ملحق القسم الأول

I

وحيث إن د = ٢نق

أي إن:

أي ٤ × ٦٤ / ٨١ = ط

وهذه النتيجة التقريبية التي استخدمها قدماء المصريين، وهي قريبة بشكل مدهش من القيمة التي تُستخدم عمليًّا اليوم في حساب الدائرة، وهي القيمة ط = ٣,١٤.

أما في بابل فقد اكتفوا بالتقريب ط = ٣. وهو تقريب ضعيف تمامًا إذا قيس بدقة المصريين القدماء.

II

أيًّا كان الخلاف بين المؤرخين حول معرفة نظرية فيثاغورس عند المصريين القدماء إلا أنهم يتفقون أنها من الناحية العملية كانت مألوفة عند البابليين منذ ألفين قبل الميلاد. ولقد كان تطبيق هذه النظرية أمرًا سهلًا عندما تكون أضلاع المثلث القائم الزاوية تعبِّر عن علاقات بين أعداد صحيحة كما هو الحال في حال:

أي ٢٥ = ١٦ + ٩

وفي لوحة في برلين وُجد مثال لحساب طول قطر باب ارتفاعه ٤٠ و؛ وحدة، وعرضه ۱۰ و۰ وحدة (لاحظ أن الوحدات منسوبة إلى النظام السداسي) وقد حصلوا على تقريبين ١٥ ز ٤١ و، ۲۰، ١۳، ٤٢ ز على التوالي.

ويمكن تمثيل هاتين النتيجتين بالقانونين التاليين:

ويمكن برهان القانون الأول مثلًا على الوجه التالي:

وفق نظرية فيثاغورس نجد أن:

وطبعًا لا يدَّعي أحد أن البابليين كانوا يعرفون شيئًا عن نظرية ذات الحدين لأسٍّ كسري أو لأسٍّ صحيح. أما كيف وصل البابليون إلى القانون التقريبي الذي حسبوا به طول قطر الباب فأمر غير معروف.

III

يقدم تشايلد في كتاب «الإنسان يصنع نفسه»، الفصل الثامن، تبويبًا كاملًا لورقة بردي رايند على الوجه التالي:

والمجموعات من ٦ إلى ٩ ترتبط بالدرجة الأولى بوحدةِ موضوعها؛ أي بالمواد موضع التناول أو ما يخص المهن. وصحيح أن التشابه في مادة الموضوع تتضمَّن في الغالب تشابهًا في طريقة الحل، ولكن المساحات في ٧ مثلًا تتضمَّن مستطيلات ومثلثات ودوائر. والأوعية في ٦ تتضمَّن مكعبات وأسطوانات.

IV

يذكر تشايلد في كتاب «ماذا حدث في التاريخ»، الفصل الثامن، أن البابليين على وجه التأكيد كانوا يعرفون القانون الجبري:

وأنهم استخدموا هذه النتيجة لحل معادلات الدرجة الثانية بإكمال المربع كما نفعل نحن اليوم.

ويمكن تتبُّع فكرة «إكمال المربع» في معادلات الدرجة الثانية من المثال التالي:

س + ٤ = ٩

س = ٥

وطبيعي أن هناك الجذر الثاني الناتج من أخذ جذر ۸۱ (−۹ بدلًا من ٩). ولكن البابليين لم يكونوا يدركون مشكلة الإشارات. وطبعًا لم يحلُّوا هذه المعادلات عندما كانت هناك مشكلة جزور صمَّاء.

هذا وقد أسلفنا القول بأن التعبير عن حل معادلات الدرجة الثانية لم يأخذ شكلًا رمزيًّا أبدًا كما نفعل اليوم؛ إذ إن هذا لم يتم إلا في عصر النهضة في أوروبا في القرن السابع عشر. ولكنهم كانوا يدركون التطبيقات العددية لمعادلات الدرجة الثانية، بل والثالثة أيضًا في حالاتها البسيطة.