الجزء الثاني

الجزء ٢(أ)

حان الآن إعلانُ البداية الحقيقية. هناك طريقتان لتتبُّع سياق نظرية المجموعات لكانتور. تتمثَّل الطريقة الأولى في الحديث عن العلاقة المُتداخلة المجرَّدة بين اللانهائية والنهاية على مدى تطوُّر الرياضيات. بينما تتمثَّل الطريقة الثانية في فحص الصراع التاريخي للرياضيات مع تمثيل الاتصال، أي جوانب الحركة المُتعاقبة بكثافة و/أو المُتدفِّقة بسلاسة وعمليات العالَم الحقيقي. أي شخص حتى لو كانت لديه معلومات مُشوَّشة للغاية في ذاكرته في مُقرَّر الرياضيات الجامعي لن يغيب عن ذهنه أن الاتصال والنهاية هما إلى حدٍّ كبير الركيزة التي يقوم عليها حساب التفاضل والتكامُل، وربما لا يغيب عن ذهنه أيضًا أنَّ لهما نفس الأصول العامة في الميتافيزيقا لدى الإغريق، ولهما مَصفوفتهما الخاصة في كتابات زينون الإيلي (٤٩٠–٤٣٥ قبل الميلاد)، الذي تُوفي وهو يقضم بأسنانه أُذن حاكم إيليا المُستبِد نيركوس الأول (وهي قصة طويلة)، والذي كانت المفارقات التي سُمِّيَت باسمه نقطة الانطلاق لكل شيء.

الفكرة هي أنَّ محاولات الأخوية الدينية الفيثاغورية للتعبير عن العلاقات بين الحقيقة الرياضية والعالَم المادي كانت جزءًا من مشروعٍ أكبرَ لفلسفةِ ما قبل سقراط، الذي كان الهدف منه في الأساس هو إعطاء تفسيرٍ عقلاني غير أُسطوري لِما كان حقيقيًّا، والمَنشأ الذي جاء منه. وقد يكون أهمَّ حتى من الأخوية الدينية الفيثاغورية، فيما يخصُّ اللانهائية، قانونُ الفيلسوف الصوفي الأول بارمينيدس الإيلي (٥١٥–؟ قبل الميلاد) ليس فقط لأنَّ تمييزه بين «طريق الحقيقة» و«طريق الظاهر» قد شكَّل مُصطلحات الميتافيزيقا الإغريقية (ومرَّة أخرى) أثَّر في أفلاطون، ولكن لأنَّ التلميذ الأول لبارمينيدس والمُدافع عنه كان زينون الإيلي، الذي هو الفيلسوف الإغريقي الأكثر ذكاءً ومُشاكسةً (والذي يُمكن أن يُرى حقًّا وهو يُجادل سقراط ويُشاكِسه، دافعًا بالحُجَّة، في كتاب «مُحاورة بارمينيدس» لأفلاطون). اتخَذت حُجج زينون عن الميتافيزيقا البارمينيدية — على النحو المذكور عنها — شكلَ عددٍ من المُفارقات الأكثر عُمقًا وحسمًا في تاريخ العالَم. وتأييدًا لعلاقة هذه المُفارقات الحاسمة بموضوعنا الشامل، إليكم اقتباسًا آخرَ عن بي راسل:

أولًا، لتقليل كلمة على الأقل، أنعِش ذاكرتك بإلقاء نظرةٍ على التمثيلَيْن البيانيين التقريبيَّين التاليَين، اللذين يخصُّ أحدهما المُتتابعة المتباعدة^١١ بينما يخصُّ الآخر المُتتابعة المتباعِدة :

لعلك لاحظتَ أننا تناوَلنا هذه الأنواع من الأسئلة أكثر من مرةٍ بالفعل، ومع ذلك ما زال يفصلنا عن جي كانتور أكثرُ من ٢٠٠٠ عام. هذه الأسئلة هي العُملة الفاسدة الحقيقية في قصة اللانهائية، ولا سبيلَ لتفاديها إذا كنتَ لا تريد استرجاع عددٍ من دروس الرياضيات المُجردة عن نظرية المجموعات غير المُنتهية. أما الآن، فقد حان الوقت لاستعراض حجة أفلاطون حول الواحد والمُتعدِّد، التي تتمثل في المعالجة الكلاسيكية لهذه الأسئلة حسبما تنطبق على قضية الإسناد ذات الصِّلة.

الجزء ٢(ب)

أرسطو هو أول فيلسوف لم يكن من أتباع أفلاطون حقًّا. ومع ذلك، فإنه فيما يخصُّ مفهوم الارتداد اللانهائي المُنافي للمنطق لزينون الذي ساقه أرسطو ضد المفاهيم الميتافيزيقية لأفلاطون، كان من الغريب ومن دواعي المفارقة أن محاولة أرسطو هي أيضًا المحاولة الأولى والأكثر أهمية من جانب الإغريق لتفنيد مُفارقات زينون. وهذا يُوجَد بالأساس في الأجزاء الثالث والسادس والثامن من كتاب «الطبيعة» أو «الفيزياء»، والجزء التاسع من كتاب «ما وراء الطبيعة» أو «الميتافيزيقا»، اللذَين تنتهي مناقشات زينون فيهما إلى أنَّ له تأثيرًا وخيمًا على أسلوب معالجة الرياضيات لمفهوم اللانهائية للألفَي سنة القادمة. وفي الوقت نفسه، نجح أرسطو بالفعل في توضيح الصعوبات الأساسية في بعض مُفارقات زينون على الأقل، ونجح كذلك في أن يطرح بوضوحٍ ولأول مرة بعض التساؤلات المُهمة حقًّا حول اللانهائية التي لم يُحاول أحدٌ — حتى أوائل القرن التاسع عشر — الإجابة عنها بطريقةٍ دقيقة، مثل: «ما المقصود بالضبط حين نقول إن شيئًا ما لا مُتناهٍ أو غير محدود؟» و«ما نوعية الأشياء التي يُمكننا أن نتساءل عمَّا إذا كانت لا مُتناهية أم لا؟»

وفيما يخصُّ الأسئلة المحورية، ربما تذكُر ما اشتهر عن أرسطو من ولعِهِ بالتقسيم والتصنيف؛ فهو حرفيًّا مَنْ أدخل «التحليل» في الفلسفة التحليلية. انظر — على سبيل المثال — هذا المُقتطف من مناقشة التقسيم الثنائي في الجزء السادس من كتاب «الطبيعة»: «هناك مفهومان يُسمَّى بموجبهما الطولُ والزمن وعمومًا أيُّ شيءٍ مُتصل بأنه «غير متناهٍ»: إنَّها تُسمَّى كذلك إما من حيث قابليتها للتقسيم وإما من حيث نهاياتها القصوى أو أطرافها [= الحجم].» وهو ما يُعتبَر المرة الأولى على الإطلاق التي يُشير فيها أحدٌ إلى وجود أكثرَ من معنًى لمفهوم «اللامُتناهي». أراد أرسطو بالأساس التمييز بين معنًى قويًّا أو كَمِّيًّا، وهو ما يعني حرفيًّا حجمًا غيرَ مُتناهٍ أو طولًا غير مُتناهٍ أو مدةً غير متناهية، ومعنًى أضعفَ يتضمَّن قابلية التقسيم اللامُتناهي لطولٍ مُتناهٍ. وحسبما يزعم، فإنَّ التمييز الأهمَّ يتضمَّن الزمن: «على الرغم من أنه لا يُمكن لشيءٍ في زمن مُتناهٍ أن يتَّصِل بأشياءَ غير مُتناهية كمًّا، فإنه يُمكنه الاتصال بأشياءَ غير متناهيةٍ من حيث قابلية التقسيم؛ لأنه طبقًا لهذا المفهوم يُصبح الزمن نفسُه غيرَ مُتناهٍ أيضًا.»

يبدو هذا كله بالطبع مُتشابكًا ومُعقدًا إلى حدٍّ كبير، ولهذا تناولَت الكثيرُ من المِهَن تعريفات أرسطو بالمناقشة والشرح. ويكفي هنا القول إنَّ مسألة الوجود الفعلي مقابل الوجود الاحتمالي للَّامتناهي تقع في صميم موضوعنا بالفعل، ولكن ممَّا لا يُمكن إنكاره أن من الصعب معالجتها هنا. وفي النهاية، فإنَّ تفسيرات أرسطو وأمثلته:

(معلومة إضافية: مَلمحٌ أخير من التعقيد: في الغالب، ما يُسمِّيه أرسطو «عددًا» (أي، الكميات الرياضية بصفةٍ عامة) يكون فيما يبدو غير مُتناهٍ احتماليًّا، ليس على النحو الذي يكون به القياس غير مُتناهٍ احتماليًّا، ولكن على النحو الذي تكون به مجموعة كل توقيتات الساعة ٦:٥٤ صباحًا لا نهائية احتماليًّا. على سبيل المثال، مجموعة كل الأعداد الصحيحة تكون غيرَ مُنتهية احتماليًّا؛ بمعنى أنه لا يُوجَد عدد صحيح أكبر (في اتجاه الكبر، يُمكن دائمًا التفكير في عددٍ أكبر)، ولكنها ليست في الواقع غيرَ مُنتهية؛ لأن المجموعة لا تُوجَد على هيئة كيانٍ واحد مُكتمِل. بعبارة أخرى، الأعداد عند أرسطو تتألَّف من متوالية مستمرة: يُوجَد الكثير من الأعداد على نحوٍ غير مُتناهٍ، ولكنها لا توجَد جميعًا معًا على نحو مُتزامن «الشيء الواحد يمكن أن يُفضيَ إلى شيءٍ آخر إلى ما لا نهاية».)

وتفنيدًا للقسمة الثنائية لزينون، فإن التمييز بين اللانهائية الاحتمالية في مقابل اللانهائية الفِعلية غيرُ مُقنع على الإطلاق — ومن الواضح أنه غير مُقنع حتى لأرسطو، الذي يبدو أنَّ من الممكن رفضَ حُجته المعروفة باسم «الرجل الثالث» لكونها غير مُتناهية احتماليًّا فحسْب. ولكن، في نهاية المطاف، اتَّضح أن التمييز مُهم للغاية للرياضيات على مستوى النظرية والتطبيق. والفكرة باختصار أن إحالة اللانهائية إلى حالة الاحتمالية قد سمح للرياضيات الغربية بطرح الكميات غير المُنتهية أو على الأقل تبرير استخدامها، أو أحيانًا كِلا الأمرَين معًا، حسْب ما هو مطلوب. الموضوع كله غريب جدًّا؛ فمن جهة، أعطت حجة أرسطو مصداقية لرفض الإغريق لفكرة اللانهائية و«حقيقة» المُتسلسلات غير المنتهية، وكان ذلك سببًا رئيسيًّا أنهم لم يضَعوا ما نعرفه الآن باسم حساب التفاضُل والتكامُل. ومن جهةٍ أُخرى، فإن إسباغ وجودٍ مجرد أو نظريٍّ على الأقل، على الكميات غيرِ المُنتهية، قد سمح لبعض علماء الرياضيات الإغريق باستخدامها في أساليبَ أقرب، على نحوٍ ملحوظ، إلى حساب التفاضُل والتكامل، قريبة جدًّا لدرجة أنه من المُستغرَب وقتَها أنَّ الأمر استغرق ١٧٠٠ عام لوضع حساب التفاضُل والتكامُل الحقيقي. ولكن، بالرجوع إلى المَلمح الأول، كان السبب الرئيسي في أنَّ الأمر استغرق ١٧٠٠ عام هو مفهوم الاحتمالية لأرسطو الذي كان يحمِل ظلالًا ميتافيزيقية، والذي نُبِذَت فيه اللانهائية، وهو ما أجاز حساسية الرياضيات تجاه مفهومٍ لا يُمكن حقًّا معالجته بأي حالٍ من الأحوال.

الجزء ٢(ﺟ)

على الرغم من أنه لا يخفى على أحدٍ شكلُ خطِّ الأعداد،^٣٠ سنُقدِّم نسخةً هنا من خط الأعداد، بدءًا من الصفر الذي لم يكن موجودًا لدى الإغريق؛ لأنه أمرٌ غير مُهم حتى هذه اللحظة:

الجزء ٢(د)

^⋆ جزءٌ تكميلي لا يمكن تخطيه، ولكنه يتضمَّن معلوماتٍ إضافية بالأساس

يمكنك تخطِّي الصفحات القليلة التالية إن أردت، إلا أن علامة النجمة في الفقرة أعلاه تعني أن المادة التالية ليست صحيحةً تمام الصحة من الناحية التاريخية. بعبارة أخرى: اقترب طالبٌ يُدعى يودوكسوس النيدوسي (٤٠٨–٣٥٤ قبل الميلاد)، وهو تلميذٌ من تلامذة أفلاطون، كثيرًا من تقديم تعريفٍ دقيق للأعداد غير النسبية، وهو التعريف الذي أدرجه إقليدس في الجزء الخامس من كتاب «الأصول» تحت عنوان «التعريف الخامس». يتضمَّن تعريف يودوكسوس تناسباتٍ هندسية ونِسبًا، وهذا غير مُستغرب؛ نظرًا إلى أن الرياضيات لدى الإغريق قد تعاملتْ مع الأعداد غير النسبية في صورة تناسباتٍ هندسية مُعينة لم يتَسنَّ التعبير عنها على صورة نِسب. بعد انهيار «الأخوية الدينية الفيثاغورية»، أصبحت هذه المقادير غير القابلة للقياس في كل مكانٍ تقريبًا، كالحال مثلًا إذا افترضنا أن لدَينا مستطيلًا فيه ضِلَعان يساوي طول كلٍّ منهما طول قُطر مربع الوحدة: كيف يُفترَض أن تحسب مساحته؟ والأهم من ذلك كيف استطاع الإغريق تمييز حالات عدَم القابلية للمقايسة من النوع المُتعلق بالأعداد غير النسبية عن الحالات التي يكون لديك فيها ببساطة أنواعٌ مختلفة من المقادير التي لا يمكن مُقارنتها بالنِّسَب، مثل خطٍّ في مقابل مساحة، أو مساحة في مقابل حجم شكل ثُلاثي الأبعاد؟ كان يودوكسوس في الواقع هو أول إغريقي يحاول حتى تعريف «النِّسبة» رياضيًّا.

يُقال إنَّ المقادير متساوية في النسبة، الأول إلى الثاني والثالث إلى الرابع، إذا أُخِذَت أي مُضاعفات مُتساوية أيًّا كانت من الأول والثالث، وأي مُضاعفات متساوية أيًّا كانت من الثاني والرابع، وظلَّت المضاعفات المتساوية الأولى أكبرَ مِن أو تُساوي، أو أقلَّ من، بالقدر نفسِه، وعندئذٍ تُؤخَذ المضاعفات المتساوية اللاحقة بنسقٍ مُناظِر.

وهو ما يُمكن التقليل من غموضه بترجمة بعضٍ من نصوص النظرية المكتوبة باللغة الطبيعية إلى رموز الرياضيات الأساسية. ينصُّ تعريف يودوكسوس هنا على أنه: إذا كان ، ، والعددان الصحيحان و، فإن إذا وإذا فقط كان و و. قد يبدو هذا واضحًا أو بسيطًا من الوهلة الأولى.^٤٠ لاحظ، على سبيل المثال، كيف يُشبه قاعدة الضرب التبادُلي للكسور التي تعلَّمناها في الصف الرابع. ولكن هذا في الحقيقة ليس بسيطًا على الإطلاق. فعلى الرغم من أن يودوكسوس لم يكن يعني تطبيقه إلا على المقادير الهندسية وليس على الأعداد في حدِّ ذاتها، فإن التعريف يعمل على تحديد الأعداد النسبية وتمييزها عن الأعداد غير النسبية وعن الكميات الهندسية المُختلفة، على نحوٍ غير قابل للامتزاج، وهكذا. وفضلًا عن ذلك، يُرجى ملاحظة كيف أنَّ تعريف يودوكسوس يمكن تطبيقه بنجاحٍ على مجموعة غير مُنتهية بأكملها، ولتكن مجموعة كل الأعداد النسبية.^٤١ وما فعله يودوكسوس أنه استخدم أعدادًا صحيحة اختيارية لتقسيم^٤٢ مجموعة كل الأعداد النسبية إلى مجموعتَين جزئيتَين: مجموعة كل الأعداد النسبية التي تُحقق ، ومجموعة كل الأعداد النسبية التي تُحقق . ومن ثمَّ، فإن نظريته هي أول نظرية تستطيع أن تضع — على نحوٍ شاملٍ ومُحدد^٤٣ — نطاقًا لمجموعة غير مُنتهية بأكملها. وفي هذا الصدد، يمكن أن نعتبِر هذا أول نتيجةٍ ذات دلالة في نظرية المجموعات، قبل وضع نظرية المجموعات بما يقرُب من ٢٣٠٠ عام.

كما تجدُر الإشارة إلى أنه لا تُوجَد على الأرجح أمثلة في الرياضيات على ما قاله راسل عن نزوة الشهرة الفكرية أفضل من يودوكسوس ومساعِده أرخميدس المولود بعده (٢٨٧–٢١٢ قبل الميلاد). فقد اشتُهِر الأخير بكلمته «أوريكا، أوريكا»؛ أي «وجدتُها، وجدتُها»، ولكن بالنظر إلى أهدافنا الكلية سيكون من غير المُنصِف ألا نُقِرَّ بأن أرخميدس ويودوكسوس قد اخترعا رياضيات حديثة نوعًا ما، والتي أُعيدَ اختراعها على مدى قرونٍ عديدة لاحقًا؛ لأن أحدًا لم يُكلِّف نفسه عناء الانتباه إلى التبِعات المُترتبة على نتائجهما.

يُعرَف أهم اختراع لهما على الأرجح باسم «خاصية الاستنفاد»، التي اكتشفها يودوكسوس ونقَّحها أرخميدس. وكانت عبارة عن طريقةٍ لحساب مساحات وحجوم الأسطح والأشكال المُنحنية، وهي أمرٌ من الواضح أن الهندسة الإغريقية قد واجهت صعوبةً كبيرة في التعامُل معه (حيث إنَّ معظم مشكلات الاتصال والأعداد غير النسبية التي تُصادفها تتعلق بالمُنحنيات). كان لدى علماء الهندسة السابقين على يودوكسوس فكرة تقريب مساحة شكلٍ منحنٍ عن طريق مقارنتها مع مُضلعاتٍ مُنتظمة^٤٤ والتي يُمكنهم حساب مساحاتها بدقة. على سبيل المثال، لاحِظ كيف أن أكبر مُربع يمكن رسمُه داخل دائرة يكون بمثابة تقريبٍ بسيط لمساحة الدائرة.

بينما نجد مثلًا أن مساحة أكبر شكلٍ ثُماني الأضلاع يمكن رسمه داخل دائرة سيكون تقريبًا أفضل بعض الشيء.

وهكذا، الفكرة هي أنه كلما زاد عدد أضلاع المُضلع الداخلي، كانت مساحته أقربَ إلى مساحة الدائرة نفسِها. والسبب في أن هذه الطريقة لم تُفلح أبدًا في واقع الأمر أنك تحتاج إلى مُضلَّع بعددٍ لا نهائي من الأضلاع لتحديد المساحة بشكلٍ كامل، وحتى لو كان هذا العدد اللانهائي مُجرد واحدة من القِيَم اللانهائية الاحتمالية لدى أرسطو، فإن الإغريق سيظلُّون في وضعٍ حرج، لنفس السبب المذكور بخصوص التقسيم الثنائي: لم يكن لديهم مفهومُ التقارُب إلى نهاية. أدخل يودوكسوس هذا المفهوم في الرياضيات في مقدمته إلى «خاصية الاستنفاد»، التي وردت باسم «الخاصية الأولى» في الجزء العاشر من كتاب «الأصول».

إذا طرحنا جزءًا من أيِّ مقدارٍ لا يقلُّ عن نصف المقدار نفسِه، وإذا طرَحنا مرةً أخرى من المُتبقِّي ما لا يقلُّ عن نصفه، وإذا استمرت عملية الطرح هذه، فسوف يتبقى في النهاية مقدارٌ أقل من أي مقدارٍ مُعيَّن مُسبقًا من نفس النوع.

في أسلوب الترميز الحديث، يُكافئ هذا قولنا إنه إذا كان مقدارًا مُعطًى و نسبة بحيث يكون ، فإن نهاية هي صفر عندما تقترب من — مثل . هذا وهذا يُتيح لك الاقتراب على نحوٍ بالغٍ ودقيق من عدد لا نهائي من الأضلاع في حالة المضلع، أو من عدد لا نهائي من المستطيلات تحت مُنحنًى، حيث يكون كل ضلع أو مستطيل صغيرًا للغاية (= على نحوٍ متناهٍ)، ثم يُتيح لك جمع أطوال الأضلاع أو المساحات ذات الصلة بتطبيق عكس العملية المستخدمة لحسابها. تُعد طريقة الاستنفاد، بكل الأشكال، مثالًا جيدًا على حساب التكامل القديم. ومن خلالها، استطاع يودوكسوس أن يُثبت — على سبيل المثال — أن النسبة بين مساحتَي أي دائرتَين تُساوي النسبة بين مُربَّعَي نصفَي قُطرَيهما، وأن حجم أي مخروط يُساوي حجم الأسطوانة المشتركة معه في القاعدة والارتفاع، وهكذا. كما استخدم أرخميدس الاستنفادَ في كتابه «قياس دائرة» للحصول على تقريب جيد على نحوٍ غير مسبوق ﻟ وهو: .

لاحظ أيضًا البراعة الميتافيزيقية للكيانات المجردة للاستنفاد. لا تزعم طريقة يودوكسوس في إدخال الأضلاع أو الأشكال المتناهية في الصغر في معادلاتٍ وجودَ مقاديرَ صغيرة على نحوٍ لا متناهٍ. لاحظ اللغة البسيطة للخاصية الأولى في كتاب «الأصول» أعلاه. فعبارة «أقل من أي مقدار مُعيَّن مُسبقًا.» ملائمة جدًّا، ومماثلة تمامًا لعبارة «كبير/صغير على نحوٍ نسبي.» في التحليل الحديث.^٤٥ وهذا بما معناه أنه، وفقًا للأغراض الرياضية، يُمكنك التوصل إلى مقادير صغيرة قدر ما تُريد، وتتعامل معها. وهذا التخوُّف الخاص بالطريقة نفسها ونتائجها، وليس الأنطولوجيا، هو ما يُضفي على يودوكسوس وأرخميدس طابعَ الحداثة على نحو غريب. فالطريقة التي صِيغت بها «المقادير الأصغر من أيٍّ من مقادير مُعيَّنة مُسبقًا.» واستُخدِمت في الاستنفاد مطابقة تمامًا للطريقة التي سوف تُعالَج بها المُتناهيات في الصغر في بدايات حساب التفاضُل والتكامُل.

إذن، السبب الذي اضطرَّت أوروبا من أجله أن تنتظِر تسعة عشر قرنًا لظهور حساب التفاضُل والتكامل الفعلي والهندسة التفاضلية والتحليل هو مسألة يطول شرحها كثيرًا، لكنها تُؤيِّد بالأساس مقولة راسل. وأحد هذه الأسباب هو نفسه السبب الذي حال دون التفكير في تطبيق الاستنفاد على التقسيم الثنائي لزينون: لم يهتمَّ الإغريق سوى بالهندسة، ومن ثمَّ لم يُفكر أحدٌ في الحركة/الاتصال على أنهما مفهومان قابلان للتجريد يُمكن إدخالهما في هندسة خط الأعداد. وسببٌ آخر هو مدينة روما، كالحال مثلًا في الإمبراطورية، التي أدَّى نهبُها لمدينة سَرقُوسَة (أو سيراكيوز) وقتل أرخميدس عام ٢١٢ قبل الميلاد تقريبًا إلى نهاية مفاجئة للرياضيات لدى الإغريق،^٤٦ التي كانت هيمنتها على مدى القرون العديدة التالية تعني أنَّ الرياضيات لدى الإغريق قد فقدت كثيرًا من الأهمية والزخَم على مدى فترة طويلة. ومع ذلك، كان السبب الأكثر تأثيرًا هو أرسطو، الذي لم يَدُم تأثيره بالطبع لفتراتٍ فاقت روما فحسْب، ولكنه أيضًا بلغ آفاقًا جديدة مع انتشار المسيحية والكنيسة في الفترة ما بين عامَي ٥٠٠ قبل الميلاد و١٣٠٠ قبل الميلاد تقريبًا. وأهم ما في هذا الموضوع أن مذهب أرسطو أصبح عقيدةَ الكنيسة، وكان جزءٌ من مذهب أرسطو هو رفض اللانهائية على أنها احتماليةٌ فقط، وخيالٌ مجرد، ومصدرٌ للارتباك، وغير محدودة، واختصاص الإله وحدَه، وهكذا. وسادت وجهة النظر الأساسية هذه حتى العصر الإليزابيثي.

نهاية «جزءٌ تكميلي لا يمكن تخطيه، ولكنه يتضمَّن معلوماتٍ إضافية بالأساس»

الجزء ٢(ﻫ)

دعونا نتوقَّف مع أنفسنا برهةً لمحاولة تخيُّل ما كان يجول في ذهن البروفيسور جي إف إل بي كانتور عند إثبات أمرٍ كهذا.