الكينماتيكا: الوصف الرياضياتي للحركة

دعنا نتأمل جسمًا ماديًّا (جسيمًا) محدَّد الحركة على طول خط مستقيم معيَّن (مثلًا: سيارة متحركة على طريق سريع مستقيم). إذا اتخذنا نقطةً ما على الخط لتكون نقطة الأصل، فيمكن تعيين موضع الجسيم عند أي لحظة بعدد يعطي المسافة من نقطة الأصل إلى الجسيم. تُعيَّن قيم موجبة للنقاط الموجودة على أحد جانبي نقطة الأصل، وتُعيَّن قيم سالبة للنقاط الموجودة على الجانب الآخر لنقطة الأصل، وبهذا تكون كل قيمة من مناظرة لنقطة وحيدة. أما أي الاتجاهين هو الموجب وأيهما يكون السالب، فهذا أمر اتفاقي. تعتمد قيمة العددية بصورة واضحة على وحدة الطول التي نستخدمها (مثلًا: القدم، أو المتر، أو الميل). إذا لم يكن الجسيم ساكنًا فإن سوف تتغير مع الزمن. يُرمز لقيمة عند زمن بالرمز .

تُعَرَّف السرعة المتوسطة لجسيم خلال الفترة الزمنية من إلى بالعلاقة: أي إنها التغير في الموضع مقسومًا على التغيُّر في الزمن. إذا رسمنا رسمًا بيانيًّا ﻟ مقابل (مثلًا، شكل ١-١) سوف نرى أن ما هو إلا ميل الخط المستقيم المتقطع الذي يصل بين النقطتين اللتين تمثلان موضعي الجسيم عند الزمنين و.

إن المفهوم الأهم والأكثر دقة هو مفهوم السرعة اللحظية (التي يظهرها عداد السرعة في سيارتك). إذا أبقينا على ثابتة وتركنا تقترب أكثر فأكثر من ، فإن حاصل المقدار سوف يقترب من قيمة نهائية محددة (شريطة أن يكون الرسم البياني ﻟ مقابل سلسًا بدرجة كافية) هي ميل المماس لمنحنى مقابل عند النقطة . يطلق على هذه القيمة النهائية، التي يمكن اعتبارها متوسط السرعة خلال فترة زمنية متناهية الصغر تتضمن الزمن : «السرعة اللحظية عند زمن »، أو باختصار أكثر «السرعة عند زمن ». وتُكتب على الصورة: هذه المعادلة مألوفة لأي شخص درس علم حساب التفاضل، يسمى الجانب الأيمن «بمشتقة بالنسبة إلى » التي كثيرًا ما يُرمز لها بالرمز . ومن ثَمَّ يكون .

إذا كانت معطاة في هيئة معادلة صريحة، فيمكننا حساب إما مباشرة من المعادلة (1-2) أو باستخدام قواعد حساب المشتقات التي تُدَرَّس في مناهج حساب التفاضل والتكامل (هذه القواعد، منها مثلًا: ، تلخص فقط نتائج تعيين الجانب الأيمن من (1-2) لدوال من متعددة الصور). أحد التمارين المفيدة هو رسم منحنى بياني كيفي سليم عندما تكون معطاة في هيئة منحنًى بياني بدلًا من أن تكون معطاة في هيئة علاقة رياضياتية. افترض، على سبيل المثال، أن الرسم البياني هو شكل ١-٢. نرسم منحنًى بيانيًّا عن طريق تقدير الميل للمنحنى البياني مقابل عند كل نقطة. سنجد أن الميل يكون موجبًا عند (وتكون له قيمة عددية تقدر بحوالي ٢٠٠ قدم/ثانية، مع أننا لسنا مهتمِّين هنا بالأرقام الدقيقة جدًّا) ويستمر موجبًا ولكن بقيم متناقصة حتى . ويكون الميل صفرًا بين و، ثُمَّ يصبح بعدها سالبًا، وهكذا. (إذا كانت قيمة الموجبة تعني أن الجسم يتحرك إلى الأمام، فإن قيمة السالبة تعني أن الجسم يتحرك إلى الخلف.) الشكل ١-٣ يعرض منحنًى بيانيًّا تقريبيًّا ﻟ .

إذا كان لدينا ، إما في هيئة علاقة رياضياتية أو منحنًى بياني، فإنه يمكننا حساب . العملية الرياضياتية لإيجاد الدالة عندما يكون مقدار ميلها معلومًا عند جميع النقاط تسمى «التكامل». فمثلًا، إذا كان ، فإن ، حيث ثابت ما (البرهان ببساطة هو حساب والتأكُّد من أننا نحصل على المرغوبة). ظهور الثابت الاعتباطي في ليس مفاجئًا؛ لأن العلم بالسرعة عند جميع الأزمنة ليس كافيًا تمامًا لتعيين الموضع عند جميع الأزمنة على نحو كامل. فينبغي لنا أيضًا أن نعلم من أين بدأ الجسم؛ أي، قيمة عند . فإذا كان ، فإن .

لنفترض أن لدينا مثلًا المنحنى البياني ، شكل ١-٤. ولنتدبر المستطيل المظلل الذي ارتفاعه وعرضه ، حيث فترة زمنية قصيرة جدًّا.

مساحة هذا المستطيل هي ، وتساوي الإزاحة (أي التغير في ) للجسيم خلال الفترة الزمنية من إلى . (بالمعنى الدقيق، لا تكون العبارة السابقة صحيحة تمامًا إلا إذا كانت ثابتة خلال الفترة الزمنية من إلى ، ولكن إذا كان التغير صغيرًا بدرجة كافية فيمكن إهمال تغير خلال هذه الفترة.) إذا كان و هما أي زمنين، وقمنا بتقسيم الفترة بينهما إلى فترات كثيرة صغيرة، فإن الإزاحة خلال أيٍّ من تلك الفترات الجزئية تساوي تقريبًا مساحة المستطيل المناظر في شكل ١-٥. ومن ثم، فإن محصلة الإزاحة تساوي تقريبًا مجموع مساحات المستطيلات. وكلما كانت الفترات الجزئية أصغر فأصغر، يصير من الممكن إهمال الخطأ في هذا التقريب؛ وبذلك نجد أن المساحة تحت الجزء من منحنى مقابل الواقع بين زمن و تساوي الإزاحة التي يجتازها الجسيم خلال تلك الفترة الزمنية.

إن العبارة السابقة صحيحة حتى لو أصبحت سالبة، بشرط أن نُعرِّف المساحة بأنها سالبة في المناطق التي تكون فيها سالبة. بلغة حساب التكامل نكتب: يسمى الجانب الأيمن من المعادلة (1-3) «تكاملَ بالنسبة إلى من إلى »، ويعرَّف رياضيًّا بأنه نهاية مجموع مساحات المستطيلات في شكل ١-٥ عندما تئول مقادير عرض المستطيلات المفردة إلى صفر.

مثال ١-١ (حساب المسافة والسرعة المتوسطة). يبين شكل ١-٦ سرعة سيارة ما كدالَّة في الزمن. احسب بُعد السيارة عن نقطة بدايتها عند . احسب السرعة المتوسطة خلال الفترة من إلى ، وخلال الفترة من إلى .

الحل. حساب المساحات ؛ ؛ ؛ . ؛ السرعة المتوسطة من إلى تساوي ؛ السرعة المتوسطة من إلى تساوي . [ملحوظة: بعد أن يتعلم الطلاب المزيد من العلاقات، سوف يستخدم الكثير منهم علاقات رياضياتية بدلًا من الحساب البسيط للمساحات ويحصلون على نتيجة خاطئة.]

مثال ١-٢ . سيدة تقود سيارتها بين كشكين لتحصيل الرسوم يبعدان ٦٠ ميلًا عن بعضهما. تقود الثلاثين ميلًا الأولى بسرعة مقدارها ٤٠ ميلًا في الساعة. ما مقدار السرعة (الثابتة) التي ينبغي أن تقود بها الأميال المتبقية لكي يكون مقدار سرعتها المتوسطة بين كشكي دفع الرسوم ٥٠ ميلًا في الساعة؟

الحل. إذا كان هو الزمن الكلي مقاسًا بالساعة و، يكون . زمن الثلاثين ميلًا الأولى هو:   . وبذلك، يكون زمن الثلاثين ميلًا المتبقية هو: . وينبغي أن يكون مقدار السرعة أثناء قطع الثلاثين ميلًا الثانية هو: .

تُعَرَّف العجلة بأنها معدل تغير السرعة. وتُعَرَّف العجلة المتوسطة خلال الفترة من إلى بالمعادلة: حيث و هما القيمتان اللحظيتان للسرعة عند الزمنين و. تُعَرَّف العجلة اللحظية بأنها العجلة المتوسطة خلال فترة زمنية متناهية الصغر؛ أي: بما أن ، فيمكننا كتابة (بلغة حساب التفاضل والتكامل) . نؤكِّد على أن هذا هو ببساطة اختصار للمعادلة .

بمقارنة المعادلتين (1-5) و(1-2) نجِد أن العلاقة بين و مماثلة للعلاقة بين و. يُستنتج من ذلك أنه إذا كانت معطاة برسم بياني؛ فإن ميل المُنحنى البياني هو . إذا كان معطى برسم بياني فينبغي أن نتوقع أيضًا أن المساحة تحت جزء المنحنى الواقع بين زمن وزمن تساوي التغيُّر في السرعة . المعادلة المشابهة للمعادلة (1-3) هي:

مثال ١-٣ (العجلة اللحظية). ارسم منحنًى بيانيًّا للعجلة المتوسطة إذا كانت معطاة بشكل ١-٦.

جميع المناقشات السابقة مناقشات عامة بالكامل وتُطَبَّقُ على أي حركة أحادية البعد. والحركة التي تكون العجلة فيها ثابتة مع الزمن تُعَد حالة خاصة مهمة. سوف نجِد بعد قليل أن هذه الحالة تحدث كلما كانت القوى هي نفسها دائمًا عند أي زمن. إن المنحنى البياني للعجلة مقابل الزمن بسيط (شكل ١-٧). المساحة تحت جزء هذا المنحنى البياني الواقع بين الزمن صفر وزمن تساوي . وبذلك يكون . لكي نصل إلى التعبير المستخدم بصورة شائعة نكتب بدلًا من و بدلًا من . بذلك يكون: الرسم البياني مقابل (شكل ١-٨) عبارة عن خط مستقيم ميله . يمكننا الحصول على علاقة صريحة ﻟ عن طريق إدخال هذه العلاقة في المعادلة (1-3) وإجراء التكامل أو — بدون حساب التكامل — عن طريق حساب المساحة المظللة تحت الخط في شكل ١-٨ بين و. هندسيًّا (شكل ١-٩)، تكون المساحة تحت شكل ١-٨ بين و هي العرض مضروبًا في الارتفاع عند نقطة المنتصف وهو . وبذلك نجد أن . وأخيرًا يكون: إذا أردنا استخدام حساب التفاضل والتكامل (أي: معادلة (1-3))، نكتب: (لاحظ أننا أعدنا تسمية متغير التكامل «الوهمي» لتجنب الخلط بينه وبين النهاية العظمى للتكامل.)

بمقارنة المعادلة (1-8) مع تعريف السرعة المتوسطة (معادلة (1-1)) نجد أن السرعة المتوسطة خلال أي فترة زمنية تساوي نصف مجموع السرعتين الابتدائية والنهائية. وفيما عدا حالات خاصة، يكون هذا صحيحًا فقط للحركة ذات العجلة المنتظمة.

نرغب أحيانًا في معرفة السرعة كدالة للموضع بدلًا من أن تكون دالة للزمن . بحل المعادلة (1-7) ﻟ ، أي: والتعويض في المعادلة (1-8) نحصل على:

نقوم هنا بتجميع العلاقات الرياضياتية التي سبق اشتقاقها، والقابلة جميعها للتطبيق فقط في حالة الحركة بعجلة ثابتة.

مثال ١-٤ (مسألة عجلة ثابتة). تتباطأ سيارة (بعجلة تناقصية ثابتة) من 60 mph إلى السكون خلال مسافة 500 ft. [لاحظ أن: 60 mph = 88 ft/sec]

الحل. سوف نستخدم الرموز ، .

مثال ١-٥ (مثال آخر للعجلة الثابتة). تتسارع سيارة سباق بعجلة ثابتة على شريط اندفاع مستقيم. تمر السيارة برادار (رقم ١) يقيس سرعتها اللحظية بمقدار 60 ft/s بعدها تمر برادار ثانٍ (رقم ٢) يقيس سرعتها اللحظية بمقدار 150 ft/s.

الحل. الرموز: ، ، الفترة الزمنية، الفاصل المكاني.

حركة أي جسيم لا تقتصر بالضرورة على الحركة في خط مستقيم (اعتبر، على سبيل المثال، كرة طائرة أو قمرًا صناعيًّا في مدارٍ حول الأرض)، وعمومًا يتطلب تعيين موضع الجسيم عند زمن ثلاثة محاور كارتيزية، يرمز لها عادة ، ، . تقريبًا في جميع الحالات التي سوف نناقشها، تكون الحركة محدودة في مستوى، وإذا أخذنا اثنين من محاورنا (مثلًا، المحورين و) في المستوى. عندئذٍ سيتطلب تحديد الموضع محورين اثنين فقط.

يعمم مباشرة مفهوم السرعة والعجلة على ثلاثة أبعاد. إذا كانت إحداثيات الجسيم عند زمن هي وعند هي ، حينئذ نُعرِّف سرعة المتوسطة خلال الفترة الزمنية بالمعادلة . وتُعرَّف و بمعادلتين مماثلتين. كما تُعَرَّف سرعة وسرعة وسرعة اللحظية تمامًا كما في حالة الحركة أحادية الأبعاد؛ أي إن: وهكذا. بالمثل، نُعَرِّف بتعريفات مماثلة لكل من و. وتكون عجلة اللحظية هي: مع تعريفين مماثلين لكل من و.

نقدم الرمز كاختصار للعدد الثلاثي المكوَّن من الإحداثيات الثلاث لجسيم. نسمي متجه الموضع للجسيم ونسمي و و مركبات متجه الموضع بالنسبة إلى مجموعة المحاور المختارة. يُعَبَّر عادة عن المتجه في النص المطبوع بواسطة حرف سميك (ثقيل) وفي النص المخطوط باليد أو المكتوب بالآلة الكاتبة يُعَبَّر عنه عادة بحرف فوقه سهم أفقي. (بما أن النسخة الأولية من هذا النص كانت مكتوبة على شكل حروف مطبعية؛ فقد رأينا أنه من الأنسب أن يكون الترميز باستخدام السهم.)

يُعَرَّف متجهَا السرعة والعجلة على الصورتين: [نؤكد، مرة أخرى، على أهمية فَهم ما يعنيه الفارق بين متجهين كما هو مشروح في ملحق (أ).] تحديدًا، يكون الجسيم متحركًا بعجلة تزايدية إذا كان اتجاه متجه السرعة متغيرًا، حتى لو ظل مقدار متجه السرعة (مقدار السرعة) ثابتًا.

إحدى المسائل الكينماتيكية المهمة للغاية، والتي حلها لأول مرة نيوتن (عام ١٦٨٦) هي حساب السرعة اللحظية لجسيم متحرك في دائرة بسرعة مقدارها ثابت. نسميها الحركة الدائرية المنتظمة. سوف نحل المسألة بطريقتين؛ الأولى: طريقة نيوتن.