الشغل والطاقة

افترض قوة مؤثرة على جسيم يتعرَّض لإزاحة صغيرة جدًّا . يعرَّف الشغل الذي تؤثِّر به القوة (إذا لم يكن الطالب مُلمًّا بحاصل الضرب القياسى لمتجهين، فعليه أن يقرأ الملحق (أ) قبل أن يواصل.) بأنه: حيث هي الزاوية بين و. لاحظ أنه لا يوجد فرق فيما إذا أخذنا زاوية داخلية أو خارجية لأن . الشغل يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا، اعتمادًا على ما إذا كانت بين و أو بين و؛ وبناءً عليه، إذا كنتَ تدفع صندوقًا إلى أعلى مستوى مائل، فإنك تبذل شغلًا موجبًا على الصندوق، والجاذبية تبذل شغلًا سالبًا؛ أما إذا كنت تشد الصندوق كي تمنعه من الانزلاق إلى أسفل السطح المائل، فهنا أنت تبذل شغلًا سالبًا على الصندوق، والجاذبية تبذل شغلًا موجبًا. لاحظ أنه إذا كانت (القوة عمودية على الإزاحة)، فإن القوة لا تبذل شغلًا؛ لهذا فإنه إذا تحرَّكَ جسيم على سطح أملس، فإن القوة العمودية التي يبذلها السطح لا تبذل شغلًا على الجسيم.

تعريف الشغل (المعادلة (5-1)) يمكن استخدامه حتى لو لم تكن الإزاحة صغيرة جدًّا، بشرط ألا تتغيَّر القوة أثناء الإزاحة. إذا تغيَّرت فإن التعريف (معادلة (5-1)) يكون ملتبِسًا. (ما قيمة التي نستخدمها؟) والتعريف «الطبيعي» المفيد والوحيد هو ما يلي:

افترض أن جسيمًا ما تعرَّضَ لإزاحة، ليست بالضرورة صغيرة، من موضع ابتدائي إلى موضع نهائي . نحدِّد أيضًا المسار الذي سلكه الجسيم وليس بالضرورة أن يكون خطًّا مستقيمًا. من الناحية المفاهيمية، نستطيع تقسيم المسار إلى سلسلة من الإزاحات الصغيرة جدًّا كلٌّ منها خط مستقيم (انظر شكل ٥-٢). لتكن هي القوة المؤثرة على الجسيم عندما يتعرَّض للإزاحة . الشغل المبذول على الجسيم أثناء هذه الخطوة القصيرة هو ، والشغل الكلي المبذول على الجسيم أثناء حركته من إلى يعرَّف بالمعادلة: حيث ”“ تعني أننا مهتمون بالقيمة الحدِّيَّة أو النهاية للمجموع كلما أصبح طول الخطوات أصغر فأصغر، ويصبح عدد الحدود في المجموع أكبر فأكبر تباعًا.

الحد أو النهاية التي عرَّفناها بوضوح هي تعميم لمفهوم التكامل، وتُمثَّل عمومًا بالرمز:

الذي يشير عادةً إلى «التكامل الخطي للقوة من إلى .» وينتج أن: قد يجد الطالب أنه من المفيد والأفضل أن يتذكر المعادلة (5-2) بدلًا من المعادلة (5-4)؛ لأن المعادلة (5-2) يمكن تصوُّرها بسهولة. واعتمادًا على طبيعة القوة ، يمكن، أو لا يمكن، أن يكون للطرف الأيمن من المعادلة (5-4) نفس القيمة لكل المسارات بين نقطتين طرفيتين محدَّدتين و. في الحالة الخاصة، حيث يكون للقوة نفس القيمة عند جميع نقاط المسار، يكون لدينا (باستخدام خاصية التوزيع لحاصل الضرب القياسي):

مثال ٥-١ (الشغل المبذول بواسطة الجاذبية). احسب الشغل المبذول بواسطة الجاذبية على جسيم يتحرك من موضع ابتدائي إلى موضع نهائي . من المفترض أن و قريبان بدرجة كافية من سطح الأرض، وكل منهما قريب من الآخر، بحيث تكون قوة الجاذبية التثاقلية ثابتة؛ أي إن .يمكننا كتابة ، وكتابة نفس الشيء للموضع . باستخدام المعادلة (5-5) و نجد أن: لاحظ أن الشغل الذي تبذله الجاذبية يعتمد فقط على الموضعين الابتدائي والنهائي، ولا يعتمد على مسار معين يسلكه الجسيم بين هذين الموضعين. هذا صحيح حتى عندما نعتبر تغيُّر مقدار واتجاه قوة الجاذبية التثاقلية، عندما يتحرك الجسيم خلال مسافات كبيرة. (الشغل الذي تبذله الجاذبية هو نفسه لكل المسارات بين نقطتين معينتين، ولكنه عمومًا لا يُعطى بالمعادلة (5-6)). الإشارة التي يدخل بها كلٌّ من و في المعادلة (5-6) يمكن تذكُّرها بملاحظة أن الجاذبية تبذل شغلًا موجبًا على الجسيم الذي يتحرك لأسفل (تكون القوة موازية للإزاحة)، وتبذل شغلًا سالبًا على الجسيم الذي يتحرك لأعلى.

لنعتبر جُسيمًا كتلته وكان موضعه وسرعته عند لحظة زمنية معينة ، وعند لحظة أخرى بعدها يكون موضعه وسرعته . ليكن هو الشغل الكلي المبذول على الجُسيم ليتحرك من إلى . تؤكد نظرية الشغل والطاقة على أن: الكمية تسمى طاقة الحركة للجُسيم؛ وبهذا يمكن صياغة نظرية الشغل والحركة على النحو التالي:

لإثبات هذه النظرية نبدأ بقانون نيوتن الثاني ونأخذ حاصل الضرب القياسي لكلا الجانبين مع متجه السرعة اللحظية ، ونحصل على:

باستخدام (انظر ملحق (أ)) نجد أن: ويكون: إذا ضربنا كلا جانبَي المعادلة (5-8) في فترة زمنية قصيرة جدًّا ، نحصل على: وبما أن ؛ حيث هي الإزاحة التي تَحركها الجُسيم أثناء الفترة الزمنية ، والجانب الأيسر للمعادلة (5-11) هو الشغل المبذول على الجُسيم أثناء الفترة الزمنية ، الجانب الأيمن للمعادلة (5-11) هو بالضبط التغير الحادث في الكمية أثناء الفترة الزمنية ؛ وبناءً على ذلك فإن الشغل المبذول على الجُسيم أثناء أي فترة زمنية قصيرة يساوي التغير في طاقة حركته أثناء هذه الفترة الزمنية. بتقسيم الفترة الزمنية من إلى إلى فترات زمنية قصيرة وعديدة، فإننا نرى أن الشغل الكلي المبذول على الجُسيم أثناء هذه الفترة يساوي طاقة الحركة النهائية مطروحةً منها طاقة الحركة الابتدائية؛ مما يثبت صحة المعادلة (5-7).

تطبيق نظرية الشغل والطاقة على جُسيم يسقط سقوطًا حرًّا يؤدي إلى:

هذه النتيجة تنتج مباشرة من عملنا في الفصل الأول (تذكر أن و ثابتتان أثناء السقوط الحر؛ ولذا فإن هي الوحيدة المتغيرة)، لكننا الآن نستطيع أن نبين أن المعادلة (5-12) صحيحة أيضًا في حالات عديدة لا يكون الجُسيم فيها ساقطًا بحرِّية. اعتبر، على سبيل المثال، جُسيمًا ما يتحرك تحت تأثير الجاذبية على سطح أملس بأي شكل. في هذه الحالة، كلٌّ من مقدار عجلة الجُسيم واتجاهها سيتغيران عادةً مع الزمن؛ ومن ثم فإن تحليل الحركة بعجلة ثابتة في الفصل الأول غير قابل للتطبيق.

ومع ذلك، فإن نظرية الشغل والطاقة قابلة دائمًا للتطبيق، بشرط أن نأخذ الحذر لحساب الشغل الكلي المبذول على الجُسيم بواسطة جميع القوى المؤثرة عليه. نلاحظ أن أي سطح أملس لا يبذل أي قوة موازية له. في هذه الحالة توجد قوتان فقط تؤثران على الجُسيم: قوة الجاذبية التثاقلية والقوة العمودية التي يبذلها السطح. وكما لاحظنا للتوِّ، أي قوة عمودية على السطح لا تستطيع بذل شغل؛ ومن ثَمَّ فإن لا تبذل شغلًا لأن وذلك إذا كانت إزاحة صغيرة في السطح. القوة الوحيدة التي تبذل شغلًا هي قوة الجاذبية التثاقلية؛ ولهذا فإن المعادلة (5-12) صحيحة.

إذا جعلنا الحالة «النهائية» في المعادلة (5-12) نقطة اختيارية في حركة الجُسيم، فإننا نستطيع حذف اللاحقة “f” ونكتب:

المعادلة (5-13) توضح أن مقدار سرعة الجُسيم يعتمد فقط على ارتفاعه (وعلى القيمتين الابتدائيتين و)، ولا يعتمد على شكل السطح. إذا بدأ الجُسيم من السكون فإنه لن يصل أبدًا إلى ارتفاع أكبر من ارتفاعه الابتدائي؛ لأن المعادلة (5-13) سوف تفضي إلى قيمة سالبة ﻟ إذا كان .

مثال ٥-٢ (جُسيم ينزلق على نصف كرة). جُسيم (كتلته ) ينزلق على سطح أملس لنصف كرة مقلوبة (نصف قطرها )، بادئًا من السكون عند القمة (تبدأ الحركة بدفعة صغيرة). عند اللحظة التي يهبط فيها الجسم بمقدار الزاوية ، كم يكون مقدار سرعته؟ وكم يكون مقدار القوة التي يؤثر بها نصف الكرة على الجُسيم؟ وعند أي قيمة للزاوية يطير الجُسيم بعيدًا عن السطح؟إذا أخذنا نقطة الأصل عند مركز نصف الكرة، فإن والمعادلة (5-13) تعطي . لحساب القوة التي يبذلها نصف الكرة على الجُسيم، علينا استخدام قانون نيوتن الثاني (). هناك قوتان تؤثران على الجُسيم: لا توجد قوى أخرى تؤثر على الجُسيم. متجه عجلة الجُسيم له مركَّبة في اتجاه نصف القطر إلى الداخل ومركبة في اتجاه المماس (إلى أسفل). لا يهمنا إلا المركبة القطرية للقوة ، التي تعطي: ويكون: بإدخال معادلة التي حصلنا عليها من نظرية الشغل والطاقة، نجد أن: معادلة (5-15) ذات معنى في أمرين: عندما تكون تعطي ، وكلما زادت تناقصت . [تحذير: بعض الطلاب سيكتب المعادلة (5-14b) على الفور دون أن يكتب المعادلة (5-14a). الشخص الذي يفعل ذلك غالبًا ما يفكر بالتأكيد في كقوة ثالثة تؤثر على الجُسيم وسوف تصبح في النهاية مضلِّلة. ينبغي البدء دائمًا بوضع كل القوى على أحد جانبَي علامة التساوي و على الجانب الآخر.]عند أي قيمة للزاوية يطير الجُسيم بعيدًا؟ يجد العديد من الطلاب (بل معظمهم) صعوبة في وضع المعيار الذي يحدد النقطة التي عندها يترك الجُسيم السطح. من المهم إدراك أن السطح يمكن فقط أن يدفع الجُسيم ولا يستطيع جذبه. بفحص المعادلة (5-15) نرى أن عندما تكون ، عندما تكون ، عندما تكون . قيمة السالبة تعني أن السطح يتطلب جذب الجُسيم قطريًّا إلى الداخل. وبما أن السطح لا يستطيع عمل ذلك، فإن الجُسيم سيطير بعيدًا، عندما تكون . لاحظ لو أننا كنَّا نناقش حالة خرزة تنزلق على سلك أملس مُنْحَنٍ على شكل نصف دائرة مقلوبة، فإن السلك يستطيع (ويمكنه) أن يوفر القوة الضرورية إلى الداخل عندما تكون .

مثال ٥-٣ (حركة بندول). يتكون بندول بسيط من كتلة نقطية مربوطة في السقف بخيط لا وزن له طوله . يتأرجح البندول إلى الأمام وإلى الخلف، مع البقاء دائمًا في نفس المستوى الرأسي. السعة الزاوية للذبذبة هي (أي عندما يكون البندول عند إحدى نهايتَي حركته القصوى، تكون الزاوية بين الخيط والاتجاه الرأسي هي ). القوة التي يبذلها الخيط متجهة بطول الخيط وعمودية على سرعة الكتلة النقطية؛ وبناءً على ذلك، في أي فترة زمنية صغيرة تكون الإزاحة للكتلة النقطية عمودية على القوة التي يبذلها الخيط؛ ومن ثَمَّ فإن الخيط لا يبذل شغلًا. الجاذبية فقط هي التي تبذل شغلًا على الكتلة؛ ولهذا نستطيع استخدام المعادلة (5-13) إذا اخترنا الصفر ليكون اللحظة التي عندها يصنع الخيط أقصى زاوية مع الرأسي (ولهذا ) واخترنا “f” ليكون اللحظة التي عندها يصنع الخيط زاوية مع الأفقي ويكون مقدار سرعته هو ، وبهذا تعطي المعادلة (5-13): لاستنتاج المعادلة (5-16) اخترنا نقطة الأصل عند السقف واستخدمنا العلاقة . بهذا نجد أن: المعادلة (5-17) تعطي مقدار السرعة عند أي نقطة في حركة البندول. أثناء الذبذبة الكاملة، يمر البندول بكل نقطة مرتين، مرة ذهابًا إلى اليمين ومرة ذهابًا إلى اليسار.المركبة نصف القطرية للقوة تعطي: حيث هو الشد في الخيط. بالحل لإيجاد واستخدام المعادلة (5-16) نجد أن هذه المعادلة تقول إن تكون أكبر ما يمكن عند وأصغر ما يمكن عند . وإذا كانت صغيرة جدًّا، فإن جيبَي التمام يقتربان من الواحد ويكون كما هو متوقع.يمكننا استخدام المعادلة (5-17) لحساب الزمن الدوري للبندول. عندما تتغير زاوية الخيط مع الرأسي من إلى تكون الكتلة قد قطعت المسافة . الزمن اللازم لكي تقطع الكتلة هذه المسافة هو: الزمن اللازم لكي يتحرك البندول من أدنى نقطة في مساره إلى إحدى نهايتَي ذبذبته يعيَّن بتكامل الجانب الأيمن للمعادلة (5-20) بالنسبة إلى من إلى . هذا الزمن يساوي رُبع الزمن الدوري ؛ وعلى ذلك نجد أن: التكامل ليس أوليًّا (يسمى تكاملًا ناقصيًّا)، ولكن يمكن إجراؤه عندما تكون صغيرة بدرجة كافية. باستخدام سلسلة ماكلورين لجيب التمام¹ (حيث تقاس بالتقدير الدائري)، يكون ، وبحذف جميع الحدود بعد الحدين الأولين نحصل على (ويكون الخطأ أقل من واحد في الألف إذا كانت بالتقدير الدائري)؛ ومن ثَمَّ فإن المعادلة (5-21) تصبح: إذا غيرنا المتغير فإن التكامل يصبح: عند هذه المرحلة، حتى قبل تعيين التكامل النهائي، فإنه من الواضح بالبرهان أن الزمن الدوري لا يعتمد على السعة الزاوية (بشرط أن تكون ). هذا يعني أنه إذا وُجد بعض الإخماد البسيط في النظام (نتيجة مقاومة الهواء، أو احتكاك في التعليق) مسببًا نقصان ببطء، فإن الزمن الدوري للبندول لا يتغير بنقصان السعة الزاوية. هذه هي الخاصية التي تتيح استخدامه كساعة يعوَّل عليها.لإيجاد التكامل النهائي نجري تعويضًا إضافيًّا . وباستخدام و، نجد أن: ويكون: إذا لم تكن السعة الزاوية للتذبذب صغيرة، فإن زمن الذبذبة يعتمد قليلًا على السعة، ويزداد بزيادة السرعة.التفسير السابق يمكن تحديده ليعطي وصفًا كاملًا لحركة البندول، أي يعطي صيغة صريحة للزاوية كدالة في الزمن . إذا أخذنا عند اللحظة التي يمر فيها البندول بنقطته الدنيا، متحركًا جهة اليمين، فإن الزمن اللازم لذهاب البندول من نقطته الدنيا إلى زاوية هو: استدعينا متغير التكامل لكي نميزه عن التي هي الحد الأعلى للتكامل.بفرض، مرة ثانية، أن صغيرة جدًّا، نحصل على: بتغيير متغير التكامل نجد أن: بالحل لإيجاد نحصل على: التي تصف حركة تذبذبية بوضوح. لو كنا أخذنا عند اللحظة التي يكون فيها فإن المعادلة (5-29b) تستبدل بالمعادلة (5-29a) كما يلي:

مثال ٥-٤ (انزلاق إلى أسفل). بدأت مزلجة من السكون متحركة إلى أسفل تلٍّ طوله وزاويته ، وتستمر بطول حقل مسطح إلى أن تصل إلى السكون على بُعد من قاعدة التل. باستخدام نظرية الشغل والطاقة، استنتج معادلة لإيجاد معامل الاحتكاك الحركي بين المزلجة والجليد، بدلالة و و. [الركن عبارة عن منحنى لا احتكاكي قصير]. التل والحقل يكسوهما الثلج، لكننا نفترض أن تأثير مزلجات عديدة ترتطم بالركن قد حوَّله إلى جليد أملس. إذا كان معامل الاحتكاك الحركي للركن لا يساوي صفرًا، فإنه ليس من الصواب إهمال تأثير الركن حتى لو كان قصيرًا جدًّا (انظر المسألة ٣-٨).إحدى طرق حل هذه المسألة أن تستخدم والمعادلات الكينماتيكية في الفصل الأول (ينبغي أن تفعل هذا). نظرية الشغل والطاقة تتيح حلًّا مباشرًا وموجزًا، إذا اخترنا الصفر “0” ليكون اللحظة التي تكون المزلجة عندها ساكنة على قمة التل، و“f” اللحظة التي تصل عندها أخيرًا إلى السكون عند القاعدة، فإن ؛ ومن ثَمَّ يكون (حيث و هما الشغل المبذول بالجاذبية والاحتكاك، على الترتيب). من المعادلة (5-6) لدينا . وعلى المنحدر، مقدار القوة الاحتكاكية هو وتعمل في عكس اتجاه حركة المزلجة؛ بذلك يكون الشغل المبذول بالاحتكاك أثناء هبوط المزلجة على المنحدر هو ، بالمثل، الشغل المبذول بالاحتكاك أثناء حركة المزلجة بطول الحقل المسطح، هو ؛ وعليه فإن:

حيثما نجد حالة تكون فيها قوة الجاذبية هي القوة الوحيدة التي تبذل شغلًا على جُسيم ما، (يُفترض، في الوقت الحالي، أنها ثابتة في المقدار والاتجاه)، فإن المعادلة (5-12) تكون قابلة للتطبيق. يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة: وبما أن و لحظتان اختياريتان، فإننا نرى أن الكمية لها نفس القيمة في كل الأزمنة؛ أي إن: المعادلة (5-32) تتشابه في المحتوى مع المعادلة (5-12)، لكننا نتأملها بطريقة مختلفة نوعًا ما. لقد أعطينا بالفعل اسمًا للكمية ، وهو طاقة الحركة. المعادلة (5-32) تنص على أن مجموع طاقة الحركة والكمية يظل ثابتًا أثناء الحركة؛ ولهذا فإن أي زيادة (أو نقصان) في طاقة الحركة يجب أن يكون مصاحبًا بنقصان (أو زيادة) مناظر في . الكمية تسمى طاقة الجهد (الموضع)، والمعادلة (5-32) تنص على أن: حاصل الجمع الثابت لطاقة الحركة وطاقة الجهد (الموضع) يسمى الطاقة الميكانيكية الكلية، والمعادلة (5-33) تسمى مبدأ حفظ الطاقة. (نشير هنا إلى «الطاقة الميكانيكية» لأن هناك «أنواعًا» أخرى للطاقة. «الطاقة الميكانيكية» مصطلح يشير تحديدًا إلى الطاقة المصاحبة للموضع ومقدار سرعة مكوِّنات نظام ما.) يجب تذكُّر أننا قد أثبتنا هذا المبدأ فقط لحالة خاصة تتحقق فيها المعادلة (5-12) (في مثال ٥-٤، الشغل الذي يبذله الاحتكاك الحركي يُبطل المبدأ). تمديد المبدأ إلى حالات أخرى ليس ممكنًا دائمًا، سوف نناقش الآن الظروف التي عندها يكون مثل هذا التمديد ممكنًا.

نظرية الشغل والطاقة، الصحيحة دائمًا (لأنها تنتج من بدون فروض إضافية)، تؤكد أن: حيث الطرف الأيمن هو الشغل الكلي المبذول على الجسم لكي ينتقل من إلى . دعنا نعتبر، بوجه خاص، حالة جُسيم كتلته ومتحرك تحت تأثير الجاذبية التثاقلية لكتلة نقطية (أُبقي على موضعها ثابتًا). عندئذٍ يكون: حيث المسافة بين و، و متجه وحدة يشير من إلى . وما يهمنا تحديدًا هو حالات تكون فيها و مختلفتين بما يكفي بحيث لا تُعامَل على أنها ثابتة بطول المسار من إلى . المسار الذي تقطعه عبارة عن منحنى إلى حدٍّ ما، ويمكن تقسيمه إلى خطوات صغيرة عديدة تُمثَّل كلٌّ منها بالمتجه . يمكن تحليل إلى قطعتين؛ إحداهما توازي والأخرى متعامدة عليه. وعندما نحسب الشغل ، فإن القطعة التي توازي هي فقط التي تسهم في حاصل الضرب القياسي. وإذا أدخلنا إحداثيات قطبية (بأخذ نقطة الأصل عند )، فإن المتجه يبدأ من النقطة ذات الإحداثيات القطبية إلى النقطة المجاورة . القطعة بطول الاتجاه القطري هي ؛ وبهذا نجد أن: حيث .

لتكن ، وبإضافة جميع الإسهامات من كل الخطوات، نجد أن: يوضح هذا الحساب أن الشغل المبذول بالجاذبية يعتمد فقط على نقطتَي نهاية المسار؛ ومن ثَمَّ يكون هو نفسه لكل المسارات بين هاتين النقطتين (أوضحنا هذا سابقًا بفرض أن قوة الجاذبية التثاقلية ثابتة). بإدخال المعادلة (5-37) في المعادلة (5-34) نجد أن: أو بصيغة مكافئة: في هذه الحالة نسمي طاقة الجهد التثاقلية لأن مجموع هذه الكمية وطاقة الحركة يظل ثابتًا.

ذكرنا في الفصل الثالث أن (بفرض أن الأرض كروية) قوة الجاذبية التثاقلية التي تبذلها كتلة نقطية ( كتلة الأرض) موضوعة عند مركز الأرض (أوضحنا برسم تخطيطي كيفية إثبات هذا بحساب التكامل، لكن لم نعرض البرهان تفصيلًا). بما أن هي قوة الجاذبية التثاقلية لوحدة الكتلة المؤثرة على جسم ما بالقرب من سطح الأرض، فإنه ينتج أن: حيث نصف قطر الأرض. فضلًا عن ذلك، إذا كنا نناقش حركة جُسيم ما قريب من سطح الأرض، فينبغي أن نكون قادرين على توضيح أن طاقة الجهد (حيث المسافة بين ومركز الأرض) تكافئ طاقة الجهد التي سبق تعريفها . لإدراك هذا نكتب ؛ حيث ارتفاع الجُسيم فوق سطح الأرض. إذا كان ، فإننا نستطيع استخدام نظرية ذات الحدين² لنكتب: وهكذا نرى أن التعبيرين الخاصين بطاقة الجهد مختلفان فقط بثابت إضافي (جمعي) لا يعتمد على . وحيث إنه في جميع الحسابات لا يدخل إلا فرق طاقة الموضع (الجهد) بين نقطتين، فإن التعبيرين في حقيقة الأمر متكافئان.

خاصية قوة الجاذبية التثاقلية التي مكنتنا من تعريف طاقة الجهد (أي إيجاد كمية تعتمد فقط على موضع الجُسيم بحيث يظل مجموع تلك الكمية وطاقة الحركة ثابتًا) هي ما يلي: الشغل المبذول بواسطة الجاذبية على جُسيم ما يتحرك بين نقطتين لا يعتمد على المسار. سوف نوضح الآن أنه حيثما يكون للقوة المؤثرة على جُسيم ما خاصية أن الشغل لا يعتمد على المسار، فإنه يمكن تعريف طاقة الجهد.

واختصارًا للكلمات، نقدم التعريف الآتي: توصف قوة ما بأنها محافظة إذا كان الشغل الذي تبذله على جُسيم ما يتحرك بين أي نقطتين هو نفسه لجميع المسارات بين هاتين النقطتين.

نفس التفسير الذي أوضح أن قوة الجاذبية التثاقلية نتيجة كتلة نقطية مفردة تكون محافظة، يوضح أيضًا أن أي قوة متجهة نحو نقطة ثابتة في المكان (أو مبتعدة عن)، ويعتمد مقدارها فقط على بُعدها عن تلك النقطة، تكون قوة محافظة. ومع ذلك، إذا كانت القوة متجهةنحو نقطة ثابتة، لكن مقدارها يعتمد على البُعد والاتجاه بالنسبة إلى النقطة الثابتة، فإن القوة لا تكون محافظة. في شكل ٥-١٠، حيث القوة متجهة دائمًا نحو النقطة P، دعنا نقارن الشغل المبذول على المسار AB بالشغل المبذول على المسار ACDB (AC وDB قوسان في دائرتين مركزهما P). لا يوجد شغل مبذول على AC أو DB؛ لأن القوة تكون عمودية على الإزاحة عند كل خطوة ضئيلة. إذا كان مقدار القوة يعتمد فقط على البعد عن P، فإن الشغل المبذول على المسار AB هو نفس الشكل المبذول على المسار CD. لكن إذا كان مقدار القوة يعتمد على الاتجاه من P فإن الشغل المبذول على المسار AB لا يكون مساويًا للشغل المبذول على المسار CD؛ ومن ثَمَّ لا يكون الشغل المبذول على المسار AB مساويًا للشغل المبذول على المسار ACDB.

إذا كانت قوة ما محافظة، فإن الشغل الذي تبذله على جُسيم ما يتحرك من إلى يكون دالة فقط في و ولا يعتمد على المسار. نسمي الشغل . الدالة لها شكل خاص؛ فهي الفرق لدالة في ونفس الدالة في . لإدراك هذا، نلتقط اختياريًّا نقطة ما مثبتة (تسمى نقطة الإسناد)، ونعرِّف: أي إن هو الشغل الذي تبذله على جُسيم متحرك من إلى نقطة الإسناد. بما أن لا يعتمد على المسار، فإننا نستطيع اختيار مسار يبدأ من حتى ، ثم يستمر من إلى ؛ وبهذا نجد أن . لكن لأن أحد المسارين من إلى هو مسار الطول الصفري؛ وبناءً على ذلك يكون: ترتيبًا على ذلك، إذا كانت جميع القوى التي تبذل شغلًا محافظة، فإن نظرية الشغل والطاقة تعطي: وهذه المعادلة تعني ضمنًا أن: الدالة تسمى طاقة الجهد، والمعادلة (5-45) هي نص مبدأ حفظ الطاقة.