مبلغ ذلك أقل من الدراهم التي مع المال فالمسألة مستحيلة، وإن كان مثل الدراهم بعينها فجذر المال مثل نصف الأجذار سواء لا زيادة ولا نقصان.»

وأول هذين الشيئين استحالة حل المعادلة س ^٢ + ﺟ = ب س إذا كان ()^٢ < ﺟ، وقد بقيت هذه الحالة تُعْرَف بالحالة المستحيلة كما سماها الخوارزمي إلى أواخر القرن الخامس عشر حين بدأ البحث في الكمبيالات التخيلية على أيدي كاسبار فسل وجان روبير أرجان، والأمر الثاني هو تساوي الجذرين إذا كانت ()^٢ = ﺟ.

ولم يكتفِ الخوارزمي بذكر القاعدة التي تُتَّبَع في كل نوع من أنواع المعادلات والتمثيل على ذلك بأمثلة عددية، بل بحث في ما سماه العلة في كل ضرب من ضروب المعادلات قال:

«فهذه الست ضروب التي ذكرتها في صدر كتابي هذا، وقد أتيت على تفسيرها وأخبرت أن منها ثلاثة ضروب لا تُنَصَّف فيها الأجذار فقد بينت قياسها واضطرابها. فأما ما يحتاج فيه إلى تنصيف الأجذار في الثلاثة الأبواب الباقية فقد وصفته بأبواب صحيحة وصيرت لكل منها صورة يُسْتَدَلُّ منها على العلة في التنصيف.

فأما علة مال وعشرة أجذار تعدل تسعة وثلاثين درهمًا، فصورة ذلك سطح مربع مجهول الأضلاع وهو المال الذي تريد أن تعرفه وتعرف جذره وهو سطح أ ب، وكل ضلع من أضلاعه فهو جذره، وكل ضلع من أضلاعه إذا ضربته في عدد من الأعداد فما بلغت الأعداد فهي أعداد جذور؛ كل جذر مثل جذر ذلك السطح، فلما قيل إن مع المال عشرة أجذاره أخذنا ربع العشرة وهو اثنان ونصف، وصيرنا كل ربع منها مع ضلع من أضلاع السطح، فصار مع السطح الأول الذي هو سطح أ ب أربعة سطوح متساوية طول كل سطح منها مثل جذر سطح أ ب وعرضه اثنان ونصف وهي سطوح ﺣ ﮐ ط ﺟ فحدث سطح متساوي الأضلاع مجهول أيضًا ناقص في زواياه الأربع، في كل زاوية من النقصان اثنان ونصف في اثنين ونصف فصار الذي يحتاج إليه من الزيادة حتى يتربع السطح اثنان ونصف في مثله أربع مرات، ومبلغ ذلك جميعه خمسة وعشرون. وقد علمنا أن السطح الأول الذي هو سطح المال والأربعة السطوح التي حوله وهي عشرة أجذار هي تسعة وثلاثون من العدد، فإذا زدنا عليه الخمسة والعشرين التي هي المربعات الأربع التي هي على زوايا سطح أ ب ثم تربيع السطح الأعظم الذي هو سطح د ﻫ، وقد علمت أن ذلك كله أربعة وستون. وأحد أضلاعه جذره وهو ثمانية، فإذا نقصنا من الثمانية مثل ربع العشرة مرتين من طرفي ضلع السطح الأعظم الذي هو د ﻫ وهو خمسة بقي من ضلعه ثلاثة، وهو جذر ذلك المال. وإنما نصفنا العشرة الأجذار وضربناها في مثلها وزدناها على العدد الذي هو تسعة وثلاثون ليتم لنا بناء السطح الأعظم بما نقص من زواياه الأربع، لأن كل عدد يُضْرَب ربعه في مثله ثم في أربعة يكون مثل ضرب نصفه في مثله فاستغنينا بضرب نصف الأجذار في مثلها عن الربع في مثله ثم في أربعة وهذه صورته.»

هذا ملخص موجز لما احتوى عليه كتاب الجبر والمقابلة لمحمد بن موسى الخوارزمي «من لطيف الحساب وجليله لما يلزم الناس من الحاجة إليه في مواريثهم ووصاياهم وفي مقاسمتهم وأحكامهم وتجارتهم، وفي جميع ما يتعاملون به بينهم من مساحة الأرضين وكرى الأنهار والهندسة وغير ذلك من وجوهه وفنونه».

ولعل اجتماع الهندسة الإغريقية والحساب الهندي كان ضروريًّا لكي ينشأ علم الجبر. فالطريقة الإغريقية في الحساب كانت عقيمة إلى أبعد حدود العقم بقدر ما كانت هندستهم خصبة إلى أبعد حدود الخصب. ويكفي أن يتصور القارئ أنهم كانوا يستخدمون تسعة من الحروف الأبجدية للدلالة على الأرقام من ١ إلى ٩ ثم تسعة أخرى للدلالة على العقود من ١٠ إلى ٩٠ ثم تسعة أخرى للدلالة على المئات، وبعد ذلك يستخدمون نفس الأحرف بإضافة حركة إليها تشبه الفتحة عندنا. ليتصور القارئ عملية من عمليات الضرب تُستخدم فيها هذه الطريقة! فلما انتقلت الأرقام الهندسية إلى العرب وامتزج الحساب الجديد بالهندسة الإغريقية صار من الممكن لعبقري من نوع الخوارزمي أن يضع علم الجبر الذي بناه على الجمع بين الفكرة الهندسية والفكرة العددية للكميات.

وليس الخوارزمي واضعًا لعلم الجبر فحسب، بل إنه يتضح مما قدمت أن انتشار هذا العلم في الشرق والغرب إنما يرجع الفضل فيه إلى كتاب الخوارزمي الذي صار المرجع الأول للمؤلفين والمترجمين من عرب وأعاجم؛ ولذلك يحق لنا أن نقول إن الخوارزمي هو واضع علم الجبر ومعلمه للناس أجمعين.

^١٨  الحل المضبوط س = ٧ ±