دراسة الاحتمالات

(٢-١) إدخال الخصم في حالةٍ من عدم التحيُّز لأيٍّ من الاستراتيجيات المطروحة

إنَّ اللاعبِين العقلانيين لا يلجَئُون إلى المفاضلة على نحوٍ عشوائيٍّ بين استراتيجيَّتَين خالصتين إلا إذا كانوا يشعرون بعدم التحيُّز لأيٍّ منهما. وإذا كانت إحدى الاستراتيجيتين أفضل من الأخرى، فلا سبيل مطلقًا إلى الأخذ بالاستراتيجية الأسوأ أثناء اللعب. فما الذي يجعلك غيرَ متحيِّزٍ لأيٍّ من الاستراتيجيتين؟ يرجع السبب في لعبة الصراع بين الجنسين إلى اعتقادك أن مُنافسك سيختار استراتيجية مختلطة تُعادل متوسط العائد الذي تحصل عليه من كل استراتيجية من استراتيجيَّتَيك. وتؤدِّي هذه الخاصية لتوازن ناش المختلط أحيانًا إلى نتائج تبدو للوهلة الأولى متناقضةً.

تُلعب لعبة السامري الصالح من قِبل مجموعة من اللاعبين المتماثلين، يبحثون جميعًا عن شخصٍ يستجيب لاستغاثتهم. يحصل كل لاعب على عشر وحداتٍ من اليوتل إذا حظي بمساعدة شخصٍ ما، ولا يحصل على أي شيءٍ إذا لم يحظَ بأي مساعدة. ولكنَّ العقبة أن المساعدة تُسبِّب ضررًا للاعب الذي يعرض المساعدة؛ إذ يتعيَّن خصم يوتل واحد من عوائده.

إذا لم يعتزم أحدٌ المساعدةَ، فالحل الأمثل هو أن تَعْرض المساعدة بنفسك. أما إذا كان الجميع يعتزم المساعدة، فيمكنك زيادة مكسبك لأقصى درجة بالوقوف ساكنًا دون فعل شيء؛ لذلك، فالسيناريو الوحيد المحتمَل للوصول إلى توازن ناش في هذه الحالة هو أن يستخدم الجميع الاستراتيجية نفسها على نحوٍ مستقل، ولا بد بالضرورة أن تكون استراتيجيةً مختلطة. في توازن ناش المختلط هذا، يُفترض بالضرورة أن يوجد احتمال واحد بين كل عشرة احتمالات لعدم عرض المساعدة من أي شخص؛ لأن هذه هي الوتيرة التي تجعلك غيرَ متحيِّزٍ لفكرة تقديم المساعدة أو عدم تقديمها.

إنَّ الاحتمال الفعلي لتقديم المساعدة في حالة التوازن يكون أعلى إلى حدٍّ ما؛ نظرًا لاحتمالية تقديم المساعدة بنفسك. ولكن، يقل احتمال تقديم أي لاعب منفرد للمساعدة في حالة التوازن مع تزايد عدد اللاعبين؛ لأن احتمال عدم تقديم المساعدة من قِبل أي لاعب يظل ثابتًا عند النسبة ١ / ١٠؛ لذا، كلما زاد عدد اللاعبين يقل احتمال تقديم المساعدة من قِبل أي لاعب. فمع وجود لاعبَين اثنين فقط، يكون احتمال تقديم المساعدة من قِبل كلٍّ منهما هو ٩ / ١٠ ويجري تجاهل الاستغاثة مرةً واحدةً فقط كل مائة مرة. ومع وجود مليون لاعب، يقل احتمال تقديم المساعدة من قِبل كل لاعب لدرجة تجاهُل الاستغاثة تمامًا مرةً واحدةً كل عشر مرات.

إنَّ النتائج المترتبة على هذه الاحتمالات المتوالية يمكن أن تكون مُثبِّطة، كما يتَّضح من إحدى القضايا المشهورة في نيويورك، التي تعرَّضت فيها سيدةٌ لاعتداءٍ بعد غروب الشمس، وقُتلت في نهاية المطاف على قارعة الطريق. وقد سمع الكثيرون استغاثاتها لكنْ لم يتصل أحدٌ بالشرطة. هل نؤيد ما خلصت إليه الصحف من أننا جميعًا صرنا وحوشًا بفعل حياة المدينة الجامدة؟ ربما تكون حياة المدينة قد حوَّلتنا بالفعل إلى وحوش، لكنَّ لعبة السامري الصالح تشير إلى أن الناس قد يتصرَّفون على هذا النحو حتى في البلدة الصغيرة إذا ما تعرَّضوا للموقف نفسه.

ينطبق الأمر نفسه على عملية التصويت في الانتخابات. ولْنأخذ إحدى الحالات القصوى مثالًا على ذلك؛ افترضْ أن أليس وبوب هما المرشحان الوحيدان للرئاسة. من المعروف أن بوب حالة ميئوس منها؛ فأمُّه هي الشخص الوحيد الذي يرى أنه سيكون الرئيس الأفضل، وسوف تُصوِّت لصالحه بكل تأكيد، ولكن ما الذي يمكن أن يدفع أيَّ شخص آخر إلى التصويت لبوب؟ كما في لعبة السامري الصالح، تؤدِّي زيادة عدد الناخبين إلى جعْل الوضع أسوأ؛ ففي حالة التوازن، يصل معدل انتخاب بوب إلى مستوى احتماليةٍ لا يمكن خفضه حتى مع وجود مليون ناخِب.

إنَّ ألعاب التصويت هذه لا تعدو أن تكون أكثر من مجرد ألعابٍ للتسلية؛ فنادرًا ما يُفكِّر الناس بأسلوبٍ عقلاني في احتمالية مشاركتهم في التصويت من عدمها. وحتى لو فكَّروا على هذا النحو، فقد يشعرون بأن الذهاب إلى صناديق الانتخاب هو بالأحرَى متعةٌ وليس مصدرًا لتكبُّد المشقَّة. لكن يتَّضح من المثال الحالي أن المثقفين الذين يتهمون الأقلية — البالغة نسبتُهم ٤٠٪ تقريبًا — الذين يُحجمون عن التصويت في الانتخابات الرئاسية باللاعقلانية؛ يُفتون فيما لا يعلمون. فلو كنا نريد عددًا أكبر من الناخبين، فعلينا أن ننتقل إلى نظامٍ لا مركزي، يكون فيه لكل صوتٍ أهميته التي تفوق نقص الحماس الذي يشعر به الكثيرون تجاه التصويت. وإذا لم نستطع أن نُقنع هؤلاء الأشخاص بالمشاركة في التصويت ولم نكن نريد تغيير نظامنا السياسي، فعلينا إذن أن نرضى ببقائهم في منازلهم ليلة الانتخابات. ولن يُجديَ وقتَها رفعُ شعار «لكل صوتٍ أهميته».‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬

(٤-١) أدنى الأقصى وأقصى الأدنى

حصرَ فون نيومان اهتمامه على ما يبدو في ألعاب المجموع الصفري الثنائية؛ لأنها من فئات الألعاب المعدودة التي يمكن أن تُحقِّق مفهومه عن فكرة الحل العقلاني الفريد. وسُمِّيت نظريته التي أثبتَ من خلالها هذه الحقيقة بنظرية «أدنى الأقصى»، لكنها تسميةٌ غير ملائمة؛ لأن الحل العقلاني في لعبةِ مجموعٍ صفريٍّ ثنائيةٍ يتأتَّى في الحقيقة من تطبيق كل لاعبٍ لقاعدة «أقصى الأدنى»؛ ويعني ذلك أنه يتعيَّن على اللاعب تحديد أسوأ المكاسب التي يمكن أن يحصل عليها في المتوسط من كل استراتيجية من استراتيجياته المختلطة، ثم يختار الاستراتيجية التي من شأنها زيادة مكسبه لو تحقَّق باستمرار هذا السيناريو الخاص بأسوأ الحالات.

على سبيل المثال، أسوأ سيناريو يمكن أن يحدث لأليس في لعبة مطابقة العملات المعدنية هو أن يخمِّن بوب الاستراتيجية المختلطة التي ستختارها. فإذا كانت هذه الاستراتيجية المختلطة تتطلَّب أن يختار بوب «صورة» لأكثر من نصف الوقت، فإن بوب سيختار «كتابة» دائمًا. وفي هذه الحالة، ستخسر أليس لأكثر من نصف الوقت وسيكون مكسبها من ثَمَّ سالبًا. وإذا كانت الاستراتيجية المختلطة لأليس تتطلَّب منها أن تختار «كتابة» لأكثر من نصف الوقت، فإن بوب سيختار «صورة» دائمًا، وسوف تخسر أيضًا لأكثر من نصف الوقت ويكون مكسبها أيضًا سالبًا؛ لذلك، فإن استراتيجية أقصى الأدنى لأليس أن تختار «صورة» و«كتابة» بنفس عدد المرات؛ مما يضمن لها أن يكون مجموع عوائدها في النهاية صفرًا.

لا ينجذب عمومًا إلى قاعدة أقصى الأدنى سوى الأشخاص المصابين بنزعة الارتياب؛ لأن هذه القاعدة تفترض أن العالم قد اختارك أنت على وجه التحديد لتكون خصمًا شخصيًّا له. ولكن، إذا كانت أليس تلعب أمام بوب في لعبة مجموعٍ صفري، فإن بوب هو العالم في هذه الحالة، ويكون العالم هو حقًّا خصمَها الشخصي في هذه الحالة الخاصة.

(٤-٢) لماذا أقصى الأدنى؟

من سخرية القدر أن تكون نظرية أدنى الأقصى لفون نيومان نتيجةً مباشرةً لحُجة ناش التي قدَّمها لإثبات أن كل الألعاب المتناهية يكون لها توازن ناش واحد على الأقل.

لتوضيح ذلك، ابدأ بتحديد حالةٍ من توازن ناش في لعبة مجموعٍ صفريٍّ ثنائية. أَطلِق على استراتيجية التوازن لأليس «أفقي»، واستراتيجية التوازن لبوب «رأسي». وستُسمَّى عوائد التوازن «قيمة أليس» و«قيمة بوب». على سبيل المثال، في لعبة مطابقة العملات المعدنية يمثل كلٌّ من الحركتين «أفقي» و«رأسي» الاستراتيجية المختلطة التي يختار فيها كلا اللاعبَين «صورة» و«كتابة» بنفس القدر من الاحتمالية؛ حيث تمثِّل «قيمة أليس» و«قيمة بوب» العائد الصفري الذي يحصل عليه كل لاعبٍ في المتوسط إذا لعب كلا اللاعبَين بهذه الطريقة.

لا يمكن لأليس أن تتأكَّد من حصولها على ما هو أكثر من «قيمة أليس»؛ لأن بوب من المحتمَل أن يتحرك دائمًا في اتجاهٍ «رأسي»، ويكون أفضل اختيار لها هو التحرك في اتجاهٍ «أفقي». وفي المقابل، تستطيع أليس أن تتأكَّد من الحصول على «قيمة أليس» على الأقل إذا تحرَّكت باتجاهٍ «أفقي»؛ لأن أفضل ما يستطيعه بوب هو أن يختار التحرُّك باتجاهٍ «رأسي»، وأفضل ما يستطيع بوب أن يقدمه لنفسه في لعبة مجموعٍ صفريٍّ كهذه سيكون مساويًا تمامًا لأسوأ ما يستطيع أن يفعله ضد أليس؛ وبناءً على ذلك، تكون «قيمة أليس» هي عائد أقصى الأدنى لأليس، والتحرُّك باتجاهٍ «أفقي» هو إحدى استراتيجياتها المُحقِّقة لقاعدة أقصى الأدنى.

بهذا المنطق نفسه، فإن «قيمة بوب» هي عائدُه المُحقِّق لقاعدة أقصى الأدنى، والتحرك باتجاهٍ «رأسي» هو إحدى استراتيجياته المُحقِّقة لهذه القاعدة. وإذا كان مجموع «قيمة أليس» و«قيمة بوب» يساوي صفرًا، فإنَّ ذلك يستتبع أيضًا أن يكون مجموع عوائد كلٍّ منهما المُحقِّقة لقاعدة أقصى الأدنى يساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ، لا يحصل أحد اللاعبَين على أكثر من عائده المُحقِّق لقاعدة أقصى الأدنى إلا في حال حصول اللاعب الآخر على قيمةٍ أقل من هذا العائد؛ لذلك، لا يستطيع أحدٌ تحسين قاعدة أقصى الأدنى عند لعب لعبة مجموعٍ صفريٍّ ثنائيةٍ ضد خصمٍ عقلاني.

يُسمَّى الدليل الذي قدَّمه فون نيومان لإثبات هذه الحقيقة نظرية «أدنى الأقصى»؛ لأن القول بأن مجموع عوائد أليس وبوب في حال تحقُّق قاعدة أقصى الأدنى يساوي صفرًا؛ يكافئ القول بأن عائد أليس في حال تحقُّق قاعدة أقصى الأدنى مساوٍ لعائدها في حال تحقُّق قاعدة أدنى الأقصى. لكن، يجب عدم الوقوع في الخطأ الشائع بالاعتقاد أن فون نيومان قد أوصى لهذه الأسباب باستخدام قاعدة أدنى الأقصى؛ فلا أحدَ يريد أن يحدد «أفضل» عائدٍ يمكن الحصول عليه في المتوسط من كل الاستراتيجيات المختلطة، ثم يختار الاستراتيجية التي من شأنها أن «تقلل» عائده لو تحقَّق دائمًا سيناريو أفضل الحالات.

(٥-١) لعبة الصخرة والمقص والورقة

يعرف كل الأطفال هذه اللعبة. يقوم كلٌّ من أليس وبوب بإشاراتٍ باليد تُمثل واحدةً من استراتيجياتهما الثلاث الخالصة: «صخرة»، «مقص»، «ورقة». ويُحدَّد الفائز وفقًا للقواعد التالية:

إذا قام كلا اللاعبَيْن بالإشارة نفسها، فالنتيجة إذن هي التعادل، وهو ما يعتبره اللاعبان مكافئًا لليانصيب؛ حيث يتساوى في هذه الحالة احتمال الفوز أو الخسارة؛ لذلك، فإن هذه اللعبة هي لعبة مجموعٍ صفريٍّ.

من الواضح أن الحل المنطقي هو أن يلجأ كل لاعب إلى استخدام استراتيجياته الخالصة الثلاث بنفس العدد من المرات؛ وبذلك، يضمن كل لاعب الحصول على عائدٍ مجموعُه صفر، وهو ما يحقِّق قاعدة أقصى الأدنى لكلٍّ منهما. وتكمن الفكرة الرئيسية لهذه اللعبة في أن على اللاعب أن يعمل جاهدًا لإيجاد طريقة تطوُّرية تركِّز على هذا الحل.

(٥-٢) لعبة البطاقات لأونيل

استخدم باري أونيل هذه اللعبة في أول تجربةٍ معمليةٍ قدَّمت دعمًا إيجابيًّا لقاعدة أقصى الأدنى. كانت التجارب السابقة مُثبِّطة، ووجَّه عالِم النفس المشهور، ويليام إستس، نقدًا لاذعًا إلى هذا المبدأ على وجه التحديد عندما قدَّم تقريرًا عن اختباره لنظرية فون نيومان: «لن تستطيع نظرية الألعاب أن تحل محل نظريةٍ سلوكيةٍ مبنيةٍ على التجربة عندما نريد أن نتنبَّأ بما سيفعله الناس فعليًّا في مواقف تنافسية.»

لكن في التجربة التي بنى إستس على أساسها تعليقاته الرافضة، كان ثَمَّةَ شخصان فقط وُصِفا بأنهما مدرَّبان جيدًا على تعزيز التجارب التعليمية التي كان إستس يستخدمها في الدفاع عن نظرية «تطابق الاحتمالات» (التي يُرفض تصديقُها الآن). ولم يكن أيٌّ من الشخصين يعلم أنه يلعب لعبة أمام الآخر. وحتى إن كانا يَعلمان أنهما يلعبان لعبة، فإن نظرية أدنى الأقصى كانت غير ذات صلةٍ بِوَرطتهما؛ حيث إنهما لم يعلما سابقًا بعوائد اللعبة؛ فقد كانا يلعبان بمعلوماتٍ ناقصة، وهو موقف لا تنطبق عليه نظرية أدنى الأقصى لفون نيومان.

عندما صمَّم أونيل تجربة خالية من هذه الأخطاء، كان يريد أن يتحكَّم في احتمال أن تكون لدى هذين الشخصين توجُّهات مختلفة حيال الإقدام على المخاطر. على سبيل المثال، لن تكون لعبة «صخرة ومقص وورقة» ذات مجموعٍ صفريٍّ لو أن أليس وبوب لم يفكِّرا في أن التعادل يعني أن احتمالات الفوز أو الخسارة متساوية؛ لذلك، أجرى أونيل تجربةً على لعبة تحتمل الفوز أو الخسارة فقط، لكن ما زال فيها حبكة كافية لجعْل الحل غير واضح.

في لعبة البطاقات، تكون لدى كلٍّ من أليس وبوب بطاقة عليها الرقم «واحد» ومجموعة من بطاقات الصور. يُظهِر كلٌّ منهما بطاقة في نفس الوقت، فتفوز أليس إذا كانت النتيجة «واحد» لكلٍّ منهما، أو في حال عدم تطابق بطاقات الصور. وفيما عدا ذلك يفوز بوب.

لإيجاد استراتيجية أليس المحقِّقة لقاعدة أقصى الأدنى، فإننا نسأل أيٌّ من استراتيجياتها المختلطة تجعل بوب غير متحيِّزٍ تجاه أيٍّ من استراتيجياته الخالصة؟ والإجابة عن هذا السؤال أن على أليس أن تلعب كل بطاقة صورة بتكرارٍ متساوٍ، و«واحد» بمعدل الضِّعف. وعلى بوب فعل الأمر نفسه؛ ومن ثَمَّ، فالنتيجة أن أليس سوف تكسب خُمسَي الوقت، وبوب سوف يكسب ثلاثة أخماس الوقت.

(٥-٣) المبارزة

لعبة المبارزة هي المثال الأقرب إلى تطبيقٍ عسكري. تتحرك أليس وبوب كلٌّ منهما تجاه الآخر مسلحًا بسلاحٍ به رصاصة واحدة فقط. وكلما اقتربا، تزيد احتمالية أن يصيب أحدهما الآخر. ويكون العائد لكل لاعب هو احتمال النجاة.

إلى أي مدًى يفترض أن تقترب أليس من بوب قبل إطلاق النار؟ إنَّ السؤال يتعلق حرفيًّا بمسألة الحياة والموت؛ لأنها إذا أطلقت النار ولم تصبه، فسيتمكَّن بوب من التقدُّم نحوها مباشرةً وتكون العواقب وخيمة لأليس. بما أن شخصًا ما سيموت في كل نتيجةٍ محتمَلةٍ للُّعبة، فسيكون مجموع العوائد دائمًا يساوي واحدًا.

ثَمَّةَ نتيجة واحدة واضحة يمكننا التوصُّل إليها هنا؛ وهي أنه لا يمكن أن يتحقَّق توازن ناش بأن يخطط لاعب واحد أن يطلق النار قبل الآخر؛ لأن الرد الأمثل للاعب الآخر الذي يخطط لإطلاق النار أولًا سيكون الانتظارَ فترةً أطول. لكن ما مدى قرب كلٍّ منهما من الآخر عند إطلاق النار في آنٍ واحد؟

تُقدم نظرية أدنى الأقصى إجابةً مباشرة عن هذا السؤال؛ فالمبارزة لعبة محصلتها هي مجموع الوحدات وليس المجموع الصفري، لكن نظرية أدنى الأقصى ما زالت مطبَّقة (شريطة أن يكون مجموع العوائد مساويًا لواحد عندما يطلق اللاعبان النار في آنٍ واحد). والفرق الوحيد هو أن مجموع عوائد اللاعبَيْن المحقِّقة لقاعدة أقصى الأدنى يساوي الآن واحدًا بدلًا من صفر؛ لذلك، إذا كانت أليس ستطلق دائمًا النار ضِعف عدد المرات التي سيطلق فيها بوب النار، فإنهما سيطلقان النار من المسافة التي تجعل أليس تصيب بوب ثُلثي الوقت وبوب يصيب أليس ثُلث الوقت.