قياس ديناميكيات عدم اليقين

تآكل اليقين: معلومات دون ارتباط

وحدات البيانات وإنشاء المعلومات

تفضي المناقشة حتى الآن إلى رؤًى مختلفةٍ لنمو وتآكل عدم اليقين — أو إنشاء المعلومات — في أنواع النظم الديناميكية الرياضية المتعددة مثل النظم العشوائية، والنظم الرياضية الفوضوية، والنسخ الحاسوبية للنظم الرياضية الفوضوية. عادةً ما يكون تصوُّرُ تطوُّرِ حالة أحد الأنظمة في صورة شريط يمر عبر صندوق أسود، ويعتمد ما يحدث داخل الصندوق على نوع النظم الديناميكية التي نراقبها، وعند خروج الشريط من الصندوق نرى وحدات البيانات المسجلة عليه. إن مسألة إن كان الشريط خاليًا عند دخوله الصندوق، أو كانت ثَمَّةَ وحدات بيانات مسجلة عليه بالفعل؛ تفضي إلى مناقشات حامية الوطيس في غرف الاستراحة في الأبراج العاجية. ما هي الخيارات؟ إذا كانت الديناميكيات عشوائية، فإن الشريط إذَن يدخل إلى الصندوق خاليًا ويخرج مسجلًا عليه وحدات بيانات محددة على نحو عشوائي. وفي هذه الحالة، أي نمط نعتقد أننا نرصده في وحدات البيانات مع تقدم الشريط إلى الأمام عبر الصندوق هو سراب. فإذا كان النظام الديناميكي حتميًّا، فإن وحدات البيانات كانت مطبوعة بالفعل على الشريط (وخلافًا لنا، فإن شيطان لابلاس في موضعٍ يمكنه من خلاله رؤية جميع وحدات البيانات تلك). لا نستطيع أن نرى وحدات البيانات بوضوح حتى تمر عبر الصندوق، لكنها موجودة بالفعل. يُعتبر إنشاء كل وحدات البيانات تلك من معلوماتٍ شيئًا كالمعجزة من الناحيتين، ويبدو أن الأمر يتلخص في النهاية في التفضيل الشخصي، سواءٌ إذا كنت تفضِّل حدوث معجزة كبرى واحدة أو سلسلة منتظمة من المعجزات الصغيرة. في ظل النظام الحتمي تشبه الصورة توليد عدد غير محدود من وحدات البيانات مرة واحدة، وهو العدد غير النسبي الذي يُمثِّل الحالة الأولية، وفي ظل النظام العشوائي، يبدو الأمر كما لو أن وحدات البيانات الجديدة تُولَّد عند عملية تكرار. عمليًّا، يبدو يقينًا أننا نتحكم بعض الشيء في دقة قياس شيء ما، وهو ما يوحي بأن الشريط جرى تسجيله سابقًا.

لا يوجد أي شيء في تعريف أي نظام فوضوي يَحُول دون رجوع الشريط بشكل عكسي لفترة. وعندما يحدث هذا، يصبح التوقع سهلًا لفترة؛ فحيث إننا شاهدنا الشريط وهو يرجع عكسيًّا، لذا فنحن نعرف بالفعل وحدات البيانات التالية التي ستظهر عند مرور الشريط إلى الأمام مرةً أخرى. إذا ما حاولنا أن نجعل هذه الصورة تتخذ شكل نظام حسابي، فستصادفنا مشكلات؛ إذ لا يمكن أن يكون الشريط خاليًا حقيقةً قبل دخوله إلى الصندوق. ويتوجب على الحاسوب «إنشاء» وحدات البيانات الجديدة تلك وفق قاعدةٍ ما حتميةٍ عندما تنتقل البيانات إلى جهة اليسار؛ لذا فإن وحدات البيانات هذه تكون فعليًّا مسجَّلةً على الشريط قبل دخوله إلى الصندوق. الأمر الأكثر تشويقًا هو ما يحدث في منطقةٍ ما يقوم فيها الشريط بالرجوع عكسيًّا؛ حيث إن الحاسوب لا يستطيع «تذكُّر» أي وحدات للبيانات فقدها عند الانتقال إلى اليمين. في حالة خرائط الميل الثابت ننتقل دومًا إلى اليسار أو إلى اليمين، ولا يقوم الشريط بالرجوع عكسيًّا أبدًا. لا تزال المحاكاة الحاسوبية نظامًا حتميًّا، على الرغم من أن الأشرطة المختلفة التي تُولِّدها أقل ثراءً من أشرطة الخريطة الرياضية الحتمية التي تحاكيها؛ فإذا كانت الخريطة التي تجري محاكاتها تتضمن مناطق من عدم يقين متناقص، إذَن فثَمَّةَ مرحلة مؤقتة يرجع الشريط خلالها عكسيًّا، ولا يستطيع الحاسوب معرفة أي وحدات بيانات جرى تسجيلها على الشريط. عندما يمر الشريط إلى الأمام عبر الصندوق مجددًا يستخدم الحاسوب قاعدته الداخلية لإنشاء وحدات بيانات جديدة، وربما نجد «٠» و«١» مسجَّلَين على الشريط عند خروجه من الصندوق مرة ثانية! نناقش في الفصل السابع أمورًا أخرى غريبة تحدث في نماذج المحاكاة الحاسوبية للنظم الرياضية الفوضوية.

إحصائيات توقُّع القابلية للتوقُّع

بالنظر إلى أن عملية حساب آساس ليابونوف تتطلب حساب متوسطات عبر فترات زمنية غير محدودة وتحصر الانتباه في حالات عدم اليقين اللامتناهي الصغر، فإن استخدام هذا الأُس في التعريف الاصطلاحي للفوضى الرياضية يلقي هذا العبء على تحديد إن كان نظام ما فوضويًّا أم لا. الميزة هنا هي أن هذه الخواص نفسها تجعل أُس ليابونوف صورة حية للنظام الديناميكي المتضمن. يمكننا أخذ فضاء الحالة ومطه، وطيه، وليُّه، وتغيير شكله تغييرًا طفيفًا، دون أن يتغير أُس ليابونوف. يُقدِّر علماء الرياضيات هذا الاتساق أيما تقدير؛ ومن ثَمَّ تحدِّد آساس ليابونوف إن كان نظام ما يتضمن اعتمادًا حساسًا أم لا. إذا كان أُس ليابونوف الرئيسي موجبًا، إذَن يكون هناك نموٌّ «أسيٌّ في المتوسط» لحالات عدم اليقين اللامتناهي الصغر، ويُعَدُّ أُس ليابونوف الموجب شرطًا أساسيًّا للفوضى، إلا أن الخصائص نفسها التي تمنح أُس ليابونوف حيويته تجعله صعب القياس في النظم الرياضية، وربما مستحيل القياس في النظم الديناميكية الطبيعية. في الوضع المثالي، يجب أن يساعدنا ذلك على التمييز بوضوح بين الخرائط الرياضية والنظم الطبيعية (الفيزيائية).

بينما لا يوجد بديل لأُس ليابونوف الذي يتميز بجاذبيته من الناحية الرياضية، ثَمَّةَ كميات أكثر ارتباطًا لقياس القابلية للتوقُّع؛ فمعرفة متوسط الزمن الذي يستغرقه قطار للانتقال من أكسفورد إلى وسط لندن الأسبوع الماضي يرجح أن يقدم لنا فكرة حول الوقت الذي سيستغرقه القطار اليوم، أكثر من قسمة طول المسافة بين أكسفورد ولندن على متوسط سرعة جميع القطارات التي سارت عبر إنجلترا منذ بداية تسيير حركة القطارات. تُقدِّم لنا آساس ليابونوف متوسط سرعة، بينما يقدِّم لنا زمن التضاعف متوسط أزمنة. بطبيعتها، لا ترتبط آساس ليابونوف بأي توقُّع محدد.

آساس ليابونوف في الأبعاد المتعددة

إذا كانت حالة النموذج تتضمن أكثر من مركبة واحدة، إذَن يمكن أن يسهم عدم اليقين في إحدى المركبات في عدم اليقين المستقبلي في المركبات الأخرى، وهو ما يثير مجموعة جديدة كلية من الموضوعات الرياضية؛ حيث يصبح الترتيب الذي يجري ضرب المركبات معًا وفقًا له أمرًا مهمًّا. سنتجنب مبدئيًّا هذه التفصيلات المعقدة من خلال طرح أمثلة لا تختلط حالات عدم اليقين في المركبات المختلفة فيها، بَيْدَ أننا يجب ألا ننسى بأي حال من الأحوال أن هذه الأمثلة حالات خاصة جدًّا!

شكل ٦-١: رسم تخطيطي يوضِّح طريقة تطوُّر النقاط في المربع للأمام عند تكرار واحد في خريطة الخباز (إلى اليسار)، وخريطة الخباز المتمرن (إلى اليمين).

شكل ٦-٢: مجموعة من الحالات الأولية تتخذ شكل الفأر (الصورة العلوية)، وأربعة إطارات تبيِّن بالتوازي تطوُّرَ هذه المجموعة تحت خريطة الخباز (إلى اليسار)، وخريطة الخباز المتمرن الرابعة (إلى اليمين).

آساس ليابونوف الموجبة مع حالات عدم اليقين المتناقصة

ما دام عدم يقيننا أصغر من أصغر رقم يمكننا أن نتصوره، يصعُب أن يشكل عدم اليقين أي حد عملي لتوقعاتنا، وبمجرد زيادة عدم اليقين ذلك بالقدر الذي يسمح بقياسه، فلن يكون ثَمَّةَ حاجة أن يعكس تطوره آساس ليابونوف بأي طريقة من الطرق. حتى في الحالة اللامتناهية الصغر، تُبيِّن خرائط الخباز المتمرن أن آساس ليابونوف تُعَدُّ مؤشرات مضلِّلة للقابلية للتوقع؛ حيث قد يختلف مقدار زيادة عدم اليقين وفق الحالة التي يكون عليها النظام. يصبح الأمر أفضل؛ ففي نظام لورنز الكلاسيكي لعام ١٩٦٣ يمكننا إثبات أن ثَمَّةَ مناطقَ في فضاء الحالة «تنخفض» جميع حالات عدم اليقين فيها لفترة. عند إعطاء خيار حول وقت المراهنة على أحد التوقعات، فإن المراهنة على توقيت الدخول إلى هذه المنطقة يزيد من فرص فوزك. إن توقُّع سلوك النظم الفوضوية بعيد كل البُعْد عن عدم الجدوى، وربما تصبح مراهنة أحد الأشخاص — الذين يعتقدون في سذاجةٍ أن هذا التوقع مسألة لا طائل من ورائها — أمرًا يعود بالفائدة.

نُنهي هذه المناقشة حول آساس ليابونوف بكلمة تحذيرية، وهي أنه بينما ينطوي الاتجاه الذي لا يزيد فيه عدم اليقين — أو يقل — على قيمة أُس ليابونوف تساوي صفرًا، فإن العكس ليس صحيحًا؛ فلا ينطوي أُس ليابونوف الذي يساوي صفرًا على اتجاه لعدم زيادة عدم اليقين! تَذكَّر النقاش حول النمو الأسي الذي جاء في إطار مثال أرانب فيبوناتشي. حتى نمو سريع بمقدار مربع الزمن يكون أبطأ من النمو الأسي، وسيُسفِر عن أُس ليابونوف يساوي صفرًا. وهو ما يفسِّر سبب حرص علماء الرياضيات الشديد بشأن مد الحدود نحو المستقبل اللانهائي. إذا أخذنا في الاعتبار فترة زمنية طويلة لكنها محدودة، إذَن فستشير «أي» عملية زيادة على الإطلاق إلى أُس ليابونوف موجب؛ إن النمو الأسي والخطي أو حتى النمو الأبطأ من الخطي قد يُسفِر عن زيادة أكبر من واحد خلال أي فترة زمنية محددة، وسيصبح لوغاريتم أي رقم أكبر من واحد موجبًا. ومن هنا ستثبت صعوبة حساب إحصائيات الفوضى.

فهم ديناميكيات حالات عدم اليقين ذات الصلة

مثلما أشرنا آنفًا، لا يمكن أن يتسبَّب عدم يقين لا متناهي الصغر في صعوبة كبيرة لنا في التوقُّع. بمجرد إمكانية قياسه، تظهر تفاصيل حجمه تمامًا والنقطة التي تبدأ فيها الحالة في فضاء الحالة في إحداث التأثير. حتى الآن، لم يكتشف علماء الرياضيات أيَّ أسلوبٍ متسق لتتبع حالات عدم اليقين الصغيرة هذه ولكنها ملحوظة، والتي — بالطبع — ترتبط ارتباطًا كبيرًا بالتوقع في العالم الحقيقي. أفضل ما نستطيع أن نصنعه هو أخذ عينة من الحالات الأولية، تُسمَّى مجموعة، ونجعل هذه المجموعة متسقة مع ديناميكيات نموذجنا والتشويش الموجود في ملاحظاتنا، ثم نرى كيف تتبدد المجموعة في المستقبل. يُعَدُّ هذا كافيًا بالنسبة إلى شيطان القرن الحادي والعشرين؛ ففي ظل نموذجه المثالي للنظام وللتشويش، وملاحظاته المشوشة للحالات السابقة التي ترجع إلى الماضي البعيد، وقدرته الحاسوبية التي لا نهاية لها، فإن مجموعته ستعكس بدقةٍ احتماليةَ الأحداث المستقبلية. إذا أشار ربع عدد مجموعته إلى احتمال هطول أمطار غدًا، فثَمَّةَ فرصة إذَن بنسبة ٢٥٪ لسقوط أمطار في الغد، في ظل الملاحظات المشوشة المتوافرة لديه. يزيد تقليص التشويش من القدرة على تحديد ما هو مرجح الحدوث، ولا تشكِّل الفوضى عائقًا حقيقيًّا أمامه، وهو ليس على يقين من الحاضر، ولكنه يستطيع رسم خارطة لعدم اليقين ذلك في المستقبل. مَن عساه أن يطلب ما هو أكثر من ذلك؟ غير أن نماذجنا غير مثالية ومواردنا الحاسوبية محدودة. سنعقد في الفصل التاسع مقارنة بين عدم الملاءمة التي يجب أن نتعامل معها وعدم اليقين الذي يمكنه احتماله.

يتضمن المجال اللاخطي أكثر من مجرد فوضى. يجب ألا يكون الأمر بالضرورة أنه كلما كان عدم اليقين أقل، كان سلوكه أكثر انتظامًا؛ فثَمَّةَ أشياء أخرى أسوأ من الفوضى. وربما يكون الأمر أنه كلما انخفض عدم اليقين، زاد بنسبة أسرع، وهو ما يُسفِر عن زيادة هائلة في حالات عدم اليقين اللامتناهي الصغر وصولًا إلى نِسَبٍ محدودة، فقط بعد فترة زمنية محدودة. وهو ليس بالأمر الغريب مثلما يبدو؛ حيث يظل سؤالًا عويصًا ما إذا كانت المعادلات الأساسية في ديناميكا الموائع تُعبِّر عن هذا السلوك الأسوأ من الفوضى.