التمثيل الرقمي لعمليات التماثل وجداول سمات المجموعات
يهتم هذا الفصل بالنقاط الآتية:
(١)
التمثيل
الرقمي لعمليات التماثل Numerical Representation of Symmetry Operations؛ وذلك باستخدام المصفوفات.
(٢)
معرفة تكوين التمثيل المزيد للمتجهات المختلفة مثل الإحداثيات الديكارتية .
(٣)
بناء جداول
السمات
وما تحتويه من معلومات. وسنأخذ حالة البسيطة كمثال.
(١) لماذا؟
سنبيِّن في هذا الفصل كيفية التعبير عن تأثيرات عمليات التماثل على مركز ثقل أي جزيء
كيميائي، وذلك بلغة الأرقام؛ أي بأسلوب كَمِّي؛ مما سيساعدنا في فهم خواص التماثل
للأوربيتالات الذرية، وفي بناء الأوربيتالات
المهجَّنة
واستنتاج نوعها لأي جزيء كيميائي، وكذلك في بناء الأوربيتالات
الجزيئية
ومستوياتها، بالإضافة إلى استنتاج أطياف الأشعة تحت الحمراء ورامان لهذه الجزيئات.
وسنعالج ونوضح هذه التطبيقات في الفصل الثالث.
(٢) التمثيل الرقمي لعمليات التماثل
استعملنا في الفصل الأول أسلوب الإحداثيات الديكارتية في التعبير الرمزي عن عمليات
التماثل، مثل:
كما في حال جزيء الماء الذي ينتمي إلى المجموعة النقطية .
والآن سنوضِّح كيفية تمثيل العملية بصورة رياضية باستخدام المصفوفات كالآتي:
(2-1)
وهنا اعتبرنا المصفوفة تمثِّل تأثير على الإحداثيات .
هذه المعادلة 2-1 هي عملية ضرب بسيطة
للمصفوفتين كالتالي:
الصف الأول في عناصر العمود :
والصف الثاني في عناصر العمود :
والصف الثالث في عناصر العمود :
والمصفوفات التالية تمثِّل العمليات , , , لجزيء الماء:
وفئة المصفوفات المجدولة كالآتي:
1
1
−1
3
تسمَّى مصفوفات
التحويل
المزيدة (أي القابلة للاختصار أو الاختزال)، ولكل مصفوفة سمة أو
طابع
رقمي هو مجموع عناصرها القطرية. وفئة السمات تسمَّى تمثيلة قابلة للاختزال كما في
الجدول التالي:
1
1
−1
3
وهذه الفئة تسمَّى تمثيلة مزيدة (أي قابلة
للاختزال)؛
أما التمثيلة التي تمثِّل سلوك تماثل المتجه فنُعبِّر عنها كالتالي:
−1
+1
−1
1
والقيمة هي طابع مجرد لمصفوفة التحويل يمكن فهمها أكثر باعتبار المعادلات:
فنظرًا لأن عمليات التماثل تؤثِّر على متجه واحد، فإن مصفوفة التحويل تكون ذات بُعد
واحد، وقيمة طابعها هي نفس عنصرها الوحيد.
إن الفئة تمثِّل سلوك المتجه ، فنقول إن المتجه
متماثل
بالنسبة لكلٍّ من و، ومعكوس
التماثل بالنسبة لكلٍّ من و؛ حيث ينعكس اتجاهه بتأثير هاتين العمليتين.
هذا المتجه يمكن اعتباره ممثلًا للأوربيتال الموجود على ذرة الأكسجين في جزيء الماء. وكذلك يمثِّل متجه الحركة
الانتقالية
في اتجاه ، بالإضافة إلى أنه يعني أيضًا متجه عزم الازدواج في هذا الاتجاه؛ أي
يمثِّل متجهًا ساكنًا (أو متجهًا متذبذبًا أو مترددًا في هذا الاتجاه).
ويحوي الجدول الآتي سلوك تماثل المتجهات ، ، بالنسبة لعمليات التماثل في المجموعة النقطية :
1
1
1
1
1
−1
−1
1
−1
1
−1
1
وكما اعتبرنا يمثِّل أوربيتال ، يمكن اعتبار يمثِّل أوربيتال ، و يمثل أوربيتال .
أما أوربيتالات ، ولأنها تشبه الكرة في شكلها، فتكون تامة التماثل؛ أي إن هي نفسها في هذه الحالة.
ويلاحَظ من الجدول السابق أن العمليتين و هما عمليتان مستقلَّتان حاصل ضرب سماتهما ينتج عنه سمة ، كما أن سمة دائمًا ؛ لذا يمكن اعتبار توزيع السمات على العمليتين المستقلتين كالتالي:
+1
+1
−1
+1
+1
−1
−1
−1
وعليه، نستطيع كتابة جدول سمات المجموعة النقطية كالآتي:
1
1
1
1
−1
−1
1
1
−1
1
−1
1
1
−1
−1
1
ونلاحظ هنا أن السطر الثاني يمثِّل عملية الدوران حول محور ، كما سيتضح فيما يلي.
ففي حالة الحركة
الدورانية
لجزيء الماء حول محور بصورة مستمرة، يمكن استنتاج سلوك تماثل هذه الحركة الدورانية باعتبار
الأشكال التالية كما يوضحه الجدول:
−1
−1
1
1
فالدوران حول لن يؤثِّر على الحركة الدورانية المستمرة ، ولكنها ستتأثر بعمليتَي الانعكاس. فصورة متجه الحركة الدورانية في المستوى ستكون في اتجاه ، وبالمثل بالنسبة للمستوى .
ويمكن استنتاج سلوك تماثل ، بالمثل كما هو موجود في جدول السمة للمجموعة (جدول ٢-١) ووجد أنه من الأفضل وضع أكواد لكل سطر
في هذا الجدول كالتالي.
بما أن كل السمات تحت عملية الوحدة هي فيسمى السطر إما أو على حسب إشارة السمة تحت . فالسمة الموجبة في سطر ما تسمَّى ، والسالبة تسمَّى . وبما أن السطرين الأولين في الجدول لهما السمة الموجبة لعملية ، فيسمى السطر الأول ، والسطر الثاني ، بناءً على العملية الثالثة . فالسمة الموجبة تسبق السالبة، وكذلك بالنسبة للسطرين الثالث
والرابع؛ فالثالث يرمز له ، والسطر الرابع يعبر عنه الرمز (افحص الجدول ٢-١).
جدول ٢-١: جدول السمة للمجموعة النقطية .
1
1
1
1
−1
−1
1
1
−1
1
−1
1
1
−1
−1
1
ومن السهل رؤية نتائج الضرب المباشر لكلٍّ من أسطر ، ، في نفسها أو بعضها في بعض.
مثال :
−1
1
−1
1
1
−1
−1
1
−1
−1
1
1
كل سطر يُرمز له بالكود الخاص به الذي يعبِّر باختصار عن سلوك تماثُل المتجهات
والكميات على يمين المساحة المملوءة بالعدد .
فيكتب وبجواره ،
ويكتب وبجواره ،
ويكتب وبجواره .
وبالمثل للحركات الدورانية حول المحاور الثلاثة ، ، ؛ فسلوك تماثلها هو ، ، على الترتيب من اليمين إلى اليسار.
وجداول السمات ذات قيمة عظمى كأدوات نستعملها باستمرار حال أردنا التعرف على خواص
التماثل. انظر قائمة جداول السمات في نهاية الكتاب.
وبفحص أهم جداول السمات نلاحظ الآتي:
(١)
في حالة السمة تحت عملية :
إذا كانت السمة 1، فجنس
التماثل
أو .
وإذا كانت السمة 2، فجنس
التماثل (وكافة المراجع العالمية اتخذت أيضًا نفس
الحرف (ويمكن أن يُكتب بحرف صغير) للتعبير عن جنس التماثل الثنائي التعددية،
وننوه حتى لا يحدث أي لبس)، وهذا يعني أن مصفوفة التحويل
المجردة في هذه الحالة ذات بعدين:
أي لا يمكن فصل محورَي و أحدهما عن الآخر فنكتبهما () عند إجراء الدوران حول محور بزاوية قدرها مثلًا كما في حالة التي يمثلها جزيء النشادر الهرمي الشكل هندسيًّا، طبقًا
للشكل ٢-١:
شكل ٢-١
أو يكون جنس التماثل في حال أن لا يمكن فصل بعضها عن بعض كما في حالة
المجموعات المكعبة أو ؛ وبالتالي تكون سمة المصفوفة المجردة تساوي
3. وخير مثال هو عملية في حالة :
حيث يمر محور في منتصف وجهين مثلثين متقابلين.
ويمثل الرمز ثلاثة متجهات متساوية في التماثل (جنس تماثل ثلاثي التعددية).
والخلاصة
أن:
جنس تماثل غير متعدد،
جنس تماثل ثنائي التعددية،
جنس تماثل ثلاثي التعددية.
وفي العادة يمكن استخدام حروف كبيرة أو صغيرة دون تفريق طالما نتحدث عن الأوربيتالات
أو الحركات الاهتزازية.
والمجموعات النقطية إما أن تكون مفردة nondegenerate؛ أي غير متعددة، وهي التي تشمل فقط، أو تكون متعددة degenerate،
وهي التي تشمل أو .
والملحوظة الجديرة بالذكر هي فيما يتعلق بعدد عمليات التماثل في الصنف class؛ فبملاحظة رأس جدول السمة للمجموعة :
نجد أن صنف يحوي عملية واحدة، أما فإن الصنف يحوي عمليتين؛ هما في الحقيقة عملية وعملية ؛ فكلتاهما معكوس الأخرى، ويَنتج عنهما اتجاهان. إلا أن سمة مصفوفات
التحويل لهما متساوية؛ لذا يدرجان في صنف واحد عدد عملياته يساوي
2. وهذا ما يسري أيضًا على عمليات التي تدرج في صنف واحد يشتمل على ثلاث عمليات، هي .
كما يُلاحَظ وجود جنس تماثل مثل أو ، وهنا يرجع الرمز أو إلى أن عملية الانقلاب حول مركز التماثل إما موجبة (فهي متماثلة أو
دالة زوجية تسمى بالألمانية gerade) أو سالبة (فهي
معكوسة التماثل أو دالة فردية تسمى بالألمانية
ungerade). وقد تكون أجناس التماثل أو ، وهذا نراه في المجموعات النقطية مثل . فجنس التماثل للقيمة الموجبة للسمة تحت ، و للقيمة السالبة للسمة تحت . وفي الفصل الثالث سنرى كيف يمكننا استعمال جداول السمات في استنتاج
خواص هامة جدًّا في الكيمياء، وتسميتها بالأكواد الملائمة بلغة العصر باستخدام أجناس
التماثل المختصرة والمعبرة عن سلوك التماثل للمتجهات المختلفة.
شكل ٢-١
