الأشكال الكسرية وعناصر الجذب الغريبة والأبعاد

حل مفارقة أولبرز من خلال الهندسة الكسرية

شكل ٥-١: كون فورنييه، يوضِّح البنية الذاتية التشابه، كما نُشر من قِبل فورنييه نفسه في عام ١٩٠٧.

الأشكال الكسرية في العالم الفيزيائي

تُعتبر السحب والجبال وخطوط السواحل أمثلةً شائعةً على الأشكال الكسرية الطبيعية؛ فهي أشياء ذات تشابه ذاتي إحصائي توجد في الفضاء الواقعي. لا يُعتبر الاهتمام بتوليد أشكال كسرية غير منتظمة أمرًا جديدًا؛ فقد طرح نيوتن شكلًا مبكرًا، عندما أشار إلى أنه عند صبِّ الجعة في اللبن و«ترك المزيج ساكنًا حتى يجف، سيظهر سطح المادة المتخثرة غيرَ منتظمٍ ووعرًا مثل سطح الأرض في أي مكان». على خلاف مادة نيوتن المتخثرة، تُعتبر الأشكال الكسرية في الفوضى أشياءَ رياضية موجودة في فضاءات الحالة، وهي أشكال كسرية حقيقية مقارَنةً بنظائرها الطبيعية (الفيزيائية). إذَن فما هو الفرق؟ حسنًا، الفارق الأول هو أن أي شكل كسري طبيعي يُظهِر خواصَّ الشكل الكسري عند مقاييس طول محددة، ولا يُظهِرها عند مقاييس طول أخرى. خُذْ على سبيل المثال حافة سحابة؛ فعند تدقيق النظر أكثر فأكثر، وبالدخول إلى مقاييس أطوال أصغر فأصغر، ستبلغ نقطة لا تظهر فيها حدود السحابة. يختفي شكل السحابة ويتحول إلى تدافع غير منتظم للجزيئات؛ ومن ثَمَّ لا تعود هناك حدود تُقاس. وبالمثل، لا تُعتبر سحابةٌ ما ذاتية التشابه عند مقاييس أطوال تشبه حجم الأرض، وبالنسبة إلى الأشكال الكسرية الطبيعية، تنهار المفاهيم الكسرية عند تدقيق النظر فيها أكثر مما ينبغي. تسهِّل هذه الحدود الطبيعية من عملية تحديد المؤثرات الخاصة القديمة في هوليوود باستخدام نماذج سفن في حوض لمحاكاة الأمواج. ويمكننا أن نستشعر أن الحدود تقع في المقياس الطولي غير الصحيح بالنظر إلى «السفن». حاليًّا، تعلَّمَ صنَّاع الأفلام في هوليوود وَولنجتون ما يكفي من الرياضيات لأن يُمكِّنهم من ابتكار محاكاة حاسوبية غير حقيقية تُخفِي الحدود بصورة أفضل؛ فعلى سبيل المثال أبدى الفنان الياباني هوكساي احترامًا لهذه الحدود في لوحته الشهيرة «الموجة الكبرى» في ثلاثينيات القرن التاسع عشر. وكان علماء الفيزياء يعرفون ذلك منذ فترة أيضًا. فبينما أفسحت قصيدة دي مورجان المجال أمام استمرار توالي البراغيث «اللانهائي»، واجهَت الدوامات المتوالية في قصيدة إل إف ريتشاردسون قصورًا معيَّنًا بسبب اللزوجة، وهو المصطلح المستخدَم للإشارة إلى الاحتكاك في الموائع. كان ريتشاردسون خبيرًا في نظرية الجريان المضطرب في الموائع وكان يرصده بدقة. وذات مرة ألقى ريتشاردسون جَزرًا أبيض عند نهاية قناة كيب كود بمعدلات منتظمة، مستخدِمًا زمن وصول الجزر إلى أحد الجسور على الطرف الآخَر من القناة لقياس مدى تبدُّد المائع أثناء تدفُّقه في اتجاه التيار. وقد قام ريتشاردسون بحساب أول توقُّع رقمي لحالة الطقس (يدويًّا!) خلال الحرب العالمية الأولى.

كان ريتشاردسون أحد المنتمين إلى جماعة الكويكرز الدينية، وقد ترك الخدمة في مكتب الأرصاد الجوية البريطاني أثناء الحرب العالمية الأولى ليصبح سائق سيارة إسعاف في فرنسا، وصار ريتشاردسون لاحقًا مهتمًّا بقياس طول الحدود بين الدول بغرض اختبار نظريته القائلة بأن طول الحدود بينها يؤثِّر على احتمالية خوضها حروبًا. اكتشف ريتشاردسون أثرًا غريبًا عند قياس الحدود نفسها على خرائط مختلفة؛ إذ كانت الحدود بين إسبانيا والبرتغال أطول كثيرًا عند قياسها على خريطة البرتغال مما كانت عليه عند قياسها على خريطة إسبانيا! وبقياس طول سواحل الدول الجزرية مثل بريطانيا، وجد ريتشاردسون أن طول السواحل يزداد مع صِغَر حجم المسماك الذي كان يستخدمه أثناء سيره بطول الساحل لقياس طوله، كما رصد أيضًا علاقة غير متوقَّعة بين مساحة جزيرةٍ ما وطول محيطها حيث يختلفان عند قياسهما على مقاييس مختلفة. أوضح ريتشاردسون أن هذه الاختلافات في مقياس الطول تتبع نمطًا منتظمًا للغاية يمكن التعبير عنه من خلال رقم واحد لحد معين، وهو أُس يربط بين طول أحد المنحنيات ومقياس الطول المستخدَم في قياسه، واتباعًا لمنجزات ماندلبروت الأساسية، يُطلَق على هذا الرقم «البُعد الكسري» للحدود.

ابتكر ريتشاردسون أساليب عديدةً لحساب البُعْد الكسري للأشكال الكسرية الطبيعية. يقيس أسلوب المساحة-المحيط كيفية تغير المساحة والمحيط معًا في ظل درجات أعلى فأعلى من دقة وضوح الصورة. وبالنسبة إلى شيء محدد — مثل سحابة واحدة — تُسفِر هذه العلاقة أيضًا عن البُعْد الكسري لحدودها؛ فعندما ننظر إلى العديد من السحب «المختلفة» بدقة وضوح للصورة «متماثلة»، مثلما في صورة فوتوغرافية مأخوذة من الفضاء، تظهر علاقة مشابهة بين المساحات والمحيطات. لا نفهم لماذا تصمد علاقة المساحة-المحيط البديلة هذه في حالة مجموعات من السحب مختلفة الأحجام، وذلك بالنظر إلى أن السحب معروف عنها عدم تماثُل أشكالها على الإطلاق.

الأشكال الكسرية في فضاء الحالة

تقريبًا كل قيمة حالة أولية تقع بين صفر وواحد ستبتعد كثيرًا عن الحالة الأصلية. سنتجاهل هذه الشروط المبدئية ونركِّز على العدد اللانهائي من الشروط المبدئية التي تظل دومًا بين قيمتَي صفر وواحد. (نتجاهل التناقض الظاهري نظرًا للاستخدام الفضفاض لكلمة «لا نهائي» هنا، لكن ضع في الاعتبار تحذير نيوتن الذي قال فيه إن «المبدأ القائل بأن جميع القيم اللانهائية متساوية مبدأ يفتقر إلى الثبات والقوة».)

شكل ٥-٢: سلسلة زمنية مستقاة من: (أ) خريطة نظام الدوال المتكررة للأثلاث الوسطى التصادفية، و(ب) خريطة الخيمة ذات التضعيف الثلاثي الحتمية. يُظهِر المستطيلان السفليان ملخَّصًا لجميع النقاط التي جرى المرور عليها؛ قيم تقديرية لمجموعة خريطة كانتور للأثلاث الوسطى في كل حالة.

مثل جميع الأمور السحرية، يمكننا فهم طريقة عمل الخدعة، على الأقل بعد إجرائها: قررنا أن نقترب أكثر من نقطة ثابتة في خريطة إينو، وبالنظر إلى خواص الخريطة عن كثب جدًّا، نكتشف مقدار التقريب الواجب إجراؤه بغرض جعل التشابه الذاتي في الخريطة مدهشًا للغاية. تعتمد تفاصيل البنية المتكررة — وهي عبارة عن خط واحد سميك وخطَّين أرفع — على ما يحدث بعيدًا عن هذه النقطة، لكن إذا كانت خريطة إينو فوضويةً حقًّا وكان المسار الحاسوبي المستخدَم في صناعة هذه الصور واقعيًّا، فسيكون لدينا عنصر جذب كسري على نحوٍ طبيعي.

شكل ٥-٣: سلسلة من عمليات التكبير نحو النقطة الثابتة غير المستقرة في خريطة إينو، والمميزة بعلامة «+» عند كل عملية تكبير. يتكرر النمط نفسه مرارًا، حتى تبدأ نقاط البيانات في الاختفاء.

تعكس نظرية الجريان المضطرب التقليدية في فضاء الحالة قصيدة ريتشاردسون. كان من المعتقد أن ثَمَّةَ إمكانية تُولِّد نماذج دورية أكثر فأكثر، وأنَّ تتبُّع المجموع الخطي لجميع هذه التذبذبات كان سيتطلب فضاء حالة كثير الأبعاد للغاية؛ لذا كان معظم الفيزيائيين يتوقعون أن تتخذ عناصر جذب الجريان المضطرب شكلَ كعكة الدونات المتعددة الأبعاد، أو تتخذ رياضيًّا شكلَ الطارة. في أوائل سبعينيات القرن العشرين، كان ديفيد رويل وفلوريس تاكنس يبحثان عن بدائل للطارات الناعمة المتعددة الأبعاد، واكتشفا عناصر جذب أشكال كسرية قليلة الأبعاد؛ فوجدا أن عناصر الجذب في الأشكال الكسرية «غريبة». حاليًّا، تُستخدَم كلمة «غريبة» للإشارة إلى الشكل الهندسي لعنصر الجذب، وعلى وجه الخصوص حقيقة كونه شكلًا كسريًّا، بينما تُستخدَم كلمة «فوضى» للإشارة إلى ديناميكيات النظام، وهو ما يُعد تفرقةً مفيدة. لا يُعرَف على وجه الدقة أصل عبارة «عنصر جذب غريب»، بَيْدَ أن التعبير صار علامة ملهمة وملائمة على تلك الأشياء في الفيزياء الرياضية. بما أن النظم الهاملتونية لا تتضمن أيَّ عناصر جذب على الإطلاق، فهي لا تشتمل على أي عناصر جذب غريبة، غير أن السلاسل الزمنية الفوضوية المستقاة من النظم الهاملتونية عادةً ما تكوِّن أنماطًا معقَّدَة تنطوي على عدم تجانس حاد، وعلامات على التشابه الذاتي يُطلَق عليها «المُراكِمات الغريبة» التي تستمر طوال فترة تشغيل الحاسوب، ولا يزال المآل النهائي لهذه المراكمات غير معروف.

الأبعاد الكسرية