الفوضى في السياق: الحتمية والعشوائية والتشويش

النظم الديناميكية

تُعَدُّ الفوضى إحدى سمات النظم الديناميكية، ولا يزيد أي نظام ديناميكي عن كونه مصدرًا من مصادر الملاحظات المتغيرة؛ كما هو الأمر في حديقة فيبوناتشي الخيالية التي تحتوي على أرانب، ودرجة حرارة الأرض وفق قياس مقياس الحرارة في مطار هيثرو في لندن، والاقتصاد الذي يجري رصده من خلال سعر أسهم شركة آي بي إم، وبرنامج الحاسوب الذي يُحاكي مدار القمر ويقوم بطباعة بيانات تاريخ ومكان كل كسوف شمسي مستقبلي.

ثَمَّةَ أنواع ثلاثة مختلفة على الأقل من النظم الديناميكية. يوجد أسهل تعريف للفوضى في إطار «النُّظُم الديناميكية الرياضية»، وتتألف هذه النظم من قاعدةٍ؛ أَلَا وهي أنك تُدخِل رقمًا ما فيَخرج لك رقم جديد، وهذا الأخير يُعاد إدخاله مرة أخرى للحصول على رقم جديد آخَر، وهو ما يجري إدخاله مجدَّدًا، وهكذا دواليك. تُسمَّى هذه العملية «التكرار». يُعتبر عدد الأرانب في حديقة فيبوناتشي الخيالية شهريًّا مثالًا نموذجيًّا على سلسلة زمنية من هذا النوع من النظم. ويوجد نوع ثانٍ من النظم الديناميكية في العالم التجريبي لعالِم الفيزياء، أو عالِم الأحياء، أو متداوِل الأسهم بالبورصة. هنا تتألف سلسلة ملاحظاتنا من قياسات ضوضائية للواقع، وهي قياسات مختلفة جوهريًّا عن الأرقام الخالية من التشويش في خريطة الأرانب؛ ففي هذه «النُّظُم الديناميكية الفيزيائية» — ومنها على سبيل المثال مناخ الأرض وأعداد فئران الحقول في الدول الاسكندنافية — تمثِّل الأرقامُ الحالةَ، بينما في خريطة الأرانب كانت الأرقام «هي» الحالة. ولتفادي الحيرة التي لا ضرورةَ لها، يكون من المفيد هنا الإشارة إلى النوع الثالث من النظم الديناميكية، والتي تظهر عندما يُجري حاسوب رقمي العمليات الحسابية التي يحدِّدها النظام الديناميكي الرياضي، وهو ما سنطلق عليه «المحاكاة الحاسوبية»، وتُعتبر برامج الحاسوب التي يصدر عنها توقعات الطقس في التليفزيون مثالًا شائعًا لها. ومن المهم تذكُّر أن هذه «أنواع» مختلفة من النظم، وأن كلًّا منها نوع قائم بذاته. إذ تختلف أفضل معادلاتنا لتوقُّع حالة الطقس عن أفضل نماذجنا الحاسوبية التي تعتمد على تلك المعادلات، كما يختلف هذان النظامان كلاهما عن الشيء الحقيقي، أَلَا وهو طقس الأرض نفسه. يثير الحيرة أن الأرقام الصادرة عن كل نوع من أنواع النظم الثلاثة يُطلَق عليها سلسلة زمنية، ويجب ألا ننسى أبدًا الفارق بين أي سلسلة زمنية يمثِّلها كل نوع من هذه الأنواع: عدد الأرانب المتخيَّلة، ودرجة الحرارة الحقيقية في المطار (إذا كان ثَمَّةَ شيء مثل ذلك يوجد بالفعل)، وقياس يمثِّل تلك الحرارة، ومحاكاة حاسوبية لدرجة الحرارة تلك.

تعتمد مدى أهمية هذه الفروق على ما نهدف إلى تحقيقه؛ فمثل لاعبي لعبة الورق في لوحة لاتور، لكلٍّ من العلماء، وعلماء الرياضيات، والإحصائيين، والفلاسفة مهاراتٌ وأهدافٌ مختلفة؛ فربما يهدف الفيزيائي إلى توصيف الملاحظات من خلال نموذج رياضي، وربما يختبر النموذج من خلال استخدامه في توقُّع ملاحظات مستقبلية؛ فالفيزيائي لدينا مستعد للتضحية بالسلاسة الرياضية في سبيل الصلة الفيزيائية. يحب علماء الرياضيات أن يثبتوا أشياءَ تنطبق على نطاق واسع من النظم، لكنهم يبالغون في تقدير قيمة البرهان، حتى إنهم عادةً لا يأبهون بضرورة تضييقهم لذلك النطاق للحصول على البرهان. يجب أن يكون المرء حَذِرًا دومًا متى سمع أيَّ عالم رياضي يقول «تقريبًا كل». يجب أن يحرص الفيزيائي لدينا على ألا ينسَى ذلك، وألا يخلط بين الفائدة الرياضية والصلة الفيزيائية. يجب ألا تتسم البداهات الفيزيائية بالتحيُّز عبر خواص نُظُمٍ «مفهومة جيدًا»، مصمَّمة فقط لسلاستها الرياضية.

الإحصائي لدينا مهتم بوصف إحصائيات شائقة مستقاة من السلسلة الزمنية للملاحظات الحقيقية، وبدراسة خواص النظم الديناميكية التي تولِّد سلاسل زمنية تبدو مثل الملاحظات، مع حرصه دائمًا على وضع أقل قدرٍ ممكن من الفرضيات. أخيرًا، يبحث الفيلسوف لدينا في العلاقات القائمة بين النظام الفيزيائي الذي نزعم صدور الملاحظات عنه، والملاحظات نفسها، والنماذج الرياضية أو الأساليب الإحصائية التي ابتكرناها لتحليلها؛ فعلى سبيل المثال، يهتم الفيلسوف بما يمكن أن نعرفه عن العلاقة بين درجة الحرارة التي نقيسها ودرجة الحرارة الحقيقية (إذا كان ثَمَّةَ شيء مثل ذلك)، ويهتم بما إذا كانت حدود معرفتنا ليست سوى صعوبات عملية قد نتمكَّن من تخطِّيها، أو أنها حدود لا نستطيع تجاوزها.

النظم الديناميكية الرياضية وعناصر الجذب

من الشائع أن نجد أربعة أنواع مختلفة من السلوك في السلاسل الزمنية؛ فقد تكون السلاسل الزمنية عاجزة عن الحركة، وتبدأ بصورة أو بأخرى في تكرار الرقم الثابت نفسه مرارًا وتكرارًا؛ أو ترتدُّ في حلقة مغلقة مثل أسطوانة مكسورة، تكرر النمط نفسه على نحو دوري، أي سلسلة الأرقام نفسها تمامًا مرارًا وتكرارًا؛ أو تتحرك في حلقة تتضمن أكثر من دورة، ومن ثَمَّ لا تكرِّر نمطًا واحدًا تمامًا بل تقترب من كل نمط، مثل لحظة المد المرتفع التي تنساق خلال فترة النهار؛ أو تكون دائمة القفز على نحو غير منظم، أو ربما حتى في هدوء، دون أن تُظهِر نمطًا محدَّدًا. يبدو النوع الرابع عشوائيًّا، بَيْدَ أن المظاهر ربما تكون خادعة؛ فربما تبدو الفوضى عشوائية لكنها ليست كذلك. في حقيقة الأمر، مثلما تعلَّمنا كيف ندرك الأمور على نحوٍ أفضل، لم تَعُدِ الفوضى تبدو لنا على هذا القدر من العشوائية عادةً. وفي الصفحات القليلة التالية سنقدِّم المزيد من الخرائط، وإن كانت ربما خالية من الأرز أو الأرانب. وسنحتاج هذه الخرائط للحصول على أشياء شائقة في رحلتنا بحثًا عن الأنماط المختلفة للسلوك التي أشرنا إليها توًّا، وبعضٌّ من هذه الخرائط قام بوضعه علماء الرياضيات لهذا الغرض تحديدًا، على الرغم من أن الفيزيائي لدينا قد يزعم — ولديه هنا سبب وجيه — أن أيًّا من تلك الخرائط وُضِعت نتيجة تبسيط القوانين الطبيعية. في حقيقة الأمر، تُعتبر الخرائط بسيطةً بما يكفي لأن يجعل كلًّا منها تخرج في صور عديدة مختلفة.

شكل ٣-١: سلسلة زمنية فوضوية مستقاة من الخريطة اللوجيستية الكاملة التي تبدأ قرب قيمة X₀ تساوي ٠٫٨٧٦. لاحِظْ أن السلسلة قابلة للتوقع بصورة واضحة متى كانت قيمة X تقترب من الصفر و٣ / ٤.

الخرائط

شكل ٣-٢: تمثيل بياني لكلٍّ من (أ) خريطة الأرباع، و(ب) الخريطة اللوجيستية الكاملة، و(ﺟ) الخريطة الانتقالية، و(د) خريطة الخيمة، و(ﻫ) خريطة الخيمة ذات التضعيف الثلاثي، و(و) خريطة موران-ريكر.

إذَن يتوافر لدينا الآن بضعة نظم رياضية، ويمكننا أن نحدِّد بسهولةٍ ما إذا كانت حتميةً أو تصادفية. ماذا عن نماذج المحاكاة الحاسوبية؟ نماذج المحاكاة بالحاسوب الرقمي حتمية دومًا. وكما سنرى في الفصل السابع، إما أن تكون السلسلة الزمنية الناتجة من حاسوب رقمي في حلقة لا نهائية من القيم تتكرر على نحو دوري، مرارًا وتكرارًا، وإما أنها في طريقها إلى مثل هذه الحلقة. يوصف هذا الجزء الأول من السلسلة الزمنية الذي لا تتكرر فيه أي قيمة، ويتطور مساره نحو «حلقة دورية»، غير أنه لا يبلغها بأنه «عابر». في الدوائر الرياضية، تُعتبر هذه الكلمة من قبيل الإهانة؛ حيث إن الرياضيين يفضِّلون التعامل مع أشياء تتسم بالديمومة، وليس مجرد أشياء عابرة. وبينما يتجنب علماء الرياضيات الأشياء العابرة، ربما لا يرى علماء الفيزياء أي شيء آخَر غيرها والحاسوب الرقمي لا يستطيع التعامل مع هذه الأشياء العابرة. يعجز الحاسوب الرقمي الذي أثبت أهميته البالغة في تطوير فهمنا للفوضى — للمفارقة — عن عرض فوضى رياضية حقيقية، وهو كذلك لا يستطيع توليد أرقام عشوائية. لا يُعَدُّ ما يُطلَق عليه مولدات الأرقام العشوائية في الحاسوب الرقمي والآلات الحاسبة اليدوية — في حقيقة الأمر — سوى مولدات أرقام شبه عشوائية، حتى إن أحد نماذج هذه المولدات المبكرة كان يعتمد في تصميمه على الخريطة اللوجيستية الكاملة! يُعتبر الفرق بين الفوضى الرياضية ونماذج المحاكاة الحاسوبية — مثل الفرق بين الأرقام العشوائية والأرقام شبه العشوائية — نموذجًا مثاليًّا على الفرق بين النظم الرياضية ونماذج المحاكاة الحاسوبية.

المعلمات وبنية النموذج

في النماذج الفيزيائية، تُستخدَم المعلمات في تمثيل أشياء من قبيل درجة حرارة غليان الماء، أو كتلة الأرض، أو سرعة الضوء، أو حتى السرعة التي «يسقط» الثلج بها في طبقات الجو العليا. عادةً لا يلقي الإحصائيون بالًا للفرق بين المعلم والحالة، بينما يميل الفيزيائيون إلى منح المعلمات مكانة خاصة. يعمد علماء الرياضيات التطبيقية — كما اتضح — في كثير من الأحيان إلى إجبار المعلمات نحو قيم كبيرة لانهائيًّا أو متناهية الصغر لانهائيًّا؛ إذ إن دراسة تدفُّق الهواء فوق جناح طويل بصورة لا نهائية — على سبيل المثال — تُعَدُّ أسهل. مرة أخرى، تُعتبر كل واحدة من وجهات النظر المختلفة هذه منطقيةً في سياقها. هل نحتاج إلى حل دقيق لسؤال تقريبي، أو إجابة تقريبية لسؤال محدد؟ في النظم اللاخطية، قد يعني هذا أشياءَ في غاية الاختلاف.

عناصر الجذب

تذكَّرْ خريطة الأرباع، آخِذًا في الاعتبار أنه بعد تكرارٍ واحدٍ كلُّ نقطة بين صفر وواحد ستقع بين صفر و١ / ٤ وبما أن جميع النقاط بين صفر و١ / ٤ تقع أيضًا بين صفر وواحد، لا يمكن أن تتجاوز قيمُ أيٍّ من هذه النقاط قيمًا أكثر من ١ أو أقل من صفر. تُسمَّى النظم الديناميكية التي تتضاءل فيها القِطَع المستقيمة — في المتوسط — (أو في الأبعاد الأكبر، المساحات والحجوم) «نُظُمًا مشتتة». متى تقوم خريطة مشتتة بتحويل حجم فضاء الحالة تمامًا في داخله، ندرك على الفور وجود عنصر جذب دون معرفة شكله.

شكل ٣-٣: يُظهر كل شكل تطوُّر ٥١٢ نقطة، موزَّعة مبدئيًّا على نحو عشوائي بين نقطتَيْ صفر وواحد، في الوقت الذي تتقدَّم فيه النقط في الخريطة اللوجيستية. يُظهر كل شكل إحدى قيم α الأربع المختلفة، مبينًا التداعي نحو (أ) نقطة ثابتة، و(ب) حلقة دورة ثانية، و(ﺟ) حلقة دورة رابعة، و(د) الفوضى. يُظهر الخط المتصل الذي يبدأ عند المرة ٣٢ مسارَ نقطة واحدة، بغرض جعل المسار على كل عنصرِ جذبٍ واضحًا.

ضبط معلمات النموذج والاستقرار البنيوي

يمكننا أن نرى الآن أن أي نظام ديناميكي يتألف من ثلاثة مكونات: القاعدة الرياضية التي تحدِّد طريقة الحصول على القيمة التالية، وقِيَم المعلمات، والحالة الحالية. ويمكننا — بالطبع — تغيير أيٍّ من هذه الأشياء ورصد ما يترتب على ذلك، لكن من المفيد أن نميِّز أيَّ نوع من التغيير نُدخِله. بالمثل، ربما نحصل على رؤية أعمق حيال عدم اليقين في أحد هذه المكونات، ومن صالحنا تجنُّب تفسير عدم اليقين في مكون واحد من خلال عزوه على نحو خاطئ إلى مكون آخَر.

ربما يبحث الفيزيائي لدينا عن النموذج «الحقيقي»، أو عن مجرد نموذج مفيد فقط. عمليًّا، ثَمَّةَ فن «لضبط» قِيَم المعلمات. وبينما تتطلب اللاخطية منَّا أن نعيد النظر في طريقة إيجادنا ﻟ «قيم معلمات جيدة»، ستضطرنا الفوضى إلى إعادة تقييم ما نعنيه بكلمة «جيدة»؛ فقد يغيِّر أي فرق صغير جدًّا في قيمة إحدى المعلمات التي لا تؤثِّر تأثيرًا ملحوظًا على جودة التوقُّع القصير الأجل، من شكل عنصر الجذب إلى درجة لا يمكن معها تمييزه. تُسمَّى النظم التي يحدث فيها هذا الأمر نظمًا «غير مستقرة بنيويًّا». بينما لا يجب أن يقلق مسئولو توقُّع حالة الطقس حيال هذا، يجب أن يشعر واضعو النماذج المناخية بالقلق، مثلما أشار لورنز في ستينيات القرن العشرين.

نشأ قدر كبير من الحيرة من العجز عن التمييز بين عدم اليقين في الحالة الحالية، وعدم اليقين في قيمة أحد المعلمات، وعدم اليقين فيما يتعلَّق ببنية النموذج نفسه. من الناحية الفنية تُعَدُّ الفوضى إحدى خواص النظام الديناميكي ذي المعادلات الثابتة (البنية) وقيم المعلمات المحددة؛ لذا فإن عدم اليقين الذي تعمل الفوضى بناءً عليه هو عدم اليقين في الحالة الأولية. عمليًّا، تتداخل هذه الفروقات ويصبح الوضع أكثر تشويقًا وإرباكًا بكثير.

النماذج الإحصائية للبقع الشمسية

لا توجد الفوضى إلا في النظم الحتمية فقط. لكننا إذا أردنا استيعاب أثرها على العلم، يجب أن نراها إزاء خلفية من نماذج نظم تقليدية تصادفية طُوِّرت خلال القرن الماضي. ومتى رأينا شيئًا متكررًا في الطبيعة، فإن أولَ ما يُطبَّق من الفرضيات فرضيةُ الحركة الدورية، وهي فرضية قد تجعلك شخصية مشهورة، مثلما حدث في حالة مذنب هالي، وعدد وولف للبقع الشمسية؛ ففي النهاية، يظل الاسم عالقًا عادةً حتى عندما ندرك أن الظاهرة ليست دورية في حقيقة الأمر. حزر وولف أن الشمس تمر في دورة مقدارها حوالي ١١ عامًا في المرة الواحدة في وقت لم يكن يمتلك سوى بيانات ٢٠ عامًا فقط. تظل الدورية مفهومًا مفيدًا على الرغم من استحالة إثبات دورية نظام طبيعي بصرف النظر عن حجم المعلومات التي نتلقَّاها، وهو ما ينطبق على مفهومَي الحتمية والفوضى.

إذَن كيف يختلف هذا النموذج التصادفي عن النموذج الفوضوي؟ ثَمَّةَ اختلافان يبرزان أمام أعين العالم الرياضي على الفور: أولهما أن نموذج يول تصادفي؛ حيث تتطلب القاعدة مولِّد أرقام عشوائية، بينما أي نموذج فوضوي للبقع الشمسية سيكون حتميًّا بطبيعته. والاختلاف الثاني هو أن نموذج يول خطي، وهو ما ينطوي ببساطة كبيرة على أننا لن نقوم بعملية ضرب مركبات الحالة معًا في تعريف الخريطة؛ كما ينطوي النموذج أيضًا على إمكانية جمع حلول النظام معًا للحصول على حلول أخرى مقبولة، وهي خاصية معروفة باسم «التراكب»، ولا تتوافر هذه الخاصية المفيدة للغاية في النظم اللاخطية.

شكل ٣-٤: تطور عدم اليقين في ظل خريطة يول التصادفية. بَدءًا من نقطة تقع في قاع الرسم البياني، ينتشر عدم اليقين إلى اليسار مع تقدُّم الزمن (إلى أعلى) ويقترب من توزيع منحنًى جرسي ثابت.

النظم الديناميكية الفيزيائية

ثَمَّةَ ما هو أكثر من النماذج الرياضية في هذا العالم. تقريبًا أي شيء نرغب في قياسه في العالم الواقعي، أو حتى نفكِّر فقط في رصده، يمكن أن نعتبره ناجمًا عن نظام ديناميكي فيزيائي؛ قد يكون موضع الكواكب في النظام الشمسي، أو سطح كوب من القهوة على مائدة مهتزة، أو عدد الأسماك في بحيرة ما، أو عدد طيور الطيهوج في إحدى المزارع، أو عملة يجري قذفها.

ماذا عن مفاهيم الحتمية، والعشوائية، أو حتى الدورية؟ تشير هذه المفاهيم إلى خواص نماذجنا، ويمكننا تطبيقها في العالم الحقيقي فقط من خلال أفضل النماذج (الحالية). هل ثَمَّةَ نظم ديناميكية فيزيائية عشوائية حقًّا؟ على الرغم من الاستخدام اليومي لقذف العملات وقطع النرد باعتبارها مصادر «عشوائية»، فالإجابة التقليدية في الفيزياء الكلاسيكية هي لا؛ فلا توجد عشوائية على الإطلاق. في ضوء مجموعة كاملة من القوانين ربما (وربما لا) يكون من الصعب جدًّا بالنسبة إلينا حساب نتائج مرات قذف العملات، وقطع النرد، وتدوير عجلة الروليت، بَيْدَ أن هذا يمثِّل مشكلةً فقط من الناحية العملية، وليس من حيث المبدأ، ولم يكن شيطان لابلاس ليواجه أيَّ صعوبة في إجراء توقعات مثل هذه. في المقابل، تختلف ميكانيكا الكم؛ ففي إطار نظرية ميكانيكيا الكم التقليدية، يُعتبر عمر النصف لذرة يورانيوم كمية طبيعية وحقيقية مثل كتلة ذرة اليورانيوم. ولا يهم هنا حقيقة أن مرات قذف العملة أو تدوير عجلة الروليت الكلاسيكية لم تتم نمذجتها على النحو الأفضل عشوائيًّا، في ضوء ادعاءات ميكانيكا الكم المؤيدة للعشوائية والاحتمالات الموضوعية. تتطلَّب الادعاءات مع — أو ضد — وجود احتمالات موضوعية تفسيرَ النظم الفيزيائية في إطار نماذجنا الخاصة بتلك النظم، وهذه هي الحال دومًا. ربما تدحض نظريةٌ مستقبليةٌ ما هذه العشوائيةَ لصالح الحتمية، بَيْدَ أننا لن نكون موجودين إلا لفترة صغيرة متضائلة. من قبيل الاحتراز النسبي ينبغي علينا القول بأن بعض أفضل نماذجنا للواقع ستظل تتضمن عناصر عشوائية حتى كتابة هذه الكلمات.

الملاحظات والتشويش

خلال العقود القليلة الأخيرة، كُتِب عدد هائل من الأوراق البحثية العلمية حول استخدام سلسلة زمنية للتمييز بين النظم الحتمية والنظم التصادفية، وقد بدأ هذا السيل من البحوث في مجال الفيزياء، ثم انتشر في مجالات الجيوفيزياء، والاقتصاد، والطب، وعلم الاجتماع، وما هو أكثر من ذلك. استُلهِمَتْ معظم هذه الأوراق البحثية من نظرية رائعة أثبَتَها عالم رياضيات هولندي يُدعَى فلوريس تاكنس في عام ١٩٨٣، والتي سنعود إليها في الفصل الثامن. لماذا كُتِبت كل هذه الأوراق، مع العلم أننا لدينا قاعدة بسيطة لتحديد ما إذا كان أيُّ نظام رياضي حتميًّا أو تصادفيًّا؟ لماذا لا نكتفي بالرجوع إلى قواعد النظام ونرى ما إذا كان النظام يتطلَّب مولِّد أرقام عشوائية أم لا؟ كثيرًا ما يحدث خلط بين الألعاب التي يمارسها علماء الرياضيات والقيود المفروضة على عمل علماء الطبيعة (وغيرهم).

عند هذه النقطة، يجب أن يكون تحديد مسار اللعبة أمرًا يسيرًا للغاية. يحاول علماء الرياضيات محاكاة الموقف الذي لا يستطيع علماء الطبيعة الفكاك منه أبدًا. «لا» يعرف الفيزيائيون، وعلماء الأرض، والاقتصاديون، والعلماء الآخَرون القاعدةَ، قوانين الطبيعة الكاملة، المتعلقة بالنظم الفيزيائية للدراسة العلمية. والملاحظات العلمية غير كاملة. ربما تتسم دومًا بعدم يقينها بسبب تشويش الملاحظة، على أن ذلك ليس نهاية المطاف، وربما تكمن الخطيئة الكبرى في الخلط بين الملاحظات الحقيقية والملاحظات في هذه الألعاب الرياضية.

يهتم الفيلسوف لدينا بهذه الأسئلة اهتمامًا كبيرًا، ويجب أن نهتمَّ بها نحن أيضًا. لوفيريه — العالم الفرنسي الذي عمل مع فيتزروي لوضع أول نظام إنذار مبكر لتوقع حالة الطقس — مات مشهورًا لاكتشافه كوكبين. استخدم لوفيريه قوانين نيوتن في توقع موقع كوكب نبتون بناءً على «حالات شذوذ» في السلسلة الزمنية المرصودة في مدار كوكب أورانوس، وجرى رصد ذلك الكوكب على نحو وافٍ. حلَّل لوفيريه أيضًا «حالات الشذوذ» في مدار كوكب عطارد، ومرة أخرى أشار إلى الراصدين بموضع كوكب جديد، وهو ما وجدوه حقيقةً. كان الكوكب الجديد، الذي أطلق عليه اسم فولكان، قريبًا جدًّا من الشمس وتصعُب رؤيته، لكنه ظل تحت الرصد لعقود. نعرف الآن أنه ليس ثَمَّةَ كوكب يُسمَّى فولكان؛ خُدِع لوفيريه بسبب عجز قوانين نيوتن عن وصف مدار كوكب عطارد جيدًا (على الرغم من توصيف قوانين أينشتاين له بصورة أفضل). كم مرة ألقينا باللائمة على عدم التوافق بين نماذجنا وبياناتنا عن التشويش، في حين يرجع السبب الجذري في حقيقة الأمر إلى عدم ملاءمة النماذج؟ تجري أكثر الأشياء تشويقًا في العلم على التخوم، سواءٌ أدرك العلماء ذلك أم لا. لا نعرف على وجه التحديد إن كانت القوانين الحالية صالحة للتطبيق على تخوم العلم أم لا، ويعتبر علم المناخ الحديث مثالًا طيبًا على العمل الشاق الذي يجري على تخوم فهمنا.

بيَّنَتْ دراسة الفوضى أهمية التمييز بين مسألتَين مختلفتَين، إحداهما آثار عدم اليقين على الحالة أو المعلمات، والأخرى عدم ملاءمة نماذجنا الرياضية نفسها. يستطيع علماء الرياضيات ممَّنْ يعملون في إطار سيناريو النموذج المثالي تحقيق تقدُّم من خلال التظاهر بأنهم لا يحرزون أي تقدُّم، بينما قد يتسبَّب العلماء الذين يتظاهرون — أو يعتقدون — بأنهم يعملون في إطار سيناريو نموذج مثالي، في حين أنهم ليسوا كذلك في ضرر بالغ، خاصةً إذا كانت نماذجهم تُؤخَذ على نحو ساذج كأساس لعملية اتخاذ القرار. الحقيقة الواضحة هنا هي أننا لا نستطيع تطبيق معايير البرهان الرياضي على النظم الفيزيائية، بل على نماذجنا الرياضية للنظم الفيزيائية فقط. يستحيل إثبات فوضوية نظام فيزيائي، أو دوريته. يجب أن يتذكَّر الفيزيائي والرياضي لدينا دومًا أنهما في بعض الأحيان يستخدمان الكلمات نفسها للإشارة إلى أشياء مختلفة نوعًا ما، وهما بفعل ذلك يواجهان بعضَ الصعوبة عادةً ويشعران بقدر هائل من المرارة. يشير تعليق ماخ السابق إلى أن هذا الأمر ليس شيئًا جديدًا.