الحركة التوافقية البسيطة

حركة جُسيم تحت تأثير قوة يتناسب مقدارها مع بعد الجُسيم عن موضع اتزانه واتجاهها دائمًا نحو موضع الاتزان تُسمى حركة توافقية بسيطة. دعنا نعتبر، مثلًا، جُسيمًا متحركًا في بعد واحد على سطحٍ أفقيٍّ أملس. وكان زنبرك ما مربوطًا بالجُسيم ونهايته الأخرى مربوطة في حائط كما في شكل ٦-١.

ليكن طول الاتزان للزنبرك ، والطول الفعلي للزنبرك عند لحظة معينة . من المفترض أنه في حالة الاتزان تكون ملفات الزنبرك مفتوحة جزئيًّا بحيث يمكن أن تكون إما موجبة أو سالبة. إذا كانت موجبة فإن الزنبرك يؤثر بقوة نحو اليسار، وإذا كانت سالبة فإن الزنبرك يؤثر بقوة نحو اليمين. الزنبرك المثالي يتبع قانون هوك، الذي ينص على أن مقدار القوة يتناسب مع مقدار . إذا استخدمنا متجه وحدة يشير نحو الاتجاه الذي يبتعد عن الحائط، وكانت القوة التي يؤثر بها الزنبرك على الجُسيم ، فإن التعبير الكمي لقانون هوك هو: حيث ثابت يسمى ثابت الزنبرك. الإشارة السالبة في المعادلة (6-1) تؤكد أنه إذا كانت موجبة (سالبة)، فإن القوة تتجه نحو اليسار (اليمين).

قانون هوك (على عكس قوانين نيوتن) ليس قانونًا جوهريًّا في الطبيعة، لكن معظم الزنبركات تتبع قانون هوك إذا كانت صغيرة بقدر كافٍ، وتحيد جميع الزنبركات عن قانون هوك إذا تمددت أو انضغطت بقدر كبير جدًّا. سوف نفترض أن مقدار صغير بما يكفي لأن يكون قانون هوك صالحًا. وحيث إن عجلة الجُسيم ، فإن قانون نيوتن الثاني يؤدي إلى: المعادلة (6-2)، بالإضافة إلى الظروف الابتدائية (الموضعِ والسرعةِ الابتدائيين؛ أي مقداري و عند )، تحدد على نحو تام الحركة التابعة. رياضيًّا، مشكلتنا هي إيجاد دالة تحقق المعادلة (6-2) (تسمى «معادلة تفاضلية») مبنية على قيمتين محددتين سالفًا ﻟ و عند .

مثال ٦-١ (استطراد رياضياتي). لتوضيح أن المعادلة (6-2) بالإضافة إلى قيمتين ابتدائيتين محددتين ﻟ و، تحدد على نحو فريد ، يمكننا تخيل حل المعادلة (6-2) عدديًّا. لتكن زيادة زمنية طفيفة جدًّا، ونجعل (من أجل تسهيل الترميز) تشير إلى و تشير إلى . وحيث إن و معلومتان، يمكننا حساب و باستخدام و؛ حيث تعطينا المعادلة (6-2) قيمة بمعرفة . نعلم الآن قيمتي و و(باستخدام المعادلة (6-2)) . نستطيع الآن حساب و و باستخدام و؛ وبذلك نستطيع أن نتقدم بزيادات زمنية طفيفة. يمكن استخدام هذا الإجراء لحل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية (معادلة تكون المشتقة الأعلى درجة بها مشتقةً ثانيةً) عدديًّا حتى عندما لا نستطيع إيجاد حل بدلالة دوالَّ مألوفة.

يمكن حل المسألة الرياضياتية بواسطة عدة طرق مختلفة، سنقوم بمناقشتها الآن. نعيد كتابة المعادلة (6-2) على الصورة: حيث ( هو الحرف اليوناني الصغير «أوميجا»). إحدى الطرق المشروعة تمامًا (مع أنها غير مُمنهجة جدًّا) لحل المعادلة (6-3) هي تخمين الحل، ثم برهنة أن التخمين يحقق المعادلة (6-3). أظهرنا في النقاش السابق أننا نتوقع أن تكون دالة متذبذبة في الزمن . أبسط دالة متذبذبة مألوفة بالنسبة لنا هي . ولأن و، فيكون لدينا ؛ وبذلك نرى أن تحقق تقريبًا المعادلة (6-3)، وصولًا إلى المُعامل . يمكن إصلاح ذلك بسهولة عن طريق تجريب الدالة . حيث إن و، فيكون لدينا ؛ وبالتالي نجد أن الدالة تحقق المعادلة (6-3). نجد بالمثل أن تحقق أيضًا المعادلة (6-3). وهذا ليس غريبًا لأن الرسم البياني ﻟ هو تمامًا نفس الرسم البياني ﻟ مع إزاحة نقطة الأصل لمحور الزمن؛ أي . في النهاية نصل إلى أن الدالة: تحقق المعادلة (6-3)، وأنها، في الواقع، حلها الأعم.

باختيار و على نحو مناسب يمكننا جعل و تأخذان قيمتين محددتين سالفًا عند . افترض أننا نريد أن تأخذ القيمة وأن تأخذ القيمة عند (يمكننا فيزيائيًّا جعل كلٍّ من و تأخذ أي قيمة مرغوبة إذا بدأنا الحركة «باستخدام الأيدي» ثم تركناها تتحرك). بجعل في المعادلة (6-4) نجد . وبتفاضل المعادلة (6-4) بالنسبة للزمن، نحصل على:

وبذلك تكون قيمتا و المناسبتان للظروف الأولية هما و، ونحصل على: لاحظ أنه إذا كانت ، فإن الإزاحة تتناسب مع ، وإذا كانت ، فإن الإزاحة تتناسب مع (رأينا هذا بالفعل في مناقشتنا للذبذبات الصغيرة لبندول (مثال ٥-٣)). حتى إذا كانت و، فلا زلنا نستطيع، بإزاحة مناسبة لنقطة الأصل على المحور الزمني، إظهار كدالَّة صرفة للجيب أو جيب التمام. لتحقيق هذا نكتب المعادلة (6-4) على الصورة: حيث يكون مفهومًا أننا نختار دائمًا الجذر التربيعي الموجب. يوجد لقيم معينة لكل من و زاوية فريدة في المدى بحيث: لاحظ أن المعادلتين (6-8) و(6-9) متَّسقتان مع المتطابقة الرياضياتية . من الرسم البياني لكل من و نجد أنه:

باستخدام المعادلتين (6-8) و(6-9) يمكننا كتابة المعادلة (6-7) على الصورة: وإذا جعلنا ، فإن تكون متناسبة مع . تحويل المتغير من إلى يناظر تحريك نقطة الأصل على المحور الزمني بمقدار ؛ أي إن عند . إن أهمية أنها الزمن عندما تكون عند قيمتها العظمى الموجبة؛ (لأن جيب التمام في المعادلة (6-10) تكون قيمته عند )؛ وبذلك نرى أننا إذا قسنا الزمن من اللحظة التي تكون فيها عند قيمتها العظمى الموجبة، فإن الإزاحة تكون دالة صرفة في جيب التمام. واضح من المعادلة (6-7) أو المعادلة (6-10) أن دالة دورية زمنها الدوري ؛ أي ؛ وبذلك تحقق قيمتها العظمى الموجبة، ليس فقط عند زمن ، ولكن أيضًا عند الأزمنة ، ، وهكذا. عدد الذبذبات في الثانية (التردد) هو . نلاحظ أيضًا أن تسمى التردد الزاوي.

لا بد أنه قد اتضح الآن أننا إذا قسنا الزمن من اللحظة التي عندها و موجبة (أي اللحظة التي يمر عندها الجُسيم بموضع اتزانه، متحركًا نحو اليمين)، فإن الإزاحة تكون دالة صرفة في الجيب. لبرهنة ذلك نلاحظ أن ونعيد كتابة المعادلة (6-10) لتصبح على الصورة: وبذلك نرى أن و عند:

تسمى قيمة العظمى سعة الذبذبة. وبإدخال قيمتي و المحسوبتين نجد:

مثال ٦-٢ (انظر شكل ٦-١). طول اتزان الزنبرك ١ متر وكتلته ٠٫١٠٠ كيلوجرام. ثابت الزنبرك . تكون الكتلة عند على بعد 0.800 m من الحائط ولها سرعة مقدارها 0.700 m/s نحو اليسار. احسب (أ) التردد الزاوي للذبذبات. (ب) الزمن الدوري للذبذبات. (ج) سعة الذبذبة. (د) أقصى وأقل مسافة من الحائط تصل إليها الكتلة. (ﻫ) الزمن الذي تكون عنده الكتلة أقرب ما يمكن إلى الحائط (احسب أصغر قيمة ممكنة لهذا الزمن). (و) الزمن الذي تكون عنده الكتلة لأول مرة على مسافة 1.10 m من الحائط، متحركة نحو اليسار.

الحل. التردد الزاوي . الزمن الدوري . السعة معطاة بالمعادلة (6-13). لاحظ أن ؛ لأن الكتلة كانت في البداية عند 0.200 m على يسار موضع اتزانها؛ وبذلك تكون . أقصى مسافة للكتلة بالنسبة للحائط هي . أقل مسافة هي .لدينا من المعادلة (6-6) و؛ وبالتالي فإن من المعادلة (6-9). وحيث إن و، فإن الزاوية تكون في المدى ؛ وبذلك تكون و (التقدير الدائري radians هو كمية لابُعْدية لأنه نسبة بين طولين). في النهاية، يكون لدينا من المعادلة (6-10) تكون الكتلة أقرب إلى الحائط عندما تكون عند قيمتها العظمى السالبة؛ أي إن وهكذا، ونحصل على أصغر قيمة ممكنة للزمن بوضع متغير جيب التمام يساوي ؛ وبذلك نجد أن . وتكون الكتلة أبعد ما يكون عن الحائط بعد مرور نصف الزمن الدوري؛ أي عند . من المفيد رسم مخطط بياني للمعادلة (6-14) عند الإجابة على (ﻫ) و(و). كما يظهر في شكل ٦-٣، رسمنا مخططًا بيانيًّا للمعادلة ؛ حيث . لاحظ أن عند . ورغم أن هذا الرسم البياني يمكن إجراؤه بسهولة باستخدام كمبيوتر، فإن هناك قيمة تعليمية وراء رسم المعادلة (6-14) بيانيًّا بالأيدي بمساعدة آلة حاسبة؛ لأنها تفرض علينا فهم أي الأجزاء من منحنى جيب التمام له صلة بالمسألة. فمثلًا: النقطة على المنحنى تُمثِّل موضع الكتلة عند . وتكون الكتلة أقرب ما يمكن إلى الحائط عند النقطة وأبعد ما يمكن عند النقطة . عند النقطة تكون الكتلة على بعد 1.10 m من الحائط متحركة نحو اليمين؛ وبذلك يكون عند ، . تُبين الآلة الحاسبة أن . وبما أن ، يكون لدينا . بالطبع أيضًا، . لا بد أن تكون قيمة عند النقطة بين و؛ وبذلك يكون عند النقطة ، . وبوضع ، نجد أن (وهي إجابة (ﻫ)). بالمثل، عند النقطة تكون الكتلة على بعد 1.10 m من الحائط متحركة نحو اليسار. نرى من الرسم البياني أن لا بد أن تقع بين و؛ وبالتالي تكون ، و (وهي إجابة (و)). لاحظ أن الزمن عندما تكون الكتلة أبعد ما يمكن عن الحائط يقع في منتصف الفترة بين و، كما هو متوَقَّع.

يمكن حل المعادلة التفاضلية (معادلة (6-2)) بدون حساب التفاضل باستخدام إنشاء هندسي بسيط. ولأن هدفنا في هذا القسم هو الإحجام عن استخدام حساب التفاضل، فإننا نستبدل بدلًا من (قد يبدو الرمز السفلي غير ضروري لكنه سيساعد في تجنب الالتباس اللاحق). مشكلتنا هي إيجاد حركة جُسيم على المحور ، بمعلومية أن العجلة تتناسب مع سالب الإزاحة؛ أي إن:

نتذكر من الفصل الأول أن الجُسيم المتحرك في دائرة نصف قطرها بمقدار سرعة ثابت يكون متجه عجلته: حيث هو المتجه من مركز الدائرة إلى الموضع اللحظي للجُسيم و هو متجه الوحدة في نفس اتجاه . إذا كانت الدائرة في المستوى -، فإن وينتج من المعادلة (6-16) أن:

دعنا نختار و بحيث تكون النسبة مساوية ﻟ في المعادلة (6-15)، ولذلك تصبح المعادلة (6-17) مماثلة للمعادلة (6-15). وبما أن هي السرعة الزاوية (وهي الإزاحة الزاوية لوحدة الزمن، مَقيسة بوحدة التقدير الدائري لكل ثانية) للجُسيم المتحرك حول الدائرة، نرى أن السرعة الزاوية تساوي .

ليكن الموضع اللحظي لجُسيمنا على الدائرة، ودعنا نسقط خطًّا عموديًّا من على المحور ، ليقطع المحور عند النقطة Q. إذن، بما أن عجلة Q على المحور هي ، نرى أن حركة Q تحقق المعادلة (6-15). بإيجاز، إذا أُسقِطت الحركة الدائرية المنتظمة على خط، تكون الحركة الخطية الناتجة حركة توافقية بسيطة. (الادعاء بأن هذه المناقشة لا تعتمد على حساب التفاضل ليس صحيحًا تمامًا؛ لأن اشتقاق المعادلة (6-16)، المسئولة عن إنشاء الفرق بين متجهي السرعة عند زمنين قريبين أحدهما على الآخر من بعض والقسمة على الفارق الزمني، هو حساب تفاضل.) تسمى الدائرة دائرة المرجع، وهي بناء رياضياتي صرف.

بالاختيار المناسب لنصف قطر دائرة المرجع والموضع الابتدائي P للجُسيم على دائرة المرجع، يمكننا أن نجعل Q تأخذ أي موضع وسرعة ابتدائيين مرغوبين. الإحداثي ﻟ P هو ؛ حيث الزاوية بين والمحور (انظر الشكل ٦-٤). إذا كانت قيمة عند هي (هذا هو تعريف )، وإذا كانت P تتحرك حول الدائرة في عكس اتجاه عقارب الساعة بسرعة زاوية ؛ فإن ؛ وبالتالي يكون: سرعة النقطة P تكون في اتجاه المماس للدائرة ومقدارها . والمركبة لسرعة P، وهي سرعة Q، تكون (انظر شكل ٦-٤): لاحظ أنه كان باستطاعتنا الحصول على المعادلة (6-19) عن طريق تفاضل المعادلة (6-18) بالنسبة إلى الزمن، ولكننا نستخدم الهندسة في هذا القسم وليس حساب التفاضل.

بوضع في المعادلتين (6-18) و(6-19) نحصل على و (استخدمنا و)؛ حيث و الإزاحة والسرعة الابتدائيتان؛ وبالتالي فإن: وهي مماثلة للمعادلة (6-13)؛ لأن كما هو واضح. تُعَيَّن الزاوية بواسطة المعادلتين: وهما مماثلتان للمعادلتين (6-8) و(6-9). وبذلك نكون حصلنا على جميع معادلات القسم السابق.

من المفيد تعليميًّا رسم المنحنى البياني السليم نوعيًّا لكل من ، و، و مقابل عن طريق تخيل حركة النقطة P على دائرة المرجع. لا بد أن تقارن رسوماتك البيانية مع المعادلتين (6-18) و(6-19). اجعل في اللحظة التي عندها ؛ أي إن . ينبغي أن يكون واضحًا أن مقدار السرعة يكون صفرًا عند ويكون مقدار السرعة أكبر ما يمكن عند .

إذا كانت القوة على جُسيم هي ، فإن الشغل المبذول على الجُسيم عندما يتحرك من إلى هو (اعتبر المسار متتالية من خطوات صغيرة ): (لاحظ أن القوة محافظة؛ لأن الشغل يعتمد فقط على نقطتي البداية والنهاية ولا يعتمد على ما إذا كان الجُسيم تحرك مباشرة من إلى أو تراجع في مساره.)

تنص نظرية الشغل والطاقة على: أي إن: المعادلة (6-24) متضَمَّنة بالفعل في حلنا السابق. تذكر أن ، و. باستخدام و، نحصل على: ولأن ، يمكننا كتابة الطاقة على الصورة أو . ندرك أن هي طاقة الجهد عندما تكون نقطة المرجع هي موضع الاتزان . التعبيران السابقان للطاقة يناظران حالتي وجود الجُسيم عند ، عندما تكون طاقة حركته قيمة عظمى ولا يكون له طاقة جهد، أو عند عندما تكون طاقة جهده قيمة عظمى ولا يكون له طاقة حركة.