المطْلَقات والطبائع البسيطة والمسائل
ما المنهج الذي اكتشفه ديكارت — إن وجد — قبل عام ١٦٢٨؟ يشير الجزء الثاني من «مقال عن المنهج» أنه إبَّان التجربة التي عاشها ديكارت في الغرفة ذات الموقد، كان قد حدد بالفعل أربعة مبادئ يسترشد بها في جميع تساؤلاته (٦ : ١٨). تساءل نقاد «مقال عن المنهج»: هل كانت هذه المجموعة من القواعد يمكن حقًّا أن ترقى لتكون «منهجًا»؟ وتعاطف ديكارت نفسه مع هذا الاعتراض؛ ففي تعليق لمراسل حول الوصف المناسب لمؤلَّفه، رفض أن يطلق عليه أطروحة كما أشار البعض عليه، استنادًا إلى كونه يلمح إلى وجود منهج أو يعلن عنه دون أن يتجاوز ذلك إلى تدريس المنهج نفسه. هناك مشروع أشبه بالأطروحة وضعه ديكارت قرابة عام ١٦٢٨، ولكنه لم ينتهِ منه قط، وكان من المقرر أن يحوي عددًا من القواعد لا تقل عن ٣٦ قاعدة في ثلاث مجموعات، قوام كلٍّ منها ١٢ قاعدة، وسُميت الأطروحة غير المكتملة: «قواعد لتوجيه الفكر». وتناوُله للمنهج في تلك الأطروحة أكثر تعقيدًا من تناول مؤلفه «مقال عن المنهج» له، ولكن لعله أكثر التزامًا بالإجراءات العامة لحل المسائل التي خطرت لديكارت أول الأمر.
تجلى لي أن الاهتمام الوحيد للرياضيات ينصب على مسائل الترتيب أو القياس، وأنه لا يهم إن كان القياس المعني ينطوي على أرقام أو أشكال أو نجوم أو أصوات أو أي شيء آخر أيًّا كان. وقادني هذا إلى إدراك أنه لا بد وأن هناك علمًا عامًّا يفسر جميع الأمور التي يمكن طرحها بخصوص الترتيب والقياس بغض النظر عن الموضوع نفسه، وأن هذا العلم يجب أن يطلق عليه اسم «الرياضيات الكلية» … ذلك لأنه يغطي كل ما يؤهل … العلوم الأخرى لأن تُسمى فروعًا من الرياضيات.
ويواصل حديثه قائلًا إن هذا العلم يتجاوز العلوم الثانوية الممثلة في الهندسة والفلك والموسيقى والبصريات والميكانيكا وغيرها «من حيث الوَحدة والبساطة»، ويضيف أنه نظرًا لمستواه العالي جدًّا من العمومية، فإنه لا يحوي بعض الصعوبات التي تعرقل العلوم المتخصصة.
يرى ديكارت أن هناك ثلاث قواعد محورية بالنسبة للأطروحة بأسرها (١٠ : ٣٩٢). فالقاعدة الخامسة تملي على الباحث أن «يختزل القضايا المعقدة والغامضة بصفة تدريجية إلى قضايا أبسط، ثم يبدأ من خلال حدس القضية الأبسط على الإطلاق، ويحاول أن يرقى وفق نفس التدرج إلى معرفة القضايا الأخرى» (١٠ : ٣٧٩). وتتوسع القاعدة السادسة بعض الشيء فيما يُعَد «بسيطًا»؛ أما القاعدة السابعة فتقدم أسلوبًا «للارتقاء» استنادًا لألفاظ القاعدة الخامسة من القضايا الأبسط التي اختزلت فيها مسألة صعبة، مرورًا إلى القضايا الباقية كلها.
ويوضح ديكارت كيف يمكن تطبيق هذه القواعد وغيرها من القواعد بشكل صحيح (١٠ : ٣٩٣ والصفحات التالية). ويبدأ ديكارت بمسألة «انكسار الضوء»؛ وهذه مسألة في علم البصريات لوصف الخط أو المسار الذي تنحرف عنده أشعة متوازية من الضوء بطريقة تجعلها تتقاطع عند نقطة واحدة، عندما تصطدم بوسط أكثر كثافة. يقول ديكارت إن أي رياضي لا يفقه شيئًا في الفيزياء لن يستطيع أن يحرز سوى تقدم محدود في هذه المسألة؛ فسيكتشف أن الخط الذي يسعى إليه يعتمد على نسبة بين الزوايا التي تصطدم عندها الأشعة بالوسط الأكثر كثافة والزوايا التي تنكسر عندها. وسيتتبع القاعدة الخامسة في اكتشافه لهذه المسألة بقدر أكبر؛ القاعدة الخامسة التي تملي على الباحث حلَّ أية مسألة بواسطة اختزالها إلى قضايا أبسط؛ أي قضايا معلومة بما يُسهِّل حل المسألة. وتورد إحدى القضايا نسبة الزوايا إلى بعضها، ولكن هذا هو منتهى ما يمكن أن يصل إليه الرياضي البحت؛ وذلك لأن الرياضي البحت، الذي ينتهك القاعدة الأولى من البحث المنصوص عليها في «قواعد لتوجيه الفكر» (قارن: ١٠ : ٣٦١)، يسعى إلى الحقيقة المرتبطة بالأرقام والأشكال وحسب، لا المتعلقة بالأشياء عمومًا.
«يمكن» إيجاد حل لمسألة الأشعة المنكسرة، ولكن من قِبَل شخص يتجاوز مسألة النسبة بين الزوايا ويرى ما تعتمد عليه تلك النسبة. ما يتعين على الباحث فهمه أن النسبة بين الزوايا تتباين بفعل تغيرات في الزوايا تحدث بسبب اختلافات في الوسائط التي تمر عبرها أشعة الضوء. ولكي يفهم هذه التغيرات، يتعين عليه أولًا استيعاب أشياء أخرى؛ وهي كيفية مرور الضوء عبر «المادة الدقيقة» المناسبة لانتقاله، وطبيعة حركة الضوء أو قوته، وطبيعة القوة الطبيعية عمومًا. ويرتهن استيعاب تلك الأشياء بفهم قضايا «أبسط» من القضية التي تنص على النسبة بين الزوايا. القضية «الأبسط» من بين هذه القضايا البسيطة هي التي تشرح ماهية القوة الطبيعية.
إنني أصف كل ما يحوي بداخله الطبيعة المحضة البسيطة محل البحث بأنه: «مُطلَق»؛ أي ما يُنْظَر إليه باعتباره مستقلًّا، سببًا، بسيطًا، شاملًا، واحدًا، مكافئًا، مشابهًا، خطيًّا، وغيرها من السمات الشبيهة.
تبدو قائمة السمات متنوعة حتى يقرأ المرء المزيد ويكتشف أنه بالنسبة لديكارت يمكن التعبير عن جميع المسائل القابلة للحل بمعادلات بين الكميات المعلومة والمجهولة المستخلصة من البيانات المرتبطة بتلك المسائل. ويرد ذكر التكافؤ في قائمة المطلقات بسبب استخدام المعادلات في بيان العلاقات التي تربط ما بين المعلوم والمجهول. ويرد ذكر صفة «الخطية»؛ لأن ثمة معادلات بعينها يمكن التعبير عنها كخطوط مستقيمة في نظام إحداثي. ويمكن بيان الإطلاق، من حيث ما يمكن فهمه بذاته لا استنادًا إلى أشياء أخرى، في حالة انكسار الضوء: فيمكن فهم قوة الضوء حال فهم القوة عمومًا وحسب، ولكن فهم القوة عمومًا لا يعتمد على فهم نوع بعينه من القوة، كقوة الضوء.
يزعم ديكارت في «قواعد لتوجيه الفكر» أن المرء يكتشف «السر الأساسي» لمنهجه عندما يعرف أن كل الأشياء يمكن ترتيبها ترتيبًا تتابعيًّا، وأنه في كل متسلسلة يوجد ارتقاء من الأشياء الأكثر إطلاقًا إلى الأقل إطلاقًا (١٠ : ٣٨١). والفكرة أن كل «مسألة» وكل مادة — يمكن تحديد حقيقتها أو زيفها — تختص «بأشياء مُرَكَّبَة» تتألف طبائعها من مزيج من أشياء «أبسط» أو أسهل في فهمها واستيعابها. وتحديد الأشياء البسيطة مسألة تتعلق بوصف الأشياء المركبة — والضوء والمغناطيس مثالان من أمثلته — بألفاظ عامة جدًّا تجرد وحسب سماتها الكمية.
يعتمد حديث ديكارت عن «المطلقات» على نظرية الطبائع «البسيطة» و«المركبة». وإذا لم نتعرف على هذه النظرية بقدر أكبر، فلن ينفعنا أن نطَّلِع على «السر الأساسي» لمنهجه. السؤال: ما حجم الخلفية الضرورية التي يقدمها ديكارت في هذا الشأن؟ هناك جزء في «قواعد لتوجيه الفكر» عن تنويعات التركيب التي تتعرض لها الطبائع البسيطة (١٠ : ٤٢٢ والصفحات التالية)، وثمة شيء عن التركيب باعتباره مصدر الخطأ (١٠ : ٤٢٤ والصفحات التالية). كما يعدد أيضًا الطبائع البسيطة نفسها.
يُقَسِّم ديكارت الطبائع البسيطة إلى ثلاث فئات (١٠ : ٤١٩ والصفحات التالية)؛ الأولى: هي الطبائع البسيطة «العقلية المحضة». ويضرب ديكارت مثلًا بالمعرفة والشك والإرادة ضمن هذه الفئة، لكن هناك مسألة واحدة وحسب نوقشت في مؤلَّفه «قواعد لتوجيه الفكر» — المعنية بتحديد نطاق المعرفة البشرية وطبيعتها (١٠ : ٣٩٥) — هي التي تظهر لنا بالكامل الطبائع العقلية البسيطة. ورغم أن ديكارت يطلق عليها اسم «أدق مثال» لمسألة على الإطلاق، ويزعم أنها «أول … ما يجب تمحيصه باستخدام القواعد»، نجد أنها في حقيقة الأمر شاذة عن المسائل التي يطبق عليها منهجه. المسائل التي يركز ديكارت عليها يمكن حلها بالاستعانة بالفئتين الأُخريين للطبائع البسيطة، اللتين يسميهما الطبائع البسيطة «المادية المحضة»، والطبائع البسيطة «المشتركة» بين الأشياء العقلية والمادية.
ويعني ديكارت بالطبيعة البسيطة «المادية المحضة»، على سبيل المثال، أي شيء لديه شكل وامتداد (طول وعرض وعمق)، أو أي شيء متحرك (١٠ : ٤١٩). فهذه الطبائع لا تنتمي إلا للأشياء المادية أو الفيزيائية، وبمعرفة علاقات بعضها ببعض، وتحديدًا أنواع الأشياء المادية، من المفترض أن يكون المرء قادرًا على الإجابة عن بعض الأسئلة المتعلقة بالقوى وسمات الأشياء المادية عمومًا. على سبيل المثال، يزعم ديكارت أنه بالإمكان الكشف عن طبيعة الصوت من معلومات مفادها: أن «ثمة ثلاثة أوتار أ، ب، ج تصدر الصوت نفسه؛ ولكن الوتر ب يبلغ سمكه ضعف سمك الوتر أ ولكنه ليس أطول منه، ويخضع لشدٍّ بفعل ثقلٍ يبلغ وزنه ضعف الثقل الذي يتعرض له الوتر أ. أما الوتر ج فيبلغ طوله ضعف طول الوتر أ، ولو أنه ليس بسمكه، ويخضع لثقل يبلغ وزنه أربعة أضعاف الثقل الذي يتعرض له الوتر أ» (١٠ : ٤٣١). تتعلق هذه البيانات جميعها بالعلاقات بين الأطوال والسُّمك والأوزان باعتبار أنها قابلة للقياس بالوحدات؛ فالأطوال والسُّمك أمثلة على الطبائع المادية البسيطة، والقياس بالوحدات أحد «الطبائع المشتركة» (١٠: ٤١٩)؛ قارن: (١٠ : ٤٤٠، ٤٤٩).
يلاحظ ديكارت استنادًا إلى مثال الأوتار ومسائل الصوت أنه يمكن أن نرى كيف يمكن اختزال أي مسألة مفهومة فهمًا وافيًا، أو على الأقل أية مسألة تُجَرَّد بقدر كافٍ من أي اعتبارات غير ذات صلة، إلى «شكل ما بحيث … نتعامل … فقط مع أبعاد معينة عمومًا ونقارن بينها» (١٠ : ٤٣١). يستحق هذا، على نحو ما، أن يطلق عليه اسم «السر الأساسي» للمنهج المنصوص عليه في مؤلف ديكارت «قواعد لتوجيه الفكر». ما رآه ديكارت هو أن الكثير من المسائل العلمية القابلة للحل يمكن أن تبدو «عصية» على الحل بسبب الطريقة التي تشكلت بها، وظن أنه عثر على طريقة لحل أية مسألة تتعلق بالأرقام والأعداد؛ ولذلك فقد انصب تركيزه على إجراء لتحويل المسائل العلمية التي «لم» تكن تتعلق ظاهريًّا بالأرقام والأعداد إلى مسائل تتعلق بالأرقام والأعداد. ومع وضع المسائل الفيزيائية بشكل أساسي في الاعتبار، قدَّم ديكارت قواعد تفصيلية لإعادة التعبير عن تلك المسائل في هيئة مصفوفات من النقاط والخطوط: (١٠ : ٤٥٠ والصفحات التالية)، أو عند الحاجة للاختصار، في هيئة معادلات بين الأرقام (١٠ : ٤٥٥ والصفحات التالية). وبالتعبير عن تلك المسائل بهذه الطرق، يمكن اختزالها في شكل يمكن فيه ملاحظة العلاقات بين الأبعاد بسهولة أو حسابها آليًّا.
ولو أن عملية التحويل هذه كانت يمكن أن تكون ابتكارًا وافيًا، لم يكتفِ ديكارت بإعطاء توجيهات حول تحويل قضايا غير رياضية غامضة إلى لغة رياضية أكثر وضوحًا؛ فقد كان يعتقد أن مجموعات الترميز الموجودة في الجبر والهندسة يتعين توضيحها وتوحيدها. ويذكر ديكارت في «مقال عن المنهج» كيف استطاع بسهولة في مطلع شبابه أن يجد أوجه قصور في الطرق التقليدية لتمثيل المسائل الرياضية. واشتكى ديكارت من أن التحليل الهندسي كان «مقيدًا بشدة بالتحقق من الأعداد» لدرجة أنه لم يفسح المجال لإعمال الفكر «دون إنهاك الخيال بشدة» (٦ : ١٧-١٨). أما الجبر فكان «مقيَّدًا جدًّا بقواعد ورموز بعينها لدرجة أن المحصلة النهائية [كانت] علمًا مرتبكًا وملغزًا» (٦ : ١٨).
لإضفاء وضوح ووَحدة على العِلْمَيْن السابقين، اقترح ديكارت العديد من أدوات التمثيل الرمزي التي ما تزال قيد الاستخدام في الجبر؛ فقد كان ديكارت هو الذي اخترع تمثيل المجاهيل في المعادلات بالرموز س، ص، ع؛ والمعروف منها بالرموز أ، ب، ج. وكان ديكارت أول من وضع التمثيل الرمزي القياسي للمكعبات وأُس الأرقام، وكذا التمثيل الرمزي لجذورها المقابلة. والأهم من ذلك نظرًا لتجاوز الأمر مسألة التمثيل الرمزي وحسب، كان ديكارت هو الذي أثبت كيف أن جميع الكميات التي توجد بينها علاقات قابلة للتمثيل بأرقام يمكن تمثيلها في مجال الهندسة بخطوط، وأنه يمكن تمثيل الخطوط، بما في ذلك المنحنيات، برموز جبرية. إن القراء الذين يألفون تمثيل حلول المعادلات باستخدام المحورين السيني والصادي لرسم الإحداثيات يعرفون الأساليب التي إن لم يكن ديكارت هو مخترعها فهو الذي طورها وقام بتطبيقها بطرق مبتكرة في مؤلفه المعنون «الهندسة».
تنبأ ديكارت في مؤلفه «قواعد لتوجيه الفكر» ببعض الابتكارات الواردة في مؤلفه «الهندسة»، على الأقل الخطوط العريضة منها، ومرة أخرى فقد أخذ مؤلفه الأول مستندًا إلى الخطوط العريضة بعض أساليب الجبر والهندسة المنقحينِ من أجل حل المسائل الموجودة في علوم أخرى. وكانت نية ديكارت أن يثبت في القواعد الاثنتي عشرة الأخيرة، في مؤلفه «قواعد لتوجيه الفكر»، كيف يمكن ترجمة أية مسألة على الإطلاق، مهما بلغت بساطة صياغتها الأولى، إلى مسألة يتسم فيها التحول من المعلوم إلى المجهول بالوضوح تمامًا كما في الرياضيات. من الواضح أنه لم يؤلف القواعد الاثنتي عشرة الأخيرة، ولكنه في القواعد الإحدى والعشرين تقريبًا التي جمعها، توصل إلى نظرية شديدة التميز عن البحث والاستقصاء عمومًا، سنتعرض لأجزاء قليلة منها عند مناقشة الكتابات التي تبعت مؤلفه «قواعد لتوجيه الفكر».
