الفصل الرابع

تتبع ضوء الشمس

بسبب دوران الأرض حول نفسها وحركتها المدارية حول الشمس، يتغيَّر الموقع الظاهري للشمس في السماء عبر الوقت. وللاستغلال الكفء للطاقة الشمسية، يجب أن نفهم الحركة الظاهرية للشمس. ويمكن أن تكون النظرية المفصلة للمجموعة الشمسية في الفلك والبيانات الموجودة في «التقويم الفلكي» معقدة بشدة. في هذا الفصل، سنقدم نموذجًا بسيطًا ينتج صيغًا يسهل برمجتها على كمبيوتر مصغر ودقيقة على نحو كافٍ فيما يتعلَّق باستخدام الطاقة الشمسية. وقد اشتُقت صيغ تحليلية وعُرضت هنا.

(١) دوران الأرض: دائرة العرض وخط الطول

يعرض الشكل ٤-١ الحركة الظاهرية للنجوم في السماء بالليل. وترجع هذه الحركة لدوران الأرض حول محورها. وبالنسبة للتطبيقات الخاصة بالطاقة الشمسية، يمكن أن نعتبر الأرض كرة تامة تدور بسرعة متجهة زاوية ثابتة حول محور ثابت. ومحور دوران الأرض يتقاطع مع سطحها عند نقطتين: «القطب الشمالي» و«القطب الجنوبي». والدائرة العظمى العمودية على المحور هي «خط الاستواء». ويمكن تحديد أي موقع على الأرض باستخدام إحداثيين، هما دائرة العرض وخط الطول ، كما يظهر في الخريطة أو نظام تحديد المواقع العالمي (جي بي إس). يحدد خط الطول «خط زوال» (وهو نصف دائرة عظمى تمر عبر القطبين والموقع). وفي حين أن دائرة العرض تُحدَّد على نحو فريد من خلال القطبين وخط الاستواء، فإن خط الطول يتطلب نقطة أصل كنقطة الصفر، ألا وهو «خط الزوال الرئيسي». اختير خط الزوال الرئيسي من قبل مؤتمر خط الزوال الرئيسي الدولي الذي عُقد في أكتوبر من عام 1884 في واشنطن ليكون خط الزوال المار عبر نقطة مميزة في مرصد جرينتش الملكي بالقرب من لندن؛ ولذا عادةً ما يُطلق عليه «خط زوال جرينتش». يعرض الشكل ٤-٢ لتعريف خط الطول ودائرة العرض.

شكل ٤-١: سماء الليل. بتوجيه كاميرا تجاه السماء في الليل والتعريض لبعض الوقت، يبدو أن النجوم تدور حول القطب الشمالي السماوي. هذه الصورة التقطها روبرت كناب، بورتلاند، أوريجون، ومعروضة بإذن منه. انظر موقع www.modernartphotograph.com.

شكل ٤-٢: دائرة العرض وخط الطول: تعني نقطة صفر خط الطول، خط الزوال الرئيسي، خط الزوال المار عبر مرصد جرينتش الملكي. ويوجد شرق خط الزوال هذا، نصف الكرة الأرضية الشرقي، وفي غربه نصف الكرة الأرضية الغربي. وبالمثل، شمال خط الاستواء هو نصف الكرة الأرضية الشمالي، وجنوبه نصف الكرة الأرضية الجنوبي. ويُحدَّد موقع الراصد بدائرة عرضه وخط طوله ، كما يظهر في الخريطة، ويمكن تحديده باستخدام نظام تحديد المواقع العالمي. يكون خط الطول إذا كان في الشرق موجبًا وإذا كان في الغرب سالبًا، وتكون دائرة العرض موجبة إذا كانت في الشمال وسالبة إذا كانت في الجنوب. على سبيل المثال، دائرة عرض مدينة نيويورك هي شمالًا، أو +0.712 rad، وخط طولها غربًا أو −1.29 rad.

(٢) الكرة السماوية

من وجهة نظر أي راصد على الأرض توجد الشمس، وكذلك أي نجم، على كرة ذات نصف قطر كبير لكن غير محدد. والكرة المتخيلة هي «الكرة أو القبة السماوية». ويشيع استخدام نظامَيْ إحداثيات لوصف موقع أي جرم فلكي على الكرة السماوية، وهما «النظام الأفقي» و«النظام الاستوائي».

يشير امتداد مركز الأرض وراصد في السماء إلى «نقطة السمت» (انظر الشكل ٤-٢)، ويُسمى المستوى المتعامد على هذا الخط أو الدائرة العظمى المقابلة «الأفق». ويقسم الأفق الكرة إلى نصفين كرويين. يكون نصف الكرة العلوي مرئيًّا للراصد، أما نصف الكرة السفلي، فمختفٍ تحت الأفق. والمسافة الزاوية لأي جرم سماوي فوق الأفق هي «ارتفاعه» . وفي أدبيات الفلك، يُستخدم أيضًا مصطلح «العلو». من الواضح أن ارتفاع القطب الشمالي يساوي دائرة العرض الجغرافية للراصد، .

شكل ٤-٣: الكرة السماوية والتحويل الإحداثي. يحدِّد النظام الأفقي موقع أي جرم سماوي كما يُرصَد على نحو مباشر من جانب الراصد. والمسافة الزاوية لأي جرم سماوي للأفق هي «ارتفاعه» ، الذي يُطلق عليه أيضًا «العلو». والإحداثي الآخر هو «السمت». ونقطة الصفر للسمت هي النقطة الجنوبية للأفق. في النظام الإحداثي الاستوائي، القطب الشمالي هو النقطة المرجعية. فخط الاستواء السماوي هو المستوى الأساسي. والمسافة بين أي جرم سماوي وخط الاستواء هي «ميله»، . والإحداثي الآخر هو الزاوية الساعية . وتُعرَف نقطة صفر تلك الزاوية باسم خط الزوال؛ يمر نصف الدائرة العظمى عبر القطب السماوي الشمالي ونقطة السمت. ولتحويل الإحداثيات من النظام الأفقي للنظام الاستوائي والعكس، تُطبَّق متطابقات حساب المثلثات الكروية على مثلث كروي مكون من الرءوس (نقطة السمت) و (القطب السماوي الشمالي) والجرم السماوي .

من أجل التحديد الكامل لموقع جرم سماوي ، نحتاج لنقطة مرجعية أخرى. تُسمى الدائرة الكبيرة التي تربط نقطة السمت والقطب الشمالي «خط الزوال». وهو يتقاطع مع الأفق في النقطة ، التي تُسمى «النقطة الجنوبية للأفق». ولتحديد موقع جرم سماوي فيما يتعلَّق بالنقطة الجنوبية، نرسم دائرة كبيرة عبر نقطة السمت والنجم تتقاطع مع الأفق في النقطة . وتُعرف الزاوية باسم «السمت» أو الاتجاه الأفقي للجرم السماوي. وفيما يتعلَّق باستخدام الطاقة الشمسية، نعتبر أن تعريف السمت يكون في اتجاه الغرب؛ من ثَم فإن سمت الشمس دائمًا ما يزيد عبر الوقت.

ويحدِّد النظام الأفقي موقع أي جرم سماوي كما يُرصَد على نحو مباشر من جانب الراصد، لكن لأن الأرض مستديرةٌ وتدور حول محورها، فإن تلك الإحداثيات تعتمد على موقع الراصد وتختلف عبر الوقت. وفي «النظام الإحداثي الاستوائي» على الجانب الآخر، فإن موقع الشمس لا يعتمد نسبيًّا على موقع الراصد. ويمكن الحصول على إحداثيات الشمس في النظام الاستوائي من خلال تحويل إحداثي لإحداثياتها في النظام الأفقي.

في النظام الاستوائي، المقابل الإحداثي لدائرة عرض الأرض هو «الميل»، ، والمقابل الإحداثي لخط طول الأرض بالنسبة لراصد ثابت هو «الزاوية الساعية»، ؛ انظر الشكل ٤-٣.

كما هو موضح، الميل هو المسافة الزاوية بين الجرم السماوي وخط الاستواء السماوي. وهو موجب النسبة للنجوم الموجودة شمال خط الاستواء السماوي وسالب لتلك الموجودة جنوبه.

كما ذكرنا من قبل، إن الدائرة العظمى التي تربط نقطة السمت والقطب السماوي هي «خط الزوال»، الذي يُعد النقطة المرجعية المكافئة لخط زوال جرينتش في الجغرافيا، والذي يتقاطع مع خط الاستواء في النقطة . وتُسمى الدائرة العظمى الرابطة بين القطب السماوي والنجم «الدائرة الساعية» التي تتقاطع مع خط الاستواء عند النقطة . والزاوية هي «الزاوية الساعية» ، المكافئة لخط الطول على الأرض. والقاعدة تقول إن الزاوية الساعية تكون موجبة إذا كان الجرم السماوي يقع غرب خط الزوال. وهذا طبيعي وملائم لموقع الشمس؛ حيث إن زاويته الساعية تحدد «التوقيت الشمسي».

هناك إحداثي آخر شائع الاستخدام في الفلك بدلًا من الزاوية الساعية وهو «المطلع المستقيم» ، الذي يعتبر «الاعتدال الربيعي» النقطة المرجعية. وسنعرض لهذا الإحداثي في القسم اللاحق.

جدول ٤-١: الكميات والرموز المستخدمة في علم الفلك الموضعي.

الكمية	الرمز	التعريف
دائرة العرض		إحداثي جغرافي
خط الطول		إحداثي جغرافي
الارتفاع		يُعرف أيضًا بالعلو
السمت		الاتجاه الأفقي
الميل		المسافة الزاوية لخط الاستواء
الزاوية الساعية		بالراديان، باتجاه الغرب
الزاوية الساعية عند غروب الشمس		بالراديان، موجبة دائمًا
الزاوية الساعية الشرقية-الغربية		بالراديان، موجبة دائمًا
المطلع المستقيم		الإحداثي السماوي المطلق
خط الطول البروجي المتوسط		على المستوى البروجي
خط الطول البروجي الحقيقي		على المستوى البروجي
الانحراف المداري		حاليًّا يساوي تقريبًا 0.0167
الميلان البروجي		حاليًّا يساوي تقريبًا 23.44 درجة

(٢-١) التحويل الإحداثي: الإحداثيات الكارتيزية

الطريقة القياسية للتحويل الإحداثي في علم الفلك الموضعي هي استخدام «حساب المثلثات الكروية»، الذي يوجد ملخص موجز له في الإحداثيات الكارتيزية ثنائية الأبعاد والإحداثيات القطبية الكروية. ويُعد التعامل مع مسألة ثنائية الأبعاد باستخدام طرق ثلاثية الأبعاد؛ أمرًا زائدًا عن الحاجة هنا، لكن لأن معظم الفيزيائيين والمهندسين معتادون على استخدام مثل هذا الأسلوب، فربما يكون أسهل في فهمه.

تظهر الإحداثيات الكارتيزية للنظام الأفقي في الشكل ٤-٤(أ). ولأن كل الأجرام السماوية تتحرك من الشرق للغرب؛ فإن يمثل الجنوب و الغرب و نقطة السمت. ويتحدَّد أي متجه وحدة يشير لجرم سماوي بزاويتين. الزاوية القطبية هي الارتفاع ، وزاوية السمت تعتبر الجنوب نقطة الصفر الخاص بها. وكما هو موضح في الشكل ٤-٤(أ)، وباستخدام متجهات الوحدة الثلاث و و للإشارة إلى و و على التوالي، فإن أي متجه وحدة يشير للشمس يكون كما يلي:

(4-1)

شكل ٤-٤: التحويل الإحداثي بالإحداثيات الكارتيزية. (أ) تستخدم الإحداثيات الكارتيزية للنظام الأفقي للجنوب و للغرب و لنقطة السمت. ويتحدَّد موقع أي جرم سماوي من خلال زاويتين: الارتفاع وزاوية السمت . (ب) الإحداثيات الكارتيزية للنظام الاستوائي تستخدم المحور للإشارة للقطب الشمالي، ويتماثل المحور الخاص بالمحور الشرقي الغربي مع ذلك الخاص بالنظام الأفقي. ويكون المحور عموديًّا على الاثنين. ويتحدَّد موقع أي جرم سماوي من خلال الميل والزاوية الساعية .

تظهر الإحداثيات الكارتيزية للنظام الاستوائي وعلاقته بالنظام الأفقي في الشكل ٤-٤(b). المحور مطابق لمقابله في النظام الأفقي. ويشير المحور للقطب الشمالي، في حين أن المحور عمودي على الاثنين. إن متجهات الوحدة في النظام الاستوائي التي تشير للمحاور و و هي على التوالي و و. وباستخدام الميل والزاوية الساعية المعرفان في الشكل ٤-٣، يكون أي متجه وحدة S يشير للشمس باستخدام و و هو:

(4-2)

من الشكل ٤-٤(ب)، تكون التحويلات بين مجموعَتَيْ متجهات الوحدة و و، و و و هي:

(4-3)

(4-4)

بحيث يكون هو دائرة العرض (الجغرافية) للراصد؛ ارجع إلى الشكلين ٤-٢ و٤-٤. وباستخدام المعادلتين 4-1 و4-2، نحصل على:

(4-5)

(4-6)

وبمقارنة المعادلتين 4-5 و4-6 بالمعادلتين 4-1 و4-2، نحصل على صيغ التحويل لمجموعتي الزوايا:

(4-7)

(4-8)

(4-9)

(4-10)

(4-11)

(4-12)

(٢-٢) التحويل الإحداثي: حساب المثلثات الكروية

يمكن الحصول بسهولة على صيغ التحويل الإحداثي باستخدام معادلات في حساب المثلثات الكروية؛ انظر الشكل ٤-٣. ويجب أن نركز انتباهنا على المثلث الكروي بالأقواس الثلاثة تساوي و تساوي وx تساوي . كما هو واضح من الشكل ٤-٣، العلاقات بين عناصر المثلث الكروي والكميات محل الاهتمام هي:

(4-13)

أولًا، دعنا نتأمَّل حالة وجود ميل وزاوية ساعية محددين في النظام الاستوائي لتحديد الارتفاع والسمت في النظام الأفقي. من الواضح أن دائرة عرض موقع الراصد معامل ضروري. وباستخدام معادلة جيب التمام:

(4-14)

مع المعادلة 4-13، نحصل على:

(4-15)

ثم باستخدام صيغة الجيب:

(4-16)

نجد أن:

(4-17)

وأخيرًا، بتطبيق المعادلة ﺟ من الملحق ب:

(4-18)

وباستخدام المعادلة 4-13، نجد:

(4-19)

إن المعادلات 4-15 و4-18 و4-19 مطابقة للمعادلات 4-7 و4-8 و4-9.

والآن، دعنا نتأمَّل حالة وجود ارتفاع وسمت محددين في النظام الأفقي لتحديد الميل والزاوية الساعية في النظام الاستوائي. مرة أخرى، من الواضح أن دائرة عرض موقع الراصد معامل ضروري.

وباستخدام صيغة جيب التمام:

(4-20)

نحصل على:

(4-21)

وبإعادة ترتيب المعادلة 4-18، نجد:

(4-22)

وبنحو مشابه لاشتقاق المعادلة 4-19، باستخدام المعادلة ﺟ:

(4-23)

نحصل على:

(4-24)

هذه المعادلات مطابقة للمعادلات من 4-10 إلى 4-12.

(٣) التوقيت الشمسي

منذ حقبة ما قبل التاريخ، تمحورت الأنشطة البشرية حول الحركة الظاهرية للشمس عبر السماء. والتوقيت الشمسي ، الذي يعتمد على الزاوية الساعية للشمس، مقياس بديهي للوقت واستُخدم لآلاف السنين في كل ثقافات العالم. وكما سنناقش في الفصل الرابع – قسم (٤)، ولأن الحركة الظاهرية للشمس غير منتظمة وتعتمد على الموقع، فإن هذا التوقيت ليس مقياسًا دقيقًا للزمن، ويمكن أن يبلغ الفرق بين التوقيت الشمسي والتوقيت القياسي المستخدم في حياتنا اليومية، حتى في ظل التقريب الجيد، أكثر من 15 دقيقة، سواء بالزيادة أو النقصان.

لعمل تقدير للإشعاع الشمسي، أحيانًا الدقة العالية لا تكون مطلوبة؛ لذا يُستخدم التوقيت الشمسي البسيط والبديهي على نحو واسع في أدبيات الطاقة الشمسية. على سبيل المثال، لحساب القيم المتكاملة لمعدل التشميس الإجمالي عبر يوم أو سنة، يكون تغيير الوقت غير ذي صلة. وتصبح المفاهيم بسيطة. على سبيل المثال، ففي وقت الظهر الشمسي، عندما تتجاوز الشمس خط الزوال، يكون التوقيت الشمسي صفرًا. ووقت شروق الشمس، الذي يكون سالبًا دائمًا، يساوي وقت غروب الشمس في المقدار. في تلك الحالة، تكون الزاوية الساعية للشمس مقياسًا للوقت. بعبارة أخرى، إذا كان هو التوقيت الشمسي على مقياس زمني قدره 24 ساعة، فإن الزاوية الساعية للشمس بالراديان هي:

(4-25)

(4-26)

(٣-١) الميلان البروجي والميل الخاص بالشمس

المستوى المداري للأرض حول الشمس، «البروج»، يكون بزاوية تسمى «الميلان البروجي أو المحوري» من خط الاستواء. ومن منظور راصد على الأرض، تتحرك الشمس في «المستوى البروجي»؛ انظر الشكل ٤-٥. على مقياس زمني قدره قرون، تختلف زاوية الميلان البروجي عبر الوقت. حاليًّا، تساوي 23.44 درجة. وهذا هو الذي يسبِّب تغيُّر الفصول.

شكل ٤-٥: الميلان البروجي والفصول. المحور الدوراني والمستوى المداري للأرض لهما زاوية ميلان ، الميلان البروجي، تُعد السبب في تكون الفصول. وهي تتسبب في وجود فرق منتظم بين التوقيت الشمسي والتوقيت المدني.

وفيما يتعلَّق بحركة الشمس عبر سنة شمسية، هناك أربع نقاط رئيسية: ففي «الاعتدال الربيعي»، يتقاطع مسار الشمس مع خط الاستواء السماوي، مع الاتجاه شمالًا. وفي «الانقلاب الصيفي»، يصل مسار الشمس إلى أقصى نقطة شمالية له، وهي نحو 23.44 درجة فوق خط الاستواء السماوي، مع الاتجاه جنوبًا. وفي «الانقلاب الشتوي»، يصل مسار الشمس إلى أدنى نقطة له، وهي نحو 23.44 درجة تحت خط الاستواء السماوي. وتختلف تواريخ وأوقات تلك النقاط الرئيسية الأربعة عامًا بعد عام.

وإلى جانب مفهوم التوقيت الشمسي، يمكن وصف حركة الشمس حول مدارها من خلال «خط الطول المتوسط» . وفي الاعتدال الربيعي، إن يساوي صفرًا. وفي الانقلاب الصيفي، يساوي ، أو 90 درجة، وفي الاعتدال الخريفي، يساوي ، أو 180 درجة، وفي الانقلاب الشتوي، يساوي، أو 270 درجة.

سنعرض لصيغة دقيقة لميل الشمس في الفصل الرابع – قسم (٤-٧). هنا، نقدم تقريبًا بسيطًا بافتراض أن الميل يختلف بنحو جيبي مع خط الطول المتوسط ؛ ومن ثَم يكون خطيًّا طبقًا لرقم اليوم في العام، ويمكن أن يكون الخطأ كبيرًا مثل 1.60 درجة، لكنه يكون مقبولًا في العديد من التطبيقات:

(4-27)

بحيث تكون هو الميلان البروجي؛ وتساوي حاليًّا 23.44 درجة؛ و رقم اليوم مع بدء العد من الأول من يناير، الذي يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

(4-28)

بحيث يكون هو رقم الشهر، و هو اليوم، و يساوي 1 بالنسبة لسنة كبيسة، و2 بالنسبة للسنة العادية. وتُعرف أي سنة كبيسة من خلال كونها قابلة للقسمة على 4 وليس 100 فيما عدا إذا كانت قابلة للقسمة على 400. وINT يعني أخذ الجزء الصحيح من العدد. ويمكن التحقق من تلك الصيغة على نحو مباشر. فالعدد 80 في معادلة 4-27 هو رقم اليوم الخاص بالاعتدال الربيعي، 20 أو 21 مارس. التاريخ الدقيق يختلف من عام لآخر، وهو يختلف أيضًا بين السنة الكبيسة والسنة العادية. وباستخدام معادلة 4-28، يمكن إثبات أن هذا التاريخ يتراوح بين 79 و81، لكن الرقم الأكثر شيوعًا هو 80.

تظهر الحركة الظاهرية للشمس لراصد على الأرض في الشكل ٤-٦. والأرض تدور حول محورها باتجاه الشرق بسبب لفها الذاتي؛ لذا ظاهريًّا تتحرك الشمس باتجاه الغرب. وبسبب الميلان البروجي، في أيام مختلفة من العام، يختلف ميل الشمس. ففي الانقلاب الشتوي، يصل ميل الشمس لأدنى قيمة له، . وفي الانقلاب الصيفي، يصل ميل الشمس إلى أقصى قيمة له، . وفي الاعتدال الربيعي أو الخريفي، يكون ميل الشمس صفرًا، وتتحرك الشمس على خط الاستواء السماوي.

شكل ٤-٦: الحركة الظاهرية للشمس. تدور الأرض حول محورها باتجاه الشرق. والحركة الظاهرية للشمس تقول إنها تتحرك باتجاه الغرب. وبسبب الميلان البروجي، في أيام مختلفة من العام، يختلف ميل الشمس. ففي الانقلاب الشتوي، يصل ميل الشمس إلى أدنى قيمة له، . وفي الانقلاب الصيفي، يصل ميل الشمس إلى أقصى قيمة له، . وفي الاعتدال الربيعي أو الخريفي، يكون ميل الشمس صفرًا، وتتحرك الشمس على خط الاستواء السماوي.

(٣-٢) وقتا الشروق والغروب

باستخدام ما عرضناه في القسم السابق، سنعطي مثالًا يستخدم وقت شروق الشمس (أو غروبها) في التوقيت الشمسي. شرط الشروق هو الوقت الذي يكون فيه ارتفاع الشمس صفرًا. وطبقًا للمعادلة 4-15، يكون الشرط:

(4-29)

أو

(4-30)

لكل قيمة لجيب التمام، هناك قيم متعددة للزاوية . على سبيل المثال، عند خط الاستواء حيث تساوي صفرًا، يكون وقت الشروق ووقت الغروب دائمًا 6 صباحًا و6 مساءً بالتوقيت الشمسي. وعدد ساعات النهار دائمًا 12 ساعة. وعند القطب الشمالي أو القطب الجنوبي، حيث يكون مساويًا ﻟ ، لا يوجد أبدًا شروق ولا غروب للشمس. وفي المناطق المعتدلة والمنطقة الاستوائية الحارة، يتحدد وقتا الشروق والغروب في ظل التوقيت الشمسي الذي يمتد لأربع وعشرين ساعة ليوم معين من العام من خلال ما يلي:

(4-31)

في المناطق القطبية المتجمدة، حيث:

(4-32)

هناك فترة زمنية في العام لا تشرق فيها الشمس ولا تغرب أبدًا.

هناك وقت آخر من اليوم يكون مفيدًا لحساب الإشعاع الشمسي وهو التوقيت الشمسي عندما تتقاطع الشمس مع الدائرة العظمى الممتدة من الشرق للغرب. والشرط هو عندما يكون السمت مساويًا ﻟ أو يساوي صفرًا. ومن معادلة 4-7، نجد أن:

(4-33)

أو فيما يتعلَّق بالتوقيت الشمسي بالساعات:

(4-34)

(٣-٣) الإشعاع الشمسي المباشر على سطح افتراضي

بالنسبة لسطح ذي اتجاه افتراضي، بزاوية قطبية وزاوية سمت ، يكون متجه الوحدة لمقداره :

(4-35)

إن المعيار الخاص بعلامة الزاوية لا يختلف عن ذلك الخاص بالزاوية الساعية: نقطة الصفر لزاوية السمت هي الجنوب وتكون موجبة باتجاه الغرب. وبالجمع بين المعادلة 4-35 والمعادلات 4-7 و4-8 و4-9، يكون جيب التمام بين مقدار السطح والإشعاع الشمسي:

(4-36)

أو بإعادة الترتيب:

(4-37)

بالنسبة لسطح يواجه الجنوب ﺑ تساوي صفرًا، يمكن تبسيط المعادلة 4-37 كما يلي:

(4-38)

تأمَّل معي الحالات الخاصة الآتية: بالنسبة لسطح أفقي بحيث تكون تساوي صفرًا:

(4-39)

عند القطب الشمالي، بحيث ،

(4-40)

وعند خط الاستواء، بحيث ،

(4-41)

بالنسبة لسطح رأسي يواجه الجنوب، بحيث تساوي ، و تساوي صفرًا:

(4-42)

عند القطب الشمالي، بحيث ،

(4-43)

وعند خط الاستواء، بحيث ،

(4-44)

إن السطح «المائل غير المعتمد على دائرة العرض» أو الذي تتساوى عنده مع له أهمية خاصة. فمعادلة 4-38 حينها ستُبسط على نحو كبير:

(4-45)

يمكن أن يحصل السطح على طاقة إشعاع عالية طوال العام بأكمله لأن جيب تمام دائمًا ما يكون أكبر من 0.93.

(٣-٤) طاقة الإشعاع الشمسي المباشر اليومي

هناك تطبيق مهم فيما يتعلَّق بالتوقيت الشمسي وهو حساب طاقة الإشعاع الشمسي المباشر على سطح في يوم صافٍ. سنتناول تأثير السحب وضوء الشمس المشتَّت في الفصل الخامس. لكن في يوم صافٍ، على سطح عمودي على ضوء الشمس، تكون القدرة 1kW/m²، وطاقة الإشعاع الإجمالية في ساعة واحدة 1kWh/m². وعندما يميل ضوء الشمس بزاوية ، تقل طاقة الإشعاع إلى حاصل ضرب جيب تمام و1kWh/m²؛ لذا فإن طاقة الإشعاع الشمسي المباشر اليومي بوحدات الكيلو واط في الساعة لكل متر مربع هي تكامل جيب تمام عبر أربع وعشرين ساعة.

تأمَّل أولًا سطحًا رأسيًّا يواجه الجنوب في المنطقة المعتدلة الشمالية؛ أي تساوي ، و تساوي صفرًا. من معادلة 4-36، نحصل على ما يلي:

(4-46)

في الأيام التي بين الاعتدال الربيعي والاعتدال الخريفي، يمكن أن يسطع ضوء الشمس على السطح الجنوبي فقط عندما توجد الشمس في النصف الجنوبي من السماء. وتكون طاقة الإشعاع الشمسي اليومي المباشر ﺑ kWh/m² هي:

(4-47)

في الأيام التي بين الاعتدال الخريفي والاعتدال الربيعي في العام التالي، يكون ضوء الشمس المتاح محدودًا في الفترة فيما بين شروق الشمس وغروبها. وتكون طاقة الإشعاع الشمسي اليومي المباشر ﺑ kWh/m² هي:

(4-48)

يعرض الشكل ٤-٧ طاقة الإشعاع الشمسي اليومي المباشر على سطح مواجه للجنوب في دوائر العرض الأربعة في المنطقة المعتدلة الشمالية في العام بأكمله. كما هو موضح، في وقت الشتاء، يتمتع السطح تقريبًا بضوء شمس كامل، فيما عدا الأماكن التي عند دوائر عرض عليا، حيث تقل طاقة الإشعاع بسبب شروق الشمس في وقت متأخر وغروبها في وقت مبكر. وفي الصيف، يكون الإشعاع الشمسي أضعف كثيرًا بسبب الميلان. وفيما يتعلَّق بالمباني ذات التصميم الشمسي السلبي، تكون النوافذ المواجهة للجنوب هي المفضلة بشدة. وبالنسبة لتطبيقات الخلايا الكهروضوئية الشمسية، تكون الألواح المواجهة للجنوب أكثر كفاءة في الشتاء، لكن الكفاءة الإجمالية لا تكون عالية.

شكل ٤-٧: طاقة الإشعاع الشمسي اليومي على سطح رأسي مواجه للجنوب. في الشتاء، يتمتع السطح تقريبًا بضوء شمس كامل، فيما عدا الأماكن التي عند دوائر العرض العليا. وفي الصيف، يكون الإشعاع الشمسي أضعف بكثير. وفيما يتعلَّق بالمباني ذات التصميم الشمسي السلبي، تكون النوافذ المواجهة للجنوب هي المفضلة بشدة. وبالنسبة لتطبيقات الخلايا الكهروضوئية الشمسية، تكون الألواح المواجهة للجنوب أكثر كفاءة في الشتاء.

بعد ذلك، تأمَّل سطحًا مواجهًا للغرب ﺑ تساوي ، و تساوي على ما يلي:

(4-49)

يبدأ ضوء الشمس عند وقت الظهر عندما تكون صفرًا ويختفي عند الغروب؛ لذا فإن طاقة الإشعاع الشمسي اليومي ﺑ kWh/m² هي:

(4-50)

مع استخدام المعادلة 4-30. وكما هو موضح في الشكل ٤-٨، في الصيف، يكون الإشعاع الشمسي أقوى بكثير مما يكون في الشتاء. وفيما يتعلَّق بالمباني ذات التصميم الشمسي السلبي، يجب تجنُّب النوافذ المواجهة للغرب قدر المستطاع. وبالنسبة لتطبيقات الخلايا الكهروضوئية الشمسية، تعمل الألواح المواجهة للغرب فقط في الصيف، لكن الكفاءة الإجمالية تبلغ النصف مقارنةً مما لو استُخدم الاتجاه المثالي؛ انظر ما سيلي ذكره.

بالنسبة للتطبيقات التي تكون على الأسطح في المدن الكبيرة، لتجنُّب التلف الهيكلي بسبب الرياح، عادةً ما تُوضع أسطح الألواح الشمسية على نحو أفقي. وحيث إن تساوي صفرًا، وباستخدام معادلة 4-36:

(4-51)

وبدمج جيب التمام عبر الوقت من شروق الشمس إلى غروبها، تكون طاقة الإشعاع اليومي هي:

(4-52)

شكل ٤-٨: طاقة الإشعاع اليومي على سطح رأسي مواجه للغرب. في الصيف، يكون الإشعاع الشمسي أقوى بكثير من الشتاء. وفيما يتعلَّق بالمباني ذات التصميم الشمسي السلبي، يجب تجنُّب النوافذ المواجهة للغرب قدر المستطاع.

يظهر التباين في طاقة الإشعاع على مدى عام في الشكل ٤-٩. وكما هو واضح، في الصيف، وبخاصة عند دوائر العرض الدنيا، تكون طاقة الإشعاع قوية، لكن في الشتاء، وبخاصة في الأماكن عند دوائر العرض الأعلى، تكون طاقة الإشعاع ضعيفة.

هناك خيار أفضل بكثير لوضع الألواح الشمسية وهو الوضع «المائل غير المعتمد على دائرة العرض». فمن المعادلة 4-45، فيما بين الاعتدال الربيعي والاعتدال الخريفي، تكون طاقة الإشعاع اليومي معتمدة فقط على زاوية السقوط:

(4-53)

شكل ٤-٩: طاقة الإشعاع اليومي على سطح أفقي. في الصيف، وبخاصة عند دوائر العرض الدنيا، تكون طاقة الإشعاع قوية. لكن في الشتاء، وبخاصة عند دوائر العرض الأعلى، تكون طاقة الإشعاع ضعيفة.

كما هو موضح في الشكل ٤-١٠، في تلك الفترة من العام، لا تعتمد طاقة الإشعاع المباشر على دائرة العرض، لكن فيما بين الاعتدال الخريفي والاعتدال الربيعي في العام التالي، يتأخر شروق الشمس عن الساعة السادسة صباحًا، وغروب الشمس عن الساعة السادسة مساءً. وتكون طاقة الإشعاع اليومي:

(4-54)

كما هو موضح في الشكل ٤-١٠، تقل طاقة الإشعاع وتعتمد على دائرة عرض المكان، ولكن ليس بنسبة كبيرة. وعبر العام بأكمله، يتم الحصول على أقصى قدر من طاقة الإشعاع الشمسي.

شكل ٤-١٠: طاقة الإشعاع اليومي على سطح مائل لا يعتمد على دائرة العرض الألواح الشمسية الموضوعة على سطح مائل لا يعتمد على دائرة العرض، تتمتع تقريبًا بأقصى قدر من طاقة الإشعاع الشمسي عبر العام بأكمله.

إذا سُمح للسطح أن يتتبع الحركة الظاهرية للشمس، فيمكن تعزيز طاقة الإشعاع اليومي أكثر. تخيل معي لوحًا شمسيًّا مُركبًا على محور موازٍ لمحور الأرض، يلف على نحو منتظم مرة واحدة كل يوم. تكون طاقة الإشعاع الشمسي اليومي هي:

(4-55)

كما هو واضح من الشكل ٤-١١، يكون الإشعاع الشمسي اليومي على سطح به نظام تتبع أحادي المحور أعلى بكثير من الأسطح الثابتة. وتكون الميزة أكثر وضوحًا في متوسط الإشعاع الشمسي اليومي المباشر عبر عام، كما هو موضح في الجدول ٤-٢. فالإشعاع الشمسي الساقط على سطح به نظام تتبع يكون أعلى بنسبة 50 بالمائة من ذلك الخاص بكل الأسطح الثابتة. ومع ذلك، وبسبب تأثير الظلال، فإن هذا السطح لا يوفر مساحة أفقية.

جدول ٤-٢: متوسط إشعاع الشمس اليومي على أسطح متعددة.

ﺑ kWh/day عند دائرة عرض	30°	40°	50°	60°
سطح رأسي، مواجه للجنوب	3.72	4.57	5.25	5.60
سطح رأسي، مواجه للغرب أو الشرق	3.31	2.93	2.46	1.91
سطح أفقي	6.25	5.43	4.39	3.11
سطح مائل غير معتمد على دائرة العرض، مواجه للجنوب	7.27	7.21	7.08	6.77
التتبع الأحادي المحور الأمثل	11.50	11.50	11.50	11.50

شكل ٤-١١: طاقة الإشعاع اليومي على سطح به نظام تتبع. الإشعاع الشمسي للوح شمسي مُركب على محور موازٍ لمحور الأرض، يلف على نحو منتظم مرة واحدة كل يوم ومماثل للوح الظاهر في ملحق الصور الشكل ٧. يكون متوسط الإشعاع الشمسي اليومي عبر العام بأكمله غير معتمد على دائرة العرض؛ انظر الجدول ٤-٢.

(٣-٥) الفصول الشمسية الأربعة والعشرون

كما هو موضح في الأقسام السابقة، تتحدد حركة الشمس في أي سنة شمسية من خلال «خط الطول البروجي» للشمس، . والاعتدال الربيعي عند يساوي صفر درجة أو 360 درجة، والانقلاب الصيفي عند يساوي 90 درجة، والاعتدال الخريفي عند يساوي 180 درجة والانقلاب الشتوي عند يساوي 270 درجة هي «النقاط الرئيسية» الأربعة. ولدراسة موقع الشمس عبر عام، نحتاج إلى مزيد من النقاط. في التقاويم الغربية التقليدية، بما في ذلك التقويم اليولياني والتقويم الجريجوري، لا يعتمد تحديد الأشهر الاثني عشر على ظواهر طبيعية، كما أنها غير متزامنة بدقة مع حركة الشمس؛ لذا فإن استخدام تواريخ التقاويم لتحديد حركة الشمس غير دقيق وغير ملائم.

لكن في شرق آسيا ومنذ أكثر من ألفي عام، كان يُستخدَم نظام تقويم شمسي خالص، ألا وهو: «الفصول أو الأيام الشمسية» الأربعة والعشرين. وهو يتحدد فقط بناءً على الحركة المدارية للأرض حول الشمس. وبنحو مماثل لقسمة متوسط اليوم الشمسي على 24 ساعة، يُقسِّم نظام الفصول الشمسية السنة الشمسية (الوقت فيما بين اعتدالين ربيعيين متتابعين) إلى 24 جزءًا متساويًا؛ انظر الجدول ٤-٣. كل عام، يُنشر التاريخ و«وقت اليوم» المحددان لكلٍّ من الفصول الشمسية الأربعة والعشرين في «التقويم الفلكي». يظهر تاريخ ووقت النقاط الرئيسية الأربعة فيما بين عامي 2011 و2020 في الجدول ٤-٤. وبسبب عدم التناسق الدقيق للتواريخ في التقويم الجريجوري مع الاعتدال الربيعي، تختلف التواريخ بمعدل يوم أو يومين فقط من عام لآخر. وحيث إن «خط الطول البروجي» للشمس في كل فصل شمسي محدد بدقة باستخدام صيغة ميل الشمس (انظر معادلة 4-27)، فيمكن حساب ميل الشمس في الفصول الشمسية الأربعة والعشرين كما يلي:

(4-56)

بحيث تكون ترتيب الفصل الشمسي، كما هو موضح في الجدول ٤-٣. استُخدم الرقم 6 لأن الاعتدال الربيعي في الجدول ٤-٣. ترتيبه السادس.

جدول ٤-٣: الفصول الشمسية الأربعة والعشرون.

الرقم	الاسم	الاسم بنظام الكتابة الصيني «بينيين»	(بالدرجات)	التاريخ التقريبي
0	الانقلاب الشتوي	دونجزي	270°	22 ديسمبر
1	البرد الصغير	شياوهان	285°	6 يناير
2	البرد الكبير	داهان	300°	20 يناير
3	بداية الربيع	ليتشون	315°	4 فبراير
4	بداية المطر	يوشوي	330°	19 فبراير
5	يقظة الحشرات	جينجزه	345°	6 مارس
6	الاعتدال الربيعي	تشونفين	0°	21 مارس
7	يوم الصفاء	تشينج مينج	15°	5 أبريل
8	غيث الحبوب	جويو	30°	20 أبريل
9	بداية الصيف	ليشيا	45°	6 مايو
10	امتلاء السنابل	شياومان	60°	21 مايو
11	البذار الصيفي	مانجزونج	75°	6 يونيو
12	الانقلاب الصيفي	شيازي	90°	21 يونيو
13	الحر الصغير	شياوشو	105°	7 يوليو
14	الحر الكبير	داشو	120°	23 يوليو
15	بداية الخريف	ليتشوي	135°	8 أغسطس
16	اختفاء الحر	تشوشو	150°	23 أغسطس
17	الندى الأبيض	بايلو	165°	8 سبتمبر
18	الاعتدال الخريفي	تشيوفين	180°	23 سبتمبر
19	الندى البارد	هانلو	195°	8 أكتوبر
20	نزول الصقيع	شوانججيانج	210°	23 أكتوبر
21	بداية الشتاء	ليدونج	225°	7 نوفمبر
22	الثلجة الصغيرة	شياوشوه	240°	22 نوفمبر
23	الثلجة الكبيرة	داشوه	255°	7 ديسمبر

تقليديًّا، في التقويم الآسيوي، يُعرَف الفصل الشمسي الأول باسم «بداية الربيع». وهو مكافئ لاعتبار الساعة الثالثة صباحًا وقت بداية اليوم. وربما يرجع السبب في هذا إلى أن هذا الفصل يتزامن مع بداية الأنشطة الزراعية كل عام، لكن الفصل الشمسي الذي من المنطقي البداية به هو «الانقلاب الشتوي»، والذي هو مكافئ لاعتبار منتصف الليل وقت بداية اليوم.

(٤) التوقيت القياسي

لقرون عديدة، وعبر أنحاء العالم، استخدم البشر حركة الشمس لمعرفة الوقت، أو ما يعرف ﺑ «التوقيت الشمسي»، لكن نظرًا لأن حركة الشمس ليست منتظمة، فإن التوقيت الشمسي يختلف على نحو كبير عن التوقيت المحدد عبر حركة منتظمة، على سبيل المثال: دوران الأرض أو البندول أو الساعة الذرية، التي تمثل حركة الشمس المتوسطة الافتراضية. ويمكن أن يصل الفارق إلى 16 دقيقة أو أكثر. ولتركيب نظام تتبع لضوء الشمس يعتمد على توقيت قياسي، يجب أن يُوضع الفارق في الاعتبار في حدود أقرب مستوى مقبول للدقة. في هذا القسم، سنعرض لمعالجة يسهل فهمها وتخطيطها، لكنها دقيقة على نحو كافٍ لاستخدام الطاقة الشمسية.

(٤-١) التوقيت النجمي والتوقيت الشمسي

على مستوى عالٍ جدًّا من دقة التقريب، تكون السرعة المتجهة الزاوية لدوران الأرض رقمًا ثابتًا؛ ومن ثَم فإن الفترة الزمنية بين مرورين متتاليين لنجم ثابت معين فوق خط زوال الراصد هي أيضًا رقم ثابت، وهو قياس دقيق للوقت، يُسمى «اليوم النجمي»، لكن لأن للأرض أيضًا حركة مدارية حول الشمس، فإن مدة اليوم الشمسي تختلف عن تلك الخاصة باليوم النجمي؛ انظر الشكل ٤-١٢. على سبيل المثال، في منتصف الليل، يَرى أي راصد نجمًا ثابتًا بعيدًا في خط زواله. وفي الوقت الذي يمر نفس هذا النجم بخط الزوال ثانية، تكون الأرض قد دارت حول الشمس بزاوية

(4-57)

لذا فإن اليوم الشمسي أطول ﺑ 0.273 بالمائة عن اليوم النجمي. ولأن التوقيت الشمسي هو التوقيت المألوف لدينا، وحيث إن الدوران بزاوية 360 درجة هو المقابل ﻟ 24 ساعة، فإن متوسط التوقيت الشمسي للأربع والعشرين ساعة يساوي:

(4-58)

من التوقيت النجمي، وطول أي يوم نجمي هو:

(4-59)

من التوقيت الشمسي.

شكل ٤-١٢: التوقيت النجمي والتوقيت الشمسي. بما أن الأرض تدور حول محورها كما تدور حول الشمس، فإن مدة اليوم الشمسي تختلف عن تلك الخاصة باليوم النجمي؛ فاليوم الشمسي أطول ﺑ 0.273 بالمائة عن اليوم النجمي.

في المعادلات السابقة، قدَّمنا مصطلح «متوسط التوقيت الشمسي». إننا نستخدم هنا نموذجًا مبسطًا للحركة المدارية للأرض حول الشمس؛ وهي دائرة كاملة عبر خط الاستواء النجمي بسرعة زاوية منتظمة. بالنسبة لراصد على الأرض، مثل هذه الشمس الافتراضية ذات الحركة المنتظمة عبر خط الاستواء السماوي تُسمى «الشمس المتوسطة».

من واقع الشكل ٤-١٢، تعتمد القيمة الفعلية للوقت على مكان الراصد. على وجه التحديد، تعتمد على خط طول الراصد. ولإيجاد توقيت عالمي، يجب تحديد خط طول قياسي. وبنحو مماثل لحالة تحديد نقطة صفر خط الطول، فإن خط الطول القياسي للتوقيت العالمي هو «خط الطول الأساسي» الموجود عند جرينتش. ويسمى التوقيت الذي يبدأ عند منتصف الليل في جرينتش «توقيت جرينتش» أو غالبًا «التوقيت العالمي».

العالم مقسم إلى «مناطق زمنية». كل منطقة لها تعريف للوقت يختلف في الغالب بعدد صحيح من الساعات عن توقيت جرينتش أو التوقيت العالمي. على سبيل المثال، التوقيت القياسي الشرقي يتخلف خمس ساعات وراء التوقيت العالمي، وفي فصل الصيف، التوقيت الصيفي الشرقي يتخلف أربع ساعات وراء التوقيت العالمي.

(٤-٢) المطلع المستقيم للشمس

كما أوضحنا في الفصل الرابع – قسم (٢)، في النظام الإحداثي الاستوائي، يمكن تحديد موضع نجم من خلال الميل والزاوية الساعية. وميل أي نجم لا يختلف عبر الوقت، لكن بسبب دوران الأرض، فإن الزاوية الساعية للنجم تختلف عبر الوقت. وباستخدام «المطلع المستقيم» بدلًا من الزاوية الساعية، تكون إحداثيات كل نجم ثابت، بقدر كبير من الدقة، ثابتة.

على نحو مشابه لحالة خط الطول على الأرض، يجب اختيار نقطة ثابتة على الكرة السماوية باعتبارها النقطة المرجعية. والنقطة المختارة عالميًّا هي «الاعتدال الربيعي» ، وهي النقطة التي تتقاطع عندها الشمس مع خط الاستواء السماوي بينما تتجه شمالًا؛ انظر الشكل ٤-١٣. وتُسمى الزاوية بين تقاطع خط الزوال المار عبر النجم مع خط الاستواء والاعتدال الربيعي المطلع المستقيم للنجم. والمعيار المتبع فيما يتعلَّق بعلامة المطلع المستقيم هو عكس ذلك الخاص بالزاوية الساعية؛ فهي تكون موجبة باتجاه الشرق. وبالنسبة لحركة الشمس، هذا التقليد طبيعي لأنه يزيد مع رقم اليوم في العام.

(٤-٣) اختلاف التوقيت الناتج عن الميلان البروجي

كما ذكرنا من قبل، هناك مصدران للاختلاف بين حركة الشمس الحقيقية والشمس المتوسطة. الأول هو الميلان البروجي . يُقاس الوقت بزاوية الشمس المتوسطة على خط الاستواء، لكن الشمس الحقيقية تتحرك على المستوى البروجي. وبافتراض أن الشمس تتحرك على نحو منتظم على المستوى البروجي، يكون «خط طولها المتوسط» دالة خطية للوقت. ويزيد خط الطول المتوسط للشمس بمقدار في أثناء أي سنة شمسية؛ انظر الشكل ٤-١٣. وبأخذ رقم اليوم باعتباره وحدة الوقت والاعتدال الربيعي Υ باعتباره نقطة الصفر، الذي يكون 20 أو 21 مارس، أي، تقريبًا اليوم الثمانين من العام، يكون خط الطول المتوسط بالراديان هو:

(4-60)

يمكن حساب رقم اليوم باستخدام معادلة 4-28. يظهر التاريخ والوقت الدقيقان للاعتدال الربيعي في الجدول ٤-٤.

شكل ٤-١٣: الميلان البروجي ومعادلة الوقت. بسبب الميلان البروجي، وحتى إذا كانت الأرض تدور حول الشمس بسرعة زاوية منتظمة، فإن تقدير سرعة الحركة الظاهرية للشمس على خط الاستواء ليس منتظمًا. وهذا يؤدي إلى وجود اختلاف بين توقيت الشمس المتوسطة وتوقيت الشمس الحقيقية بدورية نصف عام.

بسبب الميلان البروجي، فإن تقدير خط الطول l على خط الاستواء السماوي، المطلع المستقيم ، ليس خطيًّا مع الوقت. وباستخدام الصيغة الخاصة بمثلث كروي مستطيلي، نجد العلاقة التالية:

(4-61)

حاليًّا، يساوي تقريبًا 23.44 درجة وجيب تمامه يساوي تقريبًا 0.917، أي، قريبًا جدًّا من الواحد الصحيح. وباستخدام مطابقة خاصة بحساب المثلثات:

(4-62)

يمكن كتابة المعادلة 4-61 كما يلي:

(4-63)

وباستخدام العلاقة الواضحة:

(4-64)

نجد ما يلي:

(4-65)

ولأن كمية صغيرة وحيث إن يساوي تقريبًا و يساوي تقريبًا ، فيمكن أن نحصل على معادلة عبر تقريب من الدرجة الأولى ﻟ ،

(4-66)

(٤-٤) الأوج والحضيض

المصدر الثاني للاختلاف بين الشمس المتوسطة الافتراضية والشمس الحقيقية هو أن مدار الأرض على شكل قطع ناقص وليس دائرة. والمسافة بين الأرض والشمس تكون هي الأبعد عند «الأوج» والأقرب عند «الحضيض». والمقابل الإنجليزي للأوج aphelion، مشتق من الكلمتين اليونانيتين apo وتعني «بعيدًا عن» وhelios وتعني «الشمس»، في حين أن المقابل الإنجليزي للحضيض perihelion، يتضمن الكلمة اليونانية peri وتعني «قريبًا من». نعرض تاريخ ووقت اليوم لكل أوج وحضيض فيما بين عامَيْ 2011 و2020 في الجدول ٤-٤. (دقة الوقت الخاص بالأوج والحضيض مُقربة للساعة، في حين أن دقة الاعتدالين والانقلابين مقربة للدقيقة.) وتكون المسافة بين الأرض والشمس أبعد بنحو 3 بالمائة في الأوج مقارنة بتلك التي تكون في الحضيض. ولأن شدة الإشعاع تتناسب عكسيًّا مع مربع المسافة، فإن قدرة الإشعاع الشمسي في بداية يناير تكون أقوى بنسبة 6 بالمائة من تلك التي تكون في بداية يوليو.

جدول ٤-٤: النقاط الرئيسية فيما بين عامَيْ 2011 و2020.

العام	الحضيض	الأوج	الاعتدالان	الانقلابان
2011	3 يناير، الساعة 19	4 يوليو، الساعة 15	20 مارس، 23:21	21 يونيو، 17:16
			23 سبتمبر، 09:05	22 ديسمبر، 05:30
2012	5 يناير، الساعة 1	5 يوليو، الساعة 4	20 مارس، 05:14	20 يونيو، 23:09
			22 سبتمبر، 14:49	21 ديسمبر، 11:12
2013	2 يناير، الساعة 5	5 يوليو، الساعة 15	20 مارس، 11:02	21 يونيو، 17:16
			22 سبتمبر، 20:44	22 ديسمبر، 05:30
2014	4 يناير، الساعة 12	4 يوليو، الساعة 0	20 مارس، 16:57	21 يونيو، 16:38
			23 سبتمبر، 02:29	22 ديسمبر، 04:48
2015	4 يناير، الساعة 7	4 يوليو، الساعة 15	20 مارس، 22:45	21 يونيو، 17:16
			23 سبتمبر، 08:21	22 ديسمبر، 05:30
2016	2 يناير، الساعة 23	4 يوليو، الساعة 16	20 مارس، 04:30	20 يونيو، 22:34
			22 سبتمبر، 14:21	21 ديسمبر، 10:44
2017	4 يناير، الساعة 14	3 يوليو، الساعة 20	20 مارس، 10:29	21 يونيو، 04:24
			22 سبتمبر، 20:02	21 ديسمبر، 16:28
2018	3 يناير، الساعة 6	6 يوليو، الساعة 17	20 مارس، 16:15	21 يونيو، 10:07
			23 سبتمبر، 01:54	21 ديسمبر، 22:23
2019	3 يناير، الساعة 5	4 يوليو، الساعة 22	20 مارس، 21:58	21 يونيو، 15:54
			23 سبتمبر، 07:50	22 ديسمبر، 04:19
2020	5 يناير، الساعة 8	4 يوليو، الساعة 12	20 مارس، 03:50	20 يونيو، 21:44
			22 سبتمبر، 13:31	21 ديسمبر، 10:02

(٤-٥) اختلاف التوقيت الناتج عن الانحراف المداري

إن انحراف مدار الأرض حول الشمس جعله طرفًا آخر في معادلة الوقت. وطبقًا للقانون الأول لكبلر، فإن مدار الأرض حول الشمس قطع ناقص، كما أن موقع الشمس موجود في إحدى بؤرتَي القطع الناقص. بالنسبة لراصدٍ على الأرض، تدور الشمس حول الأرض عبر قطع ناقص:

(4-67)

بحيث إن هي المسافة اللحظية فيما بين الشمس والأرض، و هو انحراف القطع الناقص، وحاليًّا يساوي 0.0167، و هو خط الطول الحقيقي للشمس عبر البروج، و هو خط الطول الحقيقي للحضيض، و عبارة عن ثابت.

شكل ٤-١٤: انحراف مدار الأرض: قوانين كبلر. طبقًا لقوانين كبلر، تدور الأرض حول الشمس في مدار على هيئة قطع ناقص. وهذا يؤدي إلى وجود اختلاف بين توقيت الشمس المتوسطة وتوقيت الشمس الحقيقية بدورية عام.

وطبقًا للقانون الثاني لكبلر، فإن المتجه النصف قطري الخاص بالقطع الناقص يقطع مساحات متساوية خلال أزمنة متساوية:

(4-68)

ولأن الانحراف المداري صغير، فيمكن توسيع الدالة المتكاملة للمعادلة 4-68 إلى متسلسلة أُسية:

(4-69)

لعام بأكمله، يزيد خط الطول بمقدار وتعود دالة الجيب لقيمتها الأصلية.

والآن، نربط بين خط الطول الحقيقي للشمس، ، وخط الطول المتوسط الذي ناقشناه في القسم السابق، والذي يتناسب مع الوقت. وبالنسبة لسنة شمسية، تزيد الكميتان بمقدار . وهكذا نحصل على ما يلي:

(4-70)

إذا كان الانحراف المداري لا يُذكَر، فنحصل على:

(4-71)

للحصول على تقريب من الدرجة الأولى، نستبدل ﺑ في الطرف الثاني من معادلة 4-70، مما ينتج عنه:

(4-72)

بحيث إن هو خط طول الحضيض. ويعتمد الطرف الثاني من المعادلة 4-72 على انحراف المدار.

(٤-٦) معادلة الوقت

بالجمع بين المعادلتين 4-72 و4-66، نحصل على تعبير كامل لمعادلة الوقت بتقريب من الدرجة الأولى للميلان البروجي وبتقريب من الدرجة الأولى للانحراف المداري بحيث يساوي 0.0167:

(4-73)

إن وحدة قياس زاويتي و هي الراديان. والدائرة الكاملة تساوي . ولتحويل الوحدة إلى الوقت الذي نعرفه، نلاحظ أن الشمس المتوسطة تدور حول الأرض كل 24 ساعة. والوقت الذي تستغرقه الشمس المتوسطة لتدرك الشمس الحقيقية، أو العكس، باتباع المعادلة 4-73، هو:

(4-74)

في المعادلة 4-74، وكما هو معتاد، فإن الفارق في الوقت يُعبَّر عنه بالدقائق. وباستخدام الصيغة التقريبية لخط الطول المتوسط ، المعادلة 4-27، يمكن الحصول على تعبير صريح عن معادلة الوقت كما يلي:

(4-75)

هنا من المفترض أن يكون تاريخ الحضيض 3 يناير. ويمكن حساب رقم اليوم في السنة باستخدام المعادلة 4-28. والمعادلة 4-75 دقيقة بالنحو الكافي للتعامل مع المسائل الخاصة بتتبُّع ضوء الشمس. يعرض الشكل ٤-١٥ مخططًا لذلك. تذكر أن الزاوية الساعية تُقاس في اتجاه مضاد لقياس المطلع المستقيم وأن معادلة الوقت يجب أن تُضاف للزاوية الساعية للشمس، مما يعني أن تلك المعادلة إذا كانت موجبة، فإن الشمس الحقيقية تكون أسرع من الشمس المتوسطة.

شكل ٤-١٥: معادلة الوقت. المنحنى السميك، الفارق بين التوقيت الشمسي المتوسط والتوقيت الشمسي الحقيقي، المعادلة المعروفة بمعادلة الوقت، له طرفان. الطرف الأول، المنحنى المتصل الرفيع، له دورية عام، وينشأ عن انحراف المدار، ويبدأ عند الأوج. والطرف الآخر، المنحنى المتقطع، له دورية نصف عام، وينشأ عن الميلان البروجي، ويبدأ عند الاعتدال الربيعي.

يمكن استخدام المعادلة 4-75 لتحويل التوقيت القياسي إلى توقيت شمسي. ويُحدد التوقيت القياسي من خلال مقابلة من التوقيت العالمي، التي تكون تقريبًا دائمًا عددًا صحيحًا من الساعات. على سبيل المثال، التوقيت القياسي الشرقي يتخلَّف خمس ساعات وراء التوقيت العالمي؛ أي أن تساوي −5، والتوقيت الصيفي الشرقي يتخلَّف أربع ساعات وراء التوقيت العالمي؛ أي أن تساوي −4؛ لذا فإن التوقيت الشمسي هو:

(4-76)

بحيث يكون هو خط طول الراصد وتقابل كل ساعة 15 درجة، وET هي معادلة الوقت المحددة من خلال المعادلة 4-73.

وبضبط على صفر، يمكن تحديد التوقيت القياسي لوقت الظهر الشمسي، ، من معادلة 4-76:

(4-77)

كمثال، إن بالنسبة لمدينة نيويورك، عندما يساوي −73 درجة و58 دقيقة قوسية، تساوي −4 ساعات و56 دقيقة. وبالنسبة للتوقيت القياسي الشرقي، فإن تساوي −5. وفي وقت الظهر بالتوقيت القياسي الشرقي، التوقيت الشمسي المتوسط يكون 12:04 فيما بعد الظهر. وفي منتصف نوفمبر، تعطي معادلة 4-75 معادلة وقت تساوي 16 دقيقة؛ مما يعني أن الشمس الحقيقية تكون أسرع بمعدل 16 دقيقة من الشمس المتوسطة؛ لذا ففي الساعة 12:00 بالتوقيت القياسي الشرقي، يكون التوقيت الشمسي 12:20 ظهرًا. وتكون الشمس غرب خط الزوال بخمس درجات.

(٤-٧) ميل الشمس

في الفصل الرابع – قسم (٣-١)، عرضنا معادلة تقريبية لميل الشمس (معادلة 4-27). هنا، سنشتق معادلة أكثر دقة لميل الشمس. إن النقطة المرجعية لميل الشمس هي الاعتدال الربيعي، حيث بحسب التعريف يكون الميل صفرًا، ويكون خط الطول البروجي أيضًا صفرًا. إذا كان خط طول الشمس خطيًّا مع الوقت، فتعطي صيغة الجيب ما يلي:

(4-78)

لكن تؤدي الحركة البروجية لطرف إضافي:

(4-79)

من ثَم، تكون:

(4-80)

(٤-٨) مخطط الميل

كنتيجة مجمعة لمعادلة الوقت واختلاف الميل، فإن الموقع الظاهري للشمس في وقت معين من اليوم يختلف عبر التاريخ في العام، مما يكوِّن مسارًا محدد المعالم على السماء يُطلق عليه «مخطط الميل» أو «الأنالِمة». يمكن تسجيل المسار بتثبيت كاميرا باتجاه السماء الجنوبية (في نصف الكرة الشمالي)، وأخذ صورة واحدة في نفس الوقت من اليوم كل يوم، ثم تجميع صور الأيام الشمسية معًا. سيظهر نمط على شكل رقم ثمانية باللغة الإنجليزية. ملحق الصور الشكل ٢ جمعه الفلكي اليوناني أنتوني أيوماميتيس من 47 صورة فوتوغرافية لليوم الصافي مأخوذة في عام 2003 قرب معبد أبوللو، بمدينة كورنث، اليونان.

مسائل

(4-1) بالنسبة لمكان في المنطقة المتجمدة بدائرة عرض يحقق ما يلي: ، حدِّد أول يوم وآخر يوم من العام لا تغرب فيه الشمس.
(4-2) بالنسبة لمكان في المنطقة المتجمدة بدائرة عرض يحقق ما يلي: حدِّد أول يوم وآخر يوم من العام التالي لا تشرق فيه الشمس.
(4-3) بالنسبة لنافذة مواجهة للجنوب بمساحة ، احسب إجمالي الإشعاع الشمسي لأي يوم في العام.

تلميح: بالنسبة للأيام التالية للاعتدال الربيعي والسابقة على الاعتدال الخريفي، يكون وقت الإشعاع بين النقطتين حيث تتقاطع الشمس مع الدائرة العظمى الممتدة من الشرق للغرب. وفي غير ذلك، تكون الشمس في الجانب الغربي من المبنى.
(4-4) في «التقويم الفلكي» لعام 2009، الأطراف الأساسية لمعادلة الوقت بالدقائق هي (باستخدام ترميزنا):

(4-81)

بحيث:

(4-82)

بحيث هو عدد الأيام بدءًا من الأول من يناير، و هو خط الطول المتوسط للشمس.

الأسئلة

(1) ما معنى العدد 0.985647؟

(2) ما معنى زاوية الطور ؟
(4-5) اكتب طرفي الجيب وجيب التمام للمعادلة 4-81 في الشكل ، بحيث زاوية طور ثابتة. وضح معنى الثابت .
(4-6) حدد وقت غروب الشمس (بالتوقيت الشمسي) وطول وقت النهار لمدينة نيويورك في يوم رأس السنة ويوم الذكرى وعيد العمال وعيد الشكر.
(4-7) ما نسبة القدرة الشمسية على سطح رأسي مواجه للجنوب، وسطح أفقي، وسطح مائل غير معتمد على دائرة العرض في وقت الظهر الشمسي في أحد الاعتدالين (الربيعي أو الخريفي) لمدينة نيويورك؟
(4-8) في مدينة نيويورك، حيث دائرة العرض ، في يوم الذكرى (25 مايو) وعيد الشكر (27 نوفمبر) لعام 2009، في وقت الظهر الشمسي، حدد ميل الشمس وارتفاعها وكثافة القدرة الخاصة بضوء الشمس المباشر بالواط لكل متر مربع على سطح أفقي.
(4-9) في مدينة نيويورك، حيث دائرة العرض دائرة العرض وخط الطول ، في يوم الذكرى (25 مايو) وعيد الشكر (27 نوفمبر) لعام 2009، حدد التوقيت المدني (التوقيت القياسي الشرقي أو التوقيت الصيفي الشرقي إذا لزم الأمر) لوقت الظهر الشمسي (الوقت الذي تتقاطع فيه الشمس مع خط الزوال المحلي).
(4-10) حدد وقت البداية ووقت النهاية للإشعاع الشمسي على سطح باتجاه افتراضي ﺑ و.
(4-11) حدد وقت البداية ووقت النهاية للإشعاع الشمسي على سطح مواجه للجنوب بحيث تساوي صفرًا ولا تساوي صفرًا.
(4-12) حدد الإشعاع اليومي المباشر لسطح مواجه للجنوب بحيث تساوي صفرًا ولا تساوي صفرًا.