الجزء السابع

يُوجَد الآن موضوعان إجرائيَّان يتعيَّن تناولهما. ثمة مجلدات علمية بأكملها مكرَّسة لإنجازات كانتور.^١٨ ويُمكنك أن تحصل على دورة دراسية مُدتها فصلان دراسيان عن نظرية المجموعات تحت عناوينَ خاصة بأقسام المنطق أو الرياضيات أو الفلسفة أو علوم الحاسب^١٩ ومع ذلك تكون قد درستَ القشور الخارجية فقط. من الناحية التاريخية، تمتد نظريات كانتور وبراهينه حول الأعداد فوق المنتهية على مدى ما يَزيد عن ٢٠ عامًا^٢٠ بالإضافة إلى عشرات الأبحاث المختلفة المصحوبة غالبًا بتنقيحاتٍ وتعديلاتٍ مُتتالية للمحتوى السابق، حتى إنه تُوجَد أحيانًا أكثرُ من نسخةٍ للبرهان الواحد. وعليه، فمن الواضح أنَّ من المُستحيل هنا أن نشرح رياضيات الأعداد فوق المنتهية بشكلٍ كامل، أو أن نتحدَّث باستفاضةٍ عن تطوُّرها في أبحاث كانتور المنشورة، ونوفيها حقَّها في هذا الصدد.^٢١ من جهة أخرى، تُوجَد بعض الكتب الحديثة المُبسَّطة التي تُعطي معلوماتٍ سطحية ومختزلة عن براهينِ كانتور (وعادةً ما تكون هذه المعلومات، كما ذكرنا، في مرتبةٍ أدنى ممَّا قاله بروميثيان عن مشاكل كانتور النفسية أو انتماءاته الغامضة المزعومة) لدرجة أن الرياضيات شُوِّهت وحُجِبَ جمالها؛ ولا شك أننا لا نُريد أن نسلك هذا المسلك أيضًا.

وعليه، فقد اتخذنا قرارًا لتحقيق التوازن بأن يكون النهج من الآن فصاعدًا هو التضحية بالتسلسل الزمني وبقدْر معين من الاستفاضة في مراحل التطوير لصالح الشمولية المفاهيمية والترابط المفاهيمي؛ أي لعرض مفاهيم كانتور ونظرياته وبراهينه بأسلوب يُلقي الضوء على العلاقات القائمة فيما بينها وعلاقاتها بالرياضيات في حدِّ ذاتها. وهذا لن ينطويَ فقط على التنقُّل من موضوعٍ لآخرَ على نحوٍ عشوائي قليلًا، ولكننا في الغالب لن نُخبرك أننا نفعل ذلك، أو أنه يُوجَد أحيانًا عدة نُسَخ مختلفة من برهان مُعطًى وأننا لا نتناول سوى أفضلِها فقط، أو التواريخ الفعلية والعناوين الإنجليزية في مقابل الألمانية لكل المقالات ذات الصلة،^٢٢ وهكذا. ويستلزم هذا أيضًا مسردَ مصطلحات خاصًّا عن نظرية المجموعات، وإنْ كان يلزم إعداده هذه المرة على نحوٍ تدريجي وفي موضعه المناسب؛ لأن بعض المعلومات التي يتضمَّنها مجردة للغاية، حتى إنه لا يُمكن عرضها عليك مقدمًا دفعةً واحدة وبدون سياق.

في الواقع، تُمثل الخطوتان (١) و(٢) معًا نوعًا من البراهين، وهو برهانٌ آخر شهيرٌ بجانب البرهان بنقض الفرض. يُسمَّى هذا البرهان «الاستنتاج الرياضي». لإثبات جملةٍ ما لكل () من الحالات باستخدام الاستنتاج الرياضي، عليك (أ) إثبات أن صواب للحالة الأولى ، ثم (ب) افتراض أن صواب لأول من الحالات (رغم أنك لا تعلم العدد الذي يُمثله ، فإنك تعلم من الخطوة (أ) أنه موجود، وهو إذا لم يكن خلاف ذلك)، ومن ثمَّ (ﺟ) إثبات أنَّ صواب لأول () من الحالات. وسواءٌ بدا الأمر غريبًا أم لا، فإن النقاط من (أ) إلى (ﺟ) تؤكِّد أن سوف تكون صوابًا مهما تكن قيمة ، أي إن هي نظرية حقيقية.

أتاحت الخطوتان (١) و(٢) لكانتور تعريف ، بوصفها مُشتقة من ، كالتالي: — أي إنَّ هي المجموعة المشتقة رقم من . وبما أن (مرة أخرى) هي مجموعة من النوع الثاني، فلا يُوجَد أي احتمال أن تكون ، وهو ما يعني أن نفسها سوف تُؤدي إلى المجموعة المشتقة ، التي ستُؤدي بدورها إلى المجموعة المُشتقة وهكذا، إلا أنَّ كلمة «وهكذا» هنا تعني أننا يمكن أن نستمرَّ في استنتاج عددٍ لا نهائي من المجموعات المُشتقة من الصورة المجردة^٢٨  . وبما أنَّ و في هذه الصيغة مُتغيران، استطاع كانتور تكوين المتتابعة غير المنتهية التالية من المجموعات غير المنتهية: . ويقول كانتور عن هذه المتتابعة: «نرى هنا إنتاجًا للمفاهيم على أسسٍ جَدَلية، وهو ما يؤدي إلى أبعدَ من ذلك بكثير، ومن ثمَّ فإنه يظل في حدِّ ذاته خاليًا بالضرورة وبالتبعية من أي اختياراتٍ عشوائية» … وهو ما يعني به أن هذه «المفاهيم» هي كيانات حقيقية في الرياضيات — الأعداد فوق المنتهية — بُرهِنت بدقة باستخدام نظرية بولزانو-فايرشتراس وتعريفات جي كانتور نفسه فيما يخصُّ «العدد الحقيقي» و«المجموعة المُشتقة» و«التقاطع» والاستنتاج الرياضي.

إذا اعترضتَ (مثلما فعل البعض منَّا مع د. جوريس) بأن الأعداد فوق المنتهية لكانتور ليست في الواقع أعدادًا على الإطلاق، لكنها بالأحرى مجموعات، فاعلم أنَّ المقصود بشيء مثل أنه رمزٌ لعدد عناصر في مجموعةٍ معطاة، تمامًا كما أنَّ هو رمز لعدد العناصر في المجموعة . وبما أن الأعداد فوق المنتهية مختلفة وتُكوِّن متتالية مرتَّبة غير منتهية مثل الأعداد الصحيحة تمامًا،^٢٩ وهو أمرٌ يمكن إثباته فعليًّا، فإنها أعدادٌ حقًّا، ويمكن تمثيلها باستخدام نظام كانتور المعروف المُشتمِل على الحرف «أليف» أو .^٣٠ ونظرًا لأن الأعداد فوق المنتهية أعدادٌ فعلية، فإنها تقبل نفس أنواع العلاقات والعمليات الحسابية شأنها شأن الأعداد العادية، وإنْ كانت قواعد هذه العمليات — كما في حالة الصفر تمامًا — تكون مختلفة جدًّا في حالة ، ويتعيَّن إثباتها والبرهنة عليها على نحوٍ مُستقل.

(معلومة إضافية: لن نسترسل كثيرًا في ذلك، لكن إذا كان لديك فضول للاستزادة، فإليك بعض النظريات القياسية لجمع الأعداد فوق المنتهية وضربها ورفعها لأسٍّ، وجميعها نظرياتٌ استنتجها كانتور أو اقترحها. (يُرجى ملاحظة أن حاصل جمع/ضرب عدد لا نهائي من الحدود هنا لا علاقة له تمامًا بمجاميع/نهايات المتسلسلات غير المنتهية في التحليل، وهي المتسلسلات المعروفة الآن — بعد كانتور — بالمجموعات «شبه المنتهية»). افترض أن عدد صحيح مُنتهٍ، وأن لدَينا عددَيْن مختلفَيْن من الأعداد فوق المنتهية، هما و، حيث ،^٣١ ومِن ثمَّ كل العلاقات التالية صحيحة:

لاحظ أنَّ عمليتَي الطرح والقسمة لا يُمكن إجراؤهما إلا في حالاتٍ مُعينة فقط، ليست بين الأعداد فوق المنتهية في حدِّ ذاتها، كما هو الحال — على سبيل المثال — لعدد محدود ، حيث تكون ، و. (مرةً أخرى، لا يختلف هذا على الإطلاق عن العمليات الحسابية في حالة الصفر.) لاحظ أيضًا أنَّ أُسس الأعداد فوق المنتهية مثل ، و، وهكذا هي حالة خاصة وسوف نشرحها بإسهابٍ لاحقًا. نهاية المعلومة الإضافية.)

في حال إذا كنتَ تتساءل عن علاقة أيٍّ من هذا بالموضوعات الكبرى الأخرى المُتعلقة باللانهائية — أي العلاقة المقارَنة بين لا نهائية الأعداد النسبية في مقابل لا نهائية الأعداد الحقيقية، ودور الأعداد الصماء في اتصال خط الأعداد الحقيقية — اعلم أنَّ إحدى حجج كانتور المُفضَّلة عن حقيقة^٣٢ الأعداد فوق المنتهية هي تشابهها رياضيًّا/ميتافيزيقيًّا مع الأعداد غير النسبية، التي سبق أن عرَّفها ديديكند بنجاح بمصطلحات المجموعات غير المنتهية. وهكذا صاغ كانتور الأمر:

من المُثير للاهتمام أنَّ هذه العبارات الواضحة التي لا التباسَ فيها ظهرت في بحث «إسهاماتٌ في دراسة الأعداد فوق المنتهية» حيث نرى — بالعودة إلى الجزء ٣(أ) — كانتور يستشهد باعتراض القديس توما الإكويني على الأعداد غير المنتهية بوصفها مجموعاتٍ غير منتهية ويُصدِّق عليه. ومع ذلك، كانت حجة كانتور الأولى بشأن الأعداد فوق المنتهية — وهي حجة تكرَّرت بأشكالٍ عدَّة في الفترة ما بين عام ١٨٧٤ وأواخر التسعينيات من القرن التاسع عشر — أنَّ «وجودها يترسخ مباشرةً من خلال تجريدها من وجود المجموعات غير المنتهية.»^٣٤ ومن ثمَّ، كان المشروع الأساسي لأبحاث كانتور ما بين عامَي ١٨٧٤ و١٨٨٤ هو وضعُ نظرية مترابطة ومُتسقة عن المجموعات غير المنتهية — ويُرجى ملاحظة أنَّ كلمة «مجموعات» هنا بصيغة الجمع؛ لأنه لكي لا تكون مثلُ هذه النظرية بسيطةً لا بدَّ من وجود أكثرَ من نوعٍ واحد (أي: أكثر من نوع حسابي، وهو ما يعني بالأساس «حجم»^٣٥ بالإضافة إلى مجموعة من القواعد لتقييم هذه الأنواع والمقارنة بينها.

دعونا نرجع إلى الوراء قليلًا ونتأمَّل لوهلةٍ مدى التجريد الفائق الذي ينطوي عليه الأمر برُمته. ونتأمل كذلك السببَ في أنَّ نظرية المجموعات، التي تُعدُّ كما يُزعَم أهم جزءٍ في الرياضيات الحديثة، النظرية الأكثر استغلاقًا والأصعب فهمًا أيضًا. في الواقع، تُعدُّ نظرية المجموعات بسيطة تمامًا ما دمتَ تتعامل مع مجموعات منتهية؛ لأن كل العلاقات بين تلك المجموعات يمكن تحديدها عمليًّا؛ فما عليك سوى إحصاء عناصرها. في نظرية المجموعات الفعلية، نتعامل مع تجمُّعاتٍ مجردة من كياناتٍ مجردة كثيرة للغاية حتى إننا لا نستطيع إحصاءها أو إكمالها أو حتى فهمها … ومع ذلك نُبرهن، استنتاجيًّا ومن ثم نهائيًّا وبشكلٍ حاسم، حقائق حول إنشاء هذه التجمُّعات وعلاقاتها. وفي خضمِّ كل البرهان والتفسير، من السهل ألا نستشعر الغرابة الشديدة التي تنطوي عليها المجموعات غير المنتهية، ولم تتضاءل هذه الغرابة ولو قليلًا بما أوضحه كانتور وديديكند من أن هذه اللانهائيات تضرب بجذورها في جوهر الرياضيات، وأنها ضرورية للتعامُل مع شيءٍ أساسي من قبيل الخط المستقيم. وبخصوص هذه الغرابة، تَحضُرنا هنا مقولة لطيفة للفيلسوفَيْن بول بن الصراف وإتش بوتنام:

ونقلًا عن الحَدْسي المُتشدِّد إتش بوانكاريه:

وإليكم ردٌّ مُبهج إلى حدٍّ ما من الأفلاطوني كيه جودل:

سوف نستعرض مزيدًا من المعلومات حول هذَين البرهانين الأولَيْن. (١) بما أنَّ العدد الكاردينالي للمجموعات القابلة للعد هو ، فإنه يبدو كما لو أن من المنطقي الإشارة إلى كاردينالية مجموعة كل الأعداد الحقيقية بالرمز ، إلا أنَّ كانتور — لأسباب معقدة — أشار إلى العدد الكاردينالي لهذه المجموعة بالحرف ، وهو ما أطلق عليه أيضًا «قوة الاتصال»، حيث تبيَّن أنَّ عدم قابلية الأعداد الحقيقية للعَدِّ هو ما يُفسِّر اتصال خط الأعداد الحقيقية. وهذا معناه أن عدد النقاط اللانهائي المُتضمَّن في الاتصال المُستمر يكون أكبر من عدد النقاط اللانهائي المُكوَّن بأي نوعٍ من الاتصال المتقطع، حتى لو كان تسلسُلًا متناهيَ الكثافة. (٢) نجح كانتور من خلال برهانه القُطري أنَّ في تحديد خصائص الاتصال الحسابي تمامًا من حيث الترتيبُ والمجموعات والقابلية للعَدِّ، وغير ذلك. أي إنه حدَّد خصائصها على نحوٍ تجريدي تمامًا دون الإشارة إلى الزمن أو الحركة أو الشوارع أو الأنف أو الفطائر أو أي مَلمح آخر من العالَم المادي، وهذا هو ما جعل راسل يُنسَب إليه «الحل الحاسم» للمسائل العويصة وراء التقسيم الثنائي.^٥١ (٣) فسَّر أيضًا البرهان القطري — وفقًا لشرح د. جوريس في الجزء ٢(ﻫ) السابق — لماذا سوف يكون هناك دائمًا أعداد حقيقية أكثر من المناديل الحمراء. وساعدنا في فهم السبب في أنَّ الأعداد النسبية تحتل في النهاية حيِّز صفر على خط الأعداد؛^٥٢ إذ بات واضحًا أنَّ الأعداد غير النسبية هو ما يجعل مجموعة كل الأعداد الحقيقية غيرَ قابلة للعَدِّ. (٤) ساعد امتداد لبرهان كانتور في تأكيد برهان جيه ليوفيل لعام ١٨٥١ بأنَّ ثمة عددًا لا نهائيًّا من الأعداد غير النسبية المُتسامية في أي فترةٍ على خط الأعداد الحقيقية. (هذا أمرٌ مثير للاهتمام حقًّا. وسوف تتذكَّر من الجزء ٣(أ) الحاشية السُّفلية رقم ١٥ أنَّ من بين نوعَي الأعداد غير النسبية، تكون الأعداد المتسامية من قبيل و التي هي ليست جذورًا لكثيرات حدود معاملاتها أعداد صحيحة. ويمكن تعديل برهان كانتور بأن لا نهائية الأعداد الحقيقية تفوق لا نهائية الأعداد النسبية لتوضيح أن الأعداد غير النسبية المُتسامية هي فعليًّا غير القابلة للعَدِّ، وأن مجموعة كل الأعداد غير النسبية الجبرية لها نفس كاردينالية الأعداد النسبية،^٥٣ وهو ما يثبت أنَّ الأعداد الحقيقية غير النسبية المُتسامية هي في نهاية المطاف ما يُفسِّر اتصال خط الأعداد الحقيقية.) (٥) نظرًا لأن البرهان القطري هو برهانٌ بالتناقُض (أي بنقض الفَرْض) وأن مقاديره غير قابلة للإنشاء على أية حال، فمن غير المُستغرب أن البروفيسور إل كرونكر وآخرين من الإنشائيين الأوائل لم يَرُق لهم البرهان على الإطلاق (سوف نتناول المزيد حول هذا الموضوع في جزأَين أدناه). وبناءً على كل ما ورد من أخبار، كانت أبحاث كانتور فيما يخصُّ الشرارة الأولى التي أشعلت فتيل حملة كرونكر العامة ضدَّ كانتور.