حفظ وعدم حفظ كمية التحرك

قوانين نيوتن هي القوانين الوحيدة في الميكانيكا الكلاسيكية. وجميع «القوانين» أو المبادئ العامة الأخرى مستنتَجة من قوانين نيوتن. والفيزيائي يهتم على وجه الخصوص بالتعبيرات المتعلقة بسلوك أنظمة لا تعتمد على الطبيعة التفصيلية للقوة المعنية. وأفضل مثال معروف لمثل هذه التعبيرات هو مبدأ حفظ كمية التحرك:

لفهم هذا النص، علينا بالطبع أن نعرِّف أولًا «كمية التحرك». إذا كان لدينا جسيم ما كتلته وسرعته ، فإن كمية تحرُّكه (يُرمز لها عادةً بالمتجه ) تُعرَّف بالمعادلة: وتعرف كمية تحرك نظام ما من الجسيمات بحاصل جمع كميات تحرك الجسيمات المفردة:

أثبتنا في الفصل الثالث (معادلة (3-10)) أنه لأي نظام: حيث القوة الكلية الخارجية المؤثرة على النظام.

لاستنتاج المعادلة (4-3) نجمع معادلات القوة لجميع جسيمات النظام؛ تتلاشى القوى الداخلية أزواجًا أزواجًا كنتيجة لقانون نيوتن الثالث.

إذا كان ، يكون لدينا المعادلة: التي تسمى مبدأ حفظ كمية التحرك.

مثال ٤-١ (تحليل تصادم تلتصق فيه الأجسام معًا). جسم كتلته 1 kg وجسم كتلته 2 kg يتصادمان على سطح أفقي أملس. قبل التصادم، كانت سرعة الجسم الأول 3 m/s في اتجاه شمال الشرق (أي شرق الشمال). التصق الجسمان معًا، فتكوَّن منهما جسم كتلته 3 kg. أوجد مقدار واتجاه سرعة الجسم الذي كتلته 3 kg.نختار اتجاه المحاور بحيث يشير المحور إلى الشرق، والمحور إلى الشمال، ويكون المحور عموديًّا على السطح. نعرِّف هذا النظام بأنه نظام الجسمين. وبما أن السطح أملس فلا توجد قوة خارجية في الاتجاه أو الاتجاه (لاحظ أنه يوجد قوى داخلية في النظام (لأن الجسمين يؤثران أحدهما على الآخر أثناء وقت التصادم). تؤثِّر قوة الجاذبية بشدة في الاتجاه على كل جسم، لكن القوة العمودية التي يؤثِّر بها السطح تساوي قوة الجاذبية في المقدار وتُضادها في الاتجاه؛ وبناءً على ذلك لا يوجد صافي قوة خارجية على النظام، ونستطيع تطبيق مبدأ حفظ كمية التحرك الذي ينص على أن: لاحظ أن المعادلة (4-5) معادلة متجهة تكافئ المعادلات الثلاث: خطأ شائع أن تعتقد بأن المعادلة (4-5) تعني ضمنًا: حيث مقدار متجه السرعة . هذا لا ينتج من المعادلة (4-5)، وليس صحيحًا على وجه العموم.في المثال الحالي، المعادلة (4-6c) ليست مهمة؛ فهي لا تنص إلا على أن . إذا سمَّينا متجه السرعة النهائية المجهولة ومركبتَيه و، فإن المعادلتين (4-6a) و(4-6b) تعنيان أن: بهذا نجد أن و. ويكون مقدار سرعة الجسم الذي كتلته 3 kg هو . ويكون متجه السرعة في اتجاه شمال الشرق ().

مثال ٤-٢ (تحليل تصادم ترتد فيه الأجسام بعيدًا). اعتبر نفس الجسمين المذكورين في المثال السابق متصادمين بنفس السرعتين الابتدائيتين، لكنهما لا يلتصقان معًا. بعد التصادم تكون سرعة الجسم الذي كتلته 2 kg هي 4 m/s في اتجاه شرق الشمال. سرعة الجسم الذي كتلته 1 kg.بتسمية السرعة المجهولة نجد من المعادلتين (4-6a) و(4-6b) أن: وبهذا يكون و. لاحظ أنه عندما يلتصق الجسمان معًا (هذه الحالة تسمى التصادم غير المرن تمامًا)، فإن مبدأ حفظ كمية التحرك هو الذي يحدِّد منفردًا السرعة النهائية. وعندما لا يلتصق الجسمان معًا لا يكون مبدأ حفظ كمية التحرك هو الذي يحدِّد منفردًا متجه السرعة النهائية. إذا عُلِم أحد متجهَي السرعة النهائية، كما في المثال الحالي، فإن المتجه الآخر يحدَّد بمبدأ حفظ كمية التحرك. وبصورة أعم، يعيَّن متجه ما في المستوى بعددين (مثلًا، مركبتا المتجه، أو طول المتجه والزاوية التي يصنعها مع المحور )؛ وبناءً عليه فإن أربعة أعداد تكون مطلوبة لتعيين متجهَي السرعة النهائية. حفظ كمية التحرك وكمية التحرك بفرض ضرورة تحقيق شرطين (هما المعادلتان (4-6a) و(4-6b)) بواسطة هذه الأعداد الأربعة. وعلى ذلك ستتحدد الحالة النهائية إذا عُين أي عددين من هذه الأعداد (مثلًا، اتجاها السرعتين النهائيتين). تعددية الحالات النهائية الممكنة تناظر حقيقة أن الجسمين لهما أشكال (والتلامس يمكن أن يحدث عند نقاط مختلفة على سطحيهما) ودرجات مختلفة من الصلابة (مثل كرتين من الصلب مقابل كرتَي تنس قديمتين).

نعتبر الآن صاروخًا أُطلق رأسيًّا من الأرض، وفي لحظة ارتفاعه بسرعة 100 m/s انفجر إلى ثلاث شظايا متساوية الكتلة. بعد الانفجار مباشرةً كانت سرعة إحدى الشظايا 50 m/s رأسيًّا إلى أسفل، وسرعة شظية أخرى 75 m/s في الاتجاه الأفقي. أوجد متجه سرعة الشظية الثالثة بعد الانفجار مباشرةً.

معظم الطلاب سوف يحلون هذه المسألة فورًا بمساواة كمية حركة الصاروخ قبل الانفجار مباشرةً مع حاصل كميات حركة الشظايا الثلاث بعد الانفجار مباشرةً. هذا الإجراء صحيح، ولكنه يستلزم بعض المناقشة لأن النظام لا يخلو من قوى خارجية؛ فقوة الجاذبية تؤثِّر على الصاروخ وتؤثِّر أيضًا على الشظايا. كيف نبرِّر إهمال تأثير الجاذبية؟ إذا أجرينا تكامُل كلا طرفَي المعادلة (4-3) بالنسبة إلى الزمن من إلى ، حيث و اختياريان، نحصل على: دعنا نختَرْ ليكون الزمن قبل الانفجار مباشرةً، و الزمن بعد الانفجار مباشرةً. في هذه المسألة ؛ حيث الكتلة الكلية للنظام، و متجه وحدة رأسيًّا إلى أعلى. عندئذٍ يصبح الجانب الأيسر للمعادلة (4-10) هو . يكون الانفجار «مثاليًّا» عندما يتطاير الصاروخ إلى أجزاء في زمن متناهي الصغر؛ أي . في هذه الحالة يتلاشى الجانب الأيسر للمعادلة (4-10)، أو يكون مهمَلًا؛ وبهذا تكون كمية التحرك قبل الانفجار مباشرةً مساوية لكمية التحرك بعد الانفجار مباشرةً.

مثال ٤-٣ (صاروخ منفجر). اعتبر المسألة المذكورة أعلاه للتوِّ، والخاصة بصاروخ منفجر. إذا عرَّفنا كمتجه وحدة موازٍ لسرعة الشظية المتحركة أفقيًّا، فإن حفظ كمية التحرك يستلزم أن يكون: حيث هي سرعة الشظية الثالثة؛ وبهذا نجد أن .

مثال ٤-٤ (الشد معًا على سطح لا احتكاكي). طفلان، أحدهما كتلته 30 kg والآخر كتلته 45 kg يقفان على بحيرة صغيرة متجمدة (بفرض أن الجليد أملس تمامًا). في البداية كانا ساكنين تمامًا وتفصلهما مسافة 30 m، ويمسك كلٌّ منهما بطرف حبل لا وزن له وطوله 30 m، ثم بدأ الطفلان في شد الحبل إلى أن تصادما. أين سيحدث التصادم؟ (يجب أن توضِّح طريقةُ الحل أن موقع نقطة التصادم لا يعتمد على تفاصيل كيفية شدِّهما للحبل.)نُعرِّف نظامنا بأنه يتكوَّن من طفلين بالإضافة إلى الحبل. وحيث إنه لا توجد قوة خارجية مؤثرة على النظام، يكون لدينا: حيث هي كتل وسرعات الطفلين. وبما أن و في البداية يساويان صفرًا، فإن قيمة الثابت تساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ يكون: حيث و هما موضعا الطفلين بالنسبة إلى نقطة أصل ثابتة. إذا كان موضعا الطفلين الابتدائيان هما و، وموضع حدوث تصادمهما هو ، فإن: من المناسب (ولكن ليس ضروريًّا) أن نأخذ نقطة الأصل عند موضع الطفل رقم ١ بحيث يكون ، ويكون: مما يعني أنه إذا كانت المسافة الابتدائية الفاصلة بين الطفلين هي ، فإن التصادم يحدث على الخط بين الموضعين الابتدائيين عند نقطة تبعد مسافة عن الموضع الابتدائي للطفل رقم ١. في المثال الحالي، يحدث التصادم على بُعد 18 m من الموضع الابتدائي للطفل الأقل كتلة.

توضِّح مناقشة المثال السابق فائدة مفهوم مركز الكتلة. عمومًا، إذا كان نظامٌ ما مكوَّنًا من جسيمات مرقَّمة عدديًّا بالدليل ، وتقع عند مواضع ، فإن موضع مركز الكتلة يعرَّف بالمعادلة:

إذا كانت هي الإحداثيات الكارتيزية لمركز الكتلة، فإن المعادلة (4-16) تكون مكافئة للمعادلات الثلاث: إذا أعدنا كتابة المعادلة (4-16) على الصورة ؛ حيث ، وأجرينا عملية التفاضل لكلا الجانبين بالنسبة إلى الزمن، نحصل على: حيث . بتفاضل كلا الجانبين بالنسبة إلى الزمن مرة ثانية، نحصل على:

بضم هذه النتيجة إلى المعادلة (3-10) نحصل على النتيجة المهمة جدًّا التالية: التي تنص على أن حركة مركز كتلة نظام ما تماثل حركة جسيم كتلته (حيث الكتلة الكلية للنظام) يتعرَّض لقوة (حيث هي القوة الخارجية الكلية المؤثِّرة على النظام)؛ ولهذا، إذا ألقيتَ كرسيًّا في الهواء بأي قدر من اللفِّ، فإن مركز الكتلة (يُختصر بوجه عام إلى CM) للكرسي سوف يتحرَّك (نهمل هنا احتكاك الهواء) في شكل قطع زائد.

القوة الخارجية في مثال ٤-٤ تساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ و ثابت. وبما أنه في البداية ، فإنه ينتج أن دائمًا، و قيمة ثابتة. وعلى ذلك فإن مركز الكتلة لا يتحرك أبدًا، ويجب أن يحدث التصادم عند مركز كتلة الموضعين الابتدائيين.

كثيرًا ما يهتم امرؤ ما بحركة جسم جاسئ محدود الحجم (أي ليس متناهيًا في الصغر). وغالبًا ما يكون موضع مركز الكتلة واضحًا من اعتبارات التماثل (على سبيل المثال، مركز كتلة قضيب منتظم يقع عند النقطة الوسطى). لكن في حالات أخرى يكون بعض الحساب ضروريًّا. نموذجيًّا، نجزِّئ مفاهيميًّا عمليات الجمع في المعادلات (4-17a) و(4-17b) و(4-17c) بواسطة حساب التكامل. كمثال، دعنا نحسب موضع مركز الكتلة CM لنصف كرة جاسئة كثافتها منتظمة للتبسيط. نأخذ المحورين و في الوجه المسطح، ونقطة الأصل عند مركز ذلك الوجه. نرى من اعتبارات التماثل البسيطة أن مركز الكتلة يقع على المحور ؛ أي إن . لحساب ، علينا أن نحوِّل المجموع في المعادلة (4-17c) إلى تكاملات، ويمكن عمل ذلك ببساطة بإحدى طريقتين؛ في الطريقة الأولى نقسِّم الجسم إلى شرائح رقيقة بواسطة مستويات عمودية على المحور . مستوى الثابت يقطع نصف الكرة في دائرة نصف قطرها ؛ حيث نصف قطر نصف الكرة؛ بهذا نجد أن حجم الشريحة المحتواة بين المستوى على ارتفاع والمستوى على ارتفاع هو ، وكتلة هذه الشريحة هي ؛ حيث كثافة الكتلة (كتلة وحدة الحجم). بتحويل الجموع في المعادلة (4-17c) إلى تكاملات، نجد أن: بدلًا من ذلك، نستطيع أن نقسِّم الجسم إلى عناصر حجم معرَّفة بأسطح الإحداثيات الطبيعية في إحداثيات كروية الحجم. وحجم العنصر هو . باستخدام ، نجد أن: بما يتفق مع الحساب السابق. لاحظ أن الإجابة معقولة؛ ونتوقع أن يكون ؛ حيث إن أكثر من نصف الكتلة موجود تحت المستوى .

ملحوظة. يمكنك، إذا كنت مهتمًّا، أن تحسب موضع مركز الكتلة لأجسام متنوعة، لهرم على سبيل المثال. هذا تمرين في حساب التفاضل والتكامل أكثر منه في الفيزياء.

إذا تحرَّك نصف الكرة الجاسئة إلى موضع مختلف، أو أُمِيلَ، فإن مركز الكتلة يستمر ليكون نفس النقطة الفيزيائية للجسم. وبصورة أعم، تعريف مركز الكتلة (المعادلة (4-16)) يعني ضمنًا (حذفنا البرهان وتركناه كتمرين، المسألة ٤-١، للقارئ المهتم) أن مركز كتلة جسم جاسئ يستمر في أن يكون نفس النقطة الفيزيائية للجسم حتى عندما يتغيَّر موضع الجسم واتجاهه. وبالنسبة إلى بعض الأجسام، مثل كرة مفرغة، لا يهم وضْعها عند مركز الكتلة. وبرغم ذلك، يستطيع المرء أن يتخيَّل مركز الكتلة متصلًا بالجسم عن طريق قضبان لا وزن لها.

افترض أننا قسَّمنا الجسيمات في نظام ما إلى مجموعتين (نظامين فرعيين) نسميهما ١ و٢. افترض أن الكتلتين الكليتين للنظامين الفرعيين هما و، وأن مركزَي كتلتَيهما يقعان عند و. عندئذٍ ينتج من تعريف مركز الكتلة، المعادلة (4-16)، أن مركز كتلة النظام ككل ما هو إلا مركز كتلة الكتلتين النقطيتين. تقع عند و عند ؛ وبناءً على ذلك، إذا التحم قضيبان معًا، فإن مركز كتلة النظام المركب منهما يكون تمامًا مركز كتلة الكتلتين النقطيتين اللتين تقعان عند نقطتَي منتصف القضيبين.

المعادلة (4-20) ذات فائدة عملية مهمة عندما تُطبَّق على جزء من نظام دوَّار مثل الحدَّافة. إذا كانت الحدَّافة تدور حول محور ثابت، فإن أي نقطة فيزيائية عليها تتحرك في دائرة. افترض أن مركز كتلة الحدَّافة لا يقع على المحور؛ عندئذٍ يتحرك مركز الكتلة في دائرة، وتكون له عجلة مقدارها وتتجه نحو المركز؛ حيث مقدار سرعة مركز الكتلة و بُعد مركز الكتلة عن المركز. إذا كانت الحدَّافة تدور دورة في الثانية (يُطلَق على التردد)، فإن و. إذا كانت كتلة الحدَّافة ، فإن المعادلة (4-20) تنص على أن قوة خارجية مقدارها يجب تطبيقها على الحدَّافة. هذه القوة يبذلها محور التحميل وتتجه قطريًّا إلى الداخل، بطول الاتجاه اللحظي من مركز الكتلة إلى المحور. تؤثِّر الحدَّافة على محور التحميل بقوة مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه، ترهق أجزاء التحميل أو تجعلها تتذبذب، أو تسبِّب الأثرَين معًا. على سبيل المثال، إذا كانت كتلة الحدَّافة 145 kg وتدور ٦٠٠٠ دورة كل دقيقة ()، وإذا كان مركز الكتلة يبعد ٣,١٧٥ مليمترات (١ / ٨ بوصة) عن المحور، فإن مقدار هذه القوة الدوارة بسرعة هو ١٨٢٠٠٠ نيوتن، أو ٤٠٨٠٠ رطل، أو أكثر من ٢٠ طنًّا. لكي تكون توصل كتلة نقطية بالحدَّافة، بحيث يؤدي اختيار مقدار الكتلة النقطية وموضعها إلى وضع مركز الكتلة على المحور. يُسمَّى هذا الإجراء الموازنة الاستاتيكية للحدَّافة.

افترض أن دالة ما في الزمن . نُعرف المتوسط الزمني للدالة بالمعادلة: تعريف المتوسط هكذا يعتمد على و، لكن في معظم الحالات التي تجذب الاهتمام لا تعتمد على و، بشرط ألا يكون طول أخذ متوسط الفترة الزمنية صغيرًا للغاية. على سبيل المثال، شكل ٤-٣ عبارة عن رسم بياني للقوة المبذولة على جدار وعاء بواسطة جزيئات تتصادم مع الجدار. إذا كانت فترة أخذ المتوسط تشمل تصادمات عديدة، فإن لا تعتمد على طول فترة أخذ المتوسط. لاحظ أن تعريف يعني ضمنًا أن المساحة تحت الخط الأفقي تساوي المساحة تحت خط الرسم البياني للتراوح الفعلي للقوة مقابل الزمن.

إذا كان عبارة عن متجه يتغير مع الزمن، فإن متوسط الزمني يُعرف بالمثل؛ أي إن: وهكذا فإن المركبة ﻟ هي المتوسط الزمني للدالة ، وبالمثل بالنسبة إلى المركبتين و.

نستطيع الآن حساب المتوسط الزمني للقوة التي تبذلها الجسيمات التي تصطدم بالجدار. وبدلًا من اعتبار جزيئات غاز، لها توزيع سرعات استاتيكي، سوف نفترض أن الجسيمات هي طلقات مدفع رشاش؛ وبهذا تقترب جميعها من الحائط بنفس السرعة. ونُعرِّف هذا النظام بأنه يتكون من جميع الطلقات التي ترتطم بالحائط أثناء فترة زمنية طولها ؛ حيث تكون كبيرة مقارنةً بالزمن بين الطلقات. من المعادلة (4-3) نحصل على: حيث هي كمية التحرك لنظام عند زمن ، و هي كمية التحرك عند زمن 0.

إذا وصلت الطلقات إلى السكون في الحائط، فإن . في البداية كانت جميع الطلقات تتحرك إلى اليسار بمقدار سرعة (سرعة الطلقة هي ؛ حيث متجه وحدة يشير إلى اليمين). عدد الطلقات في نظامنا الحالي هو ؛ حيث عدد الطلقات التي ترتطم بالحائط كل وحدة زمنية؛ وبناءً عليه نجد أن ؛ حيث هي كتلة الطلقة. القوة الخارجية الوحيدة المؤثرة على نظامنا هي التي يبذلها الحائط. باستخدام المعادلة (4-24) نجد أن هذه هي القوة المتوسطة التي يبذلها الجدار على طلقات الرصاص؛ والقوة المتوسطة التي تبذلها الطلقات على الجدار هي . إذا كانت طلقات الرصاص، بدلًا من أن تصل إلى السكون في الجدار، ترتد بعيدًا عن الجدار بسرعة ، فإنه يكون لدينا ، وتكون القوة المؤثرة على الجدار ضعف القوة السابقة.

مثال ٤-٥ (رمل في ساعة رملية). وُضعت ساعة رملية على ميزان. عندما كان كل الرمل في قاع الساعة الرملية، كانت قراءة المقياس (أي إن وزن الساعة الرملية بالإضافة إلى الرمل كله يساوي ). كم ستكون القراءة أثناء هبوط الرمل خلال الساعة الرملية؟ للتحديد، نفترض أن كتلة ثابتة من الرمل كل وحدة زمن (نسميها ) تهبط خلال الساعة الرملية، وأن كل حبيبات الرمل تهبط نفس المسافة (أي إننا نتجاهل تراكم الرمل).هذا السؤال يمكن إجابته إما بتطبيق النظرية العامة، المعادلة (4-20)، على النظام المكون من الساعة الرملية والرمل، أو بفحص تفصيلي لما يحدث في الساعة الرملية. كلتا الطريقتين تعليميتان.دعنا نأخذ المحور متجهًا رأسيًّا إلى أعلى، ونأخذ عند قاع الساعة الرملية. ارتفاع مركز كتلة النظام (الساعة الرملية + الرمل) يُحدَّد بالمعادلة: حيث الكتلة الكلية للنظام، في أي لحظة من الزمن يمكن تحليل حاصل الجمع على اليمين إلى أربعة أجزاء: (١) يساوي ؛ حيث هي كتلة الرمل في الغرفة العليا عند زمن . (٢) يتلاشى لأن عند القاع. (٣) ثابت في الزمن لأن صورة التيار الهابط من الرمل تبدو هي نفسها في كل الأوقات. (٤) ثابت في الزمن بكل وضوح. بناءً على ذلك يكون لدينا ، بتفاضل كلا الطرفين بالنسبة إلى الزمن وملاحظة أن نحصل على و لأن من المفترض أن تكون ثابتة. ينتج من المعادلة (4-20) أن صافي القوة الخارجية المؤثرة على النظام يساوي صفرًا. لكن القوة الخارجية هي ؛ حيث هي قوة الجاذبية التثاقلية و هي القوة التي يبذلها الميزان؛ وبهذا نجد أن ؛ وقراءة الميزان تكون هي نفسها سواءٌ أكان الرمل هابطًا أم لا. (في حقيقة الأمر، هناك تأثير عابر قصير في البداية والنهاية لأن صورة الرمل الساقط متغيرة.) بعض الناس سوف يقتنعون بأن يجب أن تكون أقل من لأن الميزان لا يشعر بوزن الرمل الذي يسقط بحرية. ومع ذلك، فهناك تأثير آخر: تأثير الرمل الساقط على القاع، والذي يزيد . التحليل السابق لمركز كتلة الحركة، الذي يتجاهل تمامًا ضرورة مناقشة هذين التأثيرين، يعني أيضًا أنهما يجب أن يتلاشيا تمامًا. يمكن أن نفهم هذا بالتفصيل. إذا كان هو الزمن اللازم لكي تسقط حبة رمل مسافة ، فإن وزن الرمل في السقوط الحر يكون . حسابات المدفع الرشاش في المثال السابق تخبرنا أن تأثير الرمل الهابط تنشأ عنه قوة إضافية تؤثِّر على الميزان؛ حيث هو مقدار سرعة حبة الرمل قبل ارتطامها بالقاع مباشرةً (و تشابه في حسابات المدفع الرشاش). بما أن ، فإن القوة المؤثرة تُلاشي النقص في الوزن، كما هو متوقع. (في الحقيقة، هناك نقص وقتي عابر في قراءة المقياس قبل أن ترتطم حبة الرمل الأولى بالقاع، وزيادة وقتية أثناء هبوط الحبَّات الأخيرة.)

مثال ٤-٦ (نقل حَمَام في شاحنة). توقفت شاحنة كبيرة ذات مقطورة عند تقاطع، ولاحَظَ أحد المشاة أن السائق قفز خارجًا من الكابينة، وضرب بغضب على جانب المقطورة مستخدِمًا قطعة خشب غليظة، ثم قفز عائدًا إلى الكابينة. واستفسر الرجل الماشي فأجاب السائق صائحًا: «الحد الآمِن للحمل بالنسبة إلى الإطارات هو ٦٠٠٠٠ رطل. وتزن تجهيزات المقطورة ٤٠٠٠٠ رطل وهي فارغة، ولديَّ بالداخل ٤٠٠٠٠ رطل طيورًا حية من الحمام؛ لهذا عليَّ أن أُبقي نصف وزن الحمام في الهواء.»هل ستنجح هذه الخطة؟بفرض أن نظامنا مكوَّن من الشاحنة بالإضافة إلى جميع المحتويات، إذا كان هو المتوسط الزمني للقوة المؤثرة على النظام طوال الفترة الزمنية من إلى ، فإن ؛ حيث و هما كمية التحرك للنظام عند هذين الزمنين. إذا افترضنا (ليس ضروريًّا حقيقةً، ولكن لتبسيط المناقشة) أن هناك حدًّا أعلى لمقدار السرعة التي يمكن أن يطير بها الحمام، فإن مقدارَي و يكونان محدَّدين. وبناءً عليه، إذا جعلنا أخذ المتوسط لفترة زمنية طويلًا بدرجة كافية، فإننا نحصل على . وعلى وجه الخصوص، متوسط المقدار للقوة المتجهة لأعلى، والتي يبذلها الطريق على الإطارات يجب أن تساوي ؛ قوة الجاذبية التثاقلية المؤثرة على الشاحنة وكل محتوياتها.كما في المثال السابق، الخلاصة التي توصَّلنا إليها ليست مبنية على تحليل تفصيلي للقوى «الداخلية» في النظام. ومع ذلك، إذا رغب أحد في معرفة السبب في أن وزن الحمام الموجود في الهواء لم يخفِّف الحمل على الإطارات، فإن الإجابة تكمن في أن رفرفة أجنحة الحمام تزيد من الضغط الذي يبذله الهواء على أرضية الشاحنة. لاحظ أن تحليلنا يفترض أن الشاحنة مغلقة بحيث تكون كل القوى المتعلقة بالديناميكا الهوائية هي قوى داخلية في نظامنا. إذا كانت المقطورة مغلقة بسياج من أسلاك قفص الطيور فقط، فإن بعض القوى الديناميكية الهوائية تنتقل إلى أجزاء مجاورة من الطريق. يجب أن يكون واضحًا أنه، في هذه الحالة، إذا كانت جدران المقطورة عالية بقدر كافٍ، فإن استراتيجية السائق قد تنجح.

مثال ٤-٧ (علم الصواريخ). اعتبر صاروخًا في الفضاء الخارجي (حيث لا توجد جاذبية). في البداية يكون الصاروخ ساكنًا، وكتلته بالإضافة إلى كل وقوده تساوي . أثناء احتراق الوقود، يندفع في اتجاه المؤخرة بمقدار سرعة ثابت بالنسبة إلى الصاروخ. يناظر ذلك تمامًا حالة امرأة مسلَّحَة بمدفع رشاش وهي تجلس على مزلجة فوق جليد أملس، وما إن تُطلِق المدفع في اتجاه المؤخرة، فإن الارتداد يُعجِّل المزلجة. ما هي سرعة الصاروخ في اللحظة التي تكون عندها كتلة الصاروخ والوقود المتبقي مساوية ﻟ ؟ (هذه العلاقة لا تعتمد على أي فروض بشأن معدل الاحتراق الذي لا يكون بالضرورة ثابتًا. إذا أُخذت الجاذبية في الاعتبار فإن برنامج الاحتراق يكون مهمًّا.) لنعتبر نظامنا هو الصاروخ بالإضافة إلى كل الوقود الموجود على متنه في أي لحظة معينة. لتكن كتلة النظام هي ، وسرعة الصاروخ في هذه اللحظة هي ؛ حيث متجه وحدة يشير في اتجاه حركة الصاروخ. نبحث نفس النظام (أي نفس تجمُّع الجسيمات) في لحظة متأخرة قليلًا. عند هذا الزمن تكون كتلة الصاروخ والوقود الموجود على متنه هي (لاحظ أن كمية سالبة) وسرعة الصاروخ هي . بعض جسيمات نظامنا لا تزال على متن الصاروخ؛ في الحقيقة هناك كتلة من الوقود قد قُذِفت من الصاروخ بسرعة بالنسبة إلى راصد قصوري. القوة المبذولة على غرفة الاحتراق بواسطة وقود الاحتراق وردود الأفعال لتلك القوى هي جميعها قوى داخلية في نظامنا؛ وبناءً على ذلك، ليس هناك قوى خارجية مؤثِّرة على النظام، كما أن كمية التحرك الكلية للنظام عند اللحظة الابتدائية يجب أن تساوي كمية التحرك الكلية عند لحظة متأخرة قليلًا. ومن ثَمَّ نجد أن: بما أن اللحظتين يمكن اعتبارهما قريبتين في الزمن كما نرغب، فإن الحد المتناهي الصغر من الرتبة الثانية يمكن إهماله مقارنةً بالحدود المتناسبة مع أو . (في الحقيقة، أهملنا بالفعل الكميات المتناهية الصغر في الحد الثاني من المعادلة أعلاه؛ لأن الجسيمات المقذوفة يمكن أن يكون لها مدى سرعات من إلى .) بحذف متجه الوحدة نحصل على . بإعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة: نجد أن وهي تعني أن .إذا كانت السرعة الابتدائية (في اللحظة عندما يكون ) تساوي صفرًا، فإن المقدار الثابت يأخذ القيمة ، ونجد أن . إذا كانت السرعة الابتدائية نحصل على ما يسمى معادلة الصاروخ المثالية: من المفيد تعليميًّا، من وجهة نظر المهندسين، أن تُكتَب هذه المعادلة على الصورة . يريد المرء عادةً أن يضع كتلة معينة (تُسمَّى الكتلة المتفجرة) في مدار يتطلب أن يكون لها قيمة معينة . في هذه الحالة يجب البدء بكتلة ؛ حيث . افترض وجود وقودين، الثاني قيمته أكبر مرتين من الأول؛ عندئذٍ إذا كان للوقود الأول، يكون لدينا للوقود الثاني.

المسألة ٤-١ . بيِّن أن مركز كتلة جسم جاسئ تستمر في أن تكون نفس النقطة الفيزيائية للجسم حتى إذا تغيَّر موضع الجسم واتجاهه.

المسألة ٤-٢ . حبل معلَّق رأسيًّا بحيث يلمس طرفه السفلي الأرضية مباشرةً. طول الحبل وكتلته . حُرِّرَ الحبل. أوجد ما يلي:

المسألة ٤-٣ . أُطلِق صاروخ فضائي رأسيًّا، وعندما وصل إلى أعلى نقطة له انفجر إلى شظيتين: إحداهما هبطت على الأرض بعد ١٠ ثوانٍ من الانفجار عند نقطة تبعد ١٢٠ مترًا عن نقطة الانطلاق، والأخرى هبطت بعد أربع ثوانٍ من الانفجار عند نقطة تبعد ٢٤ مترًا عن نقطة الانطلاق. احسب:

المسألة ٤-٤ . (في هذه المسألة اعتبر جميع السرعات أفقية، ومحور الموجب إلى الشرق، ومحور الموجب إلى الشمال.)قذيفة كتلتها 3.00 kg متحركة جهة الشرق بسرعة 350 m/s. انفجرت إلى شظيتين: الشظية رقم ١ سرعتها 900 m/s في اتجاه 20.0^° جنوب الشرق، والشظية رقم ٢ سرعتها في اتجاه 40.0^° شمال الشرق. احسب (لا تضع فروضًا غير مجازة بشأن كتلتَي الشظيتين).

المسألة ٤-٥ . حمَلَ الصاروخ ساترن V وكتلته الكلية 2.800.000 kg (انظر: http://en.wikipedia.org/wiki/Saturn_V_for_the_numbers) ملَّاحين إلى القمر. المرحلة الأولى للصاروخ رفعته إلى ٦٧ كيلومترًا، ثم أُلقِي به. الكتلة الإجمالية للمرحلة الأولى (الهيكل والوقود) على منصة الإقلاع كانت 2300000 kg، وكتلة الهيكل وبقية الصاروخ كانت 131000 kg. زمن إحراق المرحلة الأولى كان ، وقوة الدفع كانت 34020000 n. احسب السرعة (منسوبة إلى الصاروخ) التي قُذف بها وقود المرحلة الأولى والسرعة النهائية للصاروخ عند ارتفاع ٦٧ كليومترًا.

المسألة ٤-٦ . يوضِّح شكل ٤-٧ مدفعًا على شاحنة مسطحة مكشوفة وموجَّهًا بزاوية فوق الأفقي. وُضِع المدفع والشاحنة معًا ساكنين في البداية. كتلتهما . أُطلِقت قذيفة مدفع كتلتها بسرعة مقدارها بالنسبة إلى المدفع. أوجد سرعة ارتداد الشاحنة والمدفع، وبيِّن أن الزاوية مع الأفقي التي تخرج عندها القذيفة من المدفع، تُعطى بالمعادلة: