الشعلة

تربيع الدائرة

الرياضيات أساسية بالطبع للعلوم الحديثة. قد تكون الفيزياء مستحيلةً من دونها، لكنها أيضًا أداة حيوية بالنسبة إلى الكيمياء أو علم الأحياء أو الجيولوجيا أو الأرصاد الجوية. كل تلك العلوم كانت تجتمع تحت مصطلح «العلوم الطبيعية» في عالَم العصور الوسطى، وكانت خارج نطاق الرياضيات لأنها كانت جميعًا تختص بجوهر الأشياء. كان هذا الأمر يمثِّل عائقًا عسيرًا للتقدُّم العلمي، خاصة أن الرياضيات هي المدخل للبساطة. فكيف تقيس الضلع الثالث من مثلث قائم الزاوية؟ لست في حاجة إلى ذلك إن كنت تعرف طولَ الضلعين الآخرين ونظرية فيثاغورس. هذا هو ما تقدِّمه الرياضيات إلى العلوم: عالم أبسط، ومِن ثَمَّ أكثر قابلية للفهم والتنبؤ. وبالنسبة إلى أرسطو، كانت تلك الأداة متاحةً فقط للأشياء غير الملموسة كالضوء أو كليات المثلثات أو الأجسام السماوية.

إلا أن الفيلسوف اليوناني سمح بمقدارٍ ضئيل مما أطلق عليه «الانتقال» الذي يمكن فيه لبراهين أحد العلوم أن تنضم إلى علم ثانوي يُعدُّ تابعًا للعلم الأرفع أو الأسمى. على سبيل المثال، كانت الموسيقى التي تُلعب على الآلات الوترية تُعَد ثانوية للرياضيات، حيث يمكن التنبؤ بالانسجام من خلال النِّسب بين أطوال الأوتار والنغمات الموسيقية التي تعزِفها حين يُنقَر عليها. فإن نُقِر على أحد الأوتار ليعزِف نغمة موسيقية بعينها فإنَّ وترًا له نصف طول الوتر الأول سيعزِف نغمة موسيقية أعلى بأوكتاف واحد. ومِن ثَمَّ فإن الفاصل الموسيقي للأوكتاف له نسبة رياضية هي ٢ إلى ١؛ في حين أن أطوال أوتار نسبتها ٢ إلى ٣ تمثِّل فاصل الخامس المثالي. لكن وبغض النظر عن تلك الحالات الاستثنائية القليلة، فرض أرسطو حظرًا عامًّا على الانتقال في العلوم.

وأحد التقييدات الأرسطية الأخرى ذات الصلة كان إصراراه على أن العناصر الرياضية المختلفة غير متناسبة. على سبيل المثال، لا يمكن مقارنةُ دائرة بمربع حيث، كما زعم، من المستحيل أن نستخدم الطرقَ العددية أو الهندسية في تحديد مساحة المربع التي تساوي مساحةَ الدائرة. وأكَّد أرسطو أن محاولة «تربيع الدائرة» هذه تمثِّل خرقًا لقاعدة حظر الانتقال. وبالمثل، فإن كل شكل هندسي كان يُعَد قائمًا على كليَّته الخاصة القائمة، ومِن ثَمَّ فهو غير قابل للمقارنة بأي شيء مثلما لا يمكن مقارنة طعم الجبن بصوت العود.

وحاجج بأنه ينبغي ألا يكون هناك تقييد لمدى تطبيق الأعداد أو الأشكال أو الأشياء الهندسية؛ حيث إنها ما هي إلا أدوات ذهنية. على سبيل المثال، في مقدِّمة شروحاته النهائية للكتاب الأول من عمل لومبارد «كتب الأحكام الأربعة» التي أتمَّها قبل رحيله إلى أفينيون مباشرة في عام ١٣٢٤، يناقش الأوكامي العلاقةَ بين العلوم والرياضيات ويدفع بأن الكثيرَ من تلك العلوم تُعَد عند أرسطو خارج حدود الرياضيات، مثل الطب، إلا أنه يجد استخداماتٍ مفيدة للمفاهيم الرياضية. على سبيل المثال، قد يقدِّم الطبيب تخمينًا مختلفًا لجُرحٍ ما اعتمادًا على ما إن كان قطْعًا مستقيمًا من ضربة سيف (تخمين جيد) أو ثقبًا مستديرًا من ضربة رمح (تخمين رديء).

حَسَبة أكسفورد

صياغة قوانين من خلال شفرة أوكام

متسلحين بتعريفٍ رياضي للسرعة، انطلق هايتسبيري وزملاؤه ليكتشفوا أولَ قوانين العلوم الحديثة، وهو مبرهنة متوسط السرعة. تنصُّ المبرهنة على أن المسافة التي يقطعها شيءٌ يتسارع من السكون بشكل موحَّد تساوي المسافةَ التي كان الشيء ليقطعها لو كان يقطعها بمتوسط سرعته للوقت نفسه. وهكذا فإنْ تسارعَ حمارٌ في سلاسة من السكون إلى هرولةٍ تبلغ عشرة أميال في الساعة، فإنَّ المسافةَ التي كان سيقطعها الحمار ستكون هي نفسها المسافة التي كان سيقطعها لو تهادى بخطواتٍ منتظمة تبلغ سرعتُها خمسة أميال في الساعة، أي، إنه كان سيقطع خمسة أميال.

لكنك إذا ما سألت هايتسبيري وزملاءه فإنهم كانوا ليقولوا إن الإجابة هي نصف السرعة النهائية للحمار مقسومة على الوقت الذي استغرقه ليصل إلى تلك السرعة. فضلًا عن ذلك، إذا ما عدَّلت سؤالك لتسأل عن تسارع عنزة أو بقرة أو مذنَّب أو عالم أو سهم، وهي كلها أشياءُ تتركَّب من موادَّ مختلفة تمامًا وتنتمي إلى فئاتٍ مختلفة من الوجود، فإنهم كانوا ليخبروك أن هذا لم يكن ليشكِّل أدنى فارق. وحين يحسبون إجابتَهم فإن تفاصيل مثل المادة التي يتركَّب منها الشيء تمثِّل كياناتٍ تتخطى حاجز الضرورة.

إن مبرهنةَ متوسط السرعة مفيدةٌ بصورة بارزة. لكن بها عيبًا مهمًّا. لقد عرَّف حَسَبة ميرتون الحركةَ فحسب؛ لكن لم يحاولوا تفسيرَ الحركة بتقديم الغرض منها. وفي تعريفات هذا العصر، فإننا نصِف مبرهنةَ متوسط السرعة بأنها نظرية حركية للحركة. ليس هناك خطأ جوهري في النظرية الحركية؛ حيث لا تزال مفيدةً حتى يومنا هذا. لكن هذه النظريات لا تقول شيئًا عن المستقبل ولا عن الماضي أيضًا إلا إن كان أحدهما مشابهًا تمامًا للحاضر. ولكي يتمكَّن العلم من التنبؤ بمستقبلٍ غير مؤكَّد، فإنه أيضًا بحاجة لأن يكون قادرًا على التعاطي مع التغيير، ولأجل ذلك، فإنه بحاجة لتطوير نماذج تتضمَّن أسبابًا. والتقدُّم التالي الذي أُحرِز في دراسة الحركة كان على يد علماء أوكاميين في المدينة التي استمتع فيها ويليام على الأرجح باستراحةٍ قصيرة وهو في طريقه إلى أفينيون.

ما الذي يسبب وجود علة؟

وُلِد جان بوريدان في أسرة متواضعة في أبرشية أراس ببيكاردي بفرنسا، في وقتٍ ما حوالي عام ١٣٠٠. وقد لفت الصبي الصغير الذكي انتباهَ محسنٍ ثريٍّ دفع تكاليف تعليمه في كلية ليموين في باريس ثم في جامعة باريس. وبحلول عام ١٣٢٠ تقريبًا، حصل على رخصةٍ للتدريس وسرعان ما تقدَّم عبْر النظام الأكاديمي. وكان في غاية النجاح حتى إنه سرعان ما وصفه زملاؤه بأنه «فيلسوف عظيم»، وعُيِّن مرتين رئيسًا لجامعة باريس. ولا شك أنه كان موجودًا حين عبَر ويليام الأوكامي من خلال أروقتها.

لسوء الحظ لا نعرف عن حياة بوريدان إلا القليل جدًّا، عدا عدة إشاعات مشينة. معظمها كان يتركَّز حول سُمعته كونه زيرَ نساء. ففي إحدى القصص يُقال إنه تعدَّى على البابا المستقبلي كليمنت السادس فضربه على رأسه بفردة حذاء حين كانا يتنافسان فيما بينهما على كسبِ ودِّ زوجة صانع أحذية ألماني. وقصة أخرى تقول إن الملك فيليب الخامس ملك فرنسا ربطَ بوريدان في جوالٍ وألقى به في نهر السين بعد أن اكتشف أن الفيلسوف كان يقيم علاقةً مع زوجته. ومن الواضح أن أحدَ تلاميذه أنقذه من الغرق.

كان أكثر إنجازات بوريدان العلمية تأثيرًا هو اكتشافه طريقةً ثورية لوصف علل حركات الأجسام الأرضية، مثل طيران السهم. كان أرسطو قد وصف تلك الحركات بأنها غير طبيعية، وقال إنها تتطلب علَّة سابقة مادية وصورية وفاعلة. لكن وحتى في وجود الكثير من العلل، فشلَ نظامُ أرسطو في تفسير سبب استمرار السهم في الطيران عبر الهواء لفترة طويلة بعد أن ينطلق من قوسه. وقد ردَّ أرسطو بطريقته المعتادة وهو متحيِّر، فأضاف المزيدَ من التعقيد. فاقترح أن السهم بعد أن يتلقى الدفعة الأولى من الوتر، يولِّد دوامةً من نوعٍ ما في الهواء تحيط بالسهم، والتي تستمر في دفع السهم في مساره.

كان قانون بوريدان هو أولَ قانون سببي للحركة يوصَف رياضيًّا؛ الأمر الذي يجعله سابقًا — سواء بشكل مباشر أو غير مباشر — على معظم القوانين العلمية التي تشكِّل العالَم الحديث. وعلى غِرار حَسَبة ميرتون، كان بوريدان يحاول «تغطية أكبر عدد من الحقائق التجريبية بالاستدلال المنطقي باستخدام أصغر عدد ممكن من الفرضيات أو البديهيات».

قبل أن أنتقل إلى نقطةٍ أخرى، أريد أن أستعرض سؤالًا واحدًا أخيرًا بخصوص طبيعة القوة الدافعة. أكان بوريدان ليفهم حركةَ السهم أكثر إذا ما اقترح أن قوس رامي السهم يرفق مَلاكًا مع السهم بدلًا من القوة الدافعة، ومِن ثَمَّ فإن حركة السهم تكون مدعومة برفرفة جناح مَلاك حتى يشعر هذا المَلاك بالإنهاك؟ يبدو هذا السؤال سخيفًا لنا، لكنه لم يكن كذلك بكل تأكيد في العصور الوسطى. فبالنسبة إلى الكثيرين من أهل ذلك العصر، كان الملاك حقيقيًّا وحاضرًا في العالَم أكثرَ بكثير من حضور القوة الدافعة.

في الوقت الراهن، سنترك هذا السؤال معلَّقًا. لكنه سؤال سنعود إليه فيما بعد؛ فهو حين يتم تعميمه، يُعَد أساسيًّا بالنسبة إلى الدور الذي لعِبته شفرة أوكام في العلم.

الأرض (ربما) تتحرَّك

أسكن بوريدان حركةَ آلاف النجوم من خلال أنه سمح لشيء واحد فقط وهو الأرض بالدوران: شفرة أوكام. لكن ذلك العالِم الفرنسي كان ذكيًّا أيضًا بما يكفي ليرصد مشكلة. إن كانت الأرض تدور حقًّا من جهة الغرب إلى الشرق بسرعة كبيرة، فإن سهمًا يُطلق عموديًّا في الهواء ينبغي أن يقع إلى جهة الشرق من نقطة انطلاقه. وبما أن هذا لم يحدث، فقد خلُص بوريدان إلى أن الأرض لا بد أنها ثابتة وأن السماء بالفعل تتحرَّك.

شكل ٥-١: برهان بوريدان البياني على مبرهنة متوسط السرعة. يمثِّل المحور الأفقي «أ ج» «الزمن»، فيما يمثِّل المحور الرأسي «ج د» «السرعة المتزايدة» بشكلٍ موحَّد بحيث تُحدِّد مساحةُ المثلث «أ د ج» المسافةَ الكلية المقطوعة. أشار بوريدان إلى أن النقطة «و» إذا كانت تقع في المنتصف بين «أ» و«د» فإن حجم المثلث «و د ز» يتساوى مع حجم المثلث «أ ﻫ و» ويكون المستطيل «أ ﻫ ز ج» له نفس مساحة المثلث «أ د ج». لكن مساحته تكون مساوية للمسافة المقطوعة إذا كان الجسم يقطع المسافةَ كلها بسرعة متوسطة.

لكن ظلَّ أوريسم مثل معلِّمه غيرَ راغب في أن يقوم بقفزة كبيرة نحو كونٍ أكثرَ بساطة. وقد حاجج بأنه بما أنه لا يمكن للمنطق وحدَه أن يحدِّد ما إذا كانت الأرض هي التي تدور أم الأجرام السماوية، فقد هجر الشفرة لصالح الكتاب المقدَّس. وجد أوريسم في الكتاب المقدَّس في سِفر يشوع فقرةً أمرَ فيها الرب الشمسَ أن تقف ساكنة في السماء لتقدِّم ليشوع مزيدًا من ساعات النهار ليقاتل فيها أعداءه.

على الرغم مما قام به أوريسم من عودة للاهوت، فإن «المذهب الجديد» لدى ويليام الأوكامي كان قد قطع، بحلول أربعينيات القرن الرابع عشر، خطواتٍ كبيرة تجاه الهروب من غابة لاهوت الأكويني المتشابكة. ولو استمر هذا التقدُّم، لربما كانت الثورة الصناعية قد حدثت في القرن السادس عشر وليس القرن الثامن عشر. لكن لسوء الحظ، تسبِّب ميكروب في عودة آخر المدرسيِّين إلى الفكر الذي كانوا يتبنونه.

سنين مهلِكات

في العام ١٣٤٧، كانت حشود المغول تضرب حصارًا على ميناء كافا في شبه جزيرة القرم يريدون استسلام التجار الجنويِّين المتهمين بقتل حاكم المدينة. وحين سقط الجيش الذي يحاصر الميناء ضحيةَ مرض غامض لكنه فتَّاك شكر الجنويُّون ربَّهم. إلا أن شكرهم لم يدُم طويلًا. إذ قذف المغول الجثث بالمقالع إلى داخل المدينة. فسقط سكانها ضحايا الوباء، ما دفع الجنويِّين ليبحروا عائدين إلى إيطاليا. توقَّفت سفينتهم على الأرجح عند أكثرِ مدن العالم اكتظاظًا بالسكان في ذلك الوقت، وهي القسطنطينية. وفي غضون أسابيع، مات الآلافُ من سكانها. أما المحطة التالية التي توقَّفت فيها السفينة فكانت مدينة مسينة بصقلية، وكان ذلك في أكتوبر من عام ١٣٤٧، وبحلول ذلك الوقت كان معظم طاقمها قد لقي حتفه. ولم ينجُ من الجنويِّين سوى اثني عشر رجلًا رغم ما كان بهم من مرض، فمُنِعوا من النزول من فوق متن السفينة، إلا أن المرض غادر السفينةَ على أي حال على ظهر الفئران التي كانت عليها. وفي غضون شهور، صارت موانئ أوروبا الكبرى مصابةً كلها بالمرض. وبعد مرور بضع سنوات، كان أكثر من نصف الأوروبيِّين قد لقوا حتفَهم، من بينهم توماس برادواردين، وجان بوريدان وويليام الأوكامي. ورغم أن الجامعات بقيت في الغالب، فإن نقصًا بين المعلمين تسبَّب في انهيار التعليم الأساسي، ما أدَّى إلى انهيار مستويات التعلم.

استنفد الوباء الأول نفسه في غضون أربع سنوات أو خمس، لكن وعلى مدى العقود التالية، استمرت حالات تفشي الطاعون في تدمير أوروبا باطراد شرس. بحث الحكَّام والمواطنون المرتعبون عمَّن يلقون عليه باللائمة في ذلك، فاستهدفوا اليهودَ، وقُتل الآلاف منهم. اعتقد كثيرون آخرون أن شرَّ الإنسان هو السبب في العذاب الذي صبَّه عليهم الرب؛ لذا وفي محاولةٍ لإرضاء ربٍّ غاضب، أبدَوا ندمَهم على ما بدر منهم، وتجوَّلوا من مدينة إلى أخرى يتجمعون ويجلد بعضهم بعضًا بسياطٍ أطرافُها من الحديد. لكن الجَلد أو التوبة أو محاولات التكفير أو الصلاة لم تفلح في استرضاء الرب الجبَّار. لم يسلَم أحدٌ من الوباء. فهوت أوروبا في العصور الوسطى من الشاعرية الرعوية الريفية التي صُوِّرت في كتاب «الساعات الغنية جدًّا لدوق بيري» إلى الرؤى الجهنمية للرسام هيرونيموس بوس. وبوجود الموت عند كل زاوية تقريبًا، هجر المدرسيون التفكيرَ العلمي ولجئوا إلى صلواتهم وتضرُّعاتهم. ولم يبدِ أحدٌ اهتمامًا حقيقيًّا بالعلم في أوروبا أثناء العصور الوسطى إلا بعد مرورِ أكثرَ من مائة وخمسين عامًا.

هوامش