اختراع الأعداد والحساب

الأعداد غير الطبيعية

إنَّ النتائج التي حصَلْنا عليها من العوالم اللاعددية تُشير بوضوحٍ إلى أنَّنا نحتاج إلى وجود الأعداد، لكي «نفهم» الكميات بالفعل، على النحو الذي يتميَّز به البشر في فَهمها. بالرغم من ذلك، فإنَّ ذلك يَطرح مُفارَقة، مثلما ذكَرتُ في الفصل الأول؛ إذا كنَّا نحتاج إلى الأعداد لكي نُدرك معظم الكميات بدقَّة، فكيف توصَّلنا إلى الأعداد في المقام الأول؟ وكيف تَمكنَّا بدايةً من تسمية الكميات الموجودة في مجموعةٍ محدَّدة من العناصر، إذا كنَّا لا نستطيع تمييز هذه الكميات؟ إذا كنَّا لا نستطيع على سبيل المثال، أن نُميِّز أنَّ «سبع تفاحات» لا تُمثِّل «ستَّ تفَّاحات» ولا «ثماني تفَّاحات» فكيف تَمكَّنَّا من استخدام كلماتٍ مثل «ستة» و«سبعة» و«ثمانية» للمرة الأولى؟

ونظرًا لما يبدو من صعوبة هذه المُفارقة؛ فقد استنتج البعض أنَّ البشَر مُهيَّئون فطريًّا لاكتساب مفاهيم الأعداد. ووفقًا لهذا المنظور، فلا بدَّ أن نكون مُهيَّئين بطريقةٍ ما من شأنها أن نَستطيع التمييز بين ٥ و٦ و٧، وغير ذلك من الكميات، على مَدار تطوُّرنا الإدراكي الطبيعي. إلا أنَّ هذا النهج يطرَح أمامنا مُعضِلةً للوهلة الأولى؛ إذا كنَّا مُهيَّئين فِطريًّا للتمييز بين الأحجام المُختلفة للمجموعات بصِفتها كياناتٍ مجرَّدةً مُستقلَّة، فما حدُّ هذا الاستعداد الفِطري المُسبَق؟ فهل نحن مُهيَّئون فطريًّا لأن نُدرِك في النهاية، على سبيل المثال، أنَّ ١٠٢٣ ليست هي ١٠٢٤؟ إنَّ هذا يبدو غيرَ منطقيٍّ بدرجةٍ كبيرة؛ فوِجْهات النظر التي تَستنِد إلى النهج الفطري في الموضوعات التي تتعلَّق بالأعداد، لا تُقدِّم شيئًا سوى أنها تُؤخِّر النقطة التي سنصِل عندها للمُفارقة.

وفي رأيي أنَّ مِفتاح حلِّ هذه المفارقة هو أنَّ المفرَدات التي تُعبِّر عن الكميَّات الأكبر من ثلاثة، تُجسِّد الأفكارَ العددية المجرَّدة المحدَّدة التي تَطْرأ على ذهن بعض الأفراد في بعض الأحيان وبصورةٍ غير مُنتظِمة. وبعض هؤلاء الأفراد قد يَخترعون الأعداد في نهاية المطاف، ولكن إن لم يَفعلوا، فلن تُنقَل أفكارهم العابرة إلى غيرهم. إنَّ تسمية مثلِ هذه الأفكار سريعةِ الزوال، هو ما يُمكِّن الأفرادَ في نهاية المطاف من إدراك الفروق بين الكميات على نحوٍ مُنتظِم ومُستمر. إنَّني أعتقد أنَّ مفهوم الانتظام والاستمرارية هذا ضروريٌّ للغاية لحلِّ هذه المعضِلة. يبدو أنَّ البشر، كجماعة، يُبدون القدرة، على نحوٍ غير منتظم فقط، على التوصُّل إلى فكرةٍ بسيطة لكنها مؤثِّرة، وهي فكرة أنَّه يمكن تعريف المجموعات التي تتضمَّن كميةً أكبر من ثلاثة تعريفًا دقيقًا. وهذه الفكرة البسيطة قد أدَّت على الأرجح إلى اختراع رموزٍ لهذه الكميات الكبيرة، وذلك على مدار مراتٍ عديدة لم يَكُن من الممكن تسجيلُها كلِّها. وقد كانت هذه الرموز لفظيةً في البداية؛ إذ إنَّ الغالبية العظمى من ثقافات العالم تَستخدِم مفرداتٍ لمِثل هذه الكميات، لكن مُعظمها يفتقر في العادة إلى وجود الأرقام المكتوبة أو حتى أنظمة العِصِي المُعقَّدة. إنَّ بعض الأفراد قد اخترعوا مفردات الأعداد من أجل تجسيد إدراكهم لوجود كمياتٍ كبيرة مُحدَّدة، وقد كان من المُمكن لهذا الإدراك أن يظلَّ عابرًا.

هل يَعني هذا أنَّ مفردات الأعداد ليستْ إلا تَسمياتٍ لمفاهيم؟ الأمر ليس كذلك تمامًا؛ إذ تبدو الحقيقةُ أكثرَ تعقيدًا وتنوُّعًا من الخيار الثُّنائي القسْري الذي تَفترِضه هذه المُفارقة؛ فمُفرَدات الأعداد ليست تَسمياتٍ فحسْب، على الرغم من أنها تَصِف الاكتشافاتِ المفاهيميةَ التي يَتوصَّل إليها «بعضُ» الأفراد في «بعض» الأحيان. إنَّ مصطلح «تسمية» يُشير إلى أنَّ الكلمات تُعبِّر عن مفاهيمَ يُفكِّر جميع البشر فيها، أي إنَّ جميع البشَر يُولَدون وهم على استعدادٍ لإدراك هذه المفاهيم (على الأقل في نهاية المطاف)، بصرْف النظَر عن بيئتهم الثقافية. بالرغم من ذلك، فمن الواضح أنَّ ليس جميع البشر يتمتَّعون بالقُدرة على إدراك مثل هذه المفاهيم حتى وهُم كِبار، والأرجح أنَّ معظم الأفراد لن يتَوصَّلوا أبدًا إلى هذه الاكتشافات المفاهيمية المَعنيَّة، التي يُمكِن وصفُها من خلال الأعداد. وفي الوقت نفسه، مِن الواضح أيضًا أنَّ بعض الأفراد قد توصَّلوا إلى تلك الاكتشافات، حتى وإن كان ذلك بشكلٍ غيرِ مُنتظِم. وفي تلك الحالات التاريخية الفعلية التي تَمكَّن البشرُ فيها من وصْف تلك المفاهيم بكلمات، اخترَعوا الأعداد. وبعد ذلك، تمكَّن غيرهم من الأفراد الذين ينتمون إلى ثقافتهم نفسِها، من تمييز المفهوم الذي اخترَعوا له اسمًا، وذلك من خلال استخدام (أو الكلمات) الوثيقةِ الصِّلة. إنَّ مفردات الأعداد هي أدواتٌ مفاهيمية تنتشِر بسهولة؛ فهي أدواتٌ يَرغب معظم البشَر في استعارتها.

إنَّ التفسير العامَّ الذي أقترِحُه ليس جوهريًّا بدرجةٍ كبيرة، بل يمكن تطبيقه بالطريقة نفسِها على الكثير جدًّا من الاكتشافات البشرية التي تُوصَف باستخدام كلماتٍ جديدة. فغالبًا ما تتطوَّر الكلمات أو تُخترَع، من أجل التعبير عن المفاهيم والأفكار التي يَكتشِفها البشر حديثًا، لا عن الأفكار والمفاهيم الفطرية. فلْنتَناول مثالًا «كالمصباح الكهربائي». لقد أدرك العديدُ من المُخترِعين في أواخر القرن التاسعَ عشر أنَّ تمرير الكهرباء عبر فتيلٍ مَعدِني يُنتِج إنارة، وقُدِّمت العديد من براءات الاختراع لمصابيحَ كهربائية قصيرة الأجل. أما توماس إديسون وموظَّفوه، فقد طوَّروا فنَّ إنارة فتيلٍ في مصباح زجاجي مُفرَغ يَسمح للفتيل بالاحتراق لفترةٍ أطولَ كثيرًا. بطريقةٍ ما، كان اختراع مثل هذا النوع من مَصادر الإنارة قائمًا على اكتشافٍ بسيط، وهو: اعزِل السلك عن الهواء المُحيط، وسوف يظلُّ مضيئًا لفترةٍ أطول كثيرًا. لم يكن هذا الاكتشافُ البسيط عسيرًا على فَهم الآخَرين، وقد كان الجهاز الناتج عنه سهلَ التسمية بكل تأكيد؛ فمِمَّا لا شكَّ فيه أنَّ مصطلح «المصباح الكهربائي» ليس صعبًا في الفَهم، وبالرغم من هذه البساطة الجوهرية الأنيقة، وبالرغم من سهولة فَهم معظم الأفراد لمفهوم «المصباح الكهربائي» والمصطلح المُرتبط به؛ فإنَّ أحدًا لن يَزعُم أبدًا أنَّ البشر مُهيَّئون فطريًّا لفهم المصابيح الكهربائية. إنَّ «المصباح الكهربائي» يمكن أن يصِف مفهومًا مُحدَّدًا لا يَصعُب فَهمه، لكنه ليس بمفهومٍ طبيعي. ومفردات الأعداد تُعدُّ هي أيضًا إشاراتٍ لمفاهيمَ بسيطة، وربما لا نكون مُهيَّئين فطريًّا بشكلٍ مُسبق للتوصُّل إلى تلك المفاهيم، لكن بعض البشر يتوصَّلون إليها، ويمكن للآخَرين اكتسابها من خلال الوسائل اللغوية. ومثلما أوضحْنا في المقدمة، فإنَّ ما يتميَّز به نوعُنا لا يتمثَّل في أنَّنا نتمتَّع بقُدرة عظيمة على الاختراع، بل أننا استثنائيون في توارُث هذه الاختراعات ومشاركتها بسبب طبيعتنا اللغوية. (لقد كتب إديسون نفسَه ذات مرةٍ أنه كان «إسفنجة أكثرَ مما هو مُخترع.») إذن، فنحن لسْنا مُهيَّئين فطريًّا لأن تَطرأ على أذهاننا مفاهيمُ مثل «المصباح الكهربائي»، وتنتظر أن تَجري تسميتُها، ولا نحن نمتلك مفاهيمَ مثل ٦ و٧ و٨ تَجول في عقولنا وتنتظر أن تجري تسميتها. إنَّ اختراع الأعداد يستلزم أولًا أن نُدرِك بطريقةٍ تجريبيَّة عشوائية تعتمد على الاكتشافات الشاردة التي تتوصَّل إليها بعضُ العقول فقط، أنَّ الكمياتِ المحددةَ التي يمكن تسميتُها (والتي تَزيد عن ثلاثة) موجودة بالفعل.

إنَّني أعتقد بوجود سبَبَين على الأقل لذلك؛ أولهما أنَّ الأصابع مميزة لأنها أول الوحدات المُنفصلة التي نُصادِفها في حياتنا بشكلٍ فعلي، فمِثلما ذكرْنا في الفصل السادس، نحن نتعرَّف على أصابعنا، ونحن ما نزال في الرحِم، والأطفال مَهْووسون بأيديهم، يمصُّون أصابعهم في بداية حياتهم، ويُركِّزون بصريًّا على أيديهم حين يُدرِكون أنَّ هذه الأشياء يمكن اللعب بها ومدُّها أمام بصرِهم أو سحبها منه، حسب إرادتهم. إذن، فالأصابع عنصر بارِز للغاية في حياتنا كلها. ومن الأمور المهمة للغاية أنها ليست على هذه الدرجة نفسِها من البروز في تلك الأنواع القريبة منَّا، والتي تَشترك معنا في بعض القُدرات الفطرية للإدراك العددي. فالغوريلا وقرود الجيبون والشمبانزي، وغيرها من أنواع القرود القريبة من نوعِنا، لا تَسير على قدَمَين مِثلنا؛ ولهذا فهي تستخدِم قائمتَيها الأماميَّتَين في معظم الأحوال لأغراض الحركة. أما نحن، فنستخدم أيديَنا عادةً في صُنع الأدوات واستخدامها، ونَستخدِم أصابعنا لنطاقٍ أوسع من الأغراض، ومنها بعض الأغراض الأكثر تخصُّصًا والتي تتطلَّب المزيد من البراعة والتركيز على اليدَين. إننا نُركِّز على أصابعنا أكثر ممَّا يفعل أيُّ نوعٍ آخر، وربما تُمثِّل هذه النقطةُ الجزءَ الأول من الإجابة عن سؤالنا عن الكيفية التي تَمَكنَّا بها من التوصُّل إلى الأعداد من خلال أيدينا.

بالرغم من بروز الأصابع في حياتنا اليومية، فمن غير المُرجَّح أن يكون مجرَّد انتشارها الفعلي، هو السببَ الوحيد للمفاهيم التي توصَّل إليها بعض مُخترعي الأعداد حين أدرَكوا أنَّه يمكن مطابقةُ مجموعات الأصابع مع مجموعاتٍ تتكوَّن من عناصرَ أخرى. وأما السبب الثاني في أنَّ الأصابع تؤدِّي مثل ذلك الدور البارز، وهو سبب لم يُناقَش حتى الآن (حسَب معرفتي) في المؤلَّفات، هو أنها تُوجَد في الطبيعة مُتطابقةً على نحوٍ متناظر. فليس الأمر أننا نتفاعَل مع أصابعنا باستمرارٍ ونُركز عليها فحسْب، بل لأنَّ كل إصبعٍ من أصابعنا له رفيقٌ يُشبِهه في اليد المُقابلة، فإنَّ احتمالية أن يتطابق كلُّ إصبعٍ من أصابعنا مع عنصرٍ واحدٍ في مجموعةٍ أخرى من العناصر، تتأكَّد بثباتٍ في خبرتنا البصرية والحِسِّية. إنَّ التناظُر الموجود في أيدينا وأصابعنا، وتعرُّضَنا المُستمرَّ لذلك التناظُر في حياتنا التي تَعتمد على اليدَين بشكلٍ غريب، قد دفع العديد من الأشخاص على الأرجح إلى إدراك إمكانية الربط بين مجموعتَين تتكوَّن كلٌّ منهما من خمسة عناصر.

وربما يُدرك بعض الأفراد أيضًا التطابُقَ بين خمسة عناصر خارجية على الجسم، مع مجموعةٍ من خمسة أصابع (مع تسمية التكافؤ العددي للأصابع الموجودة في كل يدٍ في البداية، أو بدونه). إنَّ هذا التوافُق بين الأصابع وهذه العناصر، يستفيد على الأرجح من التوافق المادي الطبيعي للعناصر الصغيرة التي يمكن حملُها باليد والأصابع، فربما حدَث ذلك بسبب وضع هذه العناصر على راحة اليد. بالرغم من ذلك، أيًّا كان الطريق الذي يتَّخِذه مخترِعو الأعداد، فإنَّ اختراع أنظمةٍ عددية مُعقَّدة يعتمد عادةً على المساواة الكمية بين الأصابع وعناصرَ مُحدَّدة، ومنها الأصابع الأخرى. على مدار التاريخ البشري، اكتشف البشَر هذا التطابُق المُنتظِمَ بين الكميات، ثم وثَّقوا هذا التطابق الكمِّي، وقد كان ذلك في معظم الأحيان من خلال تسمية تطابُقٍ مُحدَّد باسم الكلمة التي تُستخدَم في لُغتهم للتعبير عن «اليد». وحين استخدموا هذه التسمية بالفعل، اخترعوا أداةً رمزية سهلَت الإشارة إلى الكمية المَعنية المُحدَّدة، وتمييزها بعد ذلك، كما سمحَت أيضًا بتوصيلها إلى عقول الآخرين.

بعد ذلك، يمكن لِمُستخدِمي مفردات الأعداد أن يُكوِّنوا كلماتٍ للأعداد الأكبر؛ فربما في أثناء عدِّ بعض العناصر على أصابعهم، يَبتكِرون كلمةً جديدة من خلال الجمع بين الكلمة التي تُعبِّر عن «اثنَين» والكلمة التي تُعبِّر عن «يد» فتُصبِح «اثنَين ويد» (أي «سبعة»). وبمرور الوقت، فإنَّ استخدام مثل هذه الكلمة، سيُؤدِّي إلى الاستفادة منها بأكبرِ درجةٍ ممكنة، وقد يمكن استخدامُها في الكثير من السياقات لتسمية مجموعاتٍ تتكوَّن من عناصر مختلفة. وقد يَنشر بعضُ المُتحدِّثين الابتكارَ في اتجاهاتٍ جديدة، فيبتكرون كلماتٍ تُعبِّر عن العدد «عشرة» والعدد «عشرين»، ومن المُرجَّح أيضًا أنهم سيستخدمون من عدد الأصابع الموجودة في جسم الإنسان أساساتٍ لمِثل هذه الكلمات. ثمَّة الكثير من الطرُق التي يمكن سلوكها؛ إذ إنَّ مفردات الأعداد تتراكم وتُقترَض وتُعدَّل وتَنتشِر. ونظرًا إلى فائدة الأعداد ونوع العمليات التي تجعله مُمكنًا؛ فإنها سوف تنتشِر في معظم السياقات بين أفراد الجماعة السكانية الواحدة وكذلك بين الجماعات السكانية التي تتواصَل فيما بينها. ويمكن أن تدخُل مفرداتُ الأعداد إلى لغاتٍ جديدة على هيئة كلماتٍ دخيلة أو ترجماتٍ اقتراضية، إذ تُستخدَم المفاهيم على مستوى الثقافات، مع تأليف كلماتٍ جديدة للمفاهيم المُقترَضة.

ما بعد العدِّ البسيط

إنَّ العديد من المفاهيم المُستنِدة إلى الأعداد لم تُستلهَم من خلال اليد. ولم تتطوَّر المُمارسات الرياضية المعقَّدة بصورةٍ مُستقلَّة إلا في عددٍ قليل بعض الشيء من الثقافات، بالرغم من عالمية الأصابع، وبالرغم من انتشار مُفردات الأعداد على مستوى العالم، فالأعداد المُستنِدة إلى الأيدي، لا تُؤدِّي بالضرورة إلى إنتاج أعدادٍ كبيرة للغاية؛ فوجود كلمةٍ مثل «خمسة» أو «عشرة» في لغةٍ ما، لا يَعني أنَّ هذه اللغة تحتوي على كلمةٍ مثل «ألف» أو «مليون» إنَّ وجود مفردات الأعداد البسيطة هو شرطٌ ضروري لتفصيل أعدادٍ أكثر تعقيدًا، لكنه غير كافٍ لذلك.

إنَّ ما يَعنينا في هذه المناقشة، هو نوعان من أنواع التفكير المجازي المُرتكِز على الطبيعة المادية، وأولهما هو الاستعارة المفاهيمية، التي يوجَد منها العديد من الأمثلة في أيِّ لغة، وسنَذكُر عليها مِثالَين من اللغة الإنجليزية: تصوير مفهوم المزاج العاطفي في صورة درجات الحرارة، ووصف الأمور السلبية بأنها «منخفضة». على سبيل المثال، تَظهر الاستعارة الأولى المُرتكِزة على الطبيعة الجسدية حين نتحدَّث عن أشخاصٍ يتمتَّعون إما بشخصيةٍ «دافئة» أو «باردة»، مع افتراضنا الضِّمْني أنَّ الشخصيات «الدافئة» أكثرُ وُدًّا وترحيبًا. وتظهر الاستعارة الثانية المُرتكِزة على الطبيعة الجسدية حين نتحدَّث مثلًا عن شعورنا «بانخفاض الرُّوح المعنوية» أو عن شخصٍ يَشعُر بأنه «سقط في هُوَّة الاكتئاب.» إنَّ ما ذكرناه هنا هو مثالان فقط على هذا النوع من الاستعارات، غير أنَّ هناك الكثيرَ من الأمثلة عليها. (ويَنبع الربط المجازي بين الأشياء «المُنخفِضة» والحزن من العلاقات التجريبية، مثل العلاقة بين المَوت والدفن، والوجود في مستوًى «منخفض» في الأرض.)

وأما النوع الثاني من التفكير المجازي الذي يَعنينا في هذه المناقشة، فهو ما يُشير إليه علماءُ اللغة باسم «الحركة الخيالية»، والتي تتمثَّل في تفكيرنا في الأشياء على أنها تتحرَّك بينما نَستعرِضها في عقولنا. فعلى سبيل المثال، إذا قلت: «إنَّ منظر ناطِحات السحاب في أفُق ميامي، يَجري على امتداد خليج بيسكاين.» فذلك من الأمثلة على الحركة الخيالية؛ فمن الواضح أنَّ ناطحات السحاب لا تَجري فِعليًّا، لكنَّني أتحدَّث عنها وكأنها تفعل. وبالمِثل، حين أزعُم أنَّ «الحدَّ الفاصل بين بيرو والبرازيل يمرُّ بالأمازون.» فلن يُفسِّر أحد ذلك على أنَّ الحدَّ يتحرَّك بالفعل؛ فإنَّ الاستعارات المُستنِدة إلى الطبيعة الجسدية والحركة الخيالية، كلاهما أساسي في تشكيل التفكير الرياضي.

إنَّ التوازيَ بين الأشياء والأعداد، لا يَنتهي هنا على أي حال؛ فمِثلما يمكننا الحديث عن حجم الأشياء، يمكننا الحديث أيضًا عن «حجم» الأعداد. فيُمكنني أن أقول مثلًا: إنَّ التريليون عدد «كبير للغاية» أو: إنَّ «سبعة أصغر من خمسة عشر». ويُمكنني أن أقول: «أنا لا أعرف بالضبط الراتبَ الذي تحصل عليه، ولكني أعرف أنه رقمٌ ضخم.» ويُمكنني أيضًا أن أقول: «إنَّ راتبها ضئيل للغاية مقارنةً بما تستحقُّه.» إننا نتحدَّث عن الأعداد في معظم الأحوال، وكأنها أشياءُ طيِّعة مختلِفة الأحجام، أشياء يُمكِن المقارنة بينها وضمُّها معًا وتجميعها كذلك. إنَّ هذا النوع من التفكير المجازي طبيعي للغاية حتى إننا قد لا نُدرك أنَّنا نستخدِمه. وربما يعود السبب في هذا الأساس المادي للُّغة الحسابية إلى أنَّ اختراع الأعداد يعتمد بصورةٍ كبيرة على أجسامنا المادية، لكنَّنا، إضافةً إلى هذا، نُفكِّر في الأفكار المجرَّدة، ونتحدَّث عنها في العديد من المجالات الإدراكية على أنها عناصرُ موجودة في العالم المادي. إنَّ التفكير في الأعداد على أنها أشياءُ مادية يُيَسِّر تخزينها وتمثيلها ومُعالجتها في الدماغ؛ إذ إنَّنا نستطيع تصوُّر الأشياء وتذكُّرها بسهولةٍ أكبر من المفاهيم المجرَّدة.

بالرغم من أنَّ الأدلَّة على وجود أساسٍ مجازي ومكاني للتفكير الحسابي تتَّسِم بالإقناع، فإنَّ هذا لا يَعني أنَّ التفكير المجازيَّ هو الأساس الوحيد لمِثل هذا النوع من التفكير؛ فمن غير المنطقي ألا يَكون لدَينا سوى عاملٍ واحد فقط هو الذي يُفسِّر تطوُّرَ الأعداد أو استخدامَ هذه الأعداد في مبادئ الحساب. في حالة المجاز، على سبيل المثال، نجد أنَّ الثقافاتِ تختلف في طريقة وضعها للأعداد في سياق المكان. إضافةً إلى ذلك، ففي بعض الثقافات نجد أنَّ الأدلة التي نَمتلكها على أنَّ الأفراد يضعون الأعداد على خطٍّ لها، قليلةٌ للغاية أو حتى مُنعدمة. (راجع النقاش عن جماعة اليوبنو في الفصل الخامس). وعلى مستوًى أكثر بدائية، فقد لاحظْنا بالفعل وجود عددٍ قليل من الثقافات التي لا تَستخدِم أيَّ أعدادٍ مُحدَّدة على الإطلاق، أو تستخدِم منها مجموعةً محدَّدة للغاية. وبالرغم من أنَّ الطريق اليدويَّ إلى الأعداد مُنتشِر للغاية، فهو ليس بالطريق المُحتمَل الوحيد، ولا تظهر آثاره على الدَّوام في أساسات الأنظمة العددية. فعلى سبيل المثال، تَستخدِم بعضُ اللغات أنظمةً سُداسية (الأساس ٦) لا يمكن تفسيرها باستخدام الأيدي أو الأصابع في التسمية الأولية للكميات. (راجع الفصل الثالث) إنَّ أحد الموضوعات المُتكرِّرة في مجال اللغويات هو أنه لا ينبغي لنا الإفراطُ في تعميم الأنماط التي تتَّضِح في العديد من اللغات، ونفترِض أنها تُوجَد في اللغات جميعها. بالرغم من ذلك، ولأنَّ جميع البشر يَمتلكون الأدمغةَ نفسَها والأجساد نفسها بصفةٍ أساسية، فليس مِن المُفاجئ أنهم عادةً ما يَتَّخِذون مساراتٍ متشابهةً توصِّلهم إلى المفاهيم الحسابية، وهذه المسارات غالبًا ما تتضمَّن طرُقًا مجازية.

إنَّ هذه العواملَ مثل المجاز والبناء اللغوي، تُفيدنا في أن نفهم كيف تَمكَّن نوعُنا من الانتقال من «مواجهة» الصعوبة في التعامُل مع الأعداد الأساسية (وأنا أعني هذه التورية)، إلى استخدامها بطرُقٍ جديدة. وهي تُساعدنا في تفسير كيفية تطوُّر العمليات الحسابية من الأعداد النموذجية. وبغرَض الوضوح، فإنني لا أزعُم أنَّ هذه العواملَ توجَد قِطعًا في جميع الثقافات، أو أنها تَنبُع منطقيًّا في جميع الحالات من اختراع مفردات الأعداد؛ فسوف يكون من غير الدقيق بالطبع أن نزعُم أنَّ «البشر يَخترِعون الأعداد بسبب أصابعهم، فهم يَستخدمون اللغة والمجاز، وغير ذلك مِن العوامل؛ فيتوصَّلون في النهاية إلى النظرية الأساسية في التفاضُل والتكامل.» إنَّ مدى استخدام الثقافات لمبادئ الحساب الأساسية، والرياضيَّات الأكثر تعقيدًا، تختلف بدرجةٍ كبيرة من ثقافةٍ إلى أخرى، مما يدلُّ على أنَّ العديد من العوامل المُرتبطة بالمُجتمع تَدخُل في الأمر. بالرغم من ذلك، يبدو لنا أنَّ العوامل التي ناقَشْناها هنا شائعة، وهي مِن المكوِّنات الأساسية في تعزيز التفكير الرياضي.

الأعداد في الدماغ

خاتمة

هذه هي الطريقة التي اختُرِعت بها الأعداد في معظم الأحوال؛ كان البشر يَكتشفون أحيانًا أنَّه توجَد كميات محدَّدة مثل «خمسة». وقد أدَّى اكتشافهم هذا، في بعض الحالات على الأقل، إلى ابتكار كلماتٍ لتلك الكميات، وقد كانت هذه الكلمات تُشتَقُّ عادةً من أسماء أجزاء الجسم الموجودة بالفعل، وهي أجزاء الجسم التي مكَّنَتْهم من إدراك وجود الكميات المُحدَّدة، أو يسَّرَت ذلك. وأصبحَت مفرداتُ الأعداد الناتجة تُمثِّل الكميات بدقَّة، وهذا التمثيل الدقيق ينبُع جزئيًّا من قُدرتنا الفطرية على تقدير الكميات الأساسية. بالرغم من ذلك، فلا يُمكننا أن نُغالِيَ في ذكر الدور المحوري للأصابع والأيدي في تقدير الكميات الأقلِّ أساسية. ويَعود هذا الدور بدرجةٍ ما إلى الحضور القوي للأصابع في الخبرة الإدراكية والحسِّية للبشَر، وإلى التناظُر الجوهري بين يدَيِ البشر. وهو يَعود بطريقةٍ غير مباشرة إلى سَير البشر على قدَمَين، وهو إحدى الطرُق الأساسية العديدة التي يُفسِّر بها البشر خِبرتهم الإدراكية من خلال التفكير المتجسِّد.

إنَّ اختراع الأعداد الأساسية، أو الأعداد النموذجية، ليست سوى بداية الحكاية فقط؛ فاستخدام مثل هذه المفردات يؤدي في النهاية إلى التوسُّع الوظيفي للأنشطة الفيسيولوجية العصبية المُرتبِطة بالتفكير الكمِّي. وبالرغم من أنَّنا لا نَفهم هذا التوسُّع تمامًا، فنحن نعرِف أنه يعتمد بدرجةٍ كبيرة على وجود الأعداد اللفظية. صحيحٌ أنَّ بعض الظواهر اللغوية الأخرى مثل المجاز والترتيب البنائي المُعتاد، تُساعد في تشييد بُنْيان علم الحساب، لكنَّ هذا البنيان يقوم بصورةٍ أساسية على الأعداد اللفظية.

إنَّ الأعداد هي ابتكارٌ من العقل البشري كانت له آثارٌ عميقة على قصة البشرية؛ فقد غيَّرَت الأعداد فَهْمنا للكميات. لكن هذه الآثار لم تكن إدراكيةً فحسب؛ إذ إنها قد شكَّلَت أيضًا خبرتنا البشرية من نواحٍ أخرى. في الفصل التالي، سنُناقش المدى الذي شكَّلَت به الأعداد، وما زالت تُشكِّل، الجوانبَ المختلفة في حياتنا اليومية.