موضوع العلوم الرياضية

موضوع الرياضيات، من حيث هي علوم قائمة بذاتها، هو الترتيب والقياس

وإذن، فعلينا أن نفحص العلوم الرياضية بطريقتين متتابعتين: فنعدها في الأولى أكمل العلوم جميعها، وفي الثانية نعدها الأداة العقلية «للفلسفة الطبيعية» كما قال كونت. وفي هذا الفصل سوف نفحصها تبعًا لوجهة النظر الأولى.

وعلى هذا النحو، يمكننا أن نتحدَّث عن «موضوع» العلوم الرياضية، أعني أننا نستطيع أن نُعيِّن ونُحدد ونُحلل نوعًا من الوقائع تنصبُّ عليه هذه الدراسة، وإن تكن هذه الوقائع فكرية وعقلية إلى أبعد حدٍّ؛ بل هي في نهاية الأمر غير مادية. لكن سنرى أنها كانت ماديةً في بادئ الأمر.

القياس يخلق العدد والمقدار

إن القياس عمليةٌ فنية معروفة، يكوِّن المرء بها — «عن طريق كمية تُسمَّى وحدة القياس» — كمية أخرى مثالية يجب أن تكون في نهاية العملية مساوية تمامًا لكمية حقيقية مقررة. فمن الممكن مثلًا، استخدام «المتر» الصلب لتكوين خطٍّ مستقيم مثالي، ينطبق على ضلع المنضدة، وله نفس طرفَيه. وهذه العملية تنطوي، كما هو واضح، على معنيَين: معنى المساواة ومعنى الجمع، ذلك لأن وحدة القياس يجب أن تظلَّ مساويةً لذاتها، وإذا ما جمعناها مع نفسها عددًا معينًا من المرات، أنتجت كميةً مساوية للكمية المطلوب قياسها.

وللكم نوعان؛ كمٌّ منفصل، هو العدد الذي يتكوَّن أساسًا من وحدات، وكمٌّ متصل أو مقدار، ويمكننا أن نلحظ فيه وحدات اخترناها بإرادتنا. ويتكوَّن العدد — مؤقتًا على الأقل — من وحدات لا تقبل الانقسام. أما المقدار فهو ينقسِم إلى ما لا نهاية له.

وإذن يمكننا أن نُميِّز في رياضيات القياس، بين مجموعتَين: رياضيات المقدار، ورياضيات العدد.

رياضيات المقدار هي: الهندسة والميكانيكا الأوليتان

المكان أو الامتداد، هو مقياس كل المقادير الأخرى ورمزها

المكان هو أولًا مقياس الزمن ورمزه، فالواقع أن الزمان عابر بحسب جوهره. وأجزاؤه يقتفي بعضها أثَر بعض على الدوام، وليست هناك وسيلةٌ أخرى لتصوُّره ودراسته إلا بالرمز له بخطٍّ يسير فيه جسم متحرك؛ بل سنرى فيما بعد أن العلم المعاصر يجعل الزمان البُعد الرابع للمكان، فليس ثمة وسيلة لقياسه إلا بالمكان، عن طريق الحركة.

مقياس الزمن يُرد إلى مقياس المكان

فلنتريث لحظةً عند مقياس الزمن، وهو مشكلة رياضية ترجع إلى عدة ألوف من السنين؛ فمن المحال تثبيت وحدة زمنية، لنجعل منها أساسًا للقياس يمكن الاحتفاظ به؛ بل يجب أن يصبح الزمان مكانًا، ويقاس على هذه الصورة، وهذا لا يتأتَّى إلا إذا تحوَّل الزمان إلى حركة. غير أن الحركة التي ترمز إلى زمن هي حركة مطردة. فأين نجدها، إذا كنا لا نتعلم كيف نقيس الزمن، وكيف أن الأمكنة المتساوية تقطع في أزمنة متساوية؟ تنطوي هذه المشكلة على نوع من الدور، لم تخرج منه البشرية إلا بصعوبة كبيرة؛ فلقياس الزمن، تختار حركات يحق لنا افتراض اطرادها، أو اطراد تعاقُبها في فترات منتظمة، ويقوم هذا الافتراض المشروع على سببين، أولهما سبب سلبي. فلنا أن نعد الحركة التي لا يطرأ عليها ما يسبب تغيرها حركة دورية باطراد، ومن قبيل ذلك، الحركات الفلكية، التي لا يؤدي الاحتكاك إلى إبطائها، والتي تعود فضلًا عن ذلك على أعقابها، أي تظل مرتبطةً بعلتها دائمًا، والسبب الآخر إيجابي، وهو ينحصر في أن العلة المنتجة للحركة تؤثر دوريًّا، وعلى نمط واحد؛ فالجسم الذي يسقط مثلًا، يصلح أن يكون في سقوطه مقياسًا لوحدة الزمن، إذا نجحنا في جعله يسقط ثانية، بعد سقوطه الأول مباشرة، في نفس الظروف، ومن نفس الارتفاع، أو إذا ما سقط جسم آخر مماثل له من كل الوجوه بعد سقوطه مباشرة، وبنفس الطريقة. وذلك هو وصف أدوات قياس الزمن، المبنية على الثقل، كالساعة الرملية أو المائية، التي تفي بالشرط الثاني، والبندول الذي يفي بالشرط الأول. ولقد كانت الساعات الرملية والمائية هي أقدم الساعات التي يمكن حملها، والفكرة التي تُبنى عليها مفهومة. وأخيرًا فإن الوسائل المختلفة للقياس تُحقق كل منها الأخرى؛ فالساعة الرملية تحقق صدق الساعة التي تكونها حركات النجوم؛ بل تمكننا من الاختيار بين هذه الحركات، التي لا تتصف جميعها بالانتظام. أما البندول، فاستخدامه أحدث بكثير من الساعة الرملية، وإنا لنعلم أن جاليليو قد اكتشف تساوي هزات البندول الضعيفة التي تبطئ شيئًا فشيئًا في الزمن. أما الهزات «المستمرة» فمن الواضح أن تعريفها يدل على أنها متساوية في الزمن، ما دام البندول المعلق هو ثقل يظل دائمًا متساويًا، ويعود دائمًا إلى السقوط من نفس الارتفاع.

ولقد اكتشف «جاليليو» تساوي زمن هذه الهزات الأولى عن طريق مقارنتها بضربات الساعة النابضة (ساعة قديمة، غير دقيقة)، ثم حقَّقها فيما بعدُ، بمقارنتها بالحركات الفلكية. وقد أفلح بعد ذلك في الربط بين البندول وسقوط الثقل، وفي الوقت ذاته، نجح في الربط بين ذبذبات البندول في الساعة ذات البندول وذات الثقل. وقوام هذه الآلة العجيبة، ينحصر في الربط بين ثقل يسقط بضربات صغيرة منتظمة وبين بندول ذي هزات متصلة، ويرتبط الثقل والبندول بطريقةٍ تجعل كلًّا منها يتجنب الآخر، بحيث أن ضربات البندول تثير السقطات المتعاقبة للثقل، ثم توقفها، بانتظام، وبحيث أن سقوط الثقل، هو الآخر، يبقي على ضربات البندول. وتؤدي حركة الثقل إلى إدارة جهاز من المؤشرات، له وجه دائري، يمثل مجرى الزمان ذاته.

وعلى هذا النحو حلَّت البشرية مشكلة قياس الزمن.

قياس الحركة يرجع هو الآخر إلى قياس المكان

أما الحركة فتقاس بمقياس الزمن، وبمقياس مسارها، وبهذا يمكن الوصول إلى تحديد سرعتها، التي هي الجزء الذي قطع من مجال الحركة خلال وحدة زمنية، وتمثل هذه السرعة بموجة السرعة، وهو جزء من مستقيم يمثل الاتجاه مباشرة، ويمثل القيمة المطلقة للسرعة بطريقة رمزية.

فالمعادلة: ق = ك × س (القوة = الكتلة في السرعة) أصبحت هي المعادلة الأساسية للميكانيكا الكلاسيكية.

المكان «صورة»

فكيف تعرف هذه الصورة؟

هذه الصورة أوليَّة a priori

كذلك يُوجَد مذهب تجريبي يسلك نفس المسلك في تفسير أصل المعاني التي تكون الامتداد.

ولنضرب لذلك مثلًا: فكتب الهندسة الأولية تقول عادةً إن الخيط الممتد يوحي إلينا بفكرة الخط المستقيم، وإن صفحة المياه الهادئة توحي بفكرة المسطح. ولكن إذا ما تركنا جانبًا الصعوبةَ التي تتمثَّل في أن الخيط الممتد ليس خطًّا مستقيمًا، وإنما هو منحنًى يُسمى «قوسًا» قد يقترب أو يبتعد عن الخط المستقيم الذي يُعتبَر حدَّه النهائي، وكذلك إذا ما تركنا جانبًا الصعوبة الأخرى، التي تتمثل في أن صفحة المياه الهادئة ليست مسطحًا، لوجود التموجات التي ترفع الماء بهدوء شديد على الضفتين، فكيف يمكن أن نتصور العملية التي «نغض الطرف» فيها عن سُمك الخيط؟ إن «غضَّ الطرف» معناه «ألا نحسب حسابًا …» أي أن «نغفل، أو ألا نُدرك» ولكن إذا كان المرء يُغفل السُّمك أو لا يدركه، فذلك لأنه يفكر في شيء آخر. أي يفكر في محور الخيط، ويتصور الخط المستقيم الذي يُعبِّر عن اتجاهه غير أن هذا التجريد لا يحلُّ مشكلة معرفة مصدر المحور وفكرة الاتجاه. وفضلًا عن ذلك، فعلم المكان يُثير أفكارًا أخرى عديدة، تفوق هذه عمقًا وتعقيدًا، ومنها المنحنيات، مثل «القطاعات المخروطية» بما فيها من قَطعٍ مخروطي وقَطعٍ زائد وقطعٍ ناقص؛ وهي كلها معانٍ أصبح بحثها أمرًا مألوفًا منذ عهد بعيدٍ ولكن التجربة لا تزودنا بأية صورة محددة لها. ونحن، وإن كنا نقول إن مدارات الكواكب بيضاوية، فإننا متى أردنا أن نتبيَّن ذلك وجب علينا أن نتصوَّر الشكل البيضاوي أولًا، دون أي نموذج ولم يكن لدى اليونانيين، حين أدركوا القطاعات المخروطية، أي أنموذج؛ بل استمدوها كلها من أذهانهم.

لكن المكان لا يتكشَّف بحدس «أولي» بل هو يركَّب بطريقة أولية

وعلى ذلك، فالمذهب الأولي أو العقلي هو الصحيح. ومع ذلك فعلينا أن نُحسن فهْم هذا المذهب، وألا نُفرِط في تبسيطه. وأبسط صورة — بل أبسطها إلى حدِّ الغلو — هو الاعتقاد أن هناك عالمًا عقليًّا، نستكشفه بملكةٍ خاصة، أو قد تكشَّف لنا بالأحرى قبل التجربة، أي قبل ميلادنا، وهو، كما يُقال، عالم «فطري» وتلك هي بحذافيرها نظرية أفلاطون، ومالبرانش (١٦٣٨–١٧١٦م)؛ فقد وصف أفلاطون رحلة النفس خلال عالَم «المثل» قبل هبوطها إلى عالَم الأبدان، كما قال مالبرانش إننا نرى «الامتداد المعقول» في العقل الإلهي، لكن يجب علينا أن نتعمَّق فهْم فكرتهما، إذ لو فهمها المرء على نحو سطحي، لواجهته صعوباتٌ لا سبيل إلى حلِّها؛ إذ ما هي ملكة إدراك المعاني المحضة، ورؤيتها على نحو ما ترى الأجسام؟ إنها نوع من الإحساس الذي ينصب على شيء غير المادة، وإذا فُهم المذهب العقلي على هذا النحو، لم يعد إلا مذهبًا تجريبيًّا مُحوَّرًا، تحوَّل إلى الطابع الأسطوري.

النشاط الفعال يُنشئ المكان بوساطة مجموعات من الحركات في الإدراك الحسي

وإذن فما صورة الشيء، وبُعده، ومقداره؟ إنها إحساسات بشرية ولمسية نضمها، بعضها إلى بعض، عن طريق حركات؛ حركات استطلاع، وعبور، ومقارنة. وهذه الحركات حقيقية، تؤديها الأذرع والأرجل، وتهدف إلى تمكيننا من النفاذ إلى العالَم المادي، المشترك بيننا وبين أقراننا، ولكنا في نفس الوقت الذي نُنشئ فيه العالَم المادي بفاعليتنا فيه، نفهمه أيضًا، إذ إن المسافة، والصورة، والمقدار، كلها أفكار؛ فالصورة شكل هندسي يُستمَدُّ من المظهر المرئي والإطار الملموس والعضلي للشيء، وهما يُعبران عنها بطريقتهما الخاصة، والمسافة علاقة بين الشيء وبيننا، وهي بدَورها علاقة عقلية في جوهرها، لأنها تُستخدم في تفسير التناقض الظاهري بين فقدان الاتصال اللمسي، ووجود الاتصال البصري، وهو تناقض يزداد قوةً لأننا عندما نُحاول القضاء على فقدان الاتصال اللمسي، أي عندما نلمس الشيء، فإن الصورة البصرية تتضخم شيئًا فشيئًا.

وليس لنا أن نأمُل هنا أن نصف النشاط الفعال للعقل الذي يسيطر على الجسد في الإدراك الحسي، ولن نستطيع إلا أن نُقدِّم عنه فكرةً مختصرة، تكفي لإفهامنا أن المكان يُبنى منذ مرحلة الإدراك الحسي.

يمكننا الشعور بهذا النشاط الفعال عن طريق الرسم

ويبقى علينا أن نجعل علمنا بالمكان ممكنًا، أعني أن نحوله إلى موضوع من نوعٍ ما، على أن المكان ليس موضوعًا في ذاته؛ بل هو صورة، كما سبق أن قلنا، ومهمتنا هنا هي أن نحدد له نوعًا من الوجود المادي، فما هدف هذه العملية؟ إن لها هدفًا مزدوجًا؛ هو أن نشعر بالنشاط الفعال الذي كوَّنَّا به المكان، ذلك النشاط الذي كان سيظل، لولا ذلك، غير مُنفصل عن أثره، أي غير مُنفصل عن العالَم المادي؛ ثم العمل على إكمال النتيجة التي نصل إليها؛ إذ من الممكن أن يكون المكان، بمعنًى ما، أكثر اتساعًا من العالَم المادي، وأن يسمح بتجاوز ذلك العالَم.

ولقد كانت الهندسة في مراحلها الأولى هي التي جعلتنا نتصور مكانًا لا مُتناهيًا، ومتجانسًا، على أنه أساس مثالي للمكان الذي نُدركه بالحس، وعندئذٍ نفهم أن من الممكن أن نتبادل الاتجاهات فيما بينها، إذا ما نظرنا إليها على أنها مجرد اتجاهات فحسب، وأنه من الممكن مدُّ كل اتجاهٍ إلى ما لا نهاية، من حيث هو اتجاه. ونقول بالاختصار إن المكان المتجانس واللامتناهي هو وعينا بالمكان الذي نُدركه حسيًّا.

بقي علينا أن نوضح العمليات الفعالة التي نصل بها إلى هذا الوعي، والواقع أن ذلك يتم عن طريق الرسم والأساليب العملية التي تُستمد منه، كالنحت وقطع الأحجار؛ فبهذه الأساليب، لا نقتصر على اجتياز المكان؛ بل نصنعه ونحققه ماديًّا، وإذا نحن أدركناه بحواسنا على أنه موضوع، استطعنا التفكير في طبيعته. فالرسام هو أول عالِم هندسة وهو في الوقت نفسه أول مَن يفكر من المكان بطريقة ميتافيزيقية.

الانتقال العملي من الهندسة إلى الميكانيكا انتقال مباشر

بعد أن يدرك المرء المكان عن طريق الرسم، ثم عن طريق الهندسة، التي هي رسم عقلي، ينتقل انتقالًا طبيعيًّا إلى الميكانيكا.

المذهب العقلي أو الأولي يؤكد النشاط الفعَّال المستقل للعقل

ونتيجة ذلك هي أن أفلاطون ومالبرانش كانا على حق في الواقع؛ فهناك بالفعل عالَم عقلي، بمعنى أن هناك عالمًا من الحقائق العقلية التي يُدركها الذهن، بصرف النظر عن التجربة. غير أنه من الضروري أولًا أن ننظر إلى هذا العالَم على أنه «غير منفصل عن التجربة» أي أنه كامن فيها. فنحن نبنيه في التجربة ذاتها، حتى يتسنى لنا فهمها، والعالَم المادي أثر من آثار التجربة، ولا يُفهم إلا عن طريقها.

ثم يجب علينا النظر إلى هذا العالَم على أنه ناتج عن فاعلية. فالعقل ليس سلبيًّا تجاه العالَم الهندسي؛ بل إنه هو الذي «يخلقه» بأقوى معاني كلمة الخلق، أي بمعنى أنه هو أصل وجوده، وهو الذي يخترعه.

العلم الأول للعدد هو الحساب الذي وضع الفيثاغوريون أُسسه

ونصل الآن إلى رياضيات العدد. لقد كان الفيثاغوريون هم الذين وضعوا أُسس علم العدد، ويمكن القول، بمعنًى ما، إنهم قد اكتشفوه في السماء ذات النجوم، التي تتمثل لنا في أشكال وأعداد في الوقت ذاته، على هيئة مجموعاتٍ من النجوم، ولذا فإن الفكرة الأولى للعدد كانت تنحصِر في نقطٍ مُتجمعة في أشكال مُعينة، فالعدد المربع، مثل ٩، شكل مُكوَّن من ٩ نقط مجموعة في مربع، له ثلاثة خطوط في كل منها ثلاث نقط، وعلى هذا النحو بدا العدد منفصلًا بوضوح، أي بدا مكونًا من وحدات.

ثم كتبوها هي نفسها بالعكس، كل حدٍّ تحت السابق:

وهناك الشكل الفيثاغوري الذي يمثل هذه النظرية.

العدد يركَّب في الإدراك الحسي ذاته، بواسطة النشاط الفعال للذهن

قلنا إن الحساب قد بدأ بتأمُّل السماء ذات النجوم. لكن هذا لا يعني أن فكرة العدد تأتي من الملاحظة. فلنعرف أن التجربة تبدو في هذه الحالة مواتية تمامًا لتمييز الوحدات؛ إذ إن الوحدة في هذه الحالة نقطة تنفصل تمامًا على صفحة السماء، بحيث لا يكون أمامنا إلا أن نراها كلها متشابهة، متجانسة (فيما عدا الفروق في اللمعان) وغير قابلة للقسمة مطلقًا، ولكن لم يكن بُد من وجود شروط أخرى لكي تظهر فكرة العدد؛ فيجب أولًا أن تُطبق هذه الفكرة على كل المجموعات، أي أن يكون العدد ٧ ليس خاصًّا فقط بعدد نجوم «الدب الكبير» بل بعدد أيام الأسبوع أيضًا، وبعجائب الدنيا، وحكماء اليونان … إلخ. وينبغي أن ينطبق العدد نفسه على كل المجموعات التي يمكن إحصاء نفس مجموعة الوحدات فيها: مثل الكرات (في عدد البلي) والتفاح (في سلة تفاح). على أنه عندما لا يكون الأمر متعلقًا بنجوم، فإن الوحدة لا تبدو في ظروفٍ تجريبية مواتية كهذه؛ فالوحدات ليست غير منقسِمة، ولا هي متجانسة. وفضلًا عن ذلك، فكيف يتم التمييز بين عددين مختلفين؟ إن الملاحظة لا تُطلعنا إلا على انطباعٍ غامض عن الاختلاف بين مجموعتَين. هذا إلى أن ذلك الانطباع يختفي إذا كان الفارق العددي أقلَّ من حدٍّ أدنى مُعين، فمثلًا، ليس ثمة فارق، بالنسبة إلى البصر، بين مجموعة مكونة من ١٠٠ نجم، ومجموعة أخرى من ١٠١ نجم. أما من الوجهة العددية فهذا الفارق يساوي ذلك الذي يتمثل بين نجم مزدوج ونجم بسيط.

فلنقل إذن إنه لا وجود للعدد إلا إذا عدَّ المرء أو أحصى، وهذه الفكرة نتيجة مباشرة لتحليلاتنا السابقة، وهي تناظر تمامًا الفكرة التي عرضناها بصدد المكان. فقد شرحنا المكان عن طريق نشاط فعَّال للعقل، يَعبُر المجال الإدراكي ويرسُم. وكذلك نشرح العدد بالعد، أي فعل الإحصاء.

العد، عملية مادية وعقلية في آنٍ واحد

وهذا يؤدي بنا إلى عملية العد. لنلاحظ أن لهذه العملية مظهرَين؛ فهي مادية من جهة؛ إذ إنها فعل عملي ينصب على أشياء مادية، كالبلي في صندوق «البلي»، غير أن هذه العملية تصحبها عملية عقلية هي تفسير لها، فالكل يكون نوعًا من الإدراك الحسي الإيجابي، مشابهًا تمامًا لإدراك المكان حسيًّا.

على أن هذا لا ينطوي بعدُ على فكرة الوحدة العددية.

وعندما تتكون لدى المرء فكرة العدد، والهوية الأساسية التي تُعبر عن تركيبه، وهي ١ × ن = ن × ١، يمكنه تصوُّره فكرة تكوين العدد الواحد، بطرق كثيرة مختلفة، كلها متساوية، وأن يحدد العلاقة بين الأعداد بعضها ببعض، فيستخلص من الهوية ٣ + ١ = ٤، التي هي تعريف العدد ٤، أن ٢ + ٢ = ٤ إلخ وبهذا يتكون الحساب.

وسنرى في الفصل القادم، حين نعرض مشاكل فلسفة الرياضيات الحديثة، مدى التوسع الذي طرأ على علوم الامتداد والعدد.