قانونا نيوتن الأول والثالث: استاتيكا الجسيمات

(١) قانون نيوتن الأول: القوى

إجابتا السؤالين (أ) و(ب) مترابطتان. في الواقع، إذا كان في نيتنا إدخال مفهومٍ معقَّد بدرجة كافية للقوة، فسيكون القانون الأول صحيحًا بالنسبة لكلِّ مجموعة من المحاور ولا يضيف جديدًا. عبارة «المفهوم المعقَّد بدرجة كافية للقوة» تتضمن افتراض أنه طالما رأينا سرعة الجُسيم تتغيَّر فإن هناك قوة مؤثِّرة على الجُسيم حتى لو لم نكُن نرى مصدر هذه القوة.

سوف نُصِرُّ على إعطاء كلمة «قوة» معنًى محددًا جدًّا يناظر بدقة طريقةَ استخدامنا للكلمة في لغتنا اليومية. نُعَرِّف القوة أنها «الدفع أو الشد المؤثِّر بواسطة قطعة من المادة على قطعة أخرى من المادة.» هذا التعريف ليس كميًّا (سوف نقدم بعد قليل قياسًا كميًّا للقوة) ولكن يؤكد على حقيقة أنه يحق لنا أن نتكلم عن «القوة» فقط عندما نتمكن من التعرُّف على قطعة المادة التي تبذل القوة وقطعة المادة التي تُبذل عليها القوة.

سوف نرى أن المفهوم البسيط نسبيًّا «للقوة» الذي عرَّفناه سيكون كافيًا إلى حَدٍّ كبير لتأدية أغراضنا. إننا نصادف العديد من القوى في حياتنا اليومية، ولكن إذا نظرنا بتمعُّن أدق، فإنه يمكن تفسيرها جميعًا بدلالة الجذب التثاقُلي الذي تؤثر به قطعة واحدة من المادة (تكون عادة الكرة الأرضية) على أخرى. سوف نشير من حين لآخر إلى قوى «التَّماس» التي يؤثر بها أحد الجسمين على الآخر عندما يكون سطحاهما متلامسين. يمكن أن يكون لقوى «التماس» هذه، بوجه عام، مركب عمودي على السطح ومركب مماسٌّ للسطح؛ ويسمى المركَّبان على التوالي ﺑ «القوة العمودية» و«قوة الاحتكاك». إذا فحصنا المصدر الميكروسكوبي لهذه القوى، فسنجد أنها قوى كهربية بين سطح جزيئات (أو ذرات) أحد الجسمين وبين سطح جزيئات الجسم الآخر. حتى لو لم يكُن للجزيئات أي محصلة للشحنة، فكل جزيء يحتوي على شحنات موجَبة وسالبة، وعندما يقترب جزيئان من بعضهما بدرجة كافية، لا تتلاشى تمامًا القوى بين الشحنات المتنوعة ويكون هناك قوة محصلة. لحسن الحظ، لا يتطلب تطبيق قوانين نيوتن فهمًا ميكروسكوبيًّا مفصلًا لما يسمى بقوى التماس؛ ومع ذلك، فإننا نرفض إدراج أي قوة على لائحتنا إلا إذا كُنَّا متأكدين من إمكانية تفسيرها في النهاية بدلالة القُوَى التثاقلية أو القوى الكهربية أو المغناطيسية أو كلتيهما. (الجسيمات الأساسية التي تكوِّن المادة تتعرَّض لقوى تثاقلية وكهرومغناطيسية، وأيضًا لنوعين آخرين من القوى: القوة القوية والقوة الضعيفة. لا تلعب هاتان القوتان الأخيرتان دورًا في ملاحظاتنا اليومية.)

(٢) الأُطر القصورية

والآن، بعد أن عرفنا ما نعنيه بكلمة قوة، نستطيع أن نسأل: «بالنسبة لأي محاور يكون صحيحًا أن الجسيم الذي لا تؤثر عليه قوى يتحرك بسرعة ثابتة؟» بمعنى: بالنسبة لأي محاور يكون قانون نيوتن الأول صحيحًا؟ كثيرًا ما تُسمَّى مجموعة المحاور ﺑ «إطار الإسناد» أو «الإطار المرجعي»، وتسمى تلك المحاور التي يكون قانون نيوتن الأول صحيحًا بالنسبة إليها الأُطر القصورية.

لقد رأينا بالفعل أن مجموعة المحاور المرتبطة بعربة سكة حديد متسارعة ليست إطارًا قصوريًّا، لكن مجموعة المحاور المرتبطة بالكرة الأرضية تُعَدُّ إطارًا قصوريًّا. في الحقيقة هذا ليس صحيحًا تمامًا. بالنسبة لمعظم الأغراض، تبدو المحاور المرتبطة بالكرة الأرضية إطارًا قصوريًّا. ومع ذلك، نتيجة لدوران الكرة الأرضية، تدور هذه المحاور بالنسبة إلى خلفية النجوم البعيدة. إذا أعطيت قرص لعبة الهوكي سرعةً كبيرةً في اتجاه الجنوب على حلبة تزلُّج جليدية ملساءَ تمامًا في مدينة فيلادلفيا، فإنه لن ينتقل في خط مستقيم تمامًا بالنسبة إلى المحاور المرتبطة بسطح الجليد، بل سينحرف قليلًا نحو الغرب بسبب دوران الكرة الأرضية. هذا التأثيرُ مهمٌّ في المدفعية البحرية ويوضح أن المحاور المرتبطة بالكرة الأرضية ليست إطارًا قصوريًّا تامًّا. إن مجموعة المحاور الأفضل — وإن كانت أقل سهولة — هي تلك التي لا تدور بالنسبة إلى النجوم البعيدة والتي تتحرك نقطة أصلها مع مركز الكرة الأرضية.

«بندول فوكو» ظاهرة أخرى من الظواهر التي توضح أن المحاور المرتبطة بسطح الكرة الأرضية ليست إطارًا قصوريًّا تامًّا. إن الكرة الرأسية المربوطة بوَتَرٍ متدلٍّ من سقف مبنًى في القطب الشمالي أو الجنوبي سوف تتذبذب في مستوًى لا يدور بالنسبة للنجوم البعيدة، بينما تدور الكرة الأرضية بالنسبة إلى مستوَى البندول.

كان نيوتن مهتمًّا بالأساس بحساب مدارات الكواكب. لهذا استخدم محاوِرَ لها نقط أصل ثابتة بالنسبة إلى الشمس، ولا تدور بالنسبة للنجوم البعيدة. وهذه المجموعة هي أفضل إطار قصوري استطاع أن يَجِدَهُ، ويبدو أنه رأى أن من البدهي أن تكون هذه المحاور ثابتة في «الفضاء المطلق» الذي «يظل دائمًا متشابهًا وغير قابِل للتحرُّك دون أن يكون له علاقة بأي شيء خارجي.» لاحظ كبلر أن، بالنسبة لهذه المحاور، الكواكب تتحرك في مدارات إهليجية، وأن الأزمنة الدورية للكواكب (أي الزمن اللازم لكي يصنع الكوكب دورة واحدة حول الشمس) تتناسب طرديًّا مع نصف القطر الأكبر للإهليج مرفوعًا إلى الأُس ٣ / ٢. استخدم نيوتن قوانينه في الميكانيكا، بالإضافة إلى قانونه العام للجاذبية (الذي أعطى معادلة كمية للقوة التي تبذلها الشمس على الكواكب) لتفسير ملاحظات كبلر، بفرض أن المحاور قيد البحث تُكوِّن إطارًا قصوريًّا أو تُقَدَّر كذلك تقريبًا. الأكثر من ذلك، استطاع أن يحسب مدار مُذَنَّب هالي بدقة هائلة.

يقول معظم (وربما كل) الفيزيائيين اليوم إن مفهوم «الفضاء المطلق» يعتبر مفهومًا مراوغًا، أو لا معنى له، وأن الأُطُر القصورية تُعَرَّف فيزيائيًّا بتأثير المادة البعيدة. من العادي — عندما نسرد القوى المؤثرة على جسم — أن نقوم فقط بتضمين القوى المؤثرة عليه بواسطة أجسام أخرى قريبة منه بدرجة كافية؛ مثلًا، إذا كان الجسم كوكبًا، نأخذ في الاعتبار قوة الجاذبية التي تؤثر بها الشمس على الكوكب، لكننا لا نأخذ في الاعتبار صراحة القوة التي تؤثر بها النجوم البعيدة على الكوكب (حتى إننا لا نعلم في واقع الأمر كيف نحسب تلك القوة). وبالرغم من ذلك، فإن تأثير النجوم البعيدة لا يمكن تجاهله لأنها تحدد أيَّ الأُطُر يكون قصوريًّا؛ أي إنها تُمَيِّز المحاور المفضلة التي تكون قوانين نيوتن صحيحة بالنسبة لها. إن الصفة المهمة للمحاور المرتبطة بالشمس ليست أنها ساكنة في فضاء مطلق، وإنما أنها تسقُط بحرية تحت تأثير جاذبية المادة الكلية خارج النظام الشمسي.

في معظم الأمثلة المنزلية التي سوف نناقشها، يمكن اعتبار المحاور المرتبطة بسطح الكرة الأرضية أنها إطار قصوري. وفي مناقشة حركة الكواكب سوف نستخدم محاور مرتبطة بالشمس ولا تدور بالنسبة للنجوم البعيدة.

(٣) تعريف كَمِّي للقوة، علم استاتيكا الجسيمات

ينص قانون نيوتن الثاني — الذي سوف نناقشه في الفصل التالي — على أن عجلة أي جسم تتناسب طرديًّا مع القوة الكلية المؤثرة على هذا الجسم. يستخدم بعض المؤلِّفين هذه الحقيقة أساسًا لتعريف كَمِّي للقوة. سوف نطرح تعريف «القوة» كَمِّيًّا قبل مناقشة القانون الثاني. وبذلك سيكون من الواضح أن القانون الثاني تقريرٌ عن الكون، وليس مجرد تعريف لكلمة «قوة». وسوف نعتاد عندئذٍ على تحليل القوى عن طريق دراسة عدد من أمثلة الاتِّزان الاستاتيكي للجسيمات.

بالنسبة إلى وحدة القوة، اخترنا حالة الدفع أو الشد البسيطة التي يسهُل تَكرارُها. وهذا ينتج، على سبيل المثال، من زنبرك معياري ممدود بكَمِّيَّة معيارية عند درجة حرارة معيارية. وتكون وحدتا القوة إذن هما القوة المؤثِّرة بواسطة اثنين من تلك الزنبركات المعيارية، مربوطين بالجسم ذاته ويشدانه في نفس الاتجاه. (حسب خواص الزنبرك، قد يكون هذا مماثلًا للقوة التي يؤثر بها زنبركٌ وحيدٌ ممدودٌ بضعف الكمية المعيارية أو لا يكون كذلك.)

الأكثر غرابة من ذلك، إذا تخيَّلنا أن لدينا مصدرًا لفئران متماثلة، تشد دائمًا بكامل قوتها، يمكن إذن استخدام «الفأر» وحدة للقوة. يمكن تمثيل فأر واحد يشد في اتجاه معين بواسطة سهم طوله وحدة واحدة يشير في ذلك الاتجاه. ويمكن تمثيل ثلاثة فئران تجذب في نفس الاتِّجاه بسهم طوله ثلاث وحدات يشير في ذلك الاتجاه. يمكن تعميم التعريف بسهولة على أعدادٍ كسرية من الفئران؛ فمثلًا، إذا وُجِد أن سبعة سناجب تشد في اتجاه معين، تصنع بالضبط نفس تأثير تسعة عشر فأرًا تشد في ذلك الاتجاه، فإننا عندئذٍ نمثل القوة التي يؤثر بها سنجاب واحد بسهمٍ طوله ١٩ / ٧ في الاتجاه الملائم. (بما أن أي عدد صحيح هو نهاية متوالية من الأعداد الكسرية؛ فإن التعريف مُعمَّم بسهولة على القوى التي تكافئ عددًا صحيحًا من الفئران. (وهو ليس مثل عدد من الفئران الصحيحة!)) وهكذا يمكن تمثيل أي دفع أو شد في اتجاه محدَّد بسهم في ذلك الاتجاه، ويكون طول السهم هو عدد الفئران اللازم لكي يحاكي بإتقان الدفع أو الشد المُعطى.

على أي حال، ينبغي أن نعي بوضوح أنه عندما نُمَثِّل القوى بمتجهات، فإننا لا نعني فقط أن للقوة مقدارًا واتجاهًا، وإنما نعني أيضًا أن «أي قوتين (كلٌّ منهما يمثلها متجه) تؤثران بالتزامن على نفس النقطة تكافئان قوة واحدة، مُمَثَّلة بمتجه حاصل جمع متجهي هاتين القوتين.» ينتج من ذلك أن تأثير أكثر من قوتين على نفس النقطة، يكافئ تأثير قوة واحدة مُمَثَّلة بمتجه حاصل جمع المتجهات التي تمثل القوى المنفردة.

يمكننا الآن مناقشة اتِّزان الكتل النقطية. و«الكتلة النُقَطيَّة» هي جسم صغير جدًّا لدرجة تجعلنا نقيس فقط موضعه مع إهمال حقيقة أن أجزاء الجسم المختلفة قد تكون لها سرعات مختلفة. سنرى حالًا — نتيجة لقانون نيوتن الثالث — أن قوانين نيوتن لا تُطَبَّق فقط على الكتل النقطية ولكن تُطَبَّق أيضًا على أجسام مركبة أكبر حجمًا تتكون من عدة كتل نقطية.

شكل ٢-١: فريقان من الفئران مربوطان بنفس النقطة على نفس الجسم (شكل (أ) بالأعلى). يتكون أحد الفريقين من فأرًا تشد في نفس الاتجاه الذي يمثله المتجه ويتكون الفريق الآخر من فأرًا تشد في نفس الاتجاه الذي يمثله المتجه . أليس من الواضح أن فريقي الفئران مكافئان لفريق واحد (شكل (ب))؛ حيث يكون اتجاه الفريق الوحيد هو اتجاه المتجه وعدد الفئران في الفريق الوحيد هو مقدار المتجه ؟ للبرهان، انظر ملحق (ج).

يقال إن جسمًا ما في حالة اتزان عندما يكون ساكنًا (ليس فقط للحظة، ولكن بصورة مستديمة أو على الأقل لفترة زمنية محددة؛ فإذا رُميت كرة رأسيًّا لأعلى، فسوف تكون ساكنة لحظيًّا في اللحظة التي تصل عندها إلى أعلى نقطة. الكرة لا تكون في حالة اتزان عند تلك اللحظة؛ لأنها لا تبقى ثابتة لفترة زمنية محددة، كما أن القوة المحصلة المؤثرة على الكرة ليست صفرًا. من ناحية أخرى، الكرة المستقرة على الأرض تكون في حالة اتزان.) أو متحركًا بسرعة ثابتة. طبقًا لقانون نيوتن الأول، الجسم وهو في حالة اتزان لا تؤثر عليه قوة.

أبسط مثال للاتزان هو جسيم خارج مجال المجموعة الشمسية، يبعد بدرجة كافية عن الشمس والكواكب بحيث يكون من الممكن إهمال قوى الجاذبية التي يتعرض لها. هذا المثال لا يثير الاهتمام نظرًا لعدم وجود قُوًى مؤثرة على الجسيم. أمثلة الاتزان الأكثر أهمية — وهي ما نصادفها في حياتنا اليومية — هي تلك الحالات التي يكون فيها صافي (أو «محصلة») القوة على جسم صفرًا، رغم وجود عدة قوى مؤثرة على الجسم؛ لذلك فإن اتِّزان الجسم ينتج من حقيقة أن المجموع المتجهي لجميع القوى المؤثرة على الجسم يكون صفرًا.

(٤) أمثلة لحالة الاتزان الاستاتيكي للجسيمات

مثال ٢-١ (اتزان استاتيكي لكتلة على الأرض). في أول مثال للاتزان، دعنا نعتبر كتلة ساكنة على الأرضية. نفترض هنا أن الكتلة يمكن التعامل معها على أنها «كتلة نقطية» تتبع قانون نيوتن الأول. حتى لو لم تكُن الكتلة صغيرة جدًّا، فإننا سنرى حالًا أن قانون نيوتن الثالث يبرر اعتبارها «كتلة نقطية».تؤثر قوتان على الكتلة: تشد الكرة الأرضية الكتلة لأسفل وتدفع أرضية الغرفة الكتلة لأعلى. ولأنه ينبغي للقوة الكلية على الكتلة أن تتلاشى، فلا بد أن تكون القوتان متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه. رغم أنهما مختلفتان تمامًا من حيث المنشأ. فالشد الذي تؤثر به الكرة الأرضية لأسفل (يسمى عادة «الجاذبية» أو «الوزن» في الاصطلاح الشائع) هو ببساطة المجموع المتجهي لقوى الجاذبية التي تؤثر على الكتلة بواسطة كل جزيء من جزيئات الكرة الأرضية. إن النسبة التي تسهم بها الجزيئات القريبة (في نطاق بضعة أميال من الكتلة) في هذا المجموع تكون مهملة، وقوة الجذب المؤثرة على الكتلة ناجمة في الأساس عن انجذاب الكتلة إلى الجزيئات البعيدة؛ لأن عدد الجزيئات البعيدة كبير للغاية. من الناحية الأخرى، القوة التي تؤثر بها أرضية الغرفة لأعلى هي قوة كهربية قصيرة المدى جدًّا (وهي قوة «التماس» التي ذكرناها بالفعل) تؤثر بها الجزيئات الموجودة بسطح أرضية الغرفة على الجزيئات الموجودة في أسفل الكتلة.

شكل ٢-٢: مخطط الجسم الحر لكتلة مستقرة على أرضية الغرفة. هي قوة الجاذبية التي تؤثر بها الكرة الأرضية على الكتلة. هي قوة التماس التي تؤثر بها أرضية الغرفة على الكتلة.

يسمى مقدار قوة الجاذبية التي تؤثر بها الكرة الأرضية على جسم ما وزن الجسم، وعادة ما يرمز له بالحرف . تعتمد قيمة العددية على ما نختاره ليكون وحدة القوة. فيما يسمى بالنظام البريطاني للوحدات، لا يكون الفأر هو وحدة القوة وإنما الرطل. يمكن تعريف الرطل بأنه قوة الجاذبية التي تؤثر بها الكرة الأرضية على جسم معياري معين موضوع في مكان محدد على سطح الكرة الأرضية. فمثلًا: يمكن أن يكون هذا الجسم ٤٥٤ سنتيمترًا مكعبًا (٢٧,٧٠ بوصة مكعبة) من الماء عند درجة حرارة ٤ درجات مئوية وتحت الضغط الجوي، وموجودًا في تقاطع شارع الثالث والثلاثين مع شارع والانت بمدينة فيلادلفيا. أما وحدة القوة في النظام المتري فهي النيوتن، وتساوي تقريبًا ٠,٢٢٥ رطلًا. [لاحظ أن محرك البحث جوجل سوف يقوم بإجراء العديد من التحويلات الشائعة بالنيابة عنك ليست هناك حاجة لحفظ معاملات تحويل معينة. غير أنه من المفيد معرفة (على أقل تقدير) معاملات التحويل الشائعة، مثلًا: متر قدم، سنتيمتر بوصة، كيلووات حصان، وغيرها.] غالبًا ما نختصر وحدة النيوتن إلى الحرف . ومن المفيد دائمًا إنشاء مخطط جسم حر تُمَثَّل فيه كلٌّ من القوى المؤثرة على الجسم بواسطة متجه. عادة ما تُرسم جميع المتجهات نابعة من مصدر مشترك. إذا كان الجسم في حالة اتزان، فإن المجموع المتجهي لجميع القوى في مخطط الجسم الحر يكون صفرًا. مخطط الجسم الحر في المثال الحالي بسيط للغاية (شكل ٢-١) ولا يضيف شيئًا لوصفنا الحرفي. في الأمثلة الأكثر أهمية التالية، يمكن الحصول على استنتاجات مقاديرية من الرسم البياني للجسم الحر.

شكل ٢-٣: الكتلة مُثَبَّتة في مكانها بواسطة قوة تؤثر في اتجاه موازٍ للمنحدر. يتضمن مخطط الجسم الحر ثلاث قوى.

شكل ٢-٤: انظر مثال ٢-٢(ب). هذه المرة ثُبِّتت الكتلة في مكانها بواسطة قوة مؤثِّرة أفقيًّا.

مثال ٢-٢ (كتلة في حالة اتزان على منحدر لا احتكاكي). اعتبر كتلة في حالة اتزان على مستوى مائل أملس. تشد الكرة الأرضية الكتلة لأسفل ويؤثر المستوى على الكتلة بقوة تماس في اتجاه متعامد على المستوى. من المؤكد أن هناك ضرورة لأن تؤثر قوة ثالثة على الكتلة لكي تجعلها في حالة اتزان. نعلم من الخبرة أن اتجاه هذه القوة الثالثة لا يتحدد بطريقة وحيدة. فمثلًا، يمكن الحفاظ على اتزان الكتلة بقوة مناسبة تؤثر موازية للمستوى في الاتجاه الصاعد (شكل ٢-٣) أو بقوة أفقية مناسبة (شكل ٢-٤). في الواقع، هناك متَّصَل من الاتجاهات المحتملة للقوة الثالثة. ولكي تكون الكتلة في وضع اتزان، لا بد أن يكون للقوة الثالثة المقدار المناسب. وهو ما يعتمد على الاتجاه الذي تؤثر فيه.

• (أ)
  دعنا ننظر أولًا للحالة التي تُطَبَّق فيها القوة الثالثة في اتجاه موازٍ للمنحدَر. يعرض مخطط الجسم الحر القوى المؤثرة على الكتلة. هي قوة الجاذبية المؤثرة بواسطة الكرة الأرضية، هي قوة التماس المؤثرة بواسطة المنحدَر و هي القوة الثالثة. أظهرنا هذه القوة لتبين دفعة من أسفل موازية للمنحدَر، لكن ينتج نفس مخطط الجسم الحر من «شَدٍّ» في اتجاه موازٍ للمنحدَر من نقطة تماس على جانب الجسم ناحية الاتجاه الصاعد. يمكن في الحالة الثانية توفير هذه القوة بواسطة وتر؛ حيث تكون عندئذٍ هي الشد في الوتر. نرغب في حساب و.
  ينص قانون نيوتن الأول على:

  (2-1)

  هذه معادلة متجهيَّة، وتكون صحيحة فقط إذا كان مجموع مركبات للمتجهات الثلاثة صفرًا وكان مجموع مركبات صفرًا أيضًا. يمكننا اختيار اتجاهي المحورين و بالكيفية التي تلائمنا، والاختيار الأكثر ملاءمة هو أن يكون المحور موازيًا للمنحدَر والمحور عموديًّا على المنحدر. عندئذٍ تكون مركبتا و للمعادلة (2-1) هما:

  (2-2a)

  (2-2b)

  وبذلك يكون و. لاحظ أننا لو أخذنا المحور في الاتجاه الأفقي والمحور في الاتجاه الرأسي، لكانت مركبتا و للمعادلة (2-1) هما ، و، وهو ما يؤدي مرة أخرى إلى و.
• (ب)
  إذا أثرت القوة الثالثة في الاتجاه الأفقي (نسميها مرة أخرى)، فإن مخطط الجسم الحر يكون كما بالشكل (٤-٢). إذا أخذنا المحور في الاتجاه الأفقي والمحور في الاتجاه الرأسي، تكون مركبات المعادلة المتجهية هي و؛ وبذلك يكون و. لاحظ التعبيرين المختلفين لحساب في هذه الحالة والحالة السابقة، ولاحظ أيضًا أن في هذه الحالة تصبح لا نهائية كلما اقتربت من. هل يتفق هذا مع «حدسك الفيزيائي»؟

شكل ٢-٥: رسم توضيحي ومخطط الجسم الحر للمثال ٢-٣.

مثال ٢-٣ (كتلة معلقة من السقف بوترين). اعتبر كتلة معلقة بوترين متساويي الطول، كلٌّ منهما متصل بالسقف ويصنع زاوية مع الاتجاه الأفقي (انظر شكل ٢-٥). يعرض مخطط الجسم الحر القوى المؤثرة على الكتلة. هي قوة الجاذبية المؤثرة بواسطة الكرة الأرضية و و هما القوتان المؤثرتان بواسطة الوترين. من التماثل الموجود في المسألة يتأكد لنا أن و لهما نفس المقدار، الذي سنسميه . إذا أخذنا المحور في الاتجاه الأفقي والمحور في الاتجاه الرأسي، تكون مركبتا المعادلة المتجهية هما:

(2-3)

لا تخبرنا المعادلة الأولى من هاتين المعادلتين شيئًا إلا أنها تؤكد وحسب افتراضنا بأن الشد في كلٍّ من الوترين يكون متساويًا. وتخبرنا الثانية بأن الشد المطلوب في الوترين هو .لاحظ أن الشد يصبح كبيرًا جدًّا عندما تكون صغيرة جدًّا (في الواقع عندما ). وهكذا نرى أن أي قوة جانبية متواضعة تُطَبَّق على سلك مشدود يمكنها كسر هذا السلك. ومع ذلك، إذا أثَّرنا بقوة جانبية في منتصف حبل مربوط من مادة النايلون، فإن الحبل سيتمدد، ولأن لا تظل صغيرة، فإن الشد في الحبل لن يصبح كبيرًا جدًّا.

شكل ٢-٦: رسم توضيحي ومخطط الجسم الحر للمثال ٢-٤.

(٥) قانون نيوتن الثالث

تسمى هاتان القوتان بزوج «الفعل – رد الفعل».

القانون الثالث ينطبق حتى لو لم تكن الأجسام قيد الاعتبار في حالة اتزان. فمثلًا: أي جسم يسقط في اتجاه الكرة الأرضية يؤثر بقوة جاذبية على الكرة الأرضية تكون مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه لقوة الجاذبية التي تؤثر بها الكرة الأرضية على الجسم. عندما يضرب مضرب في لعبة كرة القاعدة كرةً، فإن الكرة تؤثر على المضرب بقوة مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه للقوة التي يؤثر بها المضرب على الكرة. لكن يوجد تناقض شائع يطرحه هذا السؤال: «إذا كانت القوة التي تؤثِّر بها الكرة على المضرب مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه للقوة التي يؤثر بها المضرب على الكرة، فلماذا إذن تتسارع الكرة؟» الإجابة من قانون نيوتن الثاني الذي ينص على أن تسارُع الكرة يتناسب مع محصلة القوة المؤثرة على الكرة. وبذلك تكون القوة التي تؤثر بها القوة على المضرب ليست ذات صلة بمسألة تسارع الكرة من عدمه.

شكل ٢-٧: رسم توضيحي للمثال ٢-٥. كتلتان موضوعتان في حالة اتزان بواسطة قوة مؤثِّرة في اتجاه موازٍ للمنحدر. يبين شكل (ب). مخطط الجسم الحر للكتلة رقم ٢، بينما يبين شكل (ج). مخطط الجسم الحر للكتلة رقم ١.

على وجه الدقة، ليست جميع القوى في الطبيعة تتبع تمامًا القانون الثالث. (مع تعديل مناسب لمنطوق القانون الثالث، تكون جميع القوى خاضعة للقانون. ومع ذلك، فإن المنطوق المعدل يكون مختصرًا نوعًا ما وغير مفيد بالنسبة لهدفنا.) ومع ذلك، إذا ابتعدنا (كما سنفعل في هذا الكتاب) عن الحالات التي تنتج فيها كمية كبيرة من الإشعاع الكهرومغناطيسي، يكون القانون الثالث صحيحًا. أحد الأمثلة الشائعة لقوة تنتهك القانون الثالث، يُستَشهد به (على نحو خاطئ)، هو لقوة مغناطيسية بين قطعتي سلك، تحمل كلٌّ منهما تيارًا كهربيًّا. في الواقع، لا يمكن قياس القوة بين قطعتين تحملان تيارًا كهربيًّا، القوة الوحيدة التي يكون لها مغزًى فيزيائي هي القوة بين حلقتي سلك مغلقتين، هذا ما يتبع القانون الثالث.

هل يجوز القول دائمًا إن القوة الكلية على جسمٍ ما في حالة اتزان تكون صفرًا، حتى لو كان الجسم نظامًا مركَّبًا من عدة أجزاء؟ بمساعدة القانون الثالث يمكننا إثبات أن الإجابة هي «نعم». إذا لم يكُن الحال كذلك، فسيكون قانون نيوتن الأول قابلًا للتطبيق فقط على أجسام «أولية» معينة (من المحتمل أن تكون ذات أبعاد ميكروسكوبية) ولن يكون قابلًا للتطبيق على أجسام مثل الكرات والكتل التي تتكوَّن بالفعل من جزيئات عديدة.

باختصار، يسمح لنا القانون الثالث أن ننحي جانبًا السؤال الحساس عن ماهية «الجسيمات» التي تتبع قوانين نيوتن للحركة. إذا كانت الأجسام الصغيرة بدرجة كافية تتبع قانون نيوتن الأول، فإن القانون الثالث يقضي ضمنًا بأن تتبع الأجسام الأكبر هي الأخرى قانون نيوتن الأول (يسمح القانون الثالث أيضًا بأن نُطبق القانون الثاني على أجسام كبيرة «مركبة» كما سنرى بعد قليل).

شكل ٢-٨: يتضح هنا أنه برغم عدم وجود محصلة قوة على نظام ما؛ فإن النظام قد لا يكون في حالة اتِّزان. في هذه الحالة تؤثر قوتان متساويتان ومتضادتان على طرفي القضيب.

(٦) الحبال والأوتار: معنى «الشد»

شكل ٢-٩: مفاهيميًّا، نقسم الوتر إلى قطعتين بواسطة مستوًى تخيلي. يؤثر B بقوة على A ويؤثر A بقوة على B. المقدار المشتَرَك لهاتين القوتين يُسَمَّى الشد في هذه النقطة من الوتر.

مثال ٢-٦ (شد في وتر بواسطة ثقل). هَب أن لدينا كتلة وزنها معلَّقة من السقف بواسطة وتر رأسي وزنه لكل وحدة طول هو (انظر شكل ٢-١٠). نرغب في إيجاد الشد عند نقطة P على مسافة من الطرف السفلي للوتر. نُعَرِّف «النظام» محل الدراسة بأنه الكتلة بالإضافة إلى جزء الوتر أسفل P. هناك قوتان خارجيتان تؤثران على النظام: تؤثر الكرة الأرضية بقوة جاذبية لأسفل مقدارها ويؤثر جزء الوتر فوق P بقوة لأعلى مقدارها هو الشد عند نقطة P. وبما أنه يجب أن تكون القوة الكلية الخارجية صفرًا، نجد أن . وبذلك لا يكون الشد هو ذاته عند جميع نقاط الوتر وتكون قيمته العظمى عند أعلى نقطة في الوتر. إذا كان الوتر بلا وزن ()، فإن الشد يكون كما هو عند جميع نقط الوتر.وبوجه أعم، حتى لو كان الوتر يمر على بكرات، يمكننا أن نُبين أن الشد يكون كما هو عند جميع نقاط الوتر بشرط أن يكون الوتر بلا وزن، وبشرط أن يكون سطح التماس بين الوتر والبكرة أملس. تكون هذه الجملة صحيحة حتى في حالات عدم الاتزان، ولكننا الآن سنبرهن عليها فقط عندما يكون الوتر في حالة اتِّزان. اعتبر قطعة قصيرة جدًّا من الوتر. يؤثر باقي الوتر بقوى على طرفيه. بالإضافة إلى ذلك، إذا كانت القطعة متماسة مع سطح أملس، فإن السطح قد يؤثر بقوة عمودية على القطعة. وإذا كان الوتر بلا وزن، فلن تكون هناك قوة جاذبية مؤثرة على القطعة. وإذا كانت القطعة في حالة اتزان، يجب أن تتلاشى القوة الكلية المؤثرة عليها. وبصورة خاصة، يجب أن تتلاشى محصلة جميع القوى المؤثرة على طول الاتجاه الموازي للقطعة. وهذا يقتضي ضمنًا أن تكون قوتَا الشد عند الطرفين متساويتين. ينتج من ذلك أن الشد متماثل عند جميع نقط الوتر.

شكل ٢-١٠: كتلة وزنها معلَّقة بواسطة وتر وزنه لكل وحدة طول. لإيجاد الشد عند نقطة P سيكون من المفيد تعريف النظام المعني بأنه كل شيء أسفل P.

سوف يُفترض من الآن فصاعدًا (إلا إذا ذُكر غير ذلك)، في المثال القادم وجميع الأمثلة التالية التي تتعلق بالحبال والبكرات أو إحداهما، أن وزن الحبال يمكن إهمالُه وأن البكرات ملساء؛ وبناءً على ذلك يكون الشد متماثلًا عند جميع نقط الحبل. وسوف يُفتَرَض أيضًا أن البكرات بدون وزن ما لم يُنص على غير ذلك.

مثال ٢-٧ (تحليل نظام بكرات بسيط). يبين شكل ٢-١١(أ) نظام بكرات بسيطًا. لاحظ أن البكرة B مُثبتة في الفضاء، بينما تتحرك البكرة A لأعلى ولأسفل مع الوزن . السؤال البدهي هو: ما القوة التي يجب أن تؤثر على نهاية الحبل لكي تحافظ على الاتزان؟أولًا، علينا أن نعترف بأن الشد في الحبل يساوي . لإثبات ذلك، نتخذ قطعة الحبل المحتواة داخل الصندوق المتقطع في شكل ٢-١١(ب) لتكون نظامنا المعني بالدراسة. القوتان الخارجيتان الوحيدتان اللتان تؤثران على هذا النظام هما القوة لأسفلَ وقوة لأعلى مقدارها تؤثر بواسطة باقي الحبل على نهاية الطرف العلوي للقطعة. وبما أنه يجب للقوة الكلية المؤثرة على القطعة أن تتلاشى، نجد أن .

شكل ٢-١١: (أ) نظام بكرات بسيط في المثال ٢-٧. (ب) يبين اعتبار مخطط الجسم الحر للنظام المحاط بالصندوق المتقطع أن الشد في الحبل يكون مساويًا للقوة المؤثرة عند الطرف. (ج) من المفيد لحساب أن نُعَرِّف نظامنا بأنه محتويات الصندوق المتقطع. (د) مخطط الجسم الحر للنظام المعرف في شكل ٢-١١(ج).

لحساب نُعَرِّف نظامنا بأنه محتويات الصندوق المتقطع في شكل ٢-١١(ج). القوى الخارجية الوحيدة المؤثرة على هذا النظام (انظر شكل ٢-١١(د)) هي قوة سحب الجاذبية لأسفل على الكتلة (يُفترض هنا أن البكرتين بدون وزن) والقوى المؤثرة على قطعة الحبل التي على شكل حرف U لأعلى بواسطة باقي الحبل. شرط الاتزان هو . وبما أن ، نجد أن . وبذلك يمكن لقوة مؤثرة على نهاية طرف الحبل مقدارها ٥٠ رطلًا أن تُبقي على كتلة وزنها ١٠٠ رطل في حالة اتزان. يمكن تلخيص هذه الحقيقة في القول بأن نظام البكرات يضاعف الفائدة الميكانيكية. لاحظ أنه إذا استُخدِم نظام البكرات لرفع الوزن ، فإنه يجب أن تُشَد نهاية طرف الحبل الحر لأسفل لمسافة تساوي ضعف المسافة التي ارتفعها . يسمح لك نظام البكرات بإنجاز المهمة باستخدام قوة أقل، لكن عليك أن تؤثر بهذه القوة لمسافة أطول. يوضح لنا هذا مبدأً أعم بكثير جدًّا يسمى «حفظ الطاقة»، وهو التعبير الفيزيائي لمقولة: «لا يمكنك الحصول على شيء بدون مقابل.»يمكننا تصميم أنظمة بكرات ذات فائدة ميكانيكية اختيارية كبيرة باستخدام ترتيبات مناسبة من الحبال والبكرات (انظر شكل ٢-١٢).

شكل ٢-١٢: كلٌّ من هذين الترتيبين للبكرات يوفر أربعة أضعاف الفائدة الميكانيكية.

مثال ٢-٨ (تحليل نظام بكرات الشراع). يصور شكل ٢-١٣(أ) عاملة دهان (وزنها ١٦٠ رطلًا أو ٧١٢ نيوتن (n)) تقف على سقالة (وزنها ٢٠٠ رطل أو ٨٩٠ نيوتن). ما القوة التي ينبغي لعاملة الدهان أن تسحب بها الحبل للحفاظ على الاتِّزان؟ لاحظ أن عاملة الدهان والسقالة في حالة اتِّزان ليس فقط أثناء السكون، ولكنهما كذلك أيضًا أثناء ارتفاعهما وانخفاضهما بسرعة ثابتة.

شكل ٢-١٣: (أ) رسم توضيحي لمثال ٢-٨. (ب) من المفيد لحساب الشد في الحبل، اعتبار النظام المحاط بالصندوق المتقطع. (ج) مخطط الجسم الحر لعاملة الدهان. (د) يمكننا هذا من حساب القوة التي تؤثر بها السقالة على قدمي عاملة الدهان. يمكننا أيضًا حساب القوة المؤثرة على السقالة بواسطة قدمي عاملة الدهان عن طريق اعتبار مخطط الجسم الحر هذا.

لقد رأينا بالفعل أن الشد يجب أن يكون متماثلًا عند جميع نقاط الحبل عديم الوزن ويجب أن يساوي . وأسهل طريقة لحساب هي اعتبار النظام المحتوى داخل الصندوق المتقطع في شكل ٢-١٣(ب). ومن أجل ضبط الحسابات، سنضع متجه وحدة يشير رأسيًّا لأعلى. يؤثر جزء الحبل خارج الصندوق المرسوم بخط متقطع بقوة ؛ وذلك لأن الجزء الخارجي يؤثر لأعلى بقوة على الجزء الداخلي عند كلٍّ من النقاط الثلاث A، B، C. قوة الجاذبية على السيدة والسقالة هي . وبهذا يكون شرط الاتِّزان هو:

(2-11)

يقدر هذا بحوالي ١٢٠ رطلًا. وبما أن فإنه ينبغي لعاملة الدهان أن تسحب بقوة ١٢٠ رطلًا.من المثير للاهتمام أن نسأل عن مقدار القوة التي تؤثِّر بها السقالة على قَدَمَيْ عاملة الدهان. دعنا نُسمِّ هذه القوة . يمكننا حساب عن طريق تعريف نظامنا بأنه عاملة الدهان فقط أو السقالة فقط (لكن نظام عاملة الدهان مع السقالة لن يَفِي بالغرض لأن القوة المؤثِّرة بواسطة السقالة على عاملة الدهان قوة داخلية في هذا النظام؛ ومن ثم لن تظهر في معادلة الاتزان). القوى المؤثرة على عاملة الدهان (شكل ٢-١٣(ج)) هي قوة مؤثرة بواسطة الحبل على أيدي عاملة الدهان، وقوة مؤثرة بواسطة السقالة على قدميها، وقوة مؤثرة بواسطة الجاذبية. ولأن عاملة الدهان في حالة اتزان، فإن . وبما أننا نعلم بالفعل أن ، نجد أن أو حوالي ٤٠ رطلًا.إذا كان الكون متسقًا رياضيًّا، فينبغي أن نكون قادرين على الحصول على نفس النتيجة باعتبار اتِّزَان السقالة (نُعَرِّف نظامنا على وجه الدقة بأنه السقالة مع قطعة من الحبل على شكل حرف U كما في شكل ٢-١٣(د)). محصلة القوى على هذا النظام هي المؤثرة بواسطة باقي الحبل، و المؤثرة بواسطة الجاذبية، و المؤثرة بواسطة قدمي عاملة الدهان. وبذلك يكون لدينا    وهو ما يؤدي إلى أن تكون . وهذا يساوي حوالي ٤٠ رطلًا.إذا كانت السقالة ثقيلة للغاية؛ فإن عاملة الدهان سترتفع من عليها ولن تتمكن من الحفاظ على الاتِّزان. افترض أن وزن عاملة الدهان هو وأن وزن السقالة هو . بتطبيق قانون نيوتن الأول على النظام المكوَّن من عاملة الدهان والسقالة، نحصل على ، أو . بتطبيق القانون الأول على عاملة الدهان فقط نجد أو . ولأننا نعلم أن ، نجد أن . القوة التي تؤثر على قدمي عاملة الدهان مُعَرَّفة بأنها . وطالما موجبة، فإن الأرضية تدفع بقدمي عاملة الدهان إلى أعلى. وتدل قِيَم السالبة على أن الأرضية لا بُدَّ أنها تسحب قدمَيْ عاملة الدهان لأسفل، وهذا ليس ممكنًا إلا إذا كانت قدماها مثبتتين بالأرضية. من الواضح أنه يمكن إيجاد قيمة الحَرِجة (التي لا يكون بعدها الاتزان ممكنًا إلا إذا كانت قَدَمَا عاملة الدهان مثبتتين لأسفل) بوضع . وهذا يعطي . إذا كانت عاملة الدهان تَزِنُ ١٦٠ رطلًا، فإنها «سترتفع عن الأرضية» إذا كانت السقالة تزن أكثر من ٣٢٠ رطلًا.

(٧) الاحتكاك

عندما يكون سطحا جسمين متماسَّيْن؛ فإنه كثيرًا ما تكون هذه هي الحالة التي لا يكون فيها للقوة التي يؤثر بها أحد الجسمين على الآخر مركبة عمودية على السطح فقط، ولكن لها أيضًا مركبة موازية للسطح. هذه الأخيرة تُسمى قوة الاحتكاك، وهي تلعب دورًا رئيسيًّا في العديد من الظواهر المألوفة. فمثلًا، لا يمكن قيادة سيارة أعلى تل، أو حتى إيقافها على تل، إذا لم يكُن الاحتكاك موجودًا. لا يمكن للسيارة كذلك أن تجتاز ملفًّا ما. في غياب الاحتكاك، سينزلق راكب ما يقِف في عربة سكة حديد نحو الجزء الخلفي من العربة عندما يتسارع القطار. لقد اعتدنا اعتقاد أن الاحتكاك هو شيء غير مرغوب (ونقوم بإنفاق قدر كبير من المال على عمليات التشحيم لتقليل قوة الاحتكاك التي تكون موجودة عندما ينزلق سطحٌ ما على آخر)، لكن الأمثلة السابقة توضح أن الاحتكاك كثيرًا ما يكون أمرًا مرغوبًا وأساسيًّا.

ما من داعٍ للتشديد على أن صحة قوانين نيوتن لا تتطلَّب الافتراض غير الواقعي المتمثل في وجود عالم خالٍ من الاحتكاك. تَصِفُ قوانين نيوتن العالم الواقعي بقواه الواقعية. صحيح أننا نفترض في بعض المسائل عدم وجود احتكاك، لكن هذا ليس ضروريًّا من الناحية المفاهيمية. لم يُدرِك معظم أسلاف نيوتن أن الحفاظ على جسم ما متحركًا بسرعة ثابتة لا يتطلب أي قوة؛ فقد لاحظوا أنه لجعل جسم ما يستمر في الحركة على منضدة أفقية، يجب عليهم دفعه. لا يعني هذا ضمنًا أن قانون نيوتن الأول خاطئ؛ فالدفع الضروري يكون ببساطة مساويًا ومضادًّا لقوة الاحتكاك المؤثرة بواسطة المنضدة. واليوم، مع المسارات الهوائية والمناضد الهوائية التي تجعل بالفعل قرصًا أو ناقلة معلقة فوق سطح ما بواسطة وسادة رفيعة من الهواء، يمكننا الاقتراب جدًّا من تحقيق حالة سطح بدون احتكاك تجريبيًّا. لا يعتقد أي شخص قام بتجربة المسار الهوائي أو المنضدة الهوائية أن من الضروري وجود قوة للإبقاء على جسم ما متحركًا.

إن الأصل الميكروسكوبي لقوى الاحتكاك لم يُفهم بعدُ على نحوٍ كامل، كما أن هذا الفهم ليس ضروريًّا لأغراضنا. في بعض الحالات يمكن حساب مقدار قوى الاحتكاك بدون حتى معرفة أي شيء عن طبيعة الأسطح. في حالات أخرى يكون من الضروري معرفة المزيد عن الأسطح (أي تركيبها ودرجة ملاستها). إن اعتبار بضعة أمثلة بسيطة ربما يكون أكثر تنويرًا من المناقشة النظرية المجردة لهذا الموضوع.

شكل ٢-١٤: توضيح لمثال ٢-٩.

شكل ٢-١٥: تمثيل تخطيطي لمنشأ الاحتكاك الاستاتيكي. في الواقع، خشونة السطحين أصغر بكثير مما هو مبين هنا، لكنها موجودة حتى للأسطح ناعمة الملمس.

مثال ٢-١٠ (كتلة على منحدر مع احتكاك). كتلة وزنها ١٠٠ نيوتن (n) مستقرة في حالة اتزان على مستوى مائل بزاوية . ومعامل الاحتكاك الاستاتيكي بين المستوى والكتلة هو . نرغب في حساب قوة الاحتكاك والقوة العمودية المؤثرة على الكتلة بواسطة المستوى.مخطط الجسم الحر للكتلة مبين في شكل ٢-١٦. وبأخذ مركبتين لمعادلة القوة على طول المحورين الموازي والعمودي على المستوى، نحصل على و. وبهذا يكون و.

شكل ٢-١٦: الرسم التوضيحي ومخطط الجسم الحر لمثال ٢-١٠.

لاحظ أننا لم نستخدم قيمة المعطاة. تدخل قيمة في المناقشة فقط إذا سألنا: «هل يمكن فعلًا للكتلة أن تكون في حالة اتزان على المستوى؟» باختبار النسبة ، نجد أن ؛ ولذلك نجد من المعادلة (2-12) أن الاتزان ممكن؛ لأن . بشكل أعم، إذا كانت كتلة ما وزنها في حالة اتزان على مستوى مائل يصنع زاوية مع الأفقي، فإن قوة الاحتكاك هي والقوة العمودية هي . وهكذا نجد أن وبذلك يكون الاتزان الاستاتيكي ممكنًا فقط إذا كان .

شكل ٢-١٧: (أ) رسم توضيحي ومخطط الجسم الحر للكتلة عندما يكون ﻟ أقل قيمة متسقة مع الاتزان. (ب) رسم توضيحي ومخطط الجسم الحر للكتلة عندما يكون ﻟ أقصى قيمة متسقة مع الاتزان.