الحركة الدورانية، وكمية التحرك الزاوية وديناميكا الأجسام الجاسئة

المعادلة (8-4) لها نتائج مهمة عند تطبيقها على مسألة القوة المركزية؛ أي الجُسيم المتحرك بتأثير قوة متجهة دائمًا لنقطة ثابتة. إذا أخذنا نقطة الأصل O عند هذه النقطة الثابتة، فإن العزم يتلاشى؛ لأن و متوازيان في نفس الاتجاه (أو متوازيان بعكس الاتجاه)؛ وبالتالي فإن ، وتكون كمية التحرك الزاوية ثابتة. ثبوت يقتضي ضمنًا أنْ:

لإثبات (أ)، نمرر مستوى خلال مركز القوة O عموديًّا على المتجه الثابت . تقتضي المعادلة (8-2) ضمنًا أن يكون عموديًّا على ؛ وبالتالي فإن يقع في المستوى. لكن بما أن (حيث و هما متجهَا الموضع والسرعة الابتدائيان)، فإن المستوى العمودي على يكون هو المستوى الذي يحتوي على و.

في إثبات (أ)، استخدمنا فقط حقيقة ثبوت اتجاه . مقدار ثابت أيضًا. باستخدام تعريف الضرب المتجهي، نجد أن مقدار هو: حيث الزاوية بين و، و السرعة المماسية (أي مركبة السرعة العمودية على ). المساحة المظللة في شكل ٨-٢ هي المساحة التي يمسحها المتجه في الفترة الزمنية الصغيرة . تكون المساحة خلال قيم الدرجة الأولى في هي ؛ وبالتالي فإن المعدل الذي تُمسح به المساحة هو . ولأن ثابتة، فإن ثابتة.

مثال ٨-١ (جسيم يتحرك على مستوى أفقي في مسار دائري). جُسيم كتلته يتحرك على سطح منضدة أفقية ملساء، مقيد بوتر يمر خلال ثقب في المنضدة (شكل ٨-٣). في البداية يتحرك الجُسيم بسرعة مقدارها في دائرة نصف قطرها . يُسحب الوتر ببطء حتى يتحرك الجُسيم في دائرة أصغر نصف قطرها . احسب:

الحل. القوة التي يؤثر بها الوتر على الجُسيم موجهة دائمًا نحو الثقب؛ وبالتالي تكون كمية التحرك الزاوية محفوظة؛ أي إن، ؛ وبالتالي فإن . وبما أن فيكون لدينا: أسهل طريقة لحساب الشغل المبذول بواسطة الوتر هي باستخدام نظرية الشغل والطاقة؛ أي إن: من المفيد أيضًا تعليميًّا حساب الشغل مباشرة من تعريف (لاحظ أن الشد في الوتر يتغير مع سحب الوتر لذلك لا نستطيع التعامل مع القوة على أنها ثابت). في اللحظة التي يكون عندها طول الوتر (من الثقب إلى الجُسيم) ، يكون الشد (من المعادلة (8-6)) ، والقوة المؤثرة على الجُسيم ؛ حيث متجه وحدة يشير في الاتجاه الخارج من نقطة المركز. عند تغيير طول الوتر من إلى (لاحظ أن سالبة عند تقصير الوتر)، تكون إزاحة الجسم هي مجموع عليها مركبة مماسية لا تساهم في الشغل؛ وبذلك يكون: وذلك بالاتفاق مع المعادلة (8-7).بالإضافة إلى ذلك، إذا طبقنا نظرية الشغل والطاقة على العملية المتناهية الصغر التي يتغير فيها طول الوتر من إلى ويتغير مقدار سرعة الجُسيم من إلى ، نجد أن مما يؤدي إلى ؛ وبذلك يكون مما يقتضي ضمنًا أن يكون ؛ أي إن = ثابت، وهو نص حفظ كمية التحرك الزاوية. الميكانيكا بنية منطقية أنيقة ومتناسقة.

نتجه باهتمامنا الآن إلى الأنظمة المتكونة من أكثر من جُسيم (الدليل يدل على رقم الجُسيم). كل جُسيم يخضع للمعادلة (8-4)؛ أي إن: إذا جمعنا معادلات العزم (8-9) لجميع الجُسيمات في النظام، فإن العزوم التي تعزى إلى قوى داخلية تلاشى بعضها لأسباب نوقشت في الفصل السابع. وبتعريف كمية التحرك الزاوية الكلية بأنها مجموع كميات التحرك الزاوية للجُسيمات المفردة: نحصل على:

حيث هو العزم الخارجي الكلي المؤثر على النظام.

افترضنا في اشتقاق المعادلة (8-11) أن و هما موضع وسرعة الجُسيم رقم في إطار قصوري. في الحقيقة، المعادلة (8-11) صحيحة أيضًا إذا استخدمنا محاور غير دوَّارة (بالنسبة إلى النجوم البعيدة) ونقطة الأصل لها هي مركز كتلة النظام، (البرهان معطى في ملحق (أ).) مثل هذه المحاور لا تكون إطارًا قصوريًّا إذا كان مركز الكتلة متسارعًا (متحركًا بعجلة)، ولكنها عادة ما تكون أنسب المحاور.

معادلة القوة (4-20) [] ومعادلة العزم (8-11) تحدِّدان الحركة تمامًا إذا كان النظام جسمًا جاسئًا، وهدفنا هنا هو تطوير أساليب لحل المسائل البسيطة، محافظين على أن تكون الرياضيات أبسط ما يمكن؛ لهذا سوف نقصر اهتمامنا أساسًا على الجسم الجاسئ «ذي البُعدين» الذي يتحرك دائمًا في مستوى الصفحة، ويمكن إهمال سمْكه في الاتجاه العمودي على هذه الصفحة. يمكن تطبيق التحليل أيضًا على الأجسام الجاسئة التي لا يمكن إهمال سمكها، بشرط أن تكون جميع حركات الجسم موازيةً لمستوًى ثابت، وأن يمتلك الجسم تماثلًا كافيًا. (المناقشة الكاملة لهذه النقطة سوف تأخذنا بعيدًا جدًّا عن المجال. انظر ملحق (ب).)

إذا رسمنا خطًّا على جسم جاسئ أحادي البعد، فسوف يكون لهذا الخط، عمومًا، موضع واتجاه مختلفان عند زمن مقارنةً بموضعه واتجاهه عند زمن . في شكل (٨-٤) يمثل المنحنيان المتصل والمتقطع شكل الجسم عند الزمنين ، و على التوالي. لِتَكُن الزاوية بين اتجاهَيْ خطَّيِ الزمن الابتدائي (الزمن ) والزمن النهائي (الزمن ) هي ؛ نقيس بالتقدير الدائري ونُسمي موجبةً إذا كان هناك دوران مع عقارب الساعة يحمل الخط من اتجاهه الابتدائي إلى اتجاهه النهائي، ونسميها سالبةً إذا كان الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة. سرعة الجسم الزاوية تعرَّف على الصورة: قيمة الناتجة لا تعتمد على ما هو الخط الذي رسمناه على الجسم؛ لأن كل الخطوط تدور نفس الزاوية نتيجة لحقيقة أن الجسم جاسئ.

افترض نقطةً ما O للجسم أُبقيَ عليها ثابتة (الطريقة الواضحة لعمل ذلك أن تمرِّر محورًا، عموديًّا على الصفحة، خلال الجسم عند O). نختار لمحاورنا إطارًا قصوريًّا نقطة الأصل له عند O. ما هي كمية التحرك الزاوية للجسم حول نقطة الأصل O؟ كل نقاط الكتلة تتحرك في دوائر حول O (شكل ٨-٥)؛ لأن بُعدها عن O لا يمكن أن يتغير. وهكذا فإن النقطة الكتلية التي يكون بُعدها المتجهي عن O هو يكون مقدار متجه سرعتها هو واتجاهه عموديًّا على . شكل ٨-٥ يوضح حالة موجبة (دوران في اتجاه عقارب الساعة)، إذا كانت سالبةً، فإن تكون في الاتجاه المعاكس. وفي كلتا الحالتين: حيث متجه وحدة نحو داخل الصفحة.

كمية التحرك الزاوية للجسم حول نقطة الأصل O هي: حيث: وبالنسبة للأجسام ذات الثلاثة أبعاد (تشمل كرة مركزها O) ولها تماثل كافٍ حول O، فإن المعادلتين (8-14) و(8-15) لا تزالان ساريتين بشرط أن يكون هو محور الدوران و(في المعادلة (8-15)) يحل محلها ، المسافة العمودية من محور الدوران حتى .

عادة ما يسمى عزم القصور الذاتي للجسم حول المحور خلال نقطة الأصل O. يسمى أحيانًا «القصور الدوراني» للجسم. وهذا مصطلح ممتاز؛ لأن في الحقيقة هي مقياس لمدى صعوبة تغير السرعة الزاوية لجسم ما مثلما أن مقياس لمدى صعوبة تغير السرعة الخطية.

في مسألة ذات بُعدين يكون العزم عموديًّا على الصفحة [] وبهذا تصبح المعادلة (8-11) . بتعريف العجلة الزاوية نحصل على:

المعادلة (8-16) هي «الوصفة العلاجية» التي كنا ننشدها؛ فهي تربط العجلة الزاوية لجسم جاسئ بالعزم المؤثر على الجسم، وهي تناظر بوضوح قانون نيوتن الثاني (بإحلال العزم محل القوة، والعجلة الزاوية محل العجلة الخطية، والقصور الدوراني محل الكتلة).

نحتاج لاستخدام المعادلة (8-16) أن نعرف عزوم القصور الذاتي لبعض الأجسام الجاسئة البسيطة:

إذا كان هو عزم قصور جسم ذي بُعدين حول نقطة O، وكان عزم قصور نفس الجسم حول مركز كتلته، فإن ؛ حيث الكتلة الكلية للجسم و المسافة بين O ومركز الكتلة. برهان النظرية الواردة أعلاه، وجزئية الأبعاد الثلاثة للنظرية في ملحق (ب). باستخدام النظرية، نرى أن عزمَيْ قصور الطوق والقرص المنتظم حول نقطة على الحافة هما و على التوالي.

مثال ٨-٢ (حدافة ذات مكبح احتكاكي). حدافة عبارة عن قرص منتظم كتلته ١٠٠ كيلوجرام ونصف قطره ٠٫٥ متر، تدور في البداية بمعدل ٢٠ دورة كل ثانية. طُبِّق عليها مكبح احتكاكي عند حافتها يؤثر بقوة كبْح مماسية مقدارها ٢٠٫٠ نيوتن، احسب:

الحل. أولًا سنبدأ حلَّ المسالة بالرموز، وللتبسيط سنفترض أن الحدافة تلف في اتجاه عقارب الساعة. المركبة المماسية لقوة المكبح تعمل في عكس اتجاه عقارب الساعة (لاحظ أن المركبة نصف القطرية للقوة التي يبذلها المكبح لا ينتج عنها عزم حول مركز الحدافة). المكبح يُحدث عزمًا في عكس اتجاه عقارب الساعة مقداره (حيث = نصف القطر). لدينا من المعادلة (8-16): وبهذا يكون إذا كان عدد الدورات لكل ثانية في البداية هو ، فإن السرعة الزاوية الابتدائية تكون . نلاحظ الآن أن «معادلات الحركة المستنتجة في الفصل الأول لوصف حركة أحادية البعد بعجلة ثابتة تنطبق بالتساوي تمامًا على الحركة الدورانية بعجلة زاوية ثابتة»، مع تغيير مناسب للرموز . تكون الاستنتاجات مماثلة لتلك التي وردت في الفصل الأول. بناءً على ذلك يكون لدينا: نعرِّف على أنها موجبة في اتجاه عقارب الساعة، بالاتساق مع اتفاقنا على أن موجبة للدوران مع عقارب الساعة. الزمن اللازم لتوقف الحدافة يعطى من المعادلة (8-22)؛ بوضع ، نجد أن . الزاوية التي تدورها الحدافة أثناء توقفها تُحسب بسهولة أكثر من المعادلة (8-24) التي تعطي . عدد الدورات التي تلفُّها الحدافة أثناء التوقف يساوي . بإدخال الأرقام نجد أن ، ، ، عدد الدورات = ١٥٧٠ دورة.

مثال ٨-٣ (حدافة متصلة بثقل). في شكل ٨-١٠ الحدافة عبارة عن قرص منتظم كتلته ونصف قطره ، والخيط (عديم الوزن) لا ينزلق بالنسبة للحدافة. احسب عجلة القالب (الثقل)، والعجلة الزاوية للحدافة، والقوة التي يؤثر بها المحور على الحدافة.

الحل. دعنا نُسَمِّ العجلة الزاوية للحدافة وعجلة الثقل إلى أسفل (أي إن عجلة الثقل هي ؛ حيث متجه وحدة يشير رأسيًّا إلى أسفل). نتوقع في هذه المسألة أن يكون كلٌّ من و موجبًا. سنكتب معادلة العزم للحدافة ومعادلة القوة للقالب. تنص معادلة العزم للحدافة على أن: حيث الشد في الخيط. ومعادلة القوة للقالب تنص على: (من الخطأ الشائع افتراض أن عند كتابة معادلة العزم. لو كان الأمر كذلك لما تحرك القالب بعجلة). المعادلتان (8-25) و(8-26) في مجاهيل ثلاثة هي و و. المعلومة المفتقدة هي العلاقة الكينماتيكية بين و، التي تنتج من حقيقة أن الطول الكلي للخيط يظل ثابتًا. إذا كانت الحدافة تدور زاوية صغيرة ( موجبة للدوران مع عقارب الساعة)، فإن طول الخيط الذي يتحرر من الحدافة يساوي ؛ وبناءً على هذا، فإن القالب يجب أن يهبط مسافة ؛ حيث: بقسمة كلا طرفي المعادلة (8-27) على وجعل نجد أن: وبتفاصيل المعادلة (8-28) بالنسبة إلى نجد أن: وبإدخال المعادلة (8-29) في المعادلة (8-25) نحصل على ، وينتج من المعادلة (8-26) أن: لإيجاد القوة التي يبذلها المحور على قرص الحدافة نعتبر نظامنا عبارة عن قرص الحدافة مضافًا إليه طولٌ أكبر قليلًا من طول الخيط الملفوف على الحدافة (انظر شكل ٨-١١). مركز كتلة هذا النظام ساكن بصورة مستديمة؛ ولذا فإن القوة المؤثرة على النظام تتلاشى. القوى المؤثرة على النظام هي (المؤثرة لأسفل)، و (المؤثرة لأعلى)، وقوة ما مبذولة بواسطة المحور. بما أن ، فإن: يمكننا أيضًا إيجاد بتطبيق المعادلة (3-10) [] على النظام (قرص الحدافة + القالب + الخيط)، والحصول على . يؤدي هذا إلى نفس قيمة كما في الطريقة السابقة.

مثال ٨-٤ (قضيب متصل بحائط عن طريق مفصل). قضيب منتظم طوله وكتلته متصل بحائط عن طريق مفصل أملس عند طرفة الأيسر. في البداية كان الطرف الأيمن للقضيب مستندًا على دعامة بحيث يكون متزنًا في وضع أفقي، ثم أُزيلت الدعامة فجأة. احسب:

الحل. الجزء (أ) عبارة عن مسألة في الاتزان الاستاتيكي. بأخذ العزوم حول الطرف الأيمن للقضيب، يكون لدينا . عند الاتزان يجب أيضًا أن تُبذَل قوة على الطرف الأيمن. بعد تحرُّر القضيب، سنأخذ العزوم حول نقطة الأصل عند المفصل (وبناءً عليه لن تظهر القوة التي يبذلها المفصل في معادلة العزم). العزم الوحيد ينتج عن طريق قوة الجاذبية (المؤثرة على مركز الكتلة)، ونحصل بعد إزاحة الدعامة مباشرة على ، وهكذا فإن . وبما أن الطرف الأيمن متحرك في دائرة نصف قطرها ، فإن عجلته المماسية (الرأسية) هي ؛ أي . يمكن التحقق بتوضيح بسيط (شكل ٨-١٣) من حقيقة أنه لدى الطرف الأيمن عجلة رأسية أكبر من . إذا انتظمت مسطرة مترية بحيث يرتكز أحد طرفيها على منضدة، أو توصل بمفصلة في الحائط بحيث يمكن لهذه العصا المترية أن تتأرجح بحُرِّية في الاتجاه الرأسي؛ فإن صفًّا من البنسات بطول قمة العصا المترية عندما يُمسَك به أفقيًّا سوف يُبيِّن تأثير طرف العصا المترية الهابطة بعجلة أكبر من عجلة الجاذبية التثاقلية. تُظهر الصورة بوضوح خط البنسات وهو «يترك» العصا أثناء تأرجحها إلى أسفل، بالمثل، إذا كان عدد من الأشخاص جالسين على مزلجة فوق منحدر زلق به نتوء، فإن المزلجة سوف تسقط بعيدًا من جهة الشخص الأمامي ما لم يكن ممسكًا بمقبض.لإيجاد القوة التي يبذلها المفصل بعد إزالة الدعامة مباشرة، نطبق قانون القوة [] على القضيب عند هذه اللحظة. عجلة مركز الكتلة هي أو رأسيًّا إلى أسفل. القوتان المؤثرتان على القضيب هما (إلى أسفل) والقوة إلى أعلى التي يبذلها المفصل. وبهذا يكون ، ومن ثم يكون . لاحظ أن القوة التي يبذلها المفصل تغير قيمتها (من إلى ) فجأة عند لحظة التحرر. يمكن أيضًا الحصول على القوة بكتابة معادلة العزم، باستخدام مركز الكتلة كنقطة أصل (تذكر أن المعادلة (8-11) صحيحة أيضًا في هذه الحالة) ويمكن استخدام المعادلة (8-2) لحساب كمية التحرك الزاوية لجسم جاسئ حول مركز كتلته بشرط أن نستخدم عزمًا للقصور الذاتي. لاحظ أنه عندما نكتب معادلة العزم حول مركز الكتلة CM، فإن الجاذبية لا تسبب عزمًا ما دام يمكن اعتبار أنها تؤثر على مركز الكتلة؛ لكن القوة الرأسية التي يبذلها المفصل تُنتج عزمًا مع عقارب الساعة. وهكذا تكون معادلة العزم حول CM هي: بإدخال نحصل على ، وهو ما يوافق الحساب السابق.

يسهل الآن بيان أن تلاشي القوة الخارجية والعزم ليس ضروريًّا فقط، بل أيضًا كافٍ لتأكيد اتزان الجسم الجاسئ، بشرط أن تكون جميع نقاط الجسم ساكنة عند لحظة ما، أو تكون في حالة حركة منتظمة. إذا تلاشت القوة الخارجية، فإن مركز الكتلة يظل ساكنًا، أو يتحرك بسرعة ثابتة. لقد رأينا للتوِّ أنه إذا تلاشت القوة الخارجية وتلاشى العزم الخارجي حول نقطة أصل ما، فإن العزم الخارجي حول أي نقطة أصل (بما في ذلك مركز الكتلة) يتلاشى. وبما أن لدينا:

فإنه ينتج أن تكون ؛ ومن ثم تكون ؛ لأن الجسم عند لحظة ما لا يكون دوَّارًا [بدون هذا الافتراض يكون من الممكن للجسم أن يدور بسرعة زاوية ثابتة]. إذا كان ، فإن السرعة النسبية لأي نقطتين على الجسم تساوي صفرًا، ومن ثم تكون جميع النقاط لها نفس السرعة مثل مركز الكتلة. يعمم البرهان بسهولة على ثلاثة أبعاد.

مثال ٨-٥ (قضيب متأرجح موصل بالسقف عن طريق مفصل). قضيب منتظم (كتلته وطوله ) موصَّل بالسقف عن طريق مفصل أملس، ويتذبذب بسعة زاوية صغيرة في مستوى رأسي. احسب الزمن الدوري للتذبذب.

الحل. لتكن هي الزاوية بين القضيب والرأسي. لحفظ التناسق مع مصطلح الإشارات التي نستخدمها، تكون موجبة عندما يُترك القضيب إلى يسار الرأسي (وبهذا تزداد كلما يدور القضيب مع عقارب الساعة). يُعزى العزم الوحيد حول المفصل إلى الجاذبية (الإشارة السالبة تعني أن العزم في عكس اتجاه عقارب الساعة للزاوية الموجبة). وعلى ذلك فإن معادلة العزم هي: هذه هي المعادلة التامة لوصف ذبذبات القضيب. إذا كانت صغيرة يمكننا إِحلال محل لنحصل على: هذه المعادلة التفاضلية من النوع الذي درسناه في الفصل السادس. يتحرك القضيب حركة توافقية بسيطة؛ أي إن: حيث . ويكون الزمن الدوري هو: وبصورة أعم، إذا كان الجسم يتذبذب حول محور يمر خلال نقطة O، فإن معادلة العزم هي: حيث هي المسافة من O إلى مركز الكتلة CM و عزم القصور الذاتي حول O. في حالة الذبذبات الصغيرة نضع بدلًا من ويكون لدينا حركة توافقية بسيطة لها: وفترة زمنية .

إذا كان جزيء العجلة الأسفل ساكنًا، فإن سرعات جميع الجزيئات الأخرى يمكن حسابها على اعتبار أن العجلة تدور حول محور يمر خلال الجزيء السفلي (نقطة التماس) وتكون ساكنة لحظيًّا. بناءً على ذلك، يكون مقدار سرعة جزيء على بُعد من نقطة التماس هو (حيث السرعة الزاوية)، ويكون اتجاه السرعة عموديًّا على الخط الواصل من نقطة التماس إلى الجزيء.

في شكل ٨-١٨ نعرض متجهات السرعة للجزيئات المختلفة على العجلة التي تتدحرج (في اتجاه عقارب الساعة) بدون انزلاق. نحصل على سرعة مركز العجلة بوضع تساوي نصف قطر العجلة ؛ مقدار السرعة هو واتجاهها يوازي الطريق. لاحظ أن مقدار سرعة أعلى جزيء على العجلة هو واتجاهه إلى الأمام؛ وبذلك نرى أنه إذا كانت سيارة تتحرك بسرعة ٦٠ ميلًا في الساعة، فإن سرعة علامة ملونة منقوشة على الإطار هي 120 mph عندما تكون على قمة الإطار و0 mph عندما تكون عند قاع الإطار. يأخذ مسار العلامة شكل السيكلويد (الدويري) الموضح في شكل ٨-١٩ [استنتج المعادلة!] يمكن تفاضل بالنسبة للزمن للحصول على [تسارُع مركز العجلة المتدحرجة بدون انزلاق].

بدلًا من التفكير في العجلة التي تدور حول محور ساكن لحظيًّا، وتمر خلال نقطة التماس، يمكننا أن نفكر بطريقة مكافئة في العجلة عندما تدور حول محور متحرك خلال مركزه. (السرعة الزاوية هي نفسها أيَّما الوصفين استخدمنا. إذا رسمنا خطًّا قصيرًا ملونًا على جانب، فإن تعرَّف بمعدل تغير الاتجاه الذي يشير إليه هذا الخط.) للمحور المتحرك مقدار سرعة واتجاهها إلى اليمين. يوضح شكل ٨-٢٠ سرعات الجزيئات المختلفة بالنسبة إلى محور خلال المركز. إذا أضفنا سرعة المركز إلى جميع متجهات السرعة في شكل ٨-٢٠ بالجمع المتجهي، فإن سرعة أدنى جزيء تكون (في اتجاه اليسار) بالنسبة للمركز؛ وبإضافة هذا إلى سرعة المركز نجد أن صافي السرعة يساوي صفرًا. بالنسبة للجزيء العلوي، السرعتان لهما نفس الإشارة ونجد أن . ميزة هذه الطريقة في التفكير بشأن الحركة أنها تمكِّننا من فهم سرعات الجزيئات المفردة على عجلة تنزلق أثناء تدحرجها. في هذه الحالة، مقدار سرعة المركز لا يساوي ، لكننا ما نزال نستطيع الحصول على سرعات جميع الجزيئات بإضافة متجهي إلى السرعات الموضحة في شكل ٨-٢٠. ولسوف نستخدم هذه الملاحظات في مناقشة حركة كرة بلياردو تتدحرج (مثال ٨-٨).

مثال ٨-٦ (عربة مسحوبة بحيث تتدحرج عجلاتها دون انزلاق). تتكون العربة من جسم كتلته ، بالإضافة إلى أربع عجلات، كلٌّ منها عبارة عن قرص جاسئ كتلته ونصف قطره . العجلات متصلة بمحاور عن طريق سنادات، وتتدحرج بدون انزلاق على طريق أفقي. يبذل حصان قوة أفقية على العربة. احسب تسارع العربة.

الحل. يجب التأكيد هنا على نقطة مهمة: المعادلة يمكن تطبيقها على أي نظام بدون استثناء (يبدو أن بعض الطلاب يعتقدون بأن المعادلة لا تطبق على الأجسام الدوَّارة)؛ وبناء على ذلك، إذا اعتبرنا نظامنا مكونًا من العربة بأكملها (الجسم + العجلات)، فهل يمكننا استخلاص أن العجلة تساوي مقسومة على الكتلة الكلية ؟ كلَّا؛ لأن ليست القوة الخارجية الكلية المؤثرة على النظام. فالأرض تبذل قوى أفقية على العجلات، وهذه القوى يجب تضمينها في صافي القوة الخارجية (الأرض أيضًا تبذل قوى رأسية تتلاشى بتأثير قوة الجاذبية التثاقلية على النظام).إذا ركزنا انتباهنا على أي عجلة بصورة خاصة (كما هو موضح في شكل ٨-٢٢)، فإننا نستطيع كتابة معادلة العزم للعجلة حول نقطة الأصل عند مركز العجلة (هذه ليست نقطة أصل قصورية ولكنها مسموح بها لأنها مركز كتلة العجلة). ينتج العزم الوحيد حول نقطة الأصل هذه بواسطة القوة الأفقية التي تبذلها الأرض على العجلة. القوى الأخرى كلها ليست لها ذراع رافعة؛ لأنها إما تؤثر عند المحور، أو تكون متجهة بطول الخط بين نقطة تطبيق القوة والمتجه نصف القطري من المحور إلى تلك النقطة. وحيث إن السرعة الزاوية والتسارع الزاوي للعجلة مع عقارب الساعة موجبان (طبقًا لمصطلحات الإشارة)، فإن القوة الأفقية التي تبذلها الأرض يجب أن تتجه إلى اليسار (شكل ٨-٢٢). معادلة العزم للعجلة هي: حيث التسارع الزاوي و مقدار التسارع الخطي لمركز العجلة (وهو نفس مقدار تسارع CM للعربة كلها). وبما أن جميع العجلات لها نفس ، فإن القوة الأفقية هي نفسها لجميع العجلات. معادلة القوة للعربة بأكملها (الجسم + العجلات) هي: لدينا معادلتان في مجهولين و بحلِّهما نجد أن و. صافي القوة الأفقية على العجلة يجب أن يتجه إلى الأمام؛ لأن CM للعجلة متسارع إلى الأمام. إذا كان مقدار القوة الأفقية التي يبذلها المحور على العجلة، فإن معادلة القوة للعجلة تكون . بإدخال قيمتَي و نجد أن . القوتان الأفقيتان المؤثرتان على جسم العربة هما للأمام و للخلف. بذلك تكون معادلة القوة للجسم هي: بإدخال قيمتَي و المحسوبتين، نجد أن المعادلة (8-41) في حقيقة الأمر مستوفية للشروط.