قانون نيوتن الثاني: ديناميكا الجسيمات

بكلمات نيوتن نفسه: «يتناسب تغيُّر الحركة طرديًّا مع القوة المحرِّكة، ويكون في اتجاه الخط المستقيم الذي تؤثِّر فيه تلك القوة.»¹ ليست جميع الكلمات الواردة في هذا النص مألوفة للفيزيائي المعاصر. يعرِّف نيوتن «الحركة» بأنها حاصل ضرب «كمية المادة» في السرعة، و«الحركة» عند نيوتن الآن تُسمَّى «كمية التحرك»، كما أن «تغيُّر الحركة» يَعْني لديه «معَّدلَ التغيُّر في الحركة».

ويعبَّر عن هذا بلغة المتجهات الدقيقة على الصورة:

رمزان من الرموز الثلاثة في المعادلة (3-1) تم تعريفهما فعلًا: كمية كينماتيكية صرفة سبق تعريفها في الفصل الأول، و سبق تعريفها في الفصل الثاني. أما الرمز الثالث () فيتطلب بعض المناقشة؛ ذلك أن تعريف «الكتلة» بأنها «كمية المادة» غير واضح إلى حدٍّ ما. تتيح لنا المعادلة (3-1) أن نستنبط إجراءً عمليًّا دقيقًا لقياس كتلة جسم ما. تنص المعادلة على أنه إذا أخضعنا جسمًا معيَّنًا لقوى مختلفة، فإن عجلة الجسم تتناسب مع القوة المؤثرة عليه؛ أي إن وثابت التناسب خاصية للجسم؛ فكلما كانت قيمة أكبر، كان تعجيل الجسم أيسر. وتُعرَّف كتلة الجسم بأنها مقلوب ؛ أي إن .

الكميات الأساسية في النظام الإنجليزي للوحدات هي: الطول (قدم)، والزمن (ثوانٍ)، والقوة (أرطال). وقد عُرِّف الرطل بأنه القوة التي تؤثِّر بها الأرض على جسم عياري معيَّن موضوع في مكان معين. يمكننا استخدام المعادلة (3-1) لتعيين الكتلة لجسم ما. الكتلة هي القوة المؤثرة على الجسم (مَقيسة بالأرطال) مقسومة على العجلة (مَقيسة بوحدات ft/sec²). الوحدة الإنجليزية للكتلة تُسمَّى «سلَج»، وهي وحدة مشتقَّة أبعادُها lb-sec²/ft. الجسم الذي كتلته ١ سلَج يكتسب عجلة مقدارها 1 ft/sec² عندما يتعرض لقوة مقدارها ١ رطل. والجسم الذي كتلته ٢ سلَج سوف يكتسب عجلة مقدارها 0.5 ft/sec²، عندما يتعرض لقوة مقدارها ١ رطل، وهكذا.

دَعْنَا نطبِّق المعادلة (3-1) على جسم وزنه يسقط بحرية عند «موضع عياري». وُجِد عمليًّا أن جميع الأجسام التي تسقط بحرية يكون لها نفس العجلة عند مكان معين؛ وعند الموضع العياري تكون القيمة العددية لهذه العجلة (المسمَّاة ) هي 32.174 ft/sec²، والمعادلة (3-1) تقول إن . بهذا تكون الكتلة لجسم ما مرتبطة بوزنه بالمعادلة: لاحِظْ أن و تعتمدان على المكان الذي يوجد فيه الجسم، لكن قانون نيوتن الثاني يؤكِّد أن خاصية للجسم لا تعتمد على موضعه. فالجسم الذي كتلته ١ سلج يزن ٣٢,١٧٤ رطلًا عند الموضع العياري، لكنَّ وزنه يمكن أن يختلف قليلًا عند مكان آخَر.

النظام المتري، الوحدات الأساسية هي: الطول (أمتار)، والزمن (ثوانٍ)، والكتلة (كيلوجرامات). الكيلوجرام يمكن تعريفه بأنه كتلة ١٠٠٠ سنتيمتر مكعب من الماء تحت الظروف العيارية لدرجة الحرارة والضغط، لكن (لمزيد من الدقة) يمكن تعريفه أخيرًا بدلالة ثوابت أساسية أخرى. الوحدة المترية للقوة، النيوتن، هي القوة التي يجب تطبيقها على جسم ما كتلته كيلوجرام واحد، لكي تكسبه عجلة مقدارها ١ متر/ثانية^٢. النيوتن الواحد يساوي نحو ٠٫٢٢٥ رطلًا، والرطل الواحد يساوي ٤,٤٥ نيوتن تقريبًا.

حالَمَا يكون لدينا جسم كتلته الوحدة، فإننا نستطيع قياس كتلة جسم آخَر بتعريضه مع الجسم العياري لنفس القوة، وقياس النسبة بين عجلتَيِ الجسمين. إذا طبقت نفس القوة على الجسم رقم ١ والجسم رقم ٢، يكون لدينا ؛ وبالتالي إذا كانت يكون لدينا . لاحِظْ أن هذا الإجراء لقياس الكتل لا يتطلب وزنَ الجسم، ولا يتطلب حسابَ عددِ البروتونات والنيوترونات والإلكترونات في الجسم. (يبدو من البدهي أنه إذا كان الجسم مؤلفًا من جسيمات (بروتونات ونيوترونات وإلكترونات) فإن كتلة الجسم تساوي مجموع كتل مكوناته. لكن، إذا كانت النيوترونات والبروتونات متجمعة لتكوِّن نواة ثقيلة، فقد وجد أن كتلة النواة تكون أقل بحوالي ١٪ من مجموع كتل الجسيمات المكوِّنة لها. توقع أينشتاين (على صواب) أن هذا «النقص في الكتلة» يساوي الشغل اللازم لتفكيك النواة مقسومًا على مربع سرعة الضوء. وبهذا يصعب الدفاع عن فكرة نيوتن عن الكتلة باعتبارها «كمية المادة» عندما تكون الجسيمات مرتبطة معًا بقوة نووية شديدة جدًّا. بالمثل، وزن النواة يكون أقل بقدر ملموس من مجموع أوزان الجسيمات المكونة لها. وبرغم هذا فإن جميع الأجسام (بروتونات، نيوترونات، أنوية، كرات بيسبول) تسقط بنفس العجلة عند أي مكان بعينه. هذه الحقيقة تُحقق منها بدقة عالية لدرجة لا يمكن تخيلها.² وهكذا فإن تناسبية الوزن والكتلة، التي تعبر عنها المعادلة ، تبدو أنها قانون طبيعي فوق النقد بكثير عن مجرد عملية جمْع للوزن أو الكتلة. في الحياة اليومية، حيث لا تؤخذ القوى النووية في الحسبان، يكون «نقص الكتلة» صغيرًا جدًّا، وتظل خاصية الجمع صحيحة لجميع الأغراض العملية.)

إذا كان فإن المعادلة (3-1) تقول إن ؛ ولهذا تكون السرعة ثابتة. وهكذا يتضح أن القانون الثاني يتضمن القانون الأول كحالة خاصة. كذلك ينبغي إدراك أنه إذا جعلنا قائمة القوى تقتصر فقط على تلك التي ناقشناها في الفصل الثاني، فإن قانون نيوتن الثاني يكون عندئذٍ صحيحًا فقط في إطار قصوري. على سبيل المثال، إذا استخدمنا محاور عربة شحن دوَّارة بعجلة كبيرة، فإن قانون نيوتن الثاني لا يكون عندئذٍ صحيحًا؛ لأن الجسم سوف يتسارع بالنسبة لمثل هذه المحاور حتى في عدم وجود قوى مؤثِّرة عليه.

مثال ٣-١ (كتلة على منحدر أملس). تنزلق كتلة لأسفل منحدر أملس يميل على الأفقي بزاوية . احسب عجلة الكتلة والقوة المؤثِّرة عليها بواسطة المستوى.هناك قوتان تؤثران على الكتلة: قوة تجاذبية تثاقلية مقدارها ، متجهة رأسيًّا إلى أسفل، وقوة عمودية يبذلها المستوى. إذا أدخلنا المحورين و، فإن المعادلة المتجهة تصبح زوجًا من معادلتين: في هذه المسألة، من المناسب عادةً اعتبار المحور موازيًا للمستوى المائل، والمحور عموديًّا على المستوى المائل (شكل ٣-١(ب))؛ عندئذٍ تكون العجلة في الاتجاه فقط، وبهذا يكون ، . القوة العمودية ليست لها مركبة في الاتجاه . القوة التثاقلية لها مركبة في الاتجاه ، ومركبة في الاتجاه . بهذا تصبح المعادلة (3-3a): وتُصبِح المعادلة (3-3b): وينتج أن و.

لاحِظْ أن قانون نيوتن الثاني لا يمكِّننا من حساب العجلة فقط، بل من حساب مقدار القوة العمودية (التي حددتها حقيقة أن اتجاه العجلة معلوم بحيث يكون حاصل جمع كلِّ القوى العمودية على ذلك الاتجاه يساوي صفرًا). يعتاد العديد من الطلاب أن يكتبوا تلقائيًّا في جميع المسائل التي تحتوي على مستويات مائلة. والمثال التالي مطلوب ليبيِّن أن لا تساوي دائمًا، وأنه ليس هناك بديل عن تطبيق قوانين نيوتن بطريقة منظمة.

مثال ٣-٢ (كتلة على منحدر أملس متسارع). افترض أن المستوى المائل في مثال ٣-١ هو أحد أَوْجُه وتد (إسفين). افترض أن الوتد متسارِع (متحرك بعجلة) أفقيًّا إلى اليمين (مثلًا، يمكن أن يكون الوتد متصلًا بعربة سكة حديدية متسارعة). إذا اختيرت العجلة الصحيحة للوتد، فإن الكتلة لن تنزلق لأعلى أو لأسفل الوتد، لكنها ستظل ساكنة بالنسبة إلى الوتد. احسب قيمة الصحيحة، واحسب القوة التي يؤثِّر بها الوتد على الكتلة.كما في المثال ٣-١، القوى الوحيدة المؤثرة على الكتلة هي قوة الجاذبية ، متجهة لأسفل، والقوة العمودية المؤثرة بواسطة الوتد. وإذا كانت الكتلة ساكنةً بالنسبة للوتد، فإنها تكون ذات عجلة متجهة أفقيًّا إلى اليمين (لاحِظْ أنَّ هذه هي عجلة الكتلة بالنسبة لإطار قصوري، حالة إطار متسارع مع الوتد «غير جائزة» للاستخدام مع قانون نيوتن الثاني لأنه ليس إطارًا قصوريًّا).في هذه الحالة يكون من الأنسب كثيرًا اختيار المحور أفقيًّا، والمحور رأسيًّا (شكل ٣-٢). المركبتان و للقوة تعطيان و، وبهذا نجد أن و. وحالما أخذنا المحورين و في اتجاه موازٍ وعمودي على المنحنى كما فعلنا في مثال ٣-١، فإن العجلة سيكون لها مركبة هي ، ومركبة هي ؛ ومن ثَمَّ فإن المركبتين و للقوة تصبحان و. بالحل لكلٍّ من و نجد أن و، كما هو متوقع. لاحِظْ بعناية أن ليس لها نفس المقدار الذي في مثال ٣-١. ينشأ الفرق من حقيقة أن عجلة الكتلة في مثال ٣-١ موازية للمنحدر، بينما العجلة في هذا المثال أفقية.

مثال ٣-٣ (امرأة في مصعد متسارع إلى أعلى). امرأة كتلتها واقفة في مصعد متسارع. ما القوة التي تؤثِّر بها الأرضية على قدميها؟لتفادي اللَّبْس المصاحِب للإشارات، نقدِّم متجه وحدة يشير رأسيًّا إلى أعلى. لتكن عجلة المصعد هي ؛ وبهذا فإن قيم الموجبة تناظِر العجلة إلى أعلى، وقيم السالبة تناظر العجلة إلى أسفل.هناك قوتان تؤثِّران على المرأة (شكل ٣-٣): القوة التثاقلية (حيث )، والقوة التي تبذلها الأرضية. بما أن عجلة المرأة في إطار قصوري هي ، فإن قانون نيوتن الثاني يقضي بأن ؛ وبهذا نجد أن . إذا كانت المرأة واقفة على مقياس زنبركي، فإن مؤشر المقياس يشير إلى مقدار . إذا كانت موجبة (عجلة إلى أعلى)، فإن قراءة المقياس تكون أكبر من ، و«تشعر» المرأة أنها أثقل من المعتاد. وما تشعر به فعلًا هو انضغاط العظام والغضاريف في ساقَيْها، مما يساعد قدَمَيْها على التأثير بقوة على المقياس. إذا كانت (مصعد يسقط بحرِّية)، فإن وتشعر المرأة بانعدام الوزن لأن قدَمَيْها لا تبذلان قوة على الأرضية. في الحقيقة، لا تزال الأرض تؤثر عليها بقوة ، ولكنها تشعر بأنها كما لو كانت تعيش في فضاء خارجي لا يتعرض لأيِّ قوى جذب تثاقلية. بصورة أعم، يمكننا إثبات أن جميع الظواهر داخل صندوق متسارِع تتشابه مع الظواهر داخل صندوق غير متسارع، ولكنه على كوكب ذي عجلة جاذبية بدلًا من . إذا لم يكن بالصندوق نوافذ تستطيع أن تنظر من خلالها إلى الخارج، فمن المستحيل أن تعلم ما إذا كان الصندوق متسارعًا أم أنه ببساطة موضوع على كوكب مختلف. القارئ المهتم سوف يجد برهانًا لهذه المسألة في الملحق (ج).

مثال ٣-٤ (كتلة تنزلق أفقيًّا باحتكاك). تنزلق كتلة على سطح أفقي. معامل الاحتكاك الحركي بين الكتلة والسطح هو . إذا كان مقدار السرعة الابتدائية هو ، فما المسافة التي تتحركها الكتلة قبل أن تصبح ساكنة؟ وما مقدار الزمن الذي تستغرقه الكتلة قبل أن تسكن؟هذه المسألة البسيطة جدًّا تشتمل على كلٍّ من الكينماتيكا والديناميكا. ويفضل الأساتذة أن يضعوا هذا النوع من المسائل كامتحان؛ لأنه يختبر معرفة الطالب في المجالَيْن، ويختبر أيضًا ما إذا كان قد دمج المعرفة في صورة قابلة للاستعمال. الديناميكا (أي ) مطلوبة لحساب العجلة التناقصية للكتلة؛ وما إن تُعرَف هذه العجلة التناقصية، فإنه يمكن حساب المسافة والزمن من الصيغ الكينماتيكية المستنتجة في الفصل الأول.نفترض أن الكتلة تحركت إلى اليمين، ونضع المحورين و كما في شكل ٣-٣(ب). العجلة خالصة في الاتجاه ؛ أي إن ، و (نتوقَّع أن تكون سالبة). القوى المؤثرة على الكتلة (شكل ٣-٣) هي: القوة التثاقلية، والقوة العمودية التي يبذلها السطح، وقوة الاحتكاك التي يبذلها السطح. بكتابة و نجد أن و. بتذكُّر أن ، نجد أن وبهذا تكون . المسافة المقطوعة في الإيقاف يمكن إيجادها بسهولة أكثر من المعادلة (1-11d) التي تعطي . الزمن اللازم للإيقاف يمكن إيجاده بسهولة أكثر من المعادلة (1-11a) التي تعطي .

نطبِّق الآن منهجية نيوتن لتحليل «آلة أتوود» (شكل ٣-٥(أ)) التي تتكون ببساطة من كتلتين ( و) متصلتين بوتر (خيط) يمر فوق بكرة، تُستخدَم دعامة للإبقاء على موضع مركز البكرة ثابتًا (مثلًا، الحامل في شكل ٣-٥(أ)). احسب العجلة لكل كتلة والشد في الوتر. (أوضحنا في الفصل الثاني أنه إذا كان الوتر عديم الوزن والتلامس بين الوتر والبكرة أملس، فإن الشد عند الاتزان يكون هو نفسه عند جميع نقاط الوتر. كان الإثبات مبنيًّا على حقيقة أن القوة الكلية المؤثرة على كل عنصر صغير من الوتر تساوي صفرًا. حتى في حالة عدم الاتزان، يجب أن تكون القوة المؤثرة على عنصر من وتر عديم الوزن تساوي صفرًا؛ إذا كان العنصر بلا وزن، فإنه يكون عديم الكتلة، ويقضي قانون نيوتن الثاني بأن القوة الكلية المؤثرة على عنصر ما تساوي كتلة العنصر (صفرًا) مضروبة في عجلته. وهكذا نستطيع أن نبين، كما سبق، أن الشد هو نفسه عند جميع نقاط الوتر. حتى إذا كان التلامس بين الوتر والبكرة خشنًا، فإن الشد سيكون هو نفسه عند جميع نقاط الوتر إذا كانت البكرة عديمة الكتلة وتدور على محور أملس، سوف يتضح هذا في الفصل الثامن. إذا لم نذكر غير ذلك، فسوف يُفترض أن الأوتار والبكرات عديمة الوزن والمحاور ملساء (لا احتكاكية).)

مثال ٣-٥ (تحليل آلة أتوود). لتحاشي لَبْس الإشارات، نُدخِل متجه وحدة يشير رأسيًّا إلى أعلى. نعرف عجلة بأنها (أي إنه إذا كانت موجبة، فإن عجلة تتجه إلى أعلى). وحيث إن الوتر غير قابل للمطِّ فرضًا، فإن عجلة هي . إذا كان الشد في الوتر هو ، فإن معادلة القوة (قانون نيوتن الثاني) للكتلة هي: ومعادلة القوة للكتلة هي: وبهذا نحصل على و. بحذف نحصل على: وبالتعويض بهذه المعادلة في أيٍّ من المعادلتين السابقتين نحصل على:

يشيع خطأً أن تضع قائمة غير صحيحة للقوى المؤثرة على و في المثال السابق. القوتان المؤثرتان على هما شدُّ الجاذبية إلى أسفل ()، وشدُّ الوتر إلى أعلى (). قوة الجاذبية التثاقلية على ليست قوةً مؤثرة على ، و لا ينبغي أن تُستبدَل بها القوة في معادلة القوة الخاصة بالكتلة . بالمثل، يجب ألَّا تُستبدَل بها القوة في معادلة القوة الخاصة بالكتلة .

نتوقَّع في المثال السابق أن يكون إذا كان ، و إذا كان . و إذا كان . المعادلة (3-8) تتفق مع هذه التوقعات. فضلًا عن ذلك، إذا كان يكون لدينا اتزان، ومن ثَمَّ نتوقَّع أن يكون والمعادلة (3-9) تتفق مع هذا التوقُّع إذا اعتبرنا . ونعلم الإجابة أيضًا، بدون حساب، في الحالة الخاصة عندما تكون أكبر كثيرًا من . في هذه الحالة نتوقَّع أن تسقط مثل الجسم الذي يسقط بحرِّيَّة؛ أي إن . في حقيقة الأمر، المعادلة (3-8) تؤدي إلى هذه النتيجة عندما يكون (يمكننا إهمال في البسط والمقام)، وتعطي أيضًا (كما هو متوقَّع) عندما يكون . زيادة على ذلك؛ حيث إن تتسارع إلى أعلى بعجلة عندما يكون ، فإنه ينتج في هذه الحالة أن القوة الكلية المؤثرة على يجب أن يكون مقدارها ، ويجب أن يكون اتجاهها إلى أعلى؛ لهذا يجب أن يكون الشد في الوتر عندما يكون . المعادلة (3-9) تثبت هذا وتؤكِّده لأن تقترب من الواحد عندما يكون .

مثال ٣-٦ (تآثر آلة أتوود مع الأرضية). هناك سؤال يتردد كثيرًا حول مثال ٣-٥ وهو التالي: ما القوة المتجهة إلى أعلى التي تؤثِّر بها الأرض على الحامل؟ (بمعنى آخَر، إذا وُضِع الجهاز بأكمله على المقياس، فما هي القراءة التي سوف يبيِّنها المقياس؟) إذا كان الجهاز بأكمله في حالة اتزان، يمكننا على الفور أن نستدلَّ من قانون نيوتن الأول على أن تساوي في المقدار وزن الجهاز. لكن و تتحركان بعجلة، ومن ثَمَّ فهما ليستا في حالة اتزان.من المفيد عند هذه النقطة أن يمتد قانون نيوتن الثاني ليُطبَّق على الأنظمة المركبة (المكوَّنَة من أكثر من جسيم واحد)، تمامًا مثلما فعلنا مع قانون نيوتن الأول. ببساطة نكتب المعادلة لكل جسيم في نظامنا قيد الاعتبار (الدليل يعدد الجسيمات)، ونجمع المعادلات الناتجة لنحصل على . إذا حللنا إلى جزء خارجي وجزء داخلي، تمامًا مثلما فعلنا في الفصل الثاني، فإن القوى الداخلية تتلاشى زوجًا زوجًا نتيجةً لقانون نيوتن الثالث؛ وبهذا نحصل على: حيث هي القوة الخارجية الكلية (أي صافي القوة أو الحاصل المتجهي) المؤثِّرة على النظام.إذا كانت كل جسيمات النظام لها نفس العجلة ، فإن المعادلة 3-10 تصبح: حيث الكتلة الكلية للنظام.دَعْنَا نطبِّق المعادلة (3-10) على آلة أتوود، معتبرين أن النظام هو الجهاز بأكمله (يشمل الحامل الذي يُفترَض أنه عديم الوزن). لا نستطيع استخدام المعادلة (3-11) لأن أجزاء النظام المختلفة لها تسارُعَاتٌ مختلفة؛ ولهذا يجب أن نستخدم المعادلة (3-10). القوتان الخارجيتان الوحيدتان المؤثرتان على هذا النظام هما الجاذبية الأرضية والقوة العمودية التي تؤثر بها الأرض. بهذا تنص المعادلة (3-10) على أن: وتعطي . بإدخال معادلتنا السابقة (3-8) للتعويض عن وإجراء قليل من الجبر، نحصل على: إذا لم يكن الحامل بلا وزن، فإنه يجب أن تتضمن القوةُ الخارجية وزنَ الحامل، ويضاف ببساطة إلى الطرف الأيمن للمعادلة (3-13). لاحِظْ أنه عندما يكون نجد من المعادلة (3-13) أن ، وهو ما نتوقَّعه في حالة الاتزان. إذا كان ، فإنه ينتج من المعادلة (3-13) أن . وبناءً على ذلك، إذا وُضِع الجهاز على مقياس، فإن المقياس سوف يقرأ أقل من وزن الجهاز!على الرغم من أننا حسبنا باستخدام معادلة النظرية العامة (3-10)، فإنه يمكننا أيضًا إيجاد بملاحظة أن الحامل في حالة اتزان. القوى الخارجية الوحيدة التي تؤثر على الحامل هي قوتَا الشد في الوترين إلى أسفل، كلٌّ منهما بقوة ، ودَفْع الأرضية إلى أعلى بقوة مقدارها . وبهذا نجد أن ، وباستخدام المعادلة (3-9) للتعويض عن نحصل على المعادلة (3-13).

مثال ٣-٧ (تحليل نظام بكرات مزدوج). دعنا نعتبر نظام البكرات المبيَّن في شكل ٣-٦(أ). البكرتان ملساوان ولا وزنَ لهما. موضع البكرة B ثابت، بينما A يمكنها أن تتحرك. لقد رأينا بالفعل (مثال ٢-٧) أنه إذا كان فإن النظام سيكون في حالة اتزان. إذا اختيرت و عشوائيًّا، فإننا نريد حساب عجلتَيْ كلٍّ من الكتلتين والشد في الوتر. من الضروري التعرُّف على العلاقة بين عجلة وعجلة . العجز عن فهم هذه العلاقة، التي هي نتيجة مباشِرة لحقيقة أن الطول الكلي للوتر يظل ثابتًا، يعتبر مصدر خطأ شائع جدًّا. ولكي يظل الوتر مربوطًا، فإن يجب أن تهبط بوصتين مقابل كل بوصة ترتفعها . إذا أدخلنا متجه وحدة يشير رأسيًّا إلى أعلى، وعرَّفنا عجلة بأنها ، فإن عجلة حينئذٍ تكون .بتطبيق قانون نيوتن الثاني على نجد أن . وبتطبيق قانون نيوتن الثاني على (أو، بدقة أكثر، على النظام الذي يحتويه الصندوق المنقطع في شكل ٣-٦(ب)) نجد أن .بحل هاتين المعادلتين الآتيتين لإيجاد و نحصل على: عندما يكون فإننا نستعيد مسألة الاستاتيكا. على القارئ أن يتحقَّق من أن معادلتَيْ و تئولان إلى القيمتين المتوقعتين عندما يكون ، وعندما يكون .

مثال ٣-٨ (مقياس عجلة بسيط). عُلِّقَتْ كتلة بواسطة وتر من سقف عربة سكة حديد متسارعة (شكل ٣-٧). الوتر يصنع زاوية ثابتة مع الرأسي. احسب عجلة عربة سكة الحديد.يحصل معظم الطلاب على إجابة صحيحة لهذه المسألة، لكنَّ كثيرين يستخدمون براهين مريبة مشكوكًا فيها، وتؤدي بالتأكيد إلى لَبْس عند تطبيقها على حالات أكثر تعقيدًا. هذه ليست مسألة استاتيكا! الكتلة ليست في حالة اتزان؛ فإن لها نفسَ عجلةِ القطار. إذا أدخلنا المحورين المتصلين بالأرض (المحور الأفقي، والمحور الرأسي)، فإن و. شكل ٣-٧(ب) يوضِّح القوتين المؤثرتين على الكتلة بواسطة كلٍّ من الكرة الأرضية والوتر. المركبتان و للقوة تعطيان: بحذف نحصل على أو .كثير من الطلاب يستخدمون محاور متصلة بعربة السكة الحديد ويحاولون استخدام قانون نيوتن الأول ()؛ لأن الكتلة ليست متسارعة بالنسبة لهذه المحاور. إلا أن هذه المحاور ليست إطارًا قصوريًّا، ولن يكون قانون نيوتن الأول صحيحًا في إطار الإسناد هذا ما لم نعدِّل تعريفنا للقوة ليشمل قوةً احتكاكيةً من النوع المحدَّد بدقة الذي استبعدناه في الفصل الثاني. «القوة» الثالثة، التي يجب إضافتها إلى شكل ٣-٧(ب) لكي يتلاشى حاصل الجمع المتجهي للثلاث قوى، تتجه أفقيًّا إلى اليسار ومقدارها (متَّجهيًّا، «القوة» الثالثة هي ). يستطيع المرء أن يحصل على المعادلتين (3-15a) و(3-15b) إذا أدخل هذه «القوة» الإضافية، ثم استعمل قانون نيوتن الأول، إلا أن هذه «القوة» لا يمكن تفسيرها على أنها دفع أو سحب تؤثر بهما كتلة مادية أخرى على . ومع أنه من المفيد أحيانًا، في مستوى متقدِّم، استخدام محاور ليست إطارًا قصوريًّا، وإدخال قوى وهمية مناسبة، فإننا نعترض بشدة على استخدام مثل هذه المحاور في مقرَّر تمهيدي.

مثال ٣-٩ (مثال لاحتكاك في اتجاه حركة). صندوق يزن ٢٠٠ نيوتن (n) يستقر على أرضية عربة شحن شكل ٣-٨. معامِلَا الاحتكاك الاستاتيكي والحركي بين الصندوق والأرضية هما و. افترض أن عربة الشحن كانت في البداية ساكنة، ثم تسارعت بعجلة ثابتة . احسب عجلة الصندوق والقوة التي تؤثِّر بها الأرضية على الصندوق. أجب عن نفس السؤالين عندما تكون عجلة عربة الشحن . من المهم أن يكون لدينا فَهْم كيفي لهذه المسألة قبل كتابة المعادلات. نعلم من الخبرة أنه إذا كان مقدار العجلة لعربة الشحن صغيرًا بدرجة كافية، فإن الصندوق لن ينزلق، ولهذا ستكون عجلة الصندوق أيضًا هي . القوة الأفقية الوحيدة المؤثرة على الصندوق هي قوة الاحتكاك التي تبذلها الأرضية عليه. هذه القوة يجب أن تتجه إلى الأمام (إلى اليمين في شكل ٣-٨(ب))، ويجب (لكي تستوفي شروط قانون نيوتن الثاني) أن يكون مقدارها مساويًا لكتلة الصندوق مضروبة في عجلته. إذا كانت أكبر من قيمة معينة حرجة ، فإن القوة الاحتكاكية اللازمة ستكون أكبر من أقصى قوة ممكنة للاحتكاك الاستاتيكي، وسوف ينزلق الصندوق، وستظل الأرضية أثناء الانزلاق تؤثر عليه بقوة أمامية (لأن الصندوق متحرك إلى الوراء بالنسبة للأرضية). هذه القوة، التي يمكن حسابها باستخدام قانون الاحتكاك الحركي (المعادلة (2-14))، سوف تحدد عجلة الصندوق (التي سوف تتجه إلى الأمام، ولكن سيكون مقدارها أصغر من ).نريد أولًا أن نعرف ما إذا كان الصندوق متسارعًا مع عربة الشحن أم منزلقًا؛ ولذلك يجب أن تحسب قيمة العجلة الحرجة . إذا كانت فإن عجلة الصندوق تكون ، ونحصل من قانون نيوتن الثاني على ؛ حيث هي القوة الاحتكاكية التي تبذلها الأرضية، و هي كتلة الصندوق. وحيث إن الصندوق ليست له عجلة في الاتجاه الرأسي، فيكون لدينا ، وبهذا يكون . لكن قانون الاحتكاك الاستاتيكي ينص على أن . وبناء على ذلك نجد أن الانزلاق يحدث إذا كانت أكبر من القيمة الحرجة . باعتبار نجد أن (لاحظ أن لا تعتمد على كتلة الصندوق)؛ لهذا يكون للصندوق نفس عجلة عربة الشحن عندما تكون ، وينزلق الصندوق عندما تكون .وبالتالي، عندما تكون ، تكون عجلة الصندوق ، وتكون القوة الاحتكاكية هي: عندما تكون تكون القوة الاحتكاكية . تستنتج عجلة الصندوق من قانون نيوتن الثاني ، الذي يعطي . وبهذا، عندما يكون نجد أن عجلة الصندوق هي (مرةً ثانيةً لا تعتمد على كتلة الصندوق). القوة الاحتكاكية هي: لاحظ أنه عندما تكون فإن عجلة الصندوق والقوة الاحتكاكية لا تعتمدان على .

مثال ٣-١٠ (كتلتان بينهما احتكاك متبادَل مسحوبتان بثالثة على سطح أملس). اعتبر الجهاز المبيَّن في شكل ٣-٩(أ)؛ حيث على سطح أفقي أملس، ومعامِلَا الاحتكاك بين و هما و. لكل قيم ، نرغب في إيجاد عجلة ، وعجلة ، والشد في الوتر، والقوة الأفقية التي تؤثِّر بها على .هذا المثال نسخة معقَّدَة قليلًا من المثال ٣-٩. نتوقع أن يكون لكلٍّ من و نفس العجلة، إذا كانت صغيرة بدرجة كافية، لكن إذا كانت أكبر من قيمة حرجة معينة، فإن الكتلة الأعلى () سوف تنزلق. إننا بحاجة ملحة من الآن لأن نوضِّح أن الشد في الوتر لا يساوي (خطأ شائع)؛ إذا كان الشد في الوتر فإن ستكون في حالة اتزان ولن تتسارع. لنعتبر متجه وحدة يشير أفقيًّا إلى اليمين، ومتجه وحدة يشير رأسيًّا إلى أعلى، ونعرِّف عجلة بأنها وعجلة بأنها . وبفرض أن الوتر غير قابل للمط، تكون عجلة هي . لقد اعتبرنا متجهَيِ الوحدة فقط لتحاشي أخطاء الإشارات، وعلى القارئ من الآن أن يكون قادرًا على الاستغناء عنهما. يوضح شكل ٣-٩(ب)، (ج)، (د) مخططات بيانية لجسم حر للكتل الثلاث. هو مقدار القوة العمودية التي تبذلها إحدى الكتلتين على الأخرى، و هو مقدار القوة الاحتكاكية، و هو مقدار القوة العمودية التي تؤثِّر بها المنضدة على الكتلة السفلى. ونظرًا لعدم وجود عجلة رأسية لأيٍّ من أو ، فإننا نجد (من شكل ٣-٩(ج)) أن و(من شكل ٣-٩(ب)) أن .تطبيق قانون نيوتن الثاني على كل كتلة يعطي: لننظر أولًا إلى حالة و عندما يكون لهما نفس العجلة (). بإضافة المعادلتين (3-18a) و(3-18b) نحصل على (التي يمكن الحصول عليها أيضًا بتطبيق قانون نيوتن الثاني على الجسم المركب من الكتلتين). بالتعويض عن في المعادلة (3-18c) نجد أن . وتُعطى القوة الاحتكاكية بالمعادلة: وبما أن فيكون لدينا: هذا الحل متوافِق مع قانون الاحتكاك الاستاتيكي، بشرط أن يكون . إذا كان فإننا نستطيع إيجاد قيمة الحرجة بوضع ؛ وبهذا نجد أن إذا كان .لاحظ أن الطرف الأيمن للمعادلة (3-20) يكون دائمًا أقل من ١؛ ولهذا فإنه في حالة ، لا يمكن أبدًا أن تنزلق بالنسبة إلى مهما زادت قيمة . إذا كان فإن قيمة الحرجة (الناتجة بوضع ) تكون ، التي تتفق مع النتيجة السابقة عندما يكون .إذا كانت ، فإن تنزلق بالنسبة إلى . تُعطى القوة الاحتكاكية بقانون الاحتكاك الحركي ، ومن المعادلة (3-18a) نجد أن . نستطيع الآن حل المعادلة (3-18b)، والمعادلة (3-18c) لإيجاد المجهولين و، ونحصل على: على القارئ الذي يستهويه هذا النوع من المسائل أن يتولى بنفسه ربط الوتر بالكتلة بدلًا من ، أو يقوم بإدخال احتكاك عند سطح التلامس بين المنضدة و.