الجزء الأول

الجزء ١(أ)

يُوجَد بالفعل ما يُسمَّى مُؤرِّخ الرياضيات، وفيما يلي اقتباسٌ افتتاحيٌّ جيد عن أحد هؤلاء المؤرِّخين في ثلاثينيَّات القرن العشرين:

إنَّ مُصطلحات الرياضيات الرنَّانة ليست ما يُهِم الآن. يُشير اسم كانتور الواردُ في السطر الأخير أعلاه إلى البروفيسور جورج إف إل بي كانتور، الذي وُلِدَ عام ١٨٤٥، ومُنِح الجنسية الألمانية من طبقة التجار، ويُعدُّ الأب المُعترَفَ به لنظرية المجموعات المجردة والأعداد فوق المُنتهية، وقد وردت روايات من بعض المؤرخين عمَّا إذا كان يهوديًّا. و«كانتور» هي لفظة لاتينية تعني مُطربًا.

في المؤتمر الدولي الثاني لعلماء الرياضيات المُنعقد في باريس عام ١٩٠٠، وصفَ البروفيسور د. هيلبرت، الذي أصبح عالِمَ الرياضيات الأولَ على مستوى العالم، الأعداد فوق المنتهية لجورج كانتور بأنها «نِتاجُ عبقري رياضياتٍ فَذٍّ في أنقى صوره.» و«واحد من أبهى إنجازات النشاط البشري على الإطلاق في مجال المعقول.»

وفيما يلي اقتباسٌ من جي كيه تشيسترتون: «الشعراءُ لا يُصابون بالجنون ولكنَّ لاعبي الشطرنج يُصابون به، علماء الرياضيات يُصابون بالجنون، وكذلك الصرَّافون، ولكنَّ الفنانين المُبدعين نادرًا ما يُصابون به. إنني لا أُهاجم المنطق: أنا فقط أُوضح أن هذا الخطر يكمُن في المنطق، وليس في الخيال.» وفيما يلي أيضًا مُقتطفٌ من موجز لسيرة ذاتية صدرت مؤخرًا عن كانتور: «في أواخر القرن التاسع عشر، أُصيبَ عالِم رياضيات استثنائي بالضعف والهزال في مستشفى للأمراض العقلية … وكان كلَّما اقترب من الإجابات التي ينشدها، بدَت أبعدَ كثيرًا. وفي النهاية، ساقه هذا إلى حافة الجنون، مِثلما حدث لعلماء رياضياتٍ قبله.»

إنَّ الإحاطة بإنجازات كانتور تختلف عن تقديرها؛ فالتقدير هو المشروع العام هنا، ويتضمَّن النظر إلى رياضياتِ ما فوق المُنتهي بوصفها ضربًا من شجرةٍ ما، شجرةٍ تضرب بجذورها في مفارقتَي الاتصال وعدم القابلية للمُقايسة لدى الإغريق، بينما تتشابك فروعها في الأزمات الحديثة حول أُسُس الرياضيات — براور وهيلبرت، وراسل وفريج، وتسيرميلو وجودل، وكوهين وآخرون، الأسماء الآن أقلُّ أهمية من ذلك الشيء الأشبهِ بالشجرة، الذي يُمثل النظرة العامة الرئيسية التي سيُطلَب منك تذكُّرها دائمًا.

الجزء ١(ب)

ما قاله تشيسترتون أعلاه ليس صحيحًا في جانبٍ ما. أو على الأقل، غير دقيق. فالخطر الذي يُحاول أن يضع له اسمًا ليس المنطقَ؛ فالمنطق ما هو إلا وسيلة، والوسائل لا يُمكنها إرباك البشر وتشويشهم. ما يحاول تشيسترتون فعليًّا الحديث عنه هو خصيصة من الخصائص الأساسية للمنطق وللرياضيات. إنه التجريد.

الفكرة: التعريف الأساسي لكلمة «مجرد» في المَغزى الذي نقصده هنا سيكون التعريفَ المتسلسل نوعًا ما «المنزوع من أو الذي يتجاوز الخصوصية الحِسِّية، التجربة الحِسِّية». وبهذا المفهوم وحدَه، يكون لفظ «مجرد» عبارةً عن مصطلحٍ ميتافيزيقي. وفي الواقع، فإن كل النظريات الرياضية تتضمَّن نوعًا من الموقف الميتافيزيقي. مُؤسِّس التجريد في الرياضيات هو فيثاغورس، ومُؤسِّسه في الميتافيزيقا هو أفلاطون.

ومع ذلك، فالتعريفات الأخرى في قاموس أكسفورد للغة الإنجليزية غير ذات صلة، ليس فقط لأن الرياضيات الحديثةَ مجردةٌ بمعنى أنها صعبة للغاية وغامضة وعادةً يصعب حتى مطالعتها بالنظر. ومن المفاهيم الجوهرية أيضًا في ذلك المفهوم الذي يُمكن أن يعنيَ به تجريدُ شيءٍ ما اختزالَه إلى جوهره البنائي المُطلَق، كما في خُلاصة مقال أو كتاب. وهكذا، فإنه من الممكن أن يعنيَ إمعانَ التفكير في الأشياء التي لا يُمكن للغالبية العُظمى من الناس إمعان التفكير فيها؛ لأن الأمر يسوقُهم إلى الجنون.

كلُّ ما نستعرضه هنا هو ضربٌ من الإحماء؛ فموضوع التجريد ككلٍّ لن يكون على هذا النحو. فيما يلي اقتباسان آخران عن شخصَين تُعانق شهرتهما عَنانَ السماء؛ إم كلاين: «كان من بين إسهامات الإغريق العظيمة لمفهوم الرياضيات الإدراكُ الواعي لحقيقة أن الكِيانات الرياضية عبارةٌ عن تجريدات، والتأكيد على ذلك، وهي أفكار تأمَّلَها العقل وتدبَّرها وجرى تمييزها بوضوحٍ عن الصور أو الأشياء المادية.» إف دي إل سوسور: «ما أغفله الفلاسفةُ وعلماء المنطق أنه من اللحظة التي يُصبح فيها نظامٌ من الرموز مُستقلًّا عن الأشياء المادية، فإنه في حدِّ ذاته يكون خاضعًا للإسقاطات الجارية التي لا حدَّ لها من جانب عالِم المنطق.»

التجريد يشمل كلَّ أنواع المشاكل والأزمات، حسبما نعرف جميعًا. ويكمُن جزءٌ من الخطر في طريقة استخدامنا للأسماء. نحن نُفكر في معاني الأسماء من حيث دلالاتُها. والأسماء ترمز إلى أشياء: رجل، مكتب، قلم، ديفيد، رأس، أسبرين. ويترتَّب على ذلك نوعٌ خاص من الملهاة عند وجود التباسٍ حول ماهيَّة اسم حقيقي، كما هو الحال في «مَنْ هو الأول؟» أو على غرار ما نجده في كتاب «أليس في بلاد العجائب» — «ماذا ترى على الطريق؟» «لا شيء.» «يا لها من رؤية ثاقبة! كيف يبدو اللاشيء؟» ومع ذلك، تتلاشى الملهاة عندما تدلُّ الأسماء على أفكارٍ مجردة؛ أي مفاهيم عامة منفصلة عن الأمثلة المُحددة. وكثيرٌ من هذه الأسماء المتعلقة بأفكارٍ مجردة تأتي من أفعال الجذر. كلمة «حركة» هي اسم، وكذلك كلمة «وجود»، ونحن نستخدم كلماتٍ كهذه طوال الوقت. ويكون الالتباس عندما نُحاول النظر فيما تَعنيه هذه الكلمات بالضبط. وهذا على غرار وجهة نظر بوير عن الأعداد الصحيحة. إلامَ تشير بالضبط كلمة «حركة» وكلمة «وجود»؟ نحن نعلم أن أشياءَ مادية بعينها موجودة، وأنها تتحرك أحيانًا. فهل الحركة في حدِّ ذاتها موجودة؟ كيف؟ ما الكيفية التي تُوجَد بها الأفكار المجردة؟

لا شكَّ أن هذا السؤال الأخير نفسه مجردٌ للغاية. ولربما بدأتَ تشعُر بالصداع؛ فأمورٌ كهذه تكون مصحوبةً عادةً بنوعٍ خاص من عدم الارتياح أو نفاد الصبر. مثل «ما هو الوجود بالضبط؟» أو «ما الذي نعنيه بالضبط عندما نتحدَّث عن الحركة؟» عدم الارتياح شيء مُميَّز جدًّا ويُوجَد فقط عند مستوًى مُعين في عملية التجريد؛ لأن عملية التجريد تتمُّ على مستويات، بالأحرى مثل الأُسُس أو الأبعاد. لِنقُل إن لفظة «رجل» التي تعني رجلًا ما بعينه هي المستوى الأول، ولفظة «رجل» التي تعني النوع هي المستوى الثاني، وشيء مثل «الجنس البشري» أو «الإنسانية» هو المستوى الثالث؛ إذن نحن الآن نتحدَّث عن المعايير المجرَّدة لشيءٍ ما يُوصَف بأنه إنسان أو بشري، وهكذا. التفكير بهذا الأسلوب قد يكون خطرًا، أو غريبًا. التفكير بشكل مُجرد بما يكفي في أي شيء … من المؤكَّد أننا جميعًا مرَرنا بتجرِبة التفكير في كلمةٍ ما، ولتكن كلمة «قلَم» مثلًا، وكرَّرنا الكلمة على مسامعنا مرارًا وتَكرارًا حتى فقدَت دلالتها؛ فغرابةُ إطلاق مُسمَّى «قلم» على شيءٍ ما تبدأ في التوغُّل تدريجيًّا إلى داخل الوعي، مثل نَوبة صرع.

الجزء ١(ﺟ)

على ذكر موضوع التجريد ودلالات الأسماء ككلٍّ، ثَمَّة عملية مُلازِمة لذلك؛ إما أن تكون تجريدًا عاليَ المستوى، أو نوعًا من الطفرات الاسمية الغريبة. كلمة «حصان» يُمكن أن تعنيَ ذلك الحصان الذي أمامنا مباشرةً، أو يُمكن أن تعنيَ المفهوم المجرَّد، كما في «حصان = حيوانٌ من الثدييات، له حوافر، ينتمي إلى فصيلة الخيليَّات.» والشيء نفسُه ينطبق على كلمة «قرن» وكلمة «جَبين». كلُّ هذه الكلمات يُمكن تجريدها من خصوصيتها، ورغم ذلك نظلُّ على علم بأنها مُشتقة من أمثلة خاصة بعينها. اللَّهم إلا ما نجده في حالةِ وحيد القرن، الذي يبدو أنه مزيجٌ من مفاهيم «حصان» و«قرن» و«جَبين»، ومن ثَمَّ فإنَّ له أصلَه الكامل في سلسلة التجريدات. هذا معناه أنه في مقدورنا دمجُ التجريدات ومُعالجتها لتكوين كياناتٍ ليس لأسمائها أيُّ دلالاتٍ خاصة على الإطلاق. وهنا تظهر المُعضلة الكبرى: ما الطريقة التي يُمكن بها أن نقول إنَّ وحيد القرن موجود، وتكون مختلفة اختلافًا جوهريًّا وأقلَّ واقعية عن الطريقة التي تُوجَد بها أفكار مجردة أخرى مثل «إنسانية» أو «قرن» أو «عدد صحيح»؟ وهو ما يقودنا مرة أخرى إلى السؤال: ما الكيفية التي تُوجَد عليها الكيانات المجردة؟ أو هل هي موجودة بأية حالٍ على الإطلاق باستثناء كونها أفكارًا في عقل الإنسان — على سبيل المثال، هل هي تخيُّلاتٌ ميتافيزيقية؟ هذا النوع أيضًا من الأسئلة يُمكن أن يجعلك تُلازم الفراش طوال اليوم، ويُخيِّم على الرياضيات منذ البداية — ما الوضع الأنطولوجي للكيانات والعلاقات الرياضية؟ هل الحقائق الرياضية اكتُشِفَت، أم أنها استُحدِثت ببساطة، أم أنها كِلا الأمرَين بطريقةٍ ما؟ تحضُرنا هنا من جديد مقولةُ إم كلاين: «المبادئ الفلسفية لدى الإغريق ضيَّقت على الرياضيات وحجَّمتها بطريقةٍ ما. خلال الفترة الكلاسيكية اعتقدوا أنَّ الإنسان لا يستحدِث الحقائق الرياضية: إنَّها سابقةٌ عليه في الوجود، ومِن ثمَّ يقتصر دوره على التحقُّق منها وتسجيلها.»

ثَمَّة اقتباسٌ آخر عن دي هيلبرت، العالِم الجليل الذي كان أول مَن أيَّد كانتور في نظريته عن الأعداد فوق المنتهية:

صحيحٌ أنه لا يُوجَد شيءٌ أكثر تجريدًا من اللانهائية، على الأقل فيما يخصُّ مفهومَنا البديهي الضبابي باللغة الطبيعية تجاه اللانهائية. إنه نوعٌ من غاية الانسحاب عن التجرِبة الفعلية. لنتأمَّل السِّمة الوحيدة الأوسعَ انتشارًا والأكثر وطأةً للعالَم المادي، التي مفادها أنَّ كل شيءٍ إلى الزوال مآلُه، وأنه محدودٌ، وسوف يندثر، ثم نتصوَّر شيئًا ما بتجرُّدٍ من دون هذه السمة. إنَّ القياس على بعض الأفكار المتعلقة بالله تكون واضحة؛ فالتجريد من مُختلِف القيود هو أحد الأساليب التي يُفسَّر بها الباعثُ الديني بمصطلحاتٍ علمانية. ويُعرَف هذا أيضًا باسم أنثروبولوجيا الدين: كيانٌ كامل يمكن فَهمُ كينونته على أنها كينونة مُنزَّهة من كل النقائص التي نلاحظها في أنفسنا وفي العالَم، كيانٌ قدرته مُطلقة وإرادته غير محدودة، إلخ. حقيقة أنَّ هذا أسلوب جامد وكئيب للغاية للتحدُّث عن الدين هو أمرٌ غير وارد من قريب أو بعيد؛ فالفكرة هي أنه يُمكن بهذا الأسلوب نفسِه بالضبط تفسيرُ المصدر الذي استقَينا منه مفهوم «اللانهائية» وما نَعنيه في النهاية بكل صور لفظة «لا نهائي» و«غير مُنتهٍ» التي نتحاور بشأنها ونتبادل الآراء حولها. ومع ذلك، فإنَّ كون هذا هو التفسير الحقيقي فعلًا أم لا ينطوي على ما يُلزمنا هذا التفسيرُ القيامَ به، على نحوٍ ميتافيزيقي. هل نريد فعلًا أن نقول إن اللانهائية موجودة فقط بالطريقة التي يُوجَد بها وحيد القرن، وأن الأمر كله إنما يتعلق بأسلوبِ مُعالجتنا للأفكار المجرَّدة حتى يصير مُصطلح «لا نهائية» بلا مرجعية حقيقية؟ ماذا عن مجموعة الأعداد الصحيحة؟ ابدأ العَدَّ عند ١، ٢، ٣، وهكذا، واعلم أنك لن تتوقَّف أبدًا، ولا أولادك مِن بعدك، ولا أولادهم، وهكذا. الأعداد الصحيحة لا تتوقَّف؛ فهي لا نهاية لها. هل مجموعة الأعداد الصحيحة تُشكِّل لانهائيةً فعلية؟ أو هل الأعداد الصحيحة نفسُها ليست حقيقية بالفعل، ولكنها تجريداتٌ فحسْب؛ وما هي المجموعة بالضبط؟ وهل المجموعات حقيقية أم أنها أدواتٌ مفاهيمية فحَسْب، وهكذا؟ أو هل يُحتمَل أن تكون الأعداد الصحيحة و/أو المجموعات «حقيقيةً تبعًا للمفهوم الرياضي» فقط في مقابل ما يعنيه كونُها حقيقيةً بالفعل، وما هو الفرق بالضبط، وهل يُحتمَل أن نُريد إسباغ حقيقة رياضية مُعينة على اللانهائية ولكن ليس النوع الآخر (بافتراض وجود نوعٍ آخر واحد فقط)؟ وإلى أي مدًى يُمكن أن تُصبح الأسئلة مجردة للغاية والفروق دقيقةً جدًّا والصداع مُتفاقِم لدرجة أننا ببساطة لم نَعُد نَقْوى على التفكير في أيٍّ من هذا أكثرَ من ذلك؟

إنَّنا نُواجِهُ في مجالاتٍ مثل الرياضيات والميتافيزيقا واحدةً من أغرب سِمات العقل البشري للإنسان العادي، وهي القدرة على تصوُّر الأشياء التي لا نستطيع بالأحرى إدراكَها. على سبيل المثال، يُمكننا أن نتصوَّر على نحوٍ تقريبي مفهوم القُدرة المُطلقة. يُمكننا على الأقل استخدامُ كلمة «قدرة» ولدَينا درجة معقولة من الثقة في أننا نعرف ماهيَّةَ ما نتحدَّث عنه. ولكن حتى المفارقة التي يُثيرها تلميذٌ بطرح سؤالٍ من قَبيل «هل يُمكن لكائن يتمتَّع بقدرة مُطلقة أن يصنع شيئًا أثقلَ بكثير من أن يرفعه؟» هي ثغراتٌ خطيرة تبرُز في فهمنا اليومي للقدرة المُطلقة. ولذا، ثَمة نوعٌ آخر من التجريد وثيقُ الصلة هنا. وهذا النوع يتعلق أكثرَ بالجانب النفسي وهو حديثٌ للغاية.

الحقيقة الواضحة: أنه لم يحدُث أبدًا من قبلُ أن وُجِدَ هذا الكمُّ من الهوات السحيقة بين ما يبدو عليه العالَم وبين ما يُخبرنا به العِلم في هذا الشأن. ويُشير الضمير «نا» في «يخبرنا» إلى الأشخاص العاديين غير المُختصين. إنَّ الأمر ليبدو مثل مليون ثورة من الثورات الكوبرنيكية تحدُث جميعُها في آنٍ واحد. كالحال على سبيل المثال عندما «نعرف» — نحن خريجي المدارس الثانوية وقرَّاءَ «نيوزويك» — أنَّ الزمن نسبي، وأنَّ الجسيمات الكَميَّة يُمكن أن تكون موجودة وغير موجودة في آنٍ واحد، وأنَّ الفضاء مُنحنٍ، وأنَّ الألوان لا تكون مُلازِمة للأشياء نفسِها، وأنَّ المُتفردات الفلكيةَ ذاتُ كثافة لا مُتناهية، وأنَّ حبَّنا لأبنائنا مُبرمجٌ داخلنا مُسبقًا من منظور تطوُّري، وأنَّ هناك بقعةً عمياء في مركز رؤيتنا تملؤها أدمغتُنا تلقائيًّا، وأنَّ أفكارنا ومشاعرنا هي في الحقيقة مجردُ عمليات نقل كيميائية في ٢٫٨ رطل من الأنسجة المُكهرَبة (أي الدماغ)، وأنَّ غالبية أجسادنا مكوَّنة من الماء، والماء أغلبه هيدروجين، والهيدروجين قابلٌ للاشتعال، ومع ذلك لسنا قابِلين للاشتعال. نحن «نعلم» عددًا من الحقائق التي تتعارَض مع خبراتنا المنطقية المباشرة تجاه العالَم، ومع ذلك علينا أن نعيش وأن نعمل في هذا العالَم. ومن ثَمَّ، فإننا نُجرِّد، ونُجزِّئ: هناك أشياءُ نعرفها وأشياءُ «نعرفها». إنني أعرف أنَّ حُبي لأولادي هو مسألةٌ تتعلق بالانتقاء الطبيعي، ولكني أعرف أنني أُحبه، وأشعُر وأتصرَّف على أساس هذه المعرفة. ومن وجهة نظر موضوعية، فإن الأمر كله انفصاميٌّ للغاية؛ بيد أن الحقيقة أننا كأشخاصٍ عاديين ذاتيين لا نشعر غالبًا بالتناقُض. ذلك لأن ٩٩٫٩٪ من حياتنا هي بالطبع عملياتٌ حِسِّية ملموسة، ونحن نعمل بشكلٍ حسِّي ملموس على أساس ما نعرف، وليس ما «نعرف».

مرةً أُخرى، نحن نتحدَّث عن الأشخاص العاديين غير المُختصين مِثلي ومِثلك، وليس عن عباقرة الفلسفة والرياضيات، الذين اشتُهِر عن كثيرٍ منهم أنه يُعاني صعوبةً في مواكبة العالَم الحقيقي: أينشتاين ترك منزله مُرتديًا ملابسَ النوم، جودل عجز عن إطعام نفسِه، وغيرهما. لكي نُقدِّر ماهية الحياة الباطنية لعظماء العُلماء أو الرياضيين أو الميتافيزيقيين، كلُّ ما نحتاجه هو أن نسترخيَ ونُحاول صياغة فكرةٍ شديدة الدقة ومُترابطة تمامًا — على النقيض من الأفكار الضبابية والنيوزويكية — عمَّا نعنيه فعلًا ﺑ «قوة مُطلقة»، أو «عدد صحيح»، أو «لا محدود»، أو «مُتناهٍ ولكنه غيرُ محدود»، أن نُحاول ممارسة نوع من التفكير المجرد المنضبط والمُوجَّه.^١٠ ينطوي هذا النوع من التفكير على إجهادٍ أشبهَ بالشرود، وهو إجهاد واضح جدًّا لكن لا يُمكن تأويلُه، والإحساس بأن تَكراره كلمة «قلم» مرارًا وتَكرارًا وكأنه مريضٌ بالصرع ما هو إلا ظلٌّ شاحب ضعيف لهذا الشرود. إحدى أسرع الطرُق إلى هذا الشعور هو (من واقع التجرِبة الشخصية منذ خلْقِ العالَم) أن تُحاول التفكير بإمعانٍ في البُعد. ثَمَّ شيء «أعرفه»، وهو أنه تُوجَد أبعادٌ مكانية بخلاف الأبعاد الثلاثة المعروفة، بل يُمكنني إنشاء مُكعب فائق رباعي الأبعاد (تسراكت) أو مكعَّب زائدي من الورق المُقوَّى. وبوصفه نوعًا غريبًا من مُكعب داخل مُكعب، فإن المُكعب الفائقَ الرباعي الأبعاد هو إسقاطٌ ثلاثي الأبعاد لجسم رباعي الأبعاد بنفس الطريقة التي يعتبر بها () عبارة عن إسقاط ثنائي الأبعاد لجسم ثُلاثي الأبعاد. الفكرة هنا هي أن نتصوَّر أن كلًّا من خطوط المكعب الفائق الرباعي ومُستوياته متعامد على الآخَر بزاوية ٩٠ درجة (هذا ينطبق أيضًا على () ومكعب حقيقي)؛ لأن البُعد المكاني الرابع هو البُعد الذي يُوجَد بطريقةٍ ما عند الموضع الذي تتكوَّن عنده زاوية قائمة مع أبعاد الطول والعَرض والعُمق الخاصة بمجال إبصارنا العادي. أنا «أعرف» كل هذا، حسبما تعرفه أنت على الأرجح … ولكن حاول الآن أن تتصوَّره حقًّا، بشكل مادي. يُمكنك أن تشعر، على نحوٍ شبه فوري تقريبًا، بإجهادٍ ذهني، حيث تبدأ خيوط التفكير الأولى في التزاحُم على الذهن.

خبرت الشخصية الإغريقية الفلسفةَ وممارسة الرياضيات من البداية. فالحقائق الرياضية تقوم لديهم على البرهان المنطقي، وتتَّسِم بأنها تكون على درجةٍ كبيرة من التنظيم والوضوح. وهذا وحدَه هو ما يُخلِّص الرياضيات من مشاكلَ مُعقدة مثل كيفية تبرير مبدأ الاستقراء؛ فالعلاقات والبراهين الرياضية ليست استقرائيةً ولكنها استنتاجية، منهجية. وبعبارةٍ أُخرى، الرياضيات نظامٌ منهجي، حيث تعني كلمة «منهجي» نموذجًا أصليًّا، مجرَّدًا تمامًا. وجوهر الفكرة هنا أن الحقائق الرياضية مؤكَّدة وعامة تمامًا؛ لأنها لا شأن لها بالعالَم. وإذا كان الأمر يبدو مُبهَمًا بعض الشيء، فها هو جزء من كتاب «اعتذار عالِم رياضيات» لمُؤلِّفه جي إتش هاردي، وهو أبرز الأعمال النثرية الإنجليزية التي تناولت الرياضيات من حيث الوضوحُ وسهولة الفهم.

الجزء ١(د)

فيما يلي مفارقةٌ أشدُّ وطأةً. كل ما نريده هو إقليدس ومسطرة. ارسم خطًّا مُستقيمًا على هذا النحو:

حيث القطعة المُستقيمة طولها ثلاثة أضعاف طول القطعة المستقيمة . بما أن القطع المُستقيمة تتكوَّن من نقاط، من المنطقي أن عدد النقاط على لا بدَّ أن يكون أكبر ثلاث مراتٍ من عدد النقاط على . ولكن، يتضح أن عدد النقاط مُتساوٍ في كلتَيهما. يمكنك أن ترى ذلك. حوِّل الخط المستقيم إلى المثلث القائم الزاوية ، ذلك بتدوير لأعلى بحيث تصبح فوق تمامًا، ثم ارسم القطعة المستقيمة :

ثم تذكَّر أنه طبقًا لإقليدس في مُسلَّمة التوازي،^٢٣ أي نقطة على القطعة المستقيمة سيُوجَد خط واحد فقط يمُر عبرها ويكون موازيًا للقطعة المستقيمة :

وأن هذا الخط الجديد سيقطع القطعة المستقيمة في نقطةٍ واحدة فقط. وينطبق الأمر نفسُه بالنسبة إلى كل نقطةٍ مفردة على — كل ما عليك ببساطة أن ترسُم خطًّا موازيًا ﻟ يقطع في هذه النقطة، وسوف يقطع هذا الخط في نقطةٍ واحدة فقط:

يمكنك تكوينُ مُفارقة مُماثلة باستخدام الدوائر ورسم دائرتَين مُتَّحدتَيِ المركز، حيث نصفُ قطر الدائرة الكبرى ضِعْف نصف قطر الدائرة الداخلية.^٢٤ بما أنَّ مُحيط أيِّ دائرة عبارة عن دالة مباشرة في نصف قطرها، سيكون مُحيط الدائرة الكبرى ضِعف طول محيط الدائرة الصغرى. والمحيط هو أيضًا خط؛ لذلك لا بدَّ أن يكون عدد النقاط على مُحيط الدائرة الكبرى ضِعفَ عددها على محيط الدائرة الصغرى. ولكن لا: بما أن الدائرتَيْن لهما المركز نفسُه، فإن مجرد رسم عددٍ من أنصاف الأقطار يؤكِّد أن أي نصف قطر يقطع الدائرة الكبرى في نقطةٍ ما سوف يقطع الدائرة الصغرى في نقطة مناظرة واحدة فقط ، دون تكرار نقاط أو إغفالها:

وهو ما يوضح بذلك أنَّ عدد النقاط على مُحيطَي كلتا الدائرتَين متساوٍ.

ذلك فقط لأن الخيط الرفيع لشيءٍ ما لا يعني أنه ليس خطًّا، رغم ذلك. التفكير الرياضي مجرد، ولكنه أيضًا تفكيرٌ يتحكَّم فيه الأفراد أو المؤسَّسات الخاصة، ويُركِّز على تحقيق النتائج. ومن ثمَّ، فإن الفرق بين نظريةٍ رياضية عبقرية وجديدة من نوعها وأخرى مجنونة ولا عقلانية يكمُن في كل ما يمكن القيام به باستخدام هذه النظرية، من حيث كونها تُحقق نتائجَ ذات دلالة أو لا. فيما يلي شرح جي إتش هاردي لمفهوم «النتائج ذات الدلالة»:

والآن دعونا نتناوَل الأمر من منظورٍ آخر، الرياضيات هَرَمية تراكُمية؛ فكانتور لم يأتِ فجأةً من اللامكان. ومن ثمَّ، فإنَّ التقدير الحقيقي يتطلَّب استيعاب المفاهيم والمشكلات التي ساعدت على ظهور نظرية المجموعات وجعلت رياضيات الأعداد فوق المُنتهية مُهمة بمفهوم هاردي. لقد استغرق ذلك بعض الوقت، ولكن بما أنَّ طبيعة النقاش أنه هَرَمي في حدِّ ذاته، يُمكننا أن نَمضي قدمًا بأسلوبٍ مُرتَّب بعض الشيء، والموضوع كلُّه لن يكون تقريبًا مُجردًا واستطراديًّا مثل هذه المُقدِّمة التمهيدية.