ملحوظات على قانون الجاذبية العام لنيوتن (مساهمة من لاري جلادني)

ذكرنا في القسم [حركة الكواكب والأقمار الصناعية؛ قانون نيوتن للجاذبية التثاقلية] أن الاستخدام المباشر لقانون الجذب العام لنيوتن لم يتحقق بصورة حاسمة؛ لأننا كنا ننظر نموذجيًّا إلى تطبيق القانون في أطُر غير قصورية. هذا ينطبق على تعيين ، العجلة المحلية بالقرب من سطح الأرض أثناء دورانها حول محورها؛ ولذا فإن السطح ليس إطارًا قصوريًّا بصورة صارمة، بل إننا نتجاهل هذا نموذجيًّا في الفيزياء التمهيدية. دعنا نُقيِّم ما إذا كان هذا مبَّررًا.

مثال ٩-١ (تأثير دوران الأرض على ). الشكل ٩-١ منظر تخطيطي لكتلة مستقرة على سطح الكرة الأرضية كما تُرى من فوق القطب الشمالي. حجم مبالغ فيه بدرجة كبيرة. نرغب في معرفة الوزن الذي يمكن قياسه، بميزان زنبركي مثلًا، إذا عُلم أن مقدار قوة الجاذبية هو .

الحل. نلاحظ أولًا أن الجسم ليس في حالة اتزان مع القوى المبينة وحدها؛ لأن سطح الأرض ليس إطارًا قصوريًّا. فالجسم له صافي عجلة نحو مركز الأرض، ومن ثم فإن ما نقيسه كوزن أقل من ؛ لأن بإدخال في معادلة نيوتن واستخدام التعريف العادي للوزن بأنه ، نحصل بخطوة جبرية واحدة على وبهذا فإنه عند القطبين فقط يكون . وفي الواقع، اتجاه لا يكون نحو مركز الأرض ما لم تكن عند خط الاستواء، فاتجاهه الفعلي عند مواقع أخرى يكون عموديًّا على محور دوران الأرض عند خط عرضك المعطى. ويحدث أكبر تأثير ممكن لدوران الأرض عند خط الاستواء؛ حيث، بتجاهل الانبعاج البسيط للأرض، يكون لدينا: حيث الزمن الدوري للدوران — يوم واحد أو . وبمعلومية يكون لدينا ، أو حوالي ثلث في المائة من قيمة النموذجية وهي 9.8 m/s². وهكذا يكون الفرق بين القيمة النموذجية للكمية عند خط الاستواء وعند القطب الجنوبي غير قابل للإهمال، ولكنه صغير بدرجة تكفي لأن نبرر إغفاله عادة لخطوط العرض الواقعة في الوسط.

مثال ٩-٢ (تأثير الارتفاع على ). نأخذ أيضًا عجلة الجاذبية الأرضية على أنها ثابتة. ويتضح من قانون الجاذبية أن هذا ليس صحيحًا؛ لأن ارتفاع مكان معين على سطح الأرض يمكن أن يضعه عند مسافة أبعد من مركز الأرض أو أقرب إليه. إلى أي مدى يمكن أن يصل تأثير هذا الارتفاع بالنسبة لحالات «نموذجية» مُحتملة مواجهتها؟

الحل. نريد أن نرى كيف تتغير كدالة للارتفاع أو التغير في البعد عن مركز الأرض. من المقبول عادة في مثل هذه المسائل أن يُحسب التغير الكسري. وبالنسبة للحالة المتصلة بالموضوع، الكتلة على بعد من مركز الأرض تتعرض لقوة الجاذبية ؛ حيث تُبين النتيجة أن التغير الكسري في القوة يساوي تمامًا ضعف التغير الكسري السالب في نصف القطر؛ حيث نلاحظ أن الإشارة السالبة حاسمة؛ لأنها توضح أن مقدار القوة ينقص إذا كان التغير في المسافة موجبًا. دعنا نقيِّم التغير الكسري لشخص ما ارتفع في طائرة من مستوى الأرض وحلَّق على ارتفاع ١٠ كيلومترات (حوالي ٣٣ ألف قدم). لا تعجب من أنك لم تشعر قطُّ بخفة الوزن عند ركوب طائرة، فالتغير بمقدار ثلاثة أجزاء في الألف يمكن مقارنته بتأثير دوران الأرض، ولا يمكن لأحد أن يلاحظه، لكن الأجهزة يمكنها بسهولة أن تقيس كسورًا أصغر من هذا، ومن ثم تستخدم هذه الطريقة لعمل تقدير تقريبي لشكل الأرض، أو ما يسمى «الجيود»؛ أي «مجسَّم الأرض».

يتحرك مذنَّب (مثل مذنب هالي) في مدار قطع ناقص ورفيع وطويل، وتقع الشمس في إحدى بؤرتيه. من مناقشتنا السابقة لمبدأ حفظ كمية التحرك الزاوية في قسم [كمية التحرك الزاوية والقوة المركزية] ينتج أن تكون القصوى عندما يكون المذنَّب أقرب ما يمكن إلى الشمس، وتكون أدنى عندما يكون المذنب أبعد ما يمكن. في القسم [حركة الكواكب والأقمار الصناعية؛ قانون نيوتن للجاذبية التثاقلية] أحصينا قوانين كبلر للحركة الكوكبية، وأوضحنا كيف يمكن استنتاج القانونين الثاني والثالث من هذه القوانين باستخدام قانون الجذب العام لنيوتن. وحقيقة أن مدارات الكواكب أو مذنب هالي يجب أن تكون على شكل قطع ناقص لم تكن موضحة؛ لأنها تتطلب قدرًا أكبر قليلًا من الرياضيات. لكنه، بهدف الاستكمال، من المقبول عقلًا أن نأخذ ما سبق أن تعلمناه في الفصول السابقة لنوضح أن المدارات الإهليلجية هي التوقع المضبوط لقانون التربيع العكسي لقوة الجاذبية.

نلاحظ أولًا أن مسألة اعتبار مسار جسيم نقطي متحرك في مجال جاذبية جسم كتلته أكبر كثيرًا يمكن أخذها بسهولة في الاعتبار في الإحداثيات القطبية بدلًا من الإحداثيات الكارتيزية. المسوِّغ لأن يكون ذلك كذلك بسيط جدًّا ويعزى إلى نيوتن نفسه. فالخبرة، ورياضيات العجلة الثابتة تُعلمنا أن جميع مسارات الأجسام المتحركة بحُرِّيَّة قريبًا من سطح الأرض هي مسارات إهليلجية. وبمعلومية أن الأجسام الأبعد عن السطح تتعرض لجاذبية مختلفة، كيف يؤثر ذلك على المسار؟ بدأ نيوتن تفكيره في الموضوع بأن يفترض أولًا عجلة جاذبية ثابتة، وأجرى تجربة فكرية للسؤال التالي: ماذا يحدث إذا أطلقت مقذوفًا أفقيًّا من مدفع على قمة جبل عالٍ جدًّا؟ افترض أن الجبل بالغ العلوِّ لدرجة أن المقذوف يتحرك في الأغلب فوق الغلاف الجوي بحيث يمكننا إهمال مقاومة الهواء (من الواضح أن هذا كله افتراض خيالي! فلا يوجد مثل هذه الجبال على الأرض.) (انظر شكل ٩-٢). ما يزال المقذوف سيسقط في البداية عندما تحدده عجلة الجاذبية المحلية أيًّا كان، برغم أن حركته الأفقية لم تتغير. لهذا فإن المسار الإهليلجي لا يزال متوقعًا. لكن الآن، بمعلومية ارتفاع الجبل، يمكننا أن نتوقع امتداد مدى المقذوف إلى أبعد مما يحدث لمقذوف أُطلق من الأرض بنفس مقدار السرعة الابتدائية. وبمعلومية انحناء الأرض، يمكننا أن نتوقع أن المقذوف لا بد أن يسقط أبعد من مجرد الارتفاع الرأسي للجبل. دعنا نقُل إن عجلة الجاذبية المحلية لا تزال حوالي 10 m/s². عندئذٍ نتوقع، في حالة مدفع قوي بدرجة كافية، أن يكون مقدار السرعة الابتدائية للمقذوف كبيرًا بما يكفي لأن يكون المدى بحيث «ينحني» سطح الأرض بعيدًا عن قاعدة الجبل حتى يقطع المقذوف مسارًا أفقيًا أبعد (طوال فترة السقوط أفقيًّا). هل هناك سرعة ابتدائية أفقية تجعل المقذوف لا يرتطم بالأرض أبدًا؟ يمكننا تقدير قيمة مقدار مثل هذه السرعة الأفقية مع ملاحظة أن الجسم يهبط حوالي خمسة أمتار في الثانية الأولى من الطيران. إذا كان مقدار السرعة الابتدائية بحيث تنحرف الأرض بعيدًا عن الخط الأفقي لقاعدة الجبل بمسافة رأسية خمسة أمتار، فإن المقذوف لن يكون أقرب إلى الأرض بعد ثانية واحدة مقارنة بلحظة إطلاقه؛ لأننا نعرِّف «الارتفاع» بأنه المسافة فوق سطح الأرض مباشرة أسفل المقذوف (أي بطول نصف قطر الأرض). «رأسيًّا إلى أسفل» تعني عموديًّا على سطح الأرض بطول نصف قطر الأرض ويكون «الأفقي» هو الاتجاه الموازي للسطح؛ أي عموديًّا على نصف القطر، وبهذا يواصل المقذوف حركته أفقيًّا أثناء «الهبوط» مع أنه لا يصير أقرب إلى سطح الأرض!

وهكذا كما يوضح شكل ٩-٢ الطلقات المتتابعة بسرعات ابتدائية أسرع فأسرع تصل في النهاية إلى نقطة لا يهبط المقذوف عندها على الأرض أبدًا، وتظل تدور حول الأرض. السرعات الابتدائية الأبطأ تؤدي إلى مسارات بشكل القطع المكافئ، والسرعات المدارية تؤدي إلى مسار دائري. الدوائر والقطوع المكافئة تنتمي إلى قسم الأشكال الرياضياتي العام المسمى القطاعات المخروطية؛ لأنها يمكن الحصول عليها جميعًا بمستوى تقسيم شرائحي خلال مخروط بزوايا مختلفة (شكل ٩-٣). الدائرة التي نراها في الشكل حالة خاصة من القطع الناقص. وهكذا، إذا كان المدار مغلقًا — أي إن المقذوف يكرر حركته حول الأرض — فإن الحل العام يكون قطعًا ناقصًا.

بطبيعة الحال، عجلة الجاذبية التثاقلية ليست ثابتة، ولكنها تتغير كدالة في البعد عن مركز الجاذب؛ الأرض في هذه الحالة. إذن، كيف الحال مع المسألة العامة؟ كما هو مبين أعلاه، من الأسهل تصوُّر الحل بدلالة نصف القطر والموضع الزاوي. كما هو مبين في قسم [كمية التحرك الزاوية والقوة المركزية]، القوة المركزية تسبب دائمًا حركة ملازمة لمستوى، وبهذا نحتاج إلى متغيرين فقط وليس ثلاثة. فإذا جعلناهما و بدلًا من و مثلًا، فإن حل معادلة الحركة الناتج لحالة دائرة ينتهي إلى أن يكون عاديًّا؛ لأن ثابتة. وحيث إن قوة الجاذبية تتجه فقط بطول فإننا نعلم أن عجلة جسيم حول كوكب كتلته أكبر كثيرًا هي: الجانب الأيمن للمعادلة ينتج من قانون الجاذبية لنيوتن، في حين أن الجانب الأيسر للمعادلة هو العجلة نصف القطرية في الحالة العامة. لاحظ أن في المعادلة (9-6) دالة في الزمن أيضًا ويمكننا حذفها مع ملاحظة أن كمية التحرك الزاوية ثابتة و، ويكون: حل هذه المعادلة صعب، لكننا نستطيع القيام به إذا استخدمنا تغير المتغيرات المتاحة لجميع معادلات القوة المركزية للحركة: ونستخدم ثبات كمية التحرك الزاوية للتحويل من زمن إلى موضع زاوي كمتغير مستقل. وباستخدام الأول يكون لدينا: واستخدام قاعدة السلسلة يعطي: إذن نستطيع كتابة معادلة الحركة على الصورة: وتصبح معادلة الحركة (9-7) على الصورة: الطرف الأيمن ثابت، وبهذا يسهل التحقق من أن الحل هو: حيث ثابت التكامل المطلوب تعيينه من الشروط الابتدائية للمدار (لاحظ أن تعود إلى نفس القيمة عندما تزداد بمقدار . هذا لا يكون صحيحًا إذا ما كان الأس في معادلة القوة غير ٢، عدا في حالة ). ولإضفاء شعور أكثر ألفة للمنحدر رياضيًّا، نكتب هذه المعادلة على الصورة العامة: حيث تشير إلى الاختلاف المركزي للمدار، و تُسمَّى الوتر البؤري العمودي للمدار. من السهل ربط شكل المعادلة (9-13) بشكل قطع ناقص نصف محوره الأكبر واختلافه المركزي إذا وضعت نقطة أصل نظام الإحداثيات عند إحدى بؤرتي القطع الناقص. مثل هذه المعادلة ستكون: يمكنك بسهولة أن تثبت لنفسك أن المعادلتين (9-13) و(9-14) تمثلان قطعين ناقصين لقيم ثابتة لكلٍّ من و و بتطبيق أي برنامج رسم حاسوبي. واضح أن قيم الثوابت يجب أن تكون متصلة بالخصائص الفيزيائية للمدار. وأحد الاختيارات الواضحة هو: نحتاج إلى عمل أكثر لبيان ذلك، لكن الاختلاف المركزي يمكن كتابته على الصورة: حيث الطاقة الميكانيكية الكلية للنظام.

مثال ٩-٣ (المدارات ومذنَّب هالي). عيَّن السير أدموند هالي مدار المذنب الشهير الذي يحمل اسمه. وحتى الآن لا يزال هو المذنب الوحيد قصير الزمن الدوري (تحديدًا، يمكنك رؤيته أكثر من مرة في عمر الإنسان العادي) الذي تراه العين البشرية من الأرض بوضوح. الزمن الدوري للمدار حوالي ٧٦ سنة واختلافه المركزي ٠,٩٦٧. أوجد أقصى وأقل مسافتين يبعدهما المذنب هالي عن الشمس.

الحل. يجب أن نلاحظ أولًا أن خصائص القطوع الناقصة تيسر إيجاد نصفَي القطرين الأكبر والأصغر (اللذين نرمز لهما بالرمزين و على التوالي) من البؤرة (موضع الشمس) بمجرد أن نعرف متوسط نصف القطر والاختلاف المركزي، يجب أن تتذكر من دروس الرياضيات أن: حيث متوسط نصف القطر، أو نصف المحور الأكبر، وأن: حيث نصف المحور الأصغر. لإيجاد متوسط نصف القطر في هذه الحالة نحتاج إلى تعميم برهان قانون الحركة الكوكبية الثالث لكبلر من قسم [حركة الكواكب والأقمار الصناعية؛ قانون نيوتن للجاذبية التثاقلية] لتناول المدارات الإهليلجية بدلًا من مجرد المدارات الدائرية. لعمل ذلك يصبح من المناسب استخدام برهان قانون كبلر الثاني من قسم [كمية التحرك الزاوية والقوة المركزية]، وتحديدًا أن المساحة الممسوحة لمدار واحد هي مساحة القطع الناقص، وهي ثابتة بسبب حفظ كمية التحرك الزاوية؛ أي إن المساحة التي يمسحها خط من البؤرة إلى المذنب الذي يدور في المدار لكل وحدة زمن هي: حيث كمية التحرك الزاوية للمدار. وتكون المساحة الممسوحة لزمن دوري كامل واحد هي فقط: لأن هي مساحة القطع الناقص. نرى من المعادلة (9-12) أن طرفيْ يحدثان عندما تكون و، وبهذا يكون: ويمكن إعادة كتابتها على الصورة: وأخيرًا: هذا هو الشكل العام لقانون كبلر الثالث المناسب لأي مدار مغلق. وبالنسبة لدائرة يكون مجرد نصف قطر ثابت. أخيرًا، بهذه النتيجة في أيدينا، نستطيع الإجابة على السؤال الأصلي. لاحظ أن السنة فيها ٣,١٥ × ١٠^٧ ثانية (وعلى سبيل الاختصار المفيد فعلًا تذكَّر أن هذا العدد هو تقريبًا).

المسألة ٩-١ . مركبة فضائية ثابتة في البداية (بالنسبة إلى الأرض) على ارتفاع ٣٠٠ كيلومتر فوق سطح الأرض. ما السرعة (في وضع التوازي مع سطح الأرض) التي يجب قذف المركبة بها لتدور في مدار دائري عند هذا الارتفاع؟ احسب أيضًا الفترة الزمنية للمدار.

المسألة ٩-٢ . الطريقة الأكثر فعالية (من حيث الطاقة المبذولة) لإرسال مركبة فضائية من الأرض إلى كوكب آخر هي استخدام مدار هوهمان الانتقالي الذي فيه توضع المركبة الفضائية في مدار إهليجي الشكل، بحيث تكون أقرب نقطة في مدار المركبة الفضائية (تقريبًا) عند المدار الدائري للأرض حول الشمس، وأبعد نقطة (تقريبًا) عند المدار الدائري للكوكب الذي ستزوره/تغزوه. تجاهل جاذبية الأرض والمريخ، ويمكنك أن تجد القيم المتوسطة ذات الصلة للنظام الشمسي (كتلة المريخ والمسافة بينه وبين الشمس، وما إلى ذلك) في الكتب أو مصادر الإنترنت.