النتائج الصحيحة والإنذارات الكاذبة

الإشارات والتشويش: الموافقة والرفض

لنتخيل الآن أننا اختبرنا «مليون» شخص، وهو عدد كبير حتى إننا لم نَعُدْ مضطرين إلى توزيعهم في فئات، لكننا نستطيع ترتيبهم من اليسار إلى اليمين حسب درجاتهم الأصلية. مع تكديس المزيد والمزيد من المربعات إلى الأعلى وعلى الجانبين، يتحوَّل شكل الزقورة (بناء مستطيل متدرِّج) إلى تلٍّ انسيابي، وهو المنحنى الجرسي المألوف الوارد أدناه. يمثِّل المنحنى الكثير من المشاهدات عند قيمة متوسطة في المنتصف، ثم تقلُّ أكثرَ فأكثر حين تنظر إلى القيم الأصغر والأصغر على اليمين أو الأكبر فالأكبر على اليسار. يُسمى النموذج الرياضي الأشيع لمنحنى الجرس بمنحنى التوزيع الطبيعي أو منحنى توزيع جاوس.

لكن ثمة تطوُّر مأساوي هنا. قد تعتقد أنه حين لا يحدُث شيء في العالم — لا قاذفة قنابل، ولا ورم — سنحصل على قياس صفر. للأسف هذا لا يحدث مطلقًا. فدائمًا ما تقترن قياساتنا بمصادرِ تشويش، مثل خشخشة جهاز لاسلكي، أو مصادر تشويش كأسراب من الطيور، أو كيس حميد يظهر في الأشعة، وستتفاوت هي الأخرى من قياس لآخر، فيكون لها منحنًى جرسي خاص بها. والأسوأ من ذلك أن النطاق الأعلى للقياسات الناتجة عن التشويش قد تتداخل مع النطاق الأدنى للقياسات الناجمة عن الشيء الذي حدث في الواقع:

المأساة أن الرب وحدَه مَن يستطيع أن يرى الرسم ويعلم ما إن كانت المشاهدة آتية من إشارة أم من مصدر تشويش. أما نحن البشر جميعًا فنرى ملاحظاتنا:

لِنعُدْ إلى المنظور الإلهي ونرَ مدى دقَّتنا في المتوسط، بتطبيق هذا الحد. ثمة احتمالات أربعة. حين «نوافق» على الملاحظة وتكون إشارة بالفعل (قاذفة القنابل أو الورم موجودان)، فإنها تُسمى نتيجة صحيحة، ويظهر معدَّل الإشارات التي نصيب في تحديدها في الجزء الداكن المظلَّل من التوزيع:

ماذا إن لم تكن الملاحظة سوى تشويش؟ حين «نوافق» على لا شيء، يُسمى ذلك إنذارًا كاذبًا، ويظهر معدَّل تلك اللاأشياء التي نتسرع فيها في الجزء الرمادي المتوسط من الشكل التالي:

ماذا عن الحالات التي تقلُّ فيها الملاحظات عن معيارنا وتكون استجابتنا لها بالرفض؟ مرة أخرى، ثمة احتمالان. حين يكون ثمة شيء يحدُث حقًّا في الواقع، نسمي ذلك إخفاقًا. وحين لا يكون هناك شيء غير التشويش، ويُسمى في هذه الحالة رفضًا صحيحًا.

نرى في الشكل التالي تقسيمَ الاحتمالات الأربعة في حيز الأحداث:

بما أننا نستجيب في كل مرة ﺑ «الموافقة» أو «الرفض»، فلا بد أن يكون مجموع نسبتَي الإصابات والإخفاقات في حالة وجود إشارة حقيقية (الكتلة اليمنى) هو ١٠٠ في المائة. وينبغي أن يحدُث ذلك أيضًا في حالة نسبتَي الإنذارات الكاذبة وحالات الرفض الصحيح حين لا يكون هناك سوى تشويش (الكتلة اليسرى). إن كنا سنهبط بمعيارنا باتجاه اليسار، لنكون أكثرَ استعدادًا للإقدام، أو نرفعه باتجاه اليمين، لنصير أكثرَ تحفظًا، فسنقايض عندئذٍ بالإصابات مقابل الإخفاقات، أو الإنذارات الكاذبة مقابل حالات الرفض الصحيح، وتلك مسألة حسابية بحتة. ومن الواضح أيضًا لكن بدرجة أقل، أنه لتداخل المنحنيين، سوف نقايض الإصابات مقابل الإنذارات الكاذبة (حين نستجيب ﺑ «الموافقة») والإخفاقات مقابل الرفض الصحيح (حين نستجيب ﺑ «الرفض»). لنرَ الآن بمزيد من التمعُّن ما يحدث حين نرخي معيارَ الاستجابة، لنصبح أكثرَ ميلًا لقبول الاستجابة:

الخبر السارُّ هو أننا سنحقِّق إصابات أكثر، ملتقطين كل إشارة تقريبًا. الخبر السيئ أننا سنحصل على المزيد من الإنذارات الكاذبة، فنتسرع بالتصرف حين لا يكون هناك سوى تشويش. ماذا إذن إن تبنينا معيارًا أكثرَ صرامة، لنمتنع عن التصرف رافضين الإذعان ومطالبين ببرهان قوي؟

الآن سينقلب الخبر: إننا نادرًا ما نستغيث حين يكون الإنذار كاذبًا، وذلك حَسن، لكننا نخطئ في أغلب الإشارات، وذلك سيئ. في أكثر الحالات تطرفًا، إذا كانت استجابتنا ﺑ «الموافقة» في كل مرة دون تفكير، فسنصير على صواب دائمًا متى كانت هناك إشارة ونصبح دائمًا مخطئين متى كان هناك تشويش، والعكس صحيح إذا جاءت استجابتنا ﺑ «الرفض» في كل مرة.

يبدو هذا بديهيًّا، لكن الخلط بين تحيُّز الاستجابة والدقة بالنظر إلى الإشارات فقط أو التشويش فقط هو مغالطة شائعة لدرجةٍ مدهشة. لنفترض أن أحد الباحثين جعل يحلِّل النتيجة المتعلقة بنقاط الصواب والخطأ كلٌّ على حدة في اختبار صواب أو خطأ. إنه يعتقد أنه يرى ما إذا كان الناس أفضلَ في تمييز الحقائق أو رفض الأكاذيب، لكن كل ما يراه في الواقع هو ما إذا كانوا من نوعية الأشخاص الذين يروق لهم أن يستجيبوا ﺑ «القبول» أو «الرفض» لقد صُدمت حين أخضعني الطبيب لاختبار للسمع يتمثَّل في سلسلة من أصوات الصفير التي يزداد ارتفاعها من الخفوت الشديد إلى الجهور، وطلب مني أن أرفع أصبعي حين أبدأ سماعها. لم يكن اختبارًا للسمع. كان اختبارًا لنفاد صبري واستعدادي للمجازفة والتخمين حين لم أستطِع أن أحدِّد صراحةً إن كان ما أسمعه صفيرًا أم طنينًا في أذني. تمنحنا نظريةُ الكشف عن الإشارة عددًا من الطرق لفعل ذلك على نحوٍ سليم، منها معاقبة المستجيبين للإنذارات الكاذبة، وإرغامهم على أن الاستجابة ﺑ «الموافقة» نسبة معينة من الوقت، ومطالبتهم بإجراء تقدير للثقة بدلًا من الاكتفاء بالموافقة أو الرفض فحسب، إضافةً إلى جعل الاختبار متعدِّد الاختيارات بدلًا من صواب أو خطأ.

التكاليف والفوائد، ووضع حد

بنا نَعُد إلى السيناريو الذي وردت فيه نظرية الكشف عن الإشارة، ألا وهو الكشف عن هجوم قاذفات القنابل من ومضات الرادار. ترِد الاحتمالات الأربعة بالأسفل، حيث يمثل كلُّ صف حالةً من حالات الواقع، ويمثل كل عمود استجابةَ عامل المراقبة، مع إدراج النتيجة في كل خلية:

ستكون الحسابات مختلفة إذا اختلفت التكاليف. لنفترض أن الاستجابة لم تكن إرسال طائرات لاعتراض قاذفات القنابل بل إرسال صواريخ باليستية عابرة للقارات مزودة برءوس نووية لتدمير مدن العدو، مما ينذر بقيام حرب عالمية ثالثة نووية حرارية. في تلك الحالة ستستدعي التكلفة الكارثية للإنذار الكاذب التأكُّد تمامًا من التعرُّض لهجوم قبل الاستجابة، وهو ما يعني وضع معيار استجابة عالٍ جدًّا جدًّا.

يتصل الأمر كذلك بمعدَّلات الأساس لقاذفات القنابل وطيور النورس التي تسبِّب تلك الومضات (السوابق البايزية). إذا كانت طيور النورس كثيرة وكانت قاذفات القنابل نادرة، فسيستدعي الأمر معيارًا مرتفعًا (عدم الإقدام على التصرف)، والعكس صحيح.

كما رأينا في الفصل السابق، فإننا نواجه المعضلة نفسها على مستوًى شخصي حين نقرِّر إن كنَّا سنخضع لجراحةٍ استجابةً لنتيجةٍ مبهمة لاختبار سرطان، أم لا:

الرموز الرياضية الدقيقة أقلُّ أهمية من الاكتفاء بالانتباه إلى ما يوجد أعلى النسبة وأسفلها وما يوجد على جانبي علامة الطرح. إنَّ ملاحِظًا مثاليًّا سيضع معياره على مستوًى أعلى (سيحتاج دليلًا أقوى قبل أن يستجيب ﺑ «الموافقة») وذلك بقدرِ ما يكون التشويش أرجح من الإشارة (مع السوابق البايزية المنخفضة). هذا منطقي: إذا كانت الإشارات نادرة، فلا بد أن تقل وتيرة استجابتك ﺑ «الموافقة». ويجب على الملاحظ المثالي أيضًا أن يضع معيارًا أعلى حين تكون المكافآت الناتجة عن الإصابات أقلَّ أو الناتجة عن الرفض الصحيح أعلى، وتكون عقوبات الإنذارات الخاطئة أعلى أو عقوبات الإخفاقات أقل. وهذا أيضًا منطقي: إذا كنت ستدفع غراماتٍ كبيرة على الإنذارات الكاذبة، فلا بد أن تكون أكثرَ إحجامًا عن الاستجابة ﺑ «الموافقة»، لكن إذا كنت ستجني ثروةً من الإصابات فلا بد أن تكون أشد إقبالًا. ففي التجارب المختبرية ينجذب المشتركون نحو الأفضل بديهيًّا.

حين يتعلَّق الأمر بقرارات حياة وموت، أو ألم وتشوه، أو إنقاذ حضارة أو تدميرها، فإن تحديد أرقام للتكاليف يكون بطبيعة الحالة أصعب. غير أنَّ هذه المعضلات ستظل تعذِّبنا أيضًا إن لم نحدِّد لها أرقامًا، ثم إنَّ دراسة كلٍّ من المربعات الأربعة، وإن كان تقدير أي التكاليف باهظة وأيها هين أوليًّا، من الممكن أن تجعل القرارات التي نتخذها أكثرَ اتساقًا ووجاهةً.

الحساسية وتحيُّز الاستجابة

لنتخيل أننا طوَّرنا جهاز الرادار لدرجة مثالية حتى صار يستبعد النورس، أو يعرضها في صورة ثلوج خفيفة في أسوأ الحالات، بينما يعرض قاذفات القنابل بقعًا كبيرة ساطعة. معنى هذا أن المنحنيين الجرسيين للصخب والإشارة سيتباعدان أكثر (كما في الرسم البياني الأدنى). وهذا بدوره معناه أنه أينما وضعت حدَّ الاستجابة، فسيكون لديك إخفاقات أقل وإنذارات كاذبة أقل:

ووفقًا لقوانين الحساب، ستحظون بنسبة أكبر من الإصابات وحالات الرفض الصحيح. فبالرغم من أن تحريك الحد ذهابًا وإيابًا يقايض خطأً مقابل خطأ آخر على نحوٍ مأساوي، فإن فصل منحنيَي الجرس أحدهما عن الآخر — باستخدام أدواتٍ أفضل، واعتماد أساليب تشخيصية أدق، واتباع طرق بحثية مختبرية أكثر موثوقية — هو الأفضل؛ إذ يقلِّل الأخطاء من كلا النوعين. ينبغي أن يكون تعزيز الحساسية هو ما نطمح إليه دائمًا في تحديات الكشف عن الإشارة، وهذا يقودنا إلى واحد من أهم تطبيقات النظرية.

الكشف عن الإشارة في قاعة المحكمة

إنَّ التحقيق في جريمةٍ ما هو مهمة كشْف عن الإشارة. ذلك أنَّ القاضي أو هيئة المحلَّفين أو اللجنة التأديبية يتعرَّضون لأدلة على مخالفة يُحتمَل أنَّ المهتم قد ارتكبها. تتفاوت الأدلة في قوَّتها، وقد تنشأ مجموعة الأدلة من ارتكاب المتهم للجرم (إشارة) أو من شيء آخر، مثل ارتكاب شخص آخر للفعل أو عدم وقوع الجريمة على الإطلاق (تشويش).

على هيئة المحلَّفين التي تواجه دليلًا يشوبه التشويش أن تضع معيارًا وتعود بحكمٍ بالتبرئة أو الإدانة (بالموافقة أو الرفض). ذلك أنَّ مصفوفة قرارها يترتَّب عليها تكاليفُ وفوائد تُحسب بعملة عملية ومعنوية: المجرمون الذين سيُبعدون من الشوارع أو يُتركون لإيذاء الآخرين، وتطبيق القيمة المجردة للعدالة أو إجهاضها.

كما رأينا في مناقشة معدَّلات الأساس المحظورة (الفصل الخامس)، ما من أحد سيقبل بنظام قضائي يعمل حصريًّا بالقواعد العملية للتكاليف والفوائد بالنسبة إلى المجتمع؛ إذ إننا نصرُّ على إنصاف الفرد. لكن بما أن المحلَّفين لا يملكون العلم الإلهي المطلق، فكيف يمكن المقايضة بين المظالم المترتِّبة على إدانة بريء بخطأ والإفراج عن مجرم بالخطأ وهي أمور غير قابلة للقياس؟ أين سنضع معيار الاستجابة، إن أردنا صياغة الأمر بلغة الكشف عن الإشارة؟

تلك النسبة التي وضعها بلاكستون: ١:١٠ اعتباطيةٌ بالطبع، لكن الميل إلى جانب دون الآخر مبرَّر بدرجة كبيرة. في النظام الديمقراطي، الحرية هي الأساس، والقهر الواقع من الحكومات استثناء مجهد يجب أن يكون له ذريعة قوية، نظرًا إلى السلطة الجبارة للدولة والإغراء المستمر بالاستبداد. معاقبة البريء، ولا سيما بالموت، تهزُّ الضمير بدرجة كبيرة لا تتأتى من ترْك المذنب دون عِقاب. إنَّ النظام الذي لا يستهدف الناس جزافًا للبطش بهم هو الذي يضع الفرْق بين الحكم بالعدل والحكم بالترويع.

بالرغم من ذلك، فإنَّ الوعي بالمقايضات المأساوية عند التمييز بين الإشارات والتشويش من الممكن أن يحقِّق قدرًا أكبرَ من العدالة. فهو يجبرنا على مواجهة جسامة العقوبات القاسية من قبيل حكم الإعدام والأحكام المطولة بالسَّجن، التي لا تتمثل جسامتها في أنها قاسية على المذنب فحسب، بل في أنها أيضًا ستنال البريء حتمًا. وهي تخبرنا بأن السعي الحقيقي لإقامة العدل لا بد أن ينطوي على زيادة حساسية النظام، وليس تحيُّزه: اللجوء إلى أساليبِ بحثٍ جنائي أدق، وبروتوكولات أكثرَ نزاهة في الاستجواب والشهادة، وتقييد تعصُّب الادعاء العام، وغيرها من الضمانات ضد أخطاء القضاء بنوعيها.

الكشف عن الإشارة والدلالة الإحصائية

سمِع أغلب المطلعين على العلم عن «الدلالة الإحصائية»، حيث إنها كثيرًا ما تُذكر في الأخبار التي تتناول اكتشافات في الطب وعلم الأوبئة والعلوم الاجتماعية. تستند هذه النظرية إلى حدٍّ كبير على نفس الأسس الرياضية التي تقوم عليها نظريةُ الكشف عن الإشارة، وقد قدَّمها عالِما الإحصاء جيرزي نيمان (١٨٩٤–١٩٨١) وإيجون بيرسون (١٨٩٥–١٩٨٠). وسوف تساعدك رؤية العلاقة على تجنُّب خطأ حتى العلماء يرتكبونه بصفة متكررة. إنَّ كل دارس للإحصاء يُحذَّر من أن «الدلالة الإحصائية» مصطلح تقني يجب عدم الخلط بينه وبين المعنى الدارج لمصطلح «الدلالة»، والذي يُستخدَم للإشارة إلى ما هو مهم وجدير بالملاحظة. بالرغم من ذلك، فإنَّ أغلب دارسي الإحصاء يفهمون هذا المصطلح على نحوٍ مغلوط.

لنفترض أنَّ عالمةً ما ترصد بعض الأشياء في العالم وتحوِّل قياساتها إلى بياناتٍ تعكس التأثيرَ الذي تُعنى برصده، مثل الاختلاف في الأعراض بين المجموعة التي تلقَّت العقار والمجموعة التي تلقَّت العلاج الوهمي، أو الاختلاف في المهارات اللفظية بين الصبية والفتيات، أو التحسُّن في درجات أحد الاختبارات بعد التحاق الطلاب ببرنامج تقوية. إذا كان الرقم صفرًا، فهذا معناه أنه لا يوجد أيُّ تأثير؛ وإذا كان أكثر من صفر، فمن المحتمل أن يكون ثمة اكتشاف. بالرغم من ذلك، فنظرًا لأن هذه التجارب تُجرى على البشَر، فسيشوب البيانات شيء من التشويش بطبيعة الحال، وقد يعني ارتفاع متوسط الدرجات عن صفر أن ثمة اختلافًا حقيقيًّا في الواقع، أو ربما يكون خطأً متعلقًا بالعينات، أو ربما تكون تلك صدفة فحسب. بنا نَعُد إلى منظور الإله ونرسم توزيع الدرجات الذي ستحصل عليه العالِمة إن لم يكن هناك اختلافٌ في الواقع، هو ما يُسمى الفرضية الصفرية، وتوزيع الدرجات التي ستحصل عليها إذا حدث شيء؛ أي تأثير بحجمٍ معيَّن. ستتداخل التوزيعات، وذلك ما يجعل العلم صعبًا. سيبدو هذا الشكل مألوفًا:

الفرضية الصفرية هي التشويش، والفرضية البديلة هي الإشارة. أما حجم التأثير، فمثله مثل الحساسية، وهو يحدِّد مدى سهولة معرفة الإشارة من التشويش. على العالِمة إذن أن تضع معيارًا أو تحيُّز استجابةٍ ما قبل الاحتفال، يُسمى القيمة الحرجة: إذا أتت النتيجة دون القيمة الحرجة، فلا يمكن للعالِمة رفض الفرضية الصفرية وعليها أن تقر بالفشل؛ وإذا أتت النتيجة فوق القيمة الحرجة، فيمكنها رفض الفرضية الصفرية والاحتفال بالنجاح، إذ يمكنها حينئذٍ أن تعلن أن التأثير «له دلالة إحصائية.»

لكن أين يجب وضعُ القيمة الحرجة؟ على العالمة المقايضة بين نوعين من الأخطاء. بإمكانها رفض الفرضية الصفرية حين تكون صحيحة، أي في حالة الإنذار الكاذب، أي في حالة وجود خطأ من النمط الأول بلغة نظرية القرار الإحصائي. يمكن للعالمة أيضًا أن تقبل الفرضية الصفرية في حالة الإخفاق؛ أي في حالة وجود خطأ من النمط الثاني باللغة المتخصصة. كلا الخطأين سيئ في واقع الأمر: فالخطأ من النمط الأول يُدخِل الزور إلى السجل العلمي، والخطأ من النمط الثاني يمثِّل إهدارًا للمجهود والمال. وهذا يحدُث حين لا تكون المنهجية مصمَّمة بما يكفي من «القوة» (معدَّل الإصابة، أو واحد ناقص معدَّل الخطأ من النمط الثاني) لتحديد التأثير.