كم يبلغ عددُ الأشياءِ الموجودة في العالَم؟

الأشياءُ وأنواعها

إذا وجدنا أن السؤال «كم يبلغ عدد الأشياء الموجودة في العالم؟» مستعصيًا، أو محيِّرًا، أو بلا معنًى، أو سخيفًا تمامًا، فهل هذا بسبب أن العالم كبير لدرجة تمنعنا عن إعطاء إجابة معقولة؟ إذا كان الحال على هذا المنوال، فدعونا نتناول سؤالًا أسهل: كم يبلغ عدد الأشياء الموجودة في غرفة مكتبي؟ قد نعتقد أن كلَّ ما عليَّ فِعله هو أن أنظر حولي وأعدَّ الأشياء. قد أبدأ بعَدِّ كُتبي. ولكن، إذا أمسكتُ بأحد هذه الكتب، فهل يجدر بي أن أعدَّ كلَّ صفحة على حِدَة؟ أم أعدَّ كلماتِ كلِّ صفحة؟ هل مقعدي ذو الذراعَين يُعَدُّ شيئًا واحدًا أم شيئَين، على سبيل المثال الإطار الخشبي والحشوة، أم أشياء كثيرة؟ هل مكتبي يُعَدُّ شيئًا واحدًا أم خمسة أشياء (الجزء العلوي والأرجُل الأربعة التي يُمكن أن يصبح عليها عند تفكيكه)؟ لا يمكن الإجابة عن هذا السؤال إلا بتحديد «أنواع الأشياء» التي نفكِّر فيها. إذا كنا نعني «الكتب»، أو «المقاعد»، أو «المكاتب»، أو بالأحرى «الكتب أو المقاعد أو المكاتب» (بضمِّها معًا)، فسيمكنني أن أعطيك إجابة قاطعة، من حيث المبدأ على الأقل، أو تقريبية. ولكن يبدو أن السؤال «كم يبلغ عدد الأشياء الموجودة في العالم إجمالًا»، من دون تحديد، لا إجابة له.

ولكن، هل يُعد هذا السؤال بلا معنًى إذَن؟ في سياقاتٍ معيَّنة، قد يكون له معنًى بلا شك. لنتخيل أني أنقل أثاثي من منزل لآخر، واتصلت شركة نقل الأثاث لطلب بيان أسعار. وبينما كنا نتجول بين الغُرف، سُئلتُ عن عدد الأشياء في غرفة مكتبي. في هذه الحالة قد أجيب قائلًا: «حسنًا، لديَّ نحوُ ألفِ كتاب، ومكتب واحد، وثلاثة مقاعد، وأريكة، ومقعد ذو ذراعَين، وخِزانتا مِلفَّات، وطاولة صغيرة، وخمسة أُصُص نباتات.» قد يكون مضلِّلًا أن ألخِّص ما سبق بقول إن لديَّ ١٫٠١٤ شيئًا (بجمعها كلها معًا)، ولكن يُعَدُّ هذا ردًّا مناسبًا. بيد أن هذا يُعزِّز فكرة أننا بحاجة إلى تحديد «أنواع الأشياء» التي نَعنيها عند الإجابة عن مثل هذا السؤال. ما كان موظفُ شركة النقل يعنيه بكلمة «أشياء» هو جميع الأجسام المادية التي عليه نقلُها، سواءٌ فُرادى أو معبَّأة في صناديق. عند الإجابة عن السؤال، سيكون عليَّ أن أحدِّد أنواع الأشياء ذات الصلة ببيان الأسعار، على سبيل المثال، أن أحسبَ عدد الصناديق التي سأحتاجها من أجل كُتبي.

ومن ثَم، يمكن أن يوضِّح السياق عادةً أنواع الأشياء المقصودة عند طرح السؤال «كم يبلغ عدد الأشياء الموجودة؟». وإذا لم يوضِّح السياق ذلك، فيمكن للمرء أن يقول «هذا يعتمد على ما تعنيه بكلمة «شيء»». سيُلقي هذا على عاتق السائل مسئولية أن يحدِّد ما يعنيه. والآن، بالعودة إلى السؤال الأعم «كم يبلغ عدد الأشياء الموجودة في العالم؟» من الصعب رؤية السياق الذي يمكنه منح هذا السؤال معنًى واضحًا بما يكفي لأن تكون له إجابة. ولكن، لكي يكون له معنًى، فلا شكَّ أنه يجب أن يحدِّد أنواع الأشياء التي يعنيها (هل هي الذرات؟ أم الجُزيئات؟ أم العناصر الكيميائية؟) وهذا هو بيت القصيد ومَربط الفرس.

يُبرز هذا بالفعل أحدَ الأشكال التي يتخذها «التحليل» في الفلسفة. إذا لم يتضح على الفور كيفية الإجابة عن سؤالٍ ما، فسيكون علينا أن نحدِّد معانيه المحتمَلة. وربما سنتمكن من إيجاد المعنى المقصود أو المناسب من خلال فهم السياق؛ ولكن إذا لم نفعل وأردنا أن نفسِّر كيف يمكن أن «يبدو» السؤال ذا معنًى، فعلينا أن «نتخيل» السياقات المحتمَلة حيث يكون للسؤال إجابة. ولكن إذا تأكَّدنا من أن أيًّا من هذه السياقات المحتمَلة ليس السياق الصحيح، يحقُّ لنا أن نستنتج، في هذه الحالة، أن السؤال بلا معنًى؛ ومن ثَم تتعذر إجابته. وبإدراك أنها مجرد شكل من أشكال الكلمات، قد يكون لأي سؤال العديدُ من المعاني المحتمَلة، وسيكون التحليل مطلوبًا لإبراز المعاني ذات الصلة. ولا يعني «التحليل» في هذا السياق المعنى الأوليَّ الدالَّ على «تفكيكِ» شيءٍ ما معروف بالفعل، بل المعنى الدال على تحديد جميع الاحتمالات ذات الصلة، وهي عملية تتطلب مُخيِّلة. فالتحليل عملية أكثر إبداعًا بكثير مما يُعتقد.

التعريف بجوتلوب فريجه

أكثر كُتب فريجه انتشارًا، والذي أصبح حاليًّا من أُمهات الكتب الفلسفية، كتاب «أساسيات علم الحساب»، والذي نُشر عام ١٨٨٤. والفكرة الرئيسية التي تدور حولها فلسفته هي حُجَّته بأن القضايا العددية ما هي إلا إقراراتٌ بشأن المفاهيم. ولقد أصبحنا بالفعل في موضع يؤهِّلنا لفهم هذه الحُجَّة. دعونا نَعُد إلى المثال السابق عن الكتاب، ولنفترض أنه الكتاب الذي تقرؤه الآن. كم شيئًا لدينا هنا؟ هل لدينا كتابٌ واحد، أم ١٥٠ صفحة، أم ٣٨ ألف كلمة (تقريبًا)؟ لا شك في أن الإجابة تعتمد على نوع الشيء الذي نقصده أو، كما يمكننا أن نقول الآن، «المفهوم» الذي نستخدمه للتفكير في هذا الشيء. إذا كنا نفكِّر في المفهوم على أنه كتاب، فستكون الإجابة واحدًا؛ أما إذا كان المفهوم مجموعة من الصفحات، فستكون الإجابة ١٥٠؛ وإذا كان المفهوم مجموعة من الكلمات، فستكون الإجابة ٣٨ ألف.

دعونا نتناول قضيةً عددية مثل «هذا الكتاب يحتوي على ١٥٠ صفحة». طبقًا لفريجه، نحن لا ننسب العدد ١٥٠ إلى الموضوع نفسه (هذا الكتاب)، بل إلى المفهوم «صفحة من هذا الكتاب». وفي الآتي، سنتناول المفهوم بمزيد من التفصيل. لهذا المفهوم ١٥٠ حالة. بعبارة أخرى، لا تتعلق القضية بالموضوع الذي يبدو أنها تتعلق به (وينعكس هذا على حقيقة أن عبارة «هذا الكتاب» هي الفاعل النحوي في الجملة التي نستخدمها لصياغة القضية)، بل تتعلق بالمفهوم الذي علينا إدراكه لكي نُجري العَدَّ المقصود. في رأي فريجه، ما يعنيه أن «الكتاب يحتوي على ١٥٠ صفحة» حقيقةً هو «مفهوم أن «صفحة هذا الكتاب» لها ١٥٠ حالة». وسنعود إلى تناول فكرة «ما تعنيه جملةٌ حقيقةً» في الفصل الثالث. والفكرة الرئيسية هنا هي توضيح حُجَّة فريجه الرئيسية بأن القضايا العددية عبارة عن إفادات بشأن المفاهيم.

إذا كان فريجه مُحقًّا، فقد أحرزنا تقدمًا نحو التوصل إلى إجابة واحد من أبسط الأسئلة، في تاريخ الفلسفة، وإن كان أبسطها ظاهريًّا فقط ولكنه في الحقيقة أصعبها. ما الأعداد؟ دعونا نقصُر حديثنا هنا على الأعداد التي نستخدمها في العَد، أو ما يُطلَق عليه الأعدادُ الطبيعية: ٠، ١، ٢، ٣، وهكذا. لن يمكننا عَدُّ شيء إلا إذا امتلكنا المفهوم الذي يساعدنا في إدراكه. ويمكن أن يكون المفهوم إما كتابًا واحدًا، وإما ١٥٠ صفحة، وإما ٣٨ ألف كلمة؛ ولن يمكننا تحديد العدد إلا عندما ندرك المفهوم الصحيح. وبمجرد تحديد المفهوم، ستتضح الإجابة، ولكن تُعَدُّ هذه قدرةً مهمة على التمييز، وتقترح استنتاجًا يمكن التعبير عنه على النحو الآتي. لا تُعيَّن الأعداد إلى الموضوعات نفسها، بل إلى المفاهيم التي تساعدنا على إدراك الموضوعات. وبغرض التوضيح، يمكننا أن نعتبر المفاهيم خواص تمثيلية للأشياء؛ يمكن أن يكون الشيء إما كتابًا، وإما صفحةً، وإما كلمةً، على سبيل المثال. ومن ثَم، يمكن اعتبار الأعداد خواصَّ الخواص. (وكما سنرى لاحقًا، ما هذا إلا تقريبٌ أوَّلي لرأي فريجه، ولكنه يتبع المسار المطلوب). إنَّ خاصيةَ أن يكون الشيءُ هذا الكتابَ تحملُ في ذاتها خاصيةَ أن تكون له حالة واحدة؛ وخاصية أن يكون الشيء صفحةً من هذا الكتاب تحملُ خاصيةَ أن تكون لها ١٥٠ حالة، وهَلُمَّ جرًّا.

لماذا كان هذا الرأي مهمًّا بالنسبة إلى فريجه؟ الإجابة المختصَرة عن هذا السؤال هي أن خاصية امتلاك حالة هي خاصية منطقية؛ أي يمكن تعريفها بأسلوب منطقي تمامًا. سنعود إلى هذا في الفصل الثاني، ولكن إذا تقبَّلنا هذا الرأي، فقد خطونا بالفعل خطوةً نحو توضيح أن القضايا العددية يمكن تعريفها بمصطلحاتٍ منطقية.

الموضوعات والمفاهيم

دعونا نَعُد إلى الموضوع الرئيسي. للإجابة عن السؤال «كم يبلغ عدد الأشياء الموجودة في العالم؟» علينا أن ندرك أنواعَ الأشياء المقصودة. طبقًا للغة الاصطلاحية لفريجه، نحتاج إلى إدراك المفهوم ذي الصلة حتى نحدِّد العدد الصحيح. وعند الحديث عن «أنواع الأشياء» نفترض مسبقًا وجود فَرقٍ بين الأشياء وأنواع الأشياء. وطبقًا للغة الاصطلاحية لفريجه، هذا هو الفرق بين «الموضوعات» و«المفاهيم». ومثلما يمكن تصنيف الأشياء إلى أنواع مختلفة، ويمكن تصنيف الشيء الواحد بأكثر من طريقة (يمكن أن يكون الشيء حصانًا وكذلك حيوانًا)، يمكن إدراك الموضوعات من خلال مفاهيم مختلفة، ويمكن أن يندرج الموضوع نفسه تحت مفاهيم مختلفة.

اعتبر فريجه أن علاقة أن يندرج الموضوع تحت مفهوم ما، هي أصل العلاقات المنطقية على الإطلاق. فهي تشكِّل جوهر أبسط أنواع الفكر الذي قد نمتلكه. تأمَّل، على سبيل المثال، فكرةَ أن جوتلوب إنسان. تتضمن هذه الفكرة التفكير في أن شيئًا ما، ألا وهو جوتلوب، يمتلك خاصية معيَّنة، ألا وهي خاصية كونه إنسانًا. يصف فريجه هذا بأنه يعني التفكير في أن موضوعًا معينًا (جوتلوب) يندرج تحت مفهوم معين (مفهوم إنسان). طبقًا لفريجه، لا يمكن تحليل هذه العلاقة أكثر من ذلك، وهي أساس الأفكار الأكثر تعقيدًا، مثل فكرة أن جميع البشر فانون، والتي يصفها بأنها الفكرة التي مُفادها أن أي موضوع يندرج تحت مفهوم «إنسان»، يندرج أيضًا تحت مفهوم «فانٍ».

كما يمكن أن تكون لدينا أفكار عن مفاهيم، على غرار فكرة أن مفهوم «صفحة من هذا الكتاب» له ١٥٠ حالة. يصف فريجه هذا بأن فكرة مفهوم «صفحة من هذا الكتاب» تندرج ضمن مفهوم «له ١٥٠ حالة»، حيث يكون مفهومُ «صفحة من هذا الكتاب» «مفهومًا من المستوى الأول»، ومفهومُ «له ١٥٠ حالة» «مفهومًا من المستوى الثاني». المفاهيم من المستوى الأول هي المفاهيم التي تندرج تحتها الموضوعات، والمفاهيم من المستوى الثاني هي المفاهيم التي تندرج ضمنها مفاهيم المستوى الأول. (يفرِّق فريجه هنا بين تعبير «يندرج تحت» وتعبير «يندرج ضمن» بغرض التمييز بين المستويات المختلفة المَعنية، إلا أن العلاقتَين متماثلتان). ومن ثَم، تُحلَّل القضايا العددية، في رأي فريجه، على أنها إفادة بأن المفهوم من المستوى الأول يندرج ضمن المفهوم من المستوى الثاني، والمفهوم من المستوى الثاني هو الذي ينسب عددًا معينًا من الحالات إلى المفهوم من المستوى الأول. قولنا إن هذا الكتاب يحتوي على ١٥٠ صفحةً يعني أن المفهوم من المستوى الأول «صفحة من هذا الكتاب» يندرج ضمن المفهوم من المستوى الثاني «له ١٥٠ حالة».

كما يمكننا أن نقول إن المفاهيم من المستوى الثاني تتطلب مفاهيمَ من المستوى الثالث، وهكذا. ويُعَدُّ مفهوم «المفهوم من المستوى الثاني» مثالًا على المفاهيم من المستوى الثالث (ذلك أن المفاهيم من المستوى الثاني تندرج ضمنها). وعليه، طبقًا لرأي فريجه، ثَمَّة تسلسلٌ هرمي من المفاهيم: المفاهيم من المستوى الأول، والمفاهيم من المستوى الثاني، والمفاهيم من المستوى الثالث، وهكذا. وبذلك، يبدو السؤال عن عدد الأشياء الموجودة في العالم، حتى إن كانت أبسط «أنواع الأشياء»، أكثر تعقيدًا مما افترضنا في بادئ الأمر.

امتدادات المفاهيم

إنَّ الفَرق بين الموضوعات والمفاهيم هو الفَرق الأهم في فلسفة فريجه (وحُدِّدَت فروقٌ مشابهة له على مدى تاريخ الفلسفة). ولكن ثَمَّة شيء من نوع آخر علينا أن نُعرِّف به قبل أن نعود إلى تناول السؤال المتعلق بعدد الأشياء في العالم. وهو ما يُطلَق عليه فريجه اسم «امتداد المفهوم» أو، كما يُسمَّى أيضًا، «الفئة» أو «المجموعة». وينصُّ المبدأ الحاكم هنا على أن كلَّ مفهوم تندرج تحته فئةٌ من الأشياء. دعونا نأخذ مفهوم «الإنسان» مثالًا. يندرج تحت هذا المفهوم كلٌّ من جوتلوب فريجه، ولودفيج فيتجنشتاين، وسوزان ستيبينج، وغيرهم. هذه الموضوعات تُعَدُّ عناصر في «فئة» البشر، ووفقًا للُغة فريجه الاصطلاحية، تنتمي إلى امتداد مفهوم «الإنسان». وهذه الفئة في حدِّ ذاتها، وفقًا لفريجه، تُعَدُّ نوعًا من الأشياء، ليس موضوعًا «ملموسًا» بل موضوع «مجرد». والموضوعات «الملموسة» هي الموضوعات الموجودة في عالَمنا التجريبي الزماني المكاني؛ أما الموضوعات «المجردة» فهي الموضوعات الموجودة في فِكرنا العقلاني، وتُعَدُّ مسألة «وجودها» أحدَ الأسئلة المستعصية التي أرَّقَت الفلاسفة، على الأقل، منذ عصر أفلاطون. وعلى نحو أكثر تحديدًا، يَعتبر فريجه الفئاتِ موضوعاتٍ «منطقية»؛ وذلك لأن فكرة الفئة لطالما نُظِر إليها على أنها منطقية، ويُفهَم المنطق بأنه ما يحكم فِكرنا العقلاني.

دعونا نُسايِر فريجه مؤقَّتًا ونُعامِل الفئات (امتدادات المفاهيم) على أنها موضوعاتٌ منطقية مجردة. (سنتناول هذه الفكرة بمزيد من التفصيل في الفصل الثاني). قديمًا، كان يُنظَر إلى الأعداد على أنها نوعٌ من الموضوعات المجردة. ومن المؤكَّد أن فريجه اعتبرها موضوعات وليس مفاهيم. عندما نقول «العدد ١»، على سبيل المثال، فإننا نشير إلى موضوع؛ وعندما نقول «العدد ٢ هو الجذر التربيعي للعدد ٤»، يُمكن تحليل ذلك بأن نقول إن الموضوع «العدد ٢» يندرج تحت مفهوم «الجذر التربيعي للعدد ٤». هل يمكن إذَن اعتبار الأعداد موضوعات «منطقية»؟ لكي نجيب بالإيجاب، سيكون الاقتراح المباشر أن نجد فئاتٍ مناسبةً نحدِّدها وفقًا لها، وهذا ما فعله فريجه.

ما الأعدادُ الطبيعية؟

إذا كنا بصدد تعريف الأعداد الطبيعية (٠، ١، ٢، ٣، إلى آخره) بأنها فئات، وتُفهَم على أنها موضوعاتٌ منطقية، فسيكون علينا إيجاد مفاهيم منطقية مناسبة. ثَمَّة مفهومان من مفاهيم المنطق الأكثر أهمية، وهما مفهوما تطابق الهُوية والنفي. دعونا نتناول مفهوم الهُوية، أو بتعبيرٍ أدق، مفهوم التطابق مع الذات. كلُّ موضوع يكون متطابقًا مع ذاته، أو بعبارة أخرى، كلُّ موضوع يندرج تحت مفهوم «التطابق مع الذات». (قد يبدو ما قلناه غريبًا، بيدَ أنه صحيح تمامًا على ما يبدو). ومن ثَم، فإن الفئة المناظِرة تتضمن جميع الموضوعات كعناصر. والآن، دعونا نُضِف مفهوم النفي لتكوين مفهوم «عدم التطابق مع الذات». لا يوجد شيءٌ لا يكون متطابقًا مع ذاته. (إذا كان كلُّ موضوع متطابقًا مع ذاته، فلن يوجد موضوعٌ غير متطابق مع ذاته. ومجدَّدًا، قد يبدو ما قلناه غريبًا، ولكنه صحيح تمامًا على ما يبدو). ومن ثَم، فإن الفئة المناظِرة في هذه الحالة لا تتضمن أيَّ عناصر على الإطلاق. وهذا ما يُطلِق عليه علماءُ المنطق «الفئة الفارغة» (أو «المجموعة الخالية»)، وفي هذه الحالة، عُرِّفَت طبقًا للمفاهيم المنطقية فقط بأنها فئة الأشياء غير المتطابقة مع الذات.

وعليه، فإنَّ المقترَح البديهي هو تعريف العدد الطبيعي الأول، أي العدد صفر، بأنه عنصر في الفئة الفارغة. وهذا ما حدث في نظرية المجموعات الحديثة، وهو أبسط تعريف على الإطلاق. في واقع الأمر، يقدِّم فريجه تعريفًا أكثر تعقيدًا؛ إذ لا يعرِّف العدد صفرًا بانتمائه إلى الفئة الفارغة مباشرةً، بل بانتمائه إلى فئة الفئات التي تتماثل في عدد عناصرها مع الفئة الفارغة؛ ولكن، يمكننا أن نتجاهل هذا التعقيد حاليًّا. وللأغراض الراهنة، دعونا نتقبَّل أن هذا التعريف يُعرِّف لنا العدد الطبيعي الأول، العدد صفر، أنه جزءٌ من الفئة الفارغة. ومن ثَم، يمكننا صياغة المفهوم «متطابق مع الصفر» (أي مفهوم «متطابق مع الفئة الفارغة»). في هذه الحالة، تحتوي الفئة المناظِرة على عنصر واحد فقط، ألا وهو الصفر (الفئة الفارغة نفسها)، بما أن هذا الموضوع فقط (أي الصفر) متطابق مع الصفر. تختلف هذه الفئة (فئة الأشياء المتطابقة مع الصفر) عن العنصر الوحيد الذي تحتويه (أي الصفر، أو الفئة الفارغة)؛ ذلك أن الفئة الأولى تحتوي على عنصر واحد، والفئة الثانية لا تحتوي على أي عناصر؛ ومن ثَم، يمكننا تعريف العدد ١ بهذه الفئة (فئة الأشياء المتماثلة مع الصفر). أصبح لدينا الآن موضوعان، وعليه يمكننا صياغة المفهوم «متماثل مع صفر أو ١» (باستخدام مفهوم منطقي إضافي، وهو «الفصل المنطقي» في هذه الحالة). وهذا يعطينا فئةً مناظِرة يمكن تعريفها باستخدام العدد ٢، وهكذا. إذَن، بدءًا بالفئة الفارغة وباستخدام المفاهيم المنطقية فقط، يمكننا تعريف جميع الأعداد الطبيعية.

هل يمكن أن توجد مجموعة تتضمن جميع الموضوعات؟

يمنحنا التطرق إلى فكرة الفئة — أو المجموعة أو امتداد المفهوم — نهجًا جديدًا في تناول السؤال الأصلي: كم يبلغ عدد الأشياء الموجودة في العالم؟ إذا كان لهذا السؤال إجابة، فهل يجب أن تكون ثَمَّة مجموعة تتضمن كلَّ الأشياء؟ دعونا نتجاهل المفاهيم ونركِّز على الموضوعات، بما في ذلك الموضوعات المنطقية مثل الفئات أو المجموعات. ودعونا أيضًا نحوِّل حديثنا هنا إلى «المجموعات» بدلًا من «الفئات». (لأغلب الأغراض، قد تعتقد أن المصطلحَين مترادفان. إلا أن واضعي نظرية المجموعات ميَّزوا بين المجموعات والفئات، ولكننا سنتجاهل هذا حاليًّا. وسوف نستخدم كلمة «مجموعة» مع ما نحن بصدد مناقشته الآن). هل توجد مجموعة تتضمن كلَّ الموضوعات؟ من الجلي أنه إذا كانت المجموعات نفسها موضوعات، فستتضمن هذه المجموعة نفسها، ولكن، هل ثَمَّة مشكلة في ذلك؟ للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتعرف على فكرة «المجموعة الجزئية»، وأن نفهم العلاقة بين المجموعة ومجموعاتها الجزئية.

ومن ثَم، توفَّرت لنا طريقة أخرى للتصريح بأن ثَمة خطأً في السؤال «كم يبلغ عدد الأشياء الموجودة في العالم؟». حتى وإن كنا نعني بكلمة «أشياء» الموضوعات (بالمعني المناقِض للمفاهيم)، فيبدو أننا لن نتمكَّن من الإجابة عن هذا السؤال، لا سيَّما إذا كانت المجموعات نفسها موضوعات. وبمجرد أن نجمع جميع الموضوعات معًا (في مجموعة) لعَدِّها، يمكننا أن نُنشئ المزيدَ من الموضوعات (من خلال أن نحدِّد المجموعة الجزئية من المجموعة). وثَمَّة إجابة واحدة على ذلك، بلا شك، وهي رفض فرضية أن المجموعات عبارة عن موضوعات. سنعود إلى ذلك مجدَّدًا في الفصل الثاني. ولكن، إذا رفضنا هذه الفرضية، فهل يجوز أن نكوِّن مجموعة تتضمن جميع الموضوعات (أي جمع كلِّ الموضوعات معًا في مجموعة واحدة)؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فهل يمكننا أن نجيب عن السؤال المتعلق بعدد الموضوعات في العالم؟ ألا يمكننا عَدُّها فحسب؟ ولكن، ما الذي يتطلبه ذلك؟ كيف نعدُّها؟ ماذا لو كانت المجموعة ضخمة لدرجة أننا لن نتمكن عمليًّا من عدِّ جميع عناصرها؟ ماذا لو كانت ضخمة لدرجة أننا قد نموت مثلًا قبل أن نُكمل عدَّ عناصرها؟

اللانهائية

بوصولنا إلى هذه المرحلة، قد يبدو أن الإجابة عن السؤال «كم يبلغ عدد الأشياء الموجودة في العالم؟» أصبحت بديهية. ولكن، ألم نفوِّت الإجابة البديهية منذ البداية؟ ألم يكن بإمكاننا أن نقول «إلى ما لا نهاية» أو «عدد لا نهائي»؟ من منطلَق أن ثَمَّة عددًا كبيرًا جدًّا من طرق التفكير في الأشياء (باستخدام المفاهيم)، ألا تُعَدُّ هذه هي الإجابة الوحيدة المحتمَلة؟ إذا كان يمكن عدُّ شيءٍ واحد (كما رأينا سابقًا) على أنه كتاب واحد، أو ١٥٠ صفحة، أو ٣٨ ألف كلمة، أو حتى عدد أكبر من الذرات، أفلا يجدر بنا أن نقول إن ثَمَّة عددًا «لا نهائيًّا» من الأشياء وننتهي من الأمر برُمَّته؟

يُساء استخدام كلمة «لا نهائية» طوال الوقت. فبوصفها إجابة عن الأسئلة المتعلقة بالعدد، يمكنها أن توفِّر طريقةً سريعة ﻟ «تفادي» إجابتها، مثلما هو الحال بأن تجيب بعبارة «في مكان آخر» عن سؤال «أين كنت قبل أن تحمل بي والدتي؟». تساعد هذه الإجابات فقط في تفادي الإحراج الناتج عن عدم معرفتنا بالكيفية الصحيحة للإجابة عن مثل هذا السؤال. لا شكَّ أن كلمة «لا نهائية» تُستخدم أحيانًا بمعنى «كبير جدًّا»؛ كبير لدرجة أن المرء لا يمكنه فعليًّا أن يعد الأشياء المتعلقة به. ويمكننا أن نُطلِق على هذا المعنى الفضفاض للكلمة. ولكن، للكلمة معنًى آخر أكثر تحديدًا قد يعني به المرءُ أن ثَمَّة عددًا «لا نهائيًّا» من الأشياء.

ولكن، كيف يمكننا أن نحكم على تماثُل الأعداد؛ أي على اشتمال مجموعتَين على العدد نفسه من العناصر؟ في حالة المجموعات المنتهية الصغيرة نسبيًّا، يمكننا أن نعُدَّ عناصر كلٍّ منها ونرى إذا ما كنا سنحصل على الناتج نفسه. أما في حالة المجموعات الكبيرة نسبيًّا، سواءٌ كانت نهائية أو لا نهائية، فلن يمكننا عدُّ عناصرها. كيف يمكننا المقارنة بينها إذَن؟ دعونا نتناول ما أصبح يُطلَق عليه حاليًّا «مفارقة جاليليو» (مربع ١). ما الإجابة التي ستجيب بها؟

يبدو أنَّ حدسنا حِيالَ ما سنقوله عن ذلك سيتضارب. ما يحدث في هذه الحالة هو أن لدينا معيارين لتماثُل العدد ينهاران في حالة المجموعات غير المنتهية. في أحد المعيارين، تكون المجموعتان متساويتَين في عدد العناصر إذا لم تكن أيٌّ منهما أكبر من الأخرى، وتعني عبارة «أكبر من» أن المجموعة دائمًا ما تكون أكبر من أيٍّ من مجموعاتها الجزئية الفعلية (كلمة «الفعلية» تستثني الحالة التي تكون فيها المجموعة الجزئية هي المجموعة نفسها). وفي المعيار الآخر، تكون المجموعتان متساويتَين في عدد العناصر إذا كان ثَمَّة ترابُط أحادي (واحد إلى واحد) بين كل عنصر وآخر من عناصرها. في حالة المجموعات المنتهية، يُعطي هذان المعياران النتيجةَ نفسها. دعونا نتناول، على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية حتى العدد ٢٥ (متضمِّنًا إياه) ومجموعة الأعداد المربعة حتى العدد ٢٥ (متضمِّنًا إياه). من الجلي أن المجموعة الأولى أكبر من المجموعة الثانية؛ فالمجموعة الثانية مجموعةٌ جزئية فعلية من المجموعة الأولى. ولا يمكن أن تكون علاقة الترابط بين المجموعتَين واحدًا إلى واحد. إذَن، المجموعتان لا تشتملان على العدد نفسه من العناصر.

أما في حالة المجموعات غير المنتهية، فإنَّ كلا المعيارَين ينهار. مجموعة الأعداد المربعة هي مجموعةٌ جزئية فعلية من مجموعة الأعداد الطبيعية، إلا أنه يمكن أن توجد علاقة ترابُط واحد إلى واحد بين عناصر المجموعتَين. ومن ثَم، علينا أن نقرِّر أيًّا من المعيارَين هو المعيار الرئيسي. وإذا قرَّرنا أنه المعيار الأول، فسيتبع ذلك على الفور أن المجموعات غير المنتهية لها كثير من الأحجام المختلفة. ولكن، كيف يمكننا بالضبط ترتيبها طبقًا للحجم؟ يبدو أنه من الأسهل كثيرًا استخدام المعيار الثاني. من وجهة النظر هذه، نجد أن المجموعتَين اللتين تناولناهما للتوِّ تتألفان من العدد نفسه من العناصر؛ لأن هذه العناصر يمكن أن يوجد بينها ترابط أحادي.

إذا استخدمنا المعيار الثاني، فسيبدو أنه يمنحنا إجابة محتمَلة عن السؤال الخاص بعدد الأشياء في العالم. ثَمَّة عددٌ «لا نهائي» من الأشياء في العالم، وهذا يعني وجود عدد من الأشياء مساوٍ لعدد الأعداد الطبيعية. ولكن، يُجيز هذا التصوُّر أن تكون مجموعة الأشياء إما «أكبر من» وإما «أصغر من» مجموعة الأعداد الطبيعية، وفقًا لمفهوم المعيار الأول. هل ازدَدْنا فهمًا إذَن؟

ما بعد اللانهائية

شكل ١-١: تحديد علاقة الترابط بين الأعداد الطبيعية والأعداد النسبية.

في الواقع، يمكن إثبات أن مجموعة الأعداد الحقيقية أكبر «فعليًّا» من مجموعة الأعداد الطبيعية، حتى في ضوء معيار الترابط الأحادي. ولتوضيح ذلك، دعونا نضع فرضية أن المجموعتَين «يمكن» أن تكون بينهما علاقة ترابط، ونرى إذا ما أمكنَّا استخراج تناقض من هذه الفرضية. تخيَّل أيضًا أن الأعداد الحقيقية مُعبَّر عنها بالترميز العَشري. ولا تهمُّ كيفية ترتيب الأعداد الحقيقية طالما ضمَمْنا إلى كل عدد طبيعي عددًا حقيقيًّا مختلفًا. وعليه، تخيَّل أن المجموعتَين يمكن تكوين علاقة ترابط بينهما كالآتي:

كم يبلغ عدد الأشياء الموجودة في العالم إذَن؟

إنَّ نوع التحليل الذي تناولناه بالشرح في هذا الفصل هو ما ألهَم، ولا يزال يُلهِم، تطوُّر الفلسفة «التحليلية». تناولنا في هذا الفصل مفاهيم على غرار «شيء»، و«موضوع»، و«مفهوم»، و«مجموعة»، و«عدد»، و«لا نهائية». إلا أن ثَمَّة مفاهيم أخرى مهمة مثل «الوجود»، و«المعنى»، و«الإدراك»، و«الفِكْر»، و«الإله»، و«الخير»، ناهيك عن مفهوم «التحليل» نفسه، الذي يتطلب توضيحه تحليلًا أيضًا. وسنتناول بعضًا من هذه المفاهيم في الفصول الآتية. وسنُلقي المزيد من الضوء على الإبداع على مستوى المفاهيم الذي يشكِّل جوهر التحليل المُثمِر.