قانون الأرقام الصغيرة

قانون الأرقام الصغيرة

بدأ تعاوني مع عاموس في بدايات السبعينيات من القرن العشرين من خلال مناقشة ادعاء أن الأشخاص الذين لم يتلقوا تدريبًا في علم الإحصاء يعتبرون «علماء إحصاء حدسيين» جيدين. أخبرني عاموس مثلما أخبر طلابي عن باحثين في جامعة ميشيجان كانوا متفائلين بصورة عامة حول الإحصاء الحدسي. كان رأيي مخالفًا تمامًا لذلك الادعاء، وهو ما جعلني آخذ الأمر على محمل شخصي. كنت قد اكتشفت حديثًا أنني لم أكن إحصائيًّا حدسيًّا جيدًا، ولم أكن أعتقد أنني أسوأ من الآخرين.

بالنسبة إلى عالم نفس باحث، ليس الاختلاف في أخذ العينات مسألة مثيرة للاهتمام، بل عبء ثقيل وعقبة مكلفة، يتحول معها كل مشروع بحثي إلى مقامرة. هب أنك تريد تأكيد الفرضية القائلة إن مفردات فتاة تبلغ من العمر ستة أعوام أكثر من مفردات صبي في العمر نفسه. تعتبر الفرضية صحيحة في إطار مجتمع العينة؛ إذ يعتبر متوسط مفردات الفتيات أكبر من متوسط مفردات الصبية. في المقابل، تختلف الفتيات والصبية كثيرًا، ومن خلال الصدفة قد يمكنك اختيار عينة لا يعتبر فيها الفرق بين الفتيات والصبية حاسمًا، أو قد تختار عينة قد يسجل الصبية فيها معدلات أعلى من الفتيات. إذا كنت باحثًا، فستعتبر هذه النتيجة مكلفة؛ نظرًا لأنك أهدرت الوقت والجهد، كما عجزت عن تأكيد فرضية كانت صحيحة في واقع الأمر. يعتبر الاستعانة بعينة كبيرة بما يكفي الطريق الوحيد لتقليل المخاطر. يترك الباحثون الذين يجمعون عينات صغيرة للغاية أنفسهم تحت رحمة الصدفة.

يمكن حساب مخاطر الخطأ بالنسبة لأي حجم عينة محدد من خلال إجراء بسيط للغاية. تقليديًّا، لا يُجري علماء النفس الحسابات لاتخاذ قرار بشأن حجم عينة، بل يركنون إلى حكمهم، الذي يُعتبر عادة قاصرًا. أظهر بحث كنت قد قرأته قبل وقت قصير من نقاشي مع عاموس الخطأ الذي ارتكبه (ولا يزال يرتكبه) الباحثون من خلال ملاحظة لافتة. أشار صاحب البحث إلى أن علماء النفس يختارون عادةً عينات صغيرة للغاية؛ ما كان يعرضهم لخطر الفشل بنسبة ٥٠٪ في تأكيد فرضياتهم الصحيحة! لن يقبل باحث في كامل لياقته العقلية اتخاذ مثل هذه المخاطرة. كان أحد التفسيرات المقنعة لذلك هو أن قرارات علماء النفس بشأن حجم العينات كانت تعكس المفاهيم الخاطئة الحدسية السائدة حول درجة التباين في أخذ العينات.

صدمني البحث؛ نظرًا لأنه كان يفسِّر بعض المشكلات التي كنت أواجهها في بحوثي. فمثل معظم علماء النفس الباحثين، كنت عادةً أختار عينات صغيرة للغاية، وكنت أحصل على نتائج لم يكن لها أي معنى. عرفت الآن سبب ذلك. كانت النتائج العجيبة في حقيقة الأمر مجرد نتائج مصطنعة لأسلوب البحث الذي اعتمدته. كان خطئي باعثًا على الحرج على وجه الخصوص؛ نظرًا لأنني كنت أدرِّس الإحصاء وكنت أعلم طريقة حساب حجم العينات التي تقلل من مخاطر الفشل إلى مستوى مقبول. إلا أنني لم أختر قط حجم عينة من خلال إجراء عمليات حسابية. مثل زملائي، كنت أثق في التقاليد البحثية وفي حدسي في التخطيط لتجاربي، ولم أفكر أبدًا من قبل بجدية في الموضوع. عندما زار عاموس طلابي في الصف، كنت قد توصلت إلى نتيجة خلاصتها أن حدسي قاصر، وخلال المناقشة توصلنا سريعًا إلى اتفاق حول خطأ الباحثين المتفائلين في جامعة ميشيجان.

انطلقت أنا وعاموس في بحث ما إذا كنتُ أنا المخطئ الوحيد، أو ما إذا كنت واحدًا فقط ضمن أغلبية من المخطئين، من خلال التأكد مما إذا كان الباحثون الذين جرى اختيارهم نظرًا لخبرتهم الرياضية سيصنعون أخطاء مشابهة. وضعنا استقصاءً تضمن مواقف بحثية واقعية، بما في ذلك تجارب تكرارية لتجارب ناجحة. طُلب من الباحثين في الاستقصاء تحديد حجم عينات، وتقييم مخاطر الفشل التي تعرضهم قراراتهم لها، وتقديم مشورة لطلاب دراسات عليا مفترضين يخططون لإجراء بحوثهم. جمع عاموس إجابات مجموعة من المشاركين أصحاب الخبرة (بما في ذلك مؤلفو كتابين دراسيين في علم الإحصاء) خلال أحد الاجتماعات.

أطلقت أنا وعاموس على بحثنا المشترك الأول عنوان «الاعتقاد في قانون الأرقام الصغيرة». أشرنا، ساخرين، إلى أن «الحدس حيال عملية أخذ العينات العشوائي يبدو أنه يحقق قانون الأرقام الصغيرة، الذي يشير إلى أن قانون الأرقام الكبيرة ينطبق أيضًا على الأرقام الصغيرة.» طرحنا توصية قوية العبارات أيضًا مفادها أن الباحثين يجب عليهم النظر إلى «الحدس الإحصائي بعين الشك، وأن عليهم استبدال إجراء عمليات حسابية بعملية تكوين الانطباعات متى كان ذلك ممكنًا.»

انحياز تفضيل الثقة على الشك

إذا كان يجب عليك تلخيص رسالة هذه الجملة في ثلاث كلمات بالضبط، فماذا ستكون هذه الكلمات؟ ربما ستختار تقريبًا كلمات «يساند الكبار الرئيس». تمثِّل هذه الكلمات جوهر القصة. ليست تفاصيل الاستطلاع الأخرى — أن الاستطلاع أُجري عبر الهاتف باستخدام عينة مكونة من ٣٠٠ شخص — مهمة في ذاتها؛ إذ توفِّر خلفية تجذب قليلًا من الانتباه فقط. سيكون ملخصك هو نفسه إذا كان حجم العينة مختلفًا. بالطبع، سيجذب رقم خيالي انتباهك («استطلاع رأي عبر الهاتف لستة ملايين [أو ستين مليون] مصوِّت من كبار السن …») في المقابل، ربما لن يختلف رد فعلك كثيرًا إزاء عينة من ١٥٠ شخصًا وعينة من ٣٠٠٠ شخص، اللهم إلا إذا كنت متخصصًا، وهو معنى عبارة «لا يهتم الأشخاص بشكل كبير بحجم العينات».

تتضمن الرسالة حول الاستطلاع معلومات من نوعين: القصة ومصدر القصة. بداهةً، إنك تركِّز على القصة أكثر من موثوقية النتائج. في المقابل، عندما تكون الموثوقية منخفضة للغاية، فلن تتمتع القصة بالمصداقية. إذا قيل لك: «أجرت جماعة مناصرة لحزب الرئيس استطلاعًا قاصرًا ومنحازًا لإظهار أن كبار السن يؤيدون الرئيس …» فسترفض نتائج الاستطلاع بالطبع، ولن تصدقها. في المقابل، سيصبح الاستطلاع الحزبي ونتائجه المزيفة قصة جديدة حول الأكاذيب السياسية. بينما يمكنك أن تختار ألا تصدق رسالة ما في مثل هذه الحالات الجلية، هل تفرِّق بما يكفي بين «قرأت في صحيفة نيويورك تايمز …» و«سمعت عند مبرد المياه …»؟ هل يستطيع النظام ١ الخاص بك التمييز بين درجات التصديق؟ يشير مبدأ «ما تراه هو كل ما هناك» إلى أن ذلك غير ممكن.

مثلما أشرت سابقًا، لا يميل النظام ١ إلى الشك. يقمع النظام ١ الغموض ويبني تلقائيًّا قصصًا متماسكة قدر الإمكان. ستنتشر العلاقات الترابطية التي تثيرها الرسالة كما لو كانت صحيحة، إلا إذا جرى نفي الرسالة في الحال. يستطيع النظام ٢ ممارسة الشك؛ نظرًا لأنه يمكنه أن يحتفظ بإمكانات غير متوافقة في الوقت نفسه. في المقابل، تعتبر عملية مواصلة الشك أصعب من الانزلاق إلى مجال اليقين. يعتبر قانون الأرقام الصغيرة أحد تجليات انحياز عام يفضِّل اليقين على الشك، وهو ما سيظهر في أكثر من شكل في الفصول التالية.

يعتبر الانحياز القوي تجاه الاعتقاد بأن العينات الصغيرة تشبه كثيرًا المجتمع الذي جرى أخذ العينة منه؛ جزءًا أيضًا من قصة أكبر. فنحن نميل إلى المبالغة في اتساق وتماسك ما نرى. يشبه الإيمان المبالغ فيه من جانب الباحثين فيما يمكن تعلمه من بضع ملاحظات بشكل كبير؛ تأثير الهالة، وهو الشعور بأننا نعرف ونفهم شخصًا لا نعرف عنه في الواقع إلا قليلًا جدًّا. يسبق النظام ١ الحقائق في بناء صورة ثرية بناءً على شذرات من الأدلة. ستعمل آلية القفز إلى النتائج كما لو كانت تؤمن بقانون الأرقام الصغيرة. عمومًا، ستولد تمثيلًا للواقع منطقيًّا أكثر.

السبب والصدفة

تبحث آلية التداعي عن الأسباب. وتتمثل الصعوبة التي نواجهها مع النتائج الإحصائية المتسقة في أنها تستدعي اللجوء إلى أسلوب تناول مختلف. فبدلًا من التركيز على كيفية وقوع حدث قائم، تُرجع الرؤية الإحصائية الواقعة إلى ما كان بالإمكان أن يحدث بدلًا منها. لم يتسبب شيء على وجه الخصوص في أن تكون الواقعة على ما هي عليه؛ إذ انتخبتها الصدفة من بين بدائلها.

هل تعتبر هذه المتواليات محتملة فعلًا؟ الإجابة الحدسية — بالطبع لا! — خاطئة. نظرًا لأن أحداث الميلاد لا يعتمد بعضها على بعض، ونظرًا لأن نتائج ميلاد الأولاد والبنات تتساوى (تقريبًا) في احتمال وقوعها؛ تتساوى أي متوالية ممكنة لأحداث الميلاد الستة مع أي متوالية أخرى. على الرغم من معرفتك بصحة هذا الاستنتاج، يظل استنتاجًا مضادًّا للحدس؛ نظرًا لأن المتوالية الثالثة فقط هي التي تبدو عشوائية. مثلما كان متوقعًا، يجري اعتبار المتوالية «و ب و و ب و» أكثر احتمالًا في وقوعها من المتواليتين الأخريين. نحن كائنات تبحث عن أنماط، كائنات تؤمن بوجود تماسك في العالم، لا تظهر الأنماط المتكررة فيه (مثل متوالية مكونة من ست بنات) بالمصادفة فقط، بل تعتبر نتاج عملية سببية آلية أو نية أحد الأشخاص. فنحن لا نتوقع أن نرى أنماطًا متكررة تنشأ عن عملية عشوائية، وعندما نكتشف ما يبدو أنه قاعدة، نرفض سريعًا فكرة أن العملية عشوائية حقًّا. تُصدِر العمليات العشوائية متواليات كثيرة تُقنع الناس بأن العملية ليست عشوائية على أي حال. ربما ترى لماذا كان لافتراض وجود السببية ميزة تطورية. تعتبر السببية جزءًا من اليقظة العامة التي ورثناها عن أسلافنا. نظل بصورة آلية في حالة ترقب لإمكانية تغيُّر البيئة من حولنا. بينما قد تظهر الأسود في البرية في أوقات عشوائية، سيكون من الأكثر أمنًا ملاحظة والاستجابة لوجود زيادة ظاهرية في معدلات ظهور جماعات من الأسود، حتى لو كان ذلك يرجع بالفعل إلى تأرجح عملية عشوائية.

يترتب على سوء الفهم الشائع للعشوائية في بعض الأحيان آثار كبيرة. في بحثنا حول التمثيلية، أشرنا أنا وعاموس إلى عالم الإحصاء ويليام فيلر، الذي بيَّن السهولة التي يرى الأشخاص من خلالها الأنماط المتكررة فيما لا توجد أي أنماط متكررة. أثناء عملية القصف الصاروخي الكثيفة للندن في الحرب العالمية الثانية، كان يُعتقد عمومًا أن عملية القصف لم تكن عشوائية؛ نظرًا لوجود خريطة بأماكن القصف كشفت عن وجود فراغات لافتة بين أماكن القصف. اعتقد البعض أن الجواسيس الألمان كانوا موجودين في المواقع التي لم تُضرب. كشف تحليل إحصائي متأنٍّ أن توزيع الضربات كان نموذجًا لما يحدث في أي عملية عشوائية، كما كان نموذجيًّا أيضًا في إثارة انطباع قوي بأن عملية القصف لم تكن عشوائية. يقول فيلر: «بالنسبة إلى العين غير المدربة، تبدو العشوائية كما لو كانت نمطًا متكررًا أو ميلًا للارتباط.»

سرعان ما سنحت لي فرصة لتطبيق ما تعلمته من فيلر. نشبت حرب أكتوبر في عام ١٩٧٣، وكانت مساهمتي في جهود الحرب تتمثل في تقديم المشورة إلى عدد من كبار الضباط في القوات الجوية الإسرائيلية للتوقف عن إجراء تحقيق. سارت الحرب في البداية على نحو غاية في السوء بالنسبة إلى إسرائيل؛ نظرًا للأداء الجيد غير المتوقع لصواريخ أرض-جو المصرية. كانت الخسائر كبيرة، وبدت غير متساوية التوزيع. قيل لي إن سربي طائرات انطلقا من القاعدة الجوية نفسها، خسر أحدهما أربع طائرات فيما لم يخسر السرب الآخر أي طائرة. أُجري تحقيق أملًا في معرفة ما أخطأ فيه السرب المكلوب. بينما لم يوجد سبب مسبق للاعتقاد بأن أحد السربين كان أكثر كفاءة من السرب الآخر، كما لم توجد أي اختلافات في عمليات كل منهما، اختلفت بالفعل حياة الطيارين بأكثر من طريقة عشوائية، بما في ذلك، مثلما أذكر، عدد المرات التي ذهب فيها الطيارون إلى منازلهم بين المهام وشيء آخر حول الاستعدادات. كانت مشورتي أن القيادة يجب أن تتقبل أن النتائج المختلفة إنما ترجع إلى الحظ المحض، وأن إجراء مقابلات مع الطيارين للتحقيق معهم يجب أن يتوقف. عللت ذلك بأن الحظ هو الإجابة الأكثر احتمالًا، وأن البحث العشوائي عن سبب غير ظاهر لا رجاء فيه، وأنه في الوقت نفسه لا داعي أن يشعر الطيارون في السرب الذي وقعت فيه خسائر بوطأة الشعور بأنهم وأصدقاءهم كانوا مخطئين.

بعدها بسنوات، تسبب عاموس وطالباه توم جيلوفيتش وروبرت فالون في إحداث ضجة من خلال دراستهم حول حالات سوء إدراك العشوائية في لعبة كرة السلة. تعتبر «حقيقة» أن لاعبي كرة السلة يكونون محظوظين بشكل أكبر في أيام معينة أمرًا مقبولًا لدى اللاعبين، والمدربين، والمشجعين. يعتبر هذا الاستدلال مغريًا: يُحرز أحد اللاعبين نقاطًا بشكل متتابع ولا تستطيع الحيلولة دون تكوين حكم سببي بأن هذا اللاعب محظوظ اليوم، مع ميل متزايد ومؤقت للتسجيل. يتكيف اللاعبون في كلا الفريقين مع هذا الرأي. يميل زملاؤه في الفرقة إلى تمرير الكرة إليه، بينما يميل دفاع الفريق الآخر إلى مضاعفة الرقابة عليه. أفضى تحليل آلاف المتواليات من الرميات إلى نتيجة محبطة؛ لا يوجد شيء اسمه يوم حظ لأحد لاعبي كرة السلة المحترفين، سواء في تصويب الكرة من أنحاء الملعب أو في التسجيل من الرميات الحرة. بالطبع، بينما يكون بعض اللاعبين أكثر دقة من الآخرين، تفي متتاليات الرميات الناجحة والفاشلة بجميع اختبارات العشوائية. لا يوجد يوم الحظ إلا في أعين الناظرين، الذين يسارعون بانتظام إلى ملاحظة الترتيب والسببية في العشوائية. يعتبر يوم الحظ وهمًا إدراكيًّا هائلًا ومنتشرًا.

يعتبر رد الفعل العام تجاه هذا البحث جزءًا من القصة. التقطت الصحافة نتائج البحث نظرًا لغرابتها، وكان رد الفعل هو عدم التصديق. عندما سمع المدرب الشهير لفريق بوسطن سلتيكس، ريد أورباك، عن جيلوفيتش ودراسته، أجاب قائلًا: «من هذا الرجل؟ لقد أجرى دراسة، وماذا في هذا؟ لا أعبأ على الإطلاق بما يقول.» يعتبر الميل لملاحظة وجود أنماط متكررة في العشوائية مسألة طاغية، أكثر تأثيرًا من رجل يجري دراسة.

يؤثر وهم وجود أنماط متكررة على حياتنا بطرق عديدة بعيدًا عن ملاعب كرة السلة. كم من سنوات النجاح يجب أن تنتظر قبل الوصول إلى قناعة بأن أحد المستشارين الاستثماريين ماهر بشكل غير عادي؟ كم عدد الاستحواذات الناجحة اللازمة حتى يقرر مجلس الإدارة أن رئيس المجلس لديه حنكة استثنائية فيما يتعلق بمثل هذه الصفقات؟ تتمثل الإجابة البسيطة عن هذه الأسئلة في أنك إذا سرت خلف حدسك، فستخطئ كثيرًا عن طريق إساءة تصنيف أحد الأحداث العشوائية باعتباره حدثًا منهجيًّا. فنحن نرغب كثيرًا في رفض الاعتقاد بأن معظم ما نراه في الحياة عشوائي.

بدأتُ هذا الفصل بمثال حول حالات الإصابة بالسرطان في الولايات المتحدة. يظهر المثال في كتاب موجه إلى معلمي الإحصاء، لكنني عرفت به من خلال بحث ممتع قام به عالما الإحصاء اللذان أشرت إليهما قبلًا، هوارد وينر وهاريس زورلنج. ركَّز هذا البحث على استثمار مبلغ ضخم، حوالي ١٫٧ مليار دولار أمريكي، منحته مؤسسة جيتس لمتابعة النتائج المثيرة حول خصائص أكثر المدارس نجاحًا. سعى الكثير من الباحثين وراء سر التعليم الناجح من خلال تحديد أكثر المدارس نجاحًا؛ أملًا في اكتشاف ما يميزها عن المدارس الأخرى. تتمثل إحدى نتائج هذا البحث في أن أكثر المدارس نجاحًا، في المتوسط، حجمها صغير. في استقصاء شمل ١٦٦٢ مدرسة في بنسلفانيا، على سبيل المثال، كانت ست مدارس صغيرة الحجم من بين أفضل ٥٠ مدرسة، وهو ما يشير إلى عملية تمثيل زائدة بمعامل ٤. شجعت هذه البيانات مؤسسة جيتس على استثمار أموال ضخمة في إنشاء مدارس صغيرة، في بعض الأحيان من خلال تقسيم المدارس الكبيرة إلى وحدات أصغر. انضم عدد من المؤسسات البارزة الأخرى، مثل مؤسسة أنينبرج ومؤسسة بيو الخيرية، إلى مؤسسة جيتس، مثلما فعل برنامج التجمعات التعليمية الأصغر التابع لوزارة التعليم الأمريكية.

ربما يعتبر ذلك مقنعًا حدسيًّا بالنسبة إليك. من السهولة بمكان بناء قصة سببية تفسِّر كيف تستطيع مدارس صغيرة توفير تعليم راقٍ، ومن ثم تخريج علماء مرتفعي الأداء، من خلال منحهم المزيد من الاهتمام الشخصي والتشجيع أكثر مما قد يستطيعون الحصول عليه في مدارس أكبر حجمًا. لسوء الحظ، يعتبر التحليل السببي بلا قيمة؛ نظرًا لعدم صحة الحقائق. لو كان الإحصائيون الذين قدموا نتائجهم إلى مؤسسة جيتس سألوا عن خصائص أسوأ المدارس، فربما كانوا سيجدون أن المدارس السيئة أيضًا تميل إلى أن تكون أصغر في حجمها من المتوسط. حقيقة الأمر أن المدارس الصغيرة ليست أفضل في المتوسط، بل هي ببساطة أكثر شذوذًا عن المتوسط. إذا كان في الأمر معنى، مثلما يرى وينر وزورلنج، تميل المدارس الكبيرة إلى إنتاج نتائج أفضل، خاصة في الصفوف العليا حيثما يكون وجود تنوع في خيارات المناهج أمرًا ذا قيمة.

في الحديث عن قانون الأرقام الصغيرة