إيزينج وذوبان ثلوج القطب الشمالي

لم يكن عمل إيزينج متعلقًا بالثلج. لقد كان متعلقًا بشيء مختلف تمامًا. لكن نموذجه طُبق على ذوبان ثلوج القطب الشمالي.

إن الكوكب آخذ في الاحترار، وهذا أمر خطير، وإنه خطؤنا. نحن نعلم ذلك؛ لأن الآلاف من علماء المناخ الأكْفَاء، الذين نفذوا مئات النماذج الرياضية، قد توقعوا هذا منذ عدة عقود، وتؤكد الملاحظات التي أجراها خبراء الأرصاد الجوية المتَّسِمون بالقدر نفسه من الكفاءة معظم الاستنتاجات المهمة. يمكنني أن أقضي بقية هذا الكتاب في الحديث حول مُروِّجي الأخبار المزيفة الذين يحاولون إقناعنا بأنه لا يوجد ما يدعو للقلق، وأقارن بين تفاهاتهم والأدلة المتزايدة على حدوث التغيُّر المناخي الذي تسبب فيه الإنسان، مع شرح نقاط التفاصيل الدقيقة الكثيرة التي لا تزال غير مؤكدة، ولكن، كما يقول آرلو جاثري في منتصف أغنية «مطعم أليس»، هذا ليس ما جئت لأخبركم به. فكثير من الناس يفعلون ذلك أفضل مني بكثير، ويحاول كثير من الآخرين جاهدين إيقافهم من أجل الحفاظ على ثروات مجموعة قليلة من الأشخاص فاحشي الثراء.

يُعد تغيُّر المناخ إحصائيًّا بطبيعته، لذا يمكن تفسير أي حادثة معينة على أنها واحدة من تلك الأشياء الغريبة التي تحدث من وقت لآخر. إذا كانت عملة معدنية ما منحازة عند رميها لإعطاء وجه الصورة خلال ثلاثة أرباع الوقت، فإن أي رمية فردية تُعطي صورة أو كتابة، تمامًا مثل أي عملة غير منحازة. لذا رمية واحدة لا يمكن أن تكشف الفرق. وحتى تتابع الرميات، الذي يُظهر الصورة ثلاث مرات أو أربعًا متتالية، يمكن أحيانًا أن يحدث بعملة عادلة. ولكن إذا نتج عن ١٠٠ رمية ظهور الصورة ٨٠ مرة وظهور الكتابة ٢٠ مرة، فمن الواضح أنها ليست عملة عادلة.

المناخ مشابه لهذا. إنه يختلف عن الطقس الذي يتغير من ساعة لأخرى ومن يوم لآخر. المناخ عبارة عن متوسط متحرك لمدة ثلاثين عامًا. والمناخ العالمي يمثل متوسط ذلك على الكوكب بأسره أيضًا. يتطلب الأمر تغييرات هائلة طويلة الأجل على نطاق الكوكب لتغيير المناخ. ومع ذلك، فإن سجلات درجات الحرارة العالمية عالية الجودة تعود إلى ما يقرب من ١٧٠ عامًا، وقد جاء ١٧ من الثمانية عشر عامًا الأكثر سخونة بعد عام ٢٠٠٠. وهذا ليس من قبيل الصدفة.

إن الطبيعة الإحصائية للمناخات تجعل من السهل على المنكرين زيادة تعقيد الأمور. ونظرًا لعدم قدرتهم على تسريع وتيرة كوكب الأرض، كان على علماء المناخ الاعتماد على النماذج الرياضية للتنبؤ بالمستقبل، وتقدير مدى سرعة تغيُّر المناخ، وتحديد الآثار التي قد تُحدثها هذه التغييرات، ودراسة ما يمكن أن تفعله البشرية حيال ذلك إذا اتحدت. كانت النماذج المبكرة بدائية نسبيًّا، مما فتح الباب للاعتراضات من أي شخص لم تُعجبه التنبُّؤات، على الرغم من أنه عند تأمُّل الماضي يتضح أنه حتى هذه النماذج توصلت إلى معدل ارتفاع درجة الحرارة العالمية بدقة عالية، إلى جانب أشياء أخرى كثيرة. وعلى مر السنين جرى تنقيحها، وأصبحت درجات الحرارة المتوقعة الآن تطابق الواقع كثيرًا على مدى نصف القرن الماضي. إن مقدار الثلج الذي سيذوب نتيجة لذلك ليس مؤكدًا، ويبدو أنه قد تم التقليل من شأنه. والآليات ذات الصلة ليست مفهومة جيدًا، كما أن العلماء كانوا يتعرَّضون لضغوط طوال عقود حتى لا يظهروا بمظهر المبالغين في القلق.

حتى الآن، ركزت على تأثير الرياضيات، التي تعمل خلف الكواليس دون أن تحصل على ما تستحقه من التقدير، على حياتنا اليومية. ولم أتناول عمدًا الكثير من تطبيقاتها المهمة في مجال العلوم، لا سيما العلوم النظرية. لكن تغيُّر المناخ يؤثر بالفعل على حياتنا اليومية؛ اسأل الأستراليين الذين اضطروا لمواجهة حرائق الغابات غير المسبوقة في أوائل عام ٢٠٢٠. انظر إلى موجات الحر القياسية في جميع أنحاء العالم، والفيضانات التي كانت تحدث كل مائة عام وأصبحت تحدث الآن كل خمس سنوات أو عشر. انظر، وهو الأمر الغريب بالقدر الكافي، إلى النوبات العرضية للطقس الشديد البرودة. من غير المنطقي بعض الشيء أن الاحترار العالمي يمكن أن يتسبب في برودة بعض الأماكن أكثر بكثير من المعتاد، لكن التفسير بسيط. فالاحترار العالمي هو عبارة عن متوسط كمية الطاقة الحرارية التي تدخل الغلاف الجوي والمحيطات والأرض. لم يقل أحد إن كل مكان سوف يصبح حارًّا على نحو منتظم.

ومع ارتفاع إجمالي الطاقة الحرارية للكوكب، تزداد التقلبات حول المعدل المتوسط، ويمكن أن تصبح هذه التقلبات أكثر برودة من المعتاد، وكذلك أكثر حرارة. النقطة المهمة هي أن تلك الأكثر سخونة تسود في المجمل. إن نوبة البرد المفاجئة في مكان ما ليست دليلًا على أن الاحترار العالمي أكذوبة. وبالمثل، إذا كانت بلدتك أبرد بعشر درجات عن المعتاد، لكن إحدى عشرة بلدة في مكان آخر أكثر حرارة بدرجة واحدة، فقد ارتفع متوسط درجة الحرارة العالمية. وإذا كانت بلدتك أبرد بعشر درجات عن المعتاد اليوم، ولكن أكثر حرارة بدرجة واحدة لمدة أحد عشر يومًا متفرقة في وقت لاحق، فقد ارتفع متوسط درجة الحرارة العالمية، ولم يتغير أي شيء آخر. في الواقع، لقد ارتفع أيضًا متوسط درجة الحرارة في بلدتك.

تكمن المشكلة في أننا نلاحظ نوبة البرد المفاجئ، لكن التأثيرات التعويضية يمكن أن تكون صغيرة جدًّا بحيث لا تمسُّ وعيَنا، أو مبعثرة جدًّا، أو تحدث في مكان آخر. لقد حدثت نوبات البرد غير المعتادة التي ضربت أوروبا وأمريكا الشمالية في السنوات الأخيرة لأن التيار الدافق دَفَع الهواء البارد من القطب الشمالي جنوبًا أكثر من المعتاد. لذا فإن الهواء البارد الذي كان يدور عادة حول الغطاء الثلجي الشمالي انتهى به المطاف فوق المحيطات، وجرينلاند، وشمال كندا وروسيا. لماذا جاء كل هذا الهواء البارد جنوبًا؟ لأن الهواء في المناطق القطبية كان أكثر سخونة من المعتاد، مما أدى إلى إزاحة الهواء البارد. بشكل عام، أصبحت المنطقة المتأثِّرة بأكملها أكثر دفئًا، في المتوسط.

هناك ما يكفي من الجوانب الرياضية في نمذجة المناخ بحيث يمكن تخصيص كتاب بأكمله لها، لكني لا أريد أن أخبركم عن ذلك. فمثل آرلو، أنا فقط أُجهز المشهد لما أريد أن أخبركم به.

•••

تذوب الثلوج في جميع أنحاء العالم. في عدد قليل من الأماكن غير المعتادة، تزيد كمية الثلوج، ولكنها تتناقص بسرعة في كل الأماكن الأخرى. تتراجع الأنهار الثلجية، ويتقلَّص الغطاءان الثلجيان لكِلا القطبين. وتهدد هذه الآثار إمدادات المياه لمليارين من البشر، وسيؤدي ارتفاع مستوى سطح البحر الناتج عن ذلك إلى إغراق منازل نصف مليار شخص آخر، ما لم نُوقِف حدوث ذلك. لذا أصبحت الجوانب الفيزيائية والرياضية ذات الصلة بذَوَبان الثلوج فجأة ذات أهمية حيوية، على المستوى الشخصي، للجميع تقريبًا.

يعرف العلماء الكثير عن ذوبان الثلج. وإلى جانب غليان الماء وتحوُّله إلى بخار، فهو مثال كلاسيكي على التحول الطَّوري، وهو تغيُّر في حالة المادة. ويمكن أن يوجد الماء في عدد من الحالات المختلفة. يمكن أن يكون صلبًا أو سائلًا أو غازيًّا. وتعتمد الحالة التي يكون عليها بشكل أساسي على درجة الحرارة والضغط. عند الضغط الجوي، يكون الماء البارد بدرجة كافية صلبًا؛ أي ثلجًا. وعندما يسخن، ويتجاوز نقطة الذَّوَبان، يتحول إلى سائل؛ أي ماء. سخنه أكثر قليلًا، إلى نقطة الغليان، وسيتحول إلى غاز: بخار. حاليًّا، هناك ١٨ طَورًا مختلفًا من الثلج معروف للعلم، آخرها، «الثلج المربع»، الذي اكتُشف في عام ٢٠١٤. وثلاثة من هذه الأطوار تنشأ عند الضغط العادي؛ ويتطلَّب الباقي ضغطًا أعلى بكثير.

يأتي معظم ما هو معروف عن الثلج من التجارب المعملية على كميات صغيرة نسبيًّا منه. ما نحتاج إلى معرفته بشكل عاجل حول ذَوَبان الثلج اليوم له صلة بكميات كبيرة للغاية من الثلج في البيئة الطبيعية. هناك طريقتان متشابكتان لمعرفة ذلك: مراقبة وقياس ما يحدث، وبناء نماذج نظرية للمبادئ الفيزيائية الأساسية المتضمَّنة. ومفتاح الفهم الحقيقي يكمن في الجمع بين الاثنين.

من العلامات التي تشير إلى ذوبان الثلج القطبي، وخاصة الثلج البحري، تكوُّن البِرَك الذائبة. يبدأ سطح الثلج بالذوبان، وتعكر البُرَيكات الصغيرة الداكنة البياض النقي للثلج، أو غالبًا اللون شبه الرمادي النقي الناتج عن رواسب الغبار. والبُريكات عبارة عن ماء سائل، وعلى عكس الثلج، فهي داكنة اللون، لذا فهي تمتص ضوء الشمس بدلًا من عكسه. وتعمل الأشعة تحت الحمراء على وجه الخصوص على تدفئة البريكات بشكل أسرع مما لو كانت لا تزال ثلجية، لذلك يزداد حجم البريكات. وعندما تكبر بما يكفي، تندمج لتشكل بريكات أكبر، وهي تكون كبيرة بما يكفي لكي تُعتبر بِرَكًا. تكون هذه بِركًا ذائبة، وهي تصنع أشكالًا معقَّدة ومركبة؛ كُتلًا مرتبطة بخيوط رفيعة، تتفرع وتنتشر مثل بقع أحد الفطريات الغريبة.

تُعتبر فيزياء نمو البرك الذائبة إحدى السمات الحيوية لمعرفة كيف يتصرف الثلج البحري عندما يصبح أكثر دفئًا. وهذا بالضبط ما يحدث، خاصة للثلج البحري في القطب الشمالي. ما سيحدث للثلج البحري مع ارتفاع درجة حرارة الكوكب هو جزء حيوي من مشكلة فهم تأثير تغير المناخ. لذلك من الطبيعي أن يستكشف علماء الرياضيات نماذج ذَوَبان الثلج بهدف سَبْر بعض أسراره. وهذا ما يفعلونه. وهو ليس بالأمر المفاجئ. لكن المفاجأة هي أن أحد النماذج التي تُدرس الآن ليس عن ذَوَبان الثلج على الإطلاق. إنه عن المغناطيسية، ويعود تاريخه إلى عام ١٩٢٠. إن المواد المغناطيسية تخضع لأنواعها الخاصة من التحوُّل الطَّوري، وعلى وجه التحديد تفقد مغناطيسيتها الكامنة إذا ارتفعت درجة حرارتها بشدة.

لطالما كان هذا النموذج بالتحديد تجسيدًا بارزًا لعمليات التحول الطَّوري. وقد ابتكره الفيزيائي الألماني فيلهلم لينس، لذلك يسميه الجميع بالطبع نموذج إيزينج؛ لأن علماء الرياضيات والفيزيائيين يسمون الأشياء دائمًا باسم الشخص الأكثر ارتباطًا بها في أذهانهم، الذي غالبًا ما لا يكون المبتكِر الفعلي. كان لدى لينس طالب، اسمه إرنست إيزينج، وقد حدد له مشكلة بحثية ليحلها من أجل نيل درجة الدكتوراه: حل النموذج وإثبات أنه يحتوي على تحول طَوري مغناطيسي. وقد حله إيزينج، وأثبت أنه لا يحتوي على هذا التحول. ومع ذلك، كان بحثه السبب في ظهور مجال كامل للفيزياء الرياضية، وقد أثرى بشكل كبير فَهمنا للمَغَانط.

وأثرى الآن فهمنا لذَوَبان الثلج.

•••

إن المغانط مألوفة جدًّا في الوقت الحاضر، لدرجة أننا نادرًا ما نتساءل عن كيفية عملها. إننا نستخدمها في لصق أشكال الحيوانات البلاستيكية الصغيرة على باب الثلاجة (حسنًا، نحن في منزلنا نفعل ذلك)، وتثبيت الأغطية على هواتفنا المحمولة، و(باستخدام مغانط كبيرة نوعًا ما) اكتشاف جُسيم بوزون هيجز الشهير، الذي يعطي كتلة للجسيمات دون الذَّرِّية. وتشمل الاستخدامات اليومية محركات الأقراص الصلبة الخاصة بالكمبيوتر والمحركات الكهربائية، مثل ذلك الذي يرفع أو يخفض نافذة سيارتك تلقائيًّا، أو الذي يولد كميات تقدر بالجيجاوات من الطاقة الكهربائية. وعلى الرغم من وجود المغانط في كل مكان، فإنها غامضة للغاية. إنها تتجاذب أو تتنافر من خلال مجال قوة غير مرئي من نوع ما. وأبسط المغانط القضيبية وأكثرها شيوعًا لها قطبان، واحد بالقرب من كل طرف، وهما يُسمَّيان القطب الشمالي والقطب الجنوبي. تنجذب الأقطاب الشمالية والجنوبية بعضها لبعض، لكن الأقطاب المتشابهة سواء الشمالية معًا أو الجنوبية معًا تتنافر. وإذا حاولت دفع قطبين متشابهين لمغناطيسين صغيرين قويَّين بالقرب من بعضهما، فيمكنك أن تشعر بهما وهما يتراجعان للخلف. وإذا حاولت إبعاد قطبين غير متشابهين عن بعضهما، فإنك تشعر أنهما يحاولان الالتصاق معًا. إن لكلٍّ منهما تأثيرًا على الآخر حتى عندما لا يكونان متلامسَين؛ أي، «فعل عن بُعد». وباستخدام المغانط، يمكنك جعل الأشياء ترتفع في الهواء، حتى الأشياء الكبيرة مثل القطارات. الغريب أن مجال القوة هذا غير مرئي. فلا يمكنك رؤية شيء.

عرَف البشر المغانط منذ ٢٥٠٠ عام على الأقل. وهي توجد بشكل طبيعي في معدِن الماجنيتيت، وهو أحد أكاسيد الحديد. ويمكن لكتلة صغيرة من الماجنيتيت، تُعرف باسم حجر المغناطيس، جذب الأجسام الحديدية، ويمكنك تحويلها إلى بوصلة بتعليقها على خيط أو جعلها تطفو فوق الماء على قطعة من الخشب. لقد استُخدم حجر المغناطيس بشكل روتيني في الملاحة منذ القرن الثاني عشر الميلادي تقريبًا. إن موادَّ مثل هذه، حيث يمكن تزويدها بمجال مغناطيسي دائم، توصف بأنها فرومغناطيسية. إن معظمها عبارة عن سبائك حديد ونيكل وكوبالت أو أي منها. تحافظ بعض المواد على مغناطيسيتها على نحو دائم تقريبًا، بينما يمكن مغنطة البعض الآخر بشكل مؤقت، لكنها سرعان ما تفقد مغناطيسيتها مرة أخرى.

لقد بدأ العلماء في الاهتمام الجاد بالمغانط في عام ١٨٢٠، عندما اكتشف الفيزيائي الدنماركي هانس كريستيان أورستد وجود صلة بين المغناطيسية والكهرباء. على وجه التحديد، يمكن للتيار الكهربائي أن يُنشئ مجالًا مغناطيسيًّا. وقد صنع العالم البريطاني ويليام ستيرجن مغناطيسًا كهربائيًّا في عام ١٨٢٤. إن تاريخ الكهرومغناطيسية طويل للغاية بحيث يصعب وصفه بالتفصيل، لكنَّ تقدُّمًا رئيسيًّا جاء من تجارب مايكل فاراداي. وأدى ذلك إلى قيام جيمس كلارك ماكسويل بصياغة معادلات رياضية للمجالين الكهربائي والمغناطيسي والعلاقة بينهما. وتخبرنا المعادلات، على نحو دقيق، أن الكهرباء المتحركة تُولِّد مغناطيسية، والمغناطيسية المتحركة تُولِّد كهرباء. وتفاعلهما يُنتج موجات كهرومغناطيسية تنتقل بسرعة الضوء. وفي الواقع، الضوء هو موجة من هذا النوع. وكذلك الموجات اللاسلكية وأشعة إكس وموجات الميكروويف.

إحدى السمات المحيرة للمواد الفرومغناطيسية هي كيفية استجابتها عند تسخينها. هناك درجة حرارة حرجة تُسمى درجة حرارة كوري. إذا سخنت مادة فرومغناطيسية لأعلى من درجة حرارة كوري الخاصة به، فإن مجاله المغناطيسي يختفي. ليس هذا فقط: التحوُّل يكون مفاجئًا. ومع اقتراب درجة الحرارة من درجة حرارة كوري، يبدأ المجال المغناطيسي في التضاؤل بشكل كبير، ويقل بشكل أسرع كلما اقتربت من درجة حرارة كوري. يطلق الفيزيائيون على هذا النوع من السلوك تحولًا طوريًّا من الرتبة الثانية. السؤال المهم هنا هو: لماذا يحدث ذلك؟

جاء أحد مفاتيح الحل المهمة مع اكتشاف الإلكترون، وهو جسيم دون ذَرِّي يحمل شحنة كهربائية صغيرة جدًّا. والتيار الكهربائي عبارة عن حشد من الإلكترونات المتحركة. وتحتوي الذَّرَّات على نواة مكونة من البروتونات والنيوترونات، وتحيط بها سحابة من الإلكترونات. يحدد عددُ هذه الإلكترونات وترتيبها الخصائص الكيميائية للذَّرَّة. وللإلكترونات أيضًا خاصية تُسمى الدَّوران، وهي خاصية كَمِّية والإلكترونات لا تدور بالفعل، لكن لتلك الخاصية الكثير من القواسم المشتركة مع الزَّخم الزاوي، وهو اسم رياضي منمَّق لإحدى سمات الأجسام الدوَّارة في الفيزياء الكلاسيكية. يخبرنا ذلك بمدى قوة الدوران والاتجاه الذي يحدث فيه؛ أي المحور الذي يدور حوله الجسم.

اكتشف الفيزيائيون تجريبيًّا أن دوران الإلكترون يمنحه مجالًا مغناطيسيًّا. ووفقًا لطبيعة ميكانيكا الكم الغريبة، فإن دوران الإلكترون، المقيس حول أي محور محدد، يكون دائمًا إما «لأعلى»، وإما «لأسفل». تناظر هاتان الحالتان تقريبًا مغناطيسًا صغيرًا قطبه الشمالي في الأعلى وقطبه الجنوبي في الأسفل أو العكس. وقبل أن نقيس الدوران، يمكن أن يكون أي مزيج من الدوران لأعلى ولأسفل في الوقت نفسه، ويمكن النظر إليه على أنه دوران حول محور مختلف تمامًا، ولكن عندما تلاحظ الدوران حول المحور الذي اخترته، فإنه دائمًا ما يظهر على أنه لأعلى. أو لأسفل. أي أيٌّ منهما. هذا هو الشيء الغريب، وهو مختلف تمامًا عن الدوران في الفيزياء الكلاسيكية.

إن الربط بين دوران إلكترون ومجاله المغناطيسي ساعد كثيرًا في تفسير ليس فقط سبب فقدان المغناطيس لمغناطيسيته إذا ارتفعت درجة حرارته للغاية، ولكن أيضًا كيف يفقدها. فقبل أن تصبح المادة الفرومغناطيسية ممغنطة، فإن دورانات إلكتروناتها تتحاذى على نحو عشوائي، بحيث تميل مجالاتها المغناطيسية الصغيرة إلى أن يُلغي بعضها البعض. وعندما تصبح المادة ممغنطة، إما عن طريق مغناطيس كهربائي أو تقارب مع مغناطيس دائم آخر، تتحاذى دورانات إلكتروناتها. وهي عندئذٍ يقوي بعضها البعض، مما يخلق مجالًا مغناطيسيًّا يمكن اكتشافه على نطاق واسع. وإذا تُرك على هذه الحالة، فإن هذا الترتيب لدورانات الإلكترونات يستمر، ويصبح لدينا مغناطيس دائم.

ولكن إذا سخنَّا المادة، فإن طاقة الحرارة تبدأ في تدافع الإلكترونات، وتعكس اتجاه بعض دوراناتها. وتضعف المجالات المغناطيسية التي تشير في اتجاهات مختلفة بعضها عن البعض، ومن ثَم تنخفض القوة الإجمالية للمجال المغناطيسي. وهذا يفسر فقدان المغناطيسية بطريقة نوعية، لكنه لا يفسر سبب وجود مثل هذا التحول الحاد في الطَّور، أو سبب حدوثه دائمًا عند درجة حرارة معينة.

وهنا يأتي دور لينس. لقد ابتكر نموذجًا رياضيًّا بسيطًا: مصفوفة من الإلكترونات، يؤثر كل منها على جيرانه وَفقًا لدوراناتها النسبية. في النموذج، يقع كل إلكترون في نقطة ثابتة في الفراغ، عادةً عند نقطة في شبكة منتظمة، مثل مربعات رقعة شطرنج كبيرة. ويمكن أن يوجد كل إلكترون في النموذج في إحدى حالتين: +١ (الدوران لأعلى) أو −١ (الدوران لأسفل). في أي لحظة، تُغطَّى الشبكة بنمط من أرقام +١ و−١. وإذا استخدمنا تشبيه رقعة الشطرنج، يكون كل مربع إما أسود (الدوران لأعلى) وإما أبيض (الدوران لأسفل). ويمكن أن يحدث أي نمط من المربعات السوداء والبيضاء، على الأقل مبدئيًّا، لأن الحالات الكمية تكون عشوائية إلى حد ما، لكن بعض الأنماط يكون احتمال وجودها أكثر من غيرها.

إن طلاب الدكتوراه مفيدون حقًّا في إجراء العمليات الحسابية أو التجارب التي يفضل البروفيسور المشرف عليهم تجنُّبها، لذلك طلب لينس من إيزينج أن يحل النموذج. ما تعنيه كلمة «حل» هنا دقيق. ليس للأمر صلة بديناميكا كيفية عكس الدَّوَرانات أو بالأنماط الفردية. وإنما يعني: احسب التوزيع الاحتمالي لجميع الأنماط الممكنة، وكيف يعتمد هذا التوزيع على درجة الحرارة وأي مجال مغناطيسي خارجي. والتوزيع الاحتمالي هو أداة رياضية — غالبًا صيغة — تخبرنا في هذه الحالة بمدى احتمالية أي نمط محدَّد.

لقد طلب منك البروفيسور المشرف أمرًا ما، وإذا كنت ترغب في الحصول على درجة الدكتوراه، فعليك أن تنفذ أوامره. أو، على الأقل، أن تبذل قصارى جهدك؛ لأن المشرفين أحيانًا يكلفون الطلاب بالتعامل مع مشكلات صعبة للغاية. في نهاية الأمر، إن السبب في مطالبة الطالب بحل المشكلة هو أن المشرف لا يعرف الإجابة، وغالبًا ما لا تكون لديه أي فكرة، بخلاف شعور غامض، عن مدى صعوبة العثور عليها.

ومن ثَم شرع إيزينج بجدية في مهمة إيجاد حل لنموذج لينز.

•••

هناك بعض الحِيَل القياسية التي يعرفها المشرفون على رسائل الدكتوراه ويمكنهم اقتراحها على طلابهم. ويكتشف الطلاب المتميزون حقًّا هذه الأشياء بأنفسهم، جنبًا إلى جنب مع أفكار لم تخطر قط ببال المشرف. إحداها تكون غريبة ولكنها صحيحة بشكل عام: إذا كنت ترغب في العمل مع عدد كبير جدًّا، فسيصبح كل شيء أسهل إذا جعلته غير منتهٍ. على سبيل المثال، إذا كنت تريد فَهم نموذج إيزينج لرقعة شطرنج كبيرة ولكنها منتهية، وهي تمثل قطعة كبيرة من مادة فرومغناطيسية ذات حجم واقعي، فمن الملائم رياضيًّا أكثر العمل مع رقعة شطرنج كبيرة على نحو غير منتهٍ. السبب هو أن ألواح الشطرنج المنتهية لها حواف، وهذه تميل إلى تعقيد العمليات الحسابية؛ لأن المربعات عند الحافة تختلف عن تلك الموجودة في المنتصف. يؤدي هذا إلى تدمير تناسق ترتيب الإلكترونات، ويميل التناسق إلى تسهيل العمليات الحسابية. لكن رقعة الشطرنج غير المنتهية ليست لها حواف.

تتوافق صورة رقعة الشطرنج مع ما يسمِّيه علماء الرياضيات والفيزياء بالشبكة ثنائية الأبعاد. تعني كلمة «شبكة» أن الوحدات الأساسية، مربعات رقعة الشطرنج، مرتبة بطريقة منتظمة جدًّا؛ هنا في صفوف وأعمدة، كلها في محاذاة تامَّة مع جيرانها. ويمكن أن يكون للشبكات الرياضية أي عدد من الأبعاد، في حين أن تلك المادية عادةً ما يكون لها بعد واحد أو اثنان أو ثلاثة. والمثال الأكثر صلة بالفيزياء هو الشبكة ثلاثية الأبعاد، التي هي عبارة عن مصفوفة غير منتهية من المكعبات المتشابهة، المكدَّسة معًا بدقة مثل الصناديق المتطابقة في أحد المخازن. في هذه الحالة، تملأ الإلكترونات منطقة من الفراغ، مثل الذرات في بلورة ذات تناسق مُكَعَّبي، مثل الملح.

يفضل علماء الرياضيات والفيزياء الرياضية كثيرًا البدء بنموذج أبسط ولكن أقل واقعية: شبكة أحادية البُعد، حيث تُرتَّب مواقع الإلكترونات في خط مستقيم على مسافات منتظمة، مثل الأعداد الصحيحة على طول خط الأعداد. إنه ليس ماديًّا للغاية، ولكن جيد لتطوير الأفكار في أبسط الإعدادات ذات الصلة. ومع زيادة أبعاد الشبكة، تزيد التعقيدات الرياضية. على سبيل المثال، هناك نوع واحد من الشبكات البِلَّورية على خط ما، و١٧ نوعًا في المستوى، و٢٣٠ نوعًا في الفراغ الثلاثي الأبعاد. لذلك أسند لينس لتلميذه مشكلة اكتشاف كيف تتصرف مثل هذه النماذج، وكان لديه الحس السليم لإخباره بالتركيز على الشبكة أحادية البعد. وقد حقق الطالب تقدُّمًا في دراسة جميع هذه النماذج كان كافيًا لكي تُسمى اليوم نماذج إيزينج.

على الرغم من أن نموذج إيزينج عن المغناطيسية، فإن هيكله وطريقة تفكيرنا فيه ينتميان إلى الديناميكا الحرارية. لقد نشأ هذا المجال في الفيزياء الكلاسيكية، حيث كانت ذات صلة بكميات مثل درجة الحرارة والضغط في الغازات. وتقريبًا في عام ١٩٠٥، عندما اقتنع الفيزيائيون أخيرًا بأن الذرات موجودة، وأنها تتحد لتكوين جزيئات، أدركوا أن متغيرات مثل درجة الحرارة والضغط هي متوسطات إحصائية. إنها كميات «ماكروسكوبية» يمكننا قياسها بسهولة، ظهرت بسبب أحداث تقع على مقياس «ميكروسكوبي» أصغر بكثير. وبالمناسبة، فهي لا يمكن رؤيتها باستخدام الميكروسكوب، على الرغم من وجود ميكروسكوبات حاليًّا يمكنها تصوير الذَّرَّات الفردية. وتعمل هذه فقط عندما لا تتحرك الذَّرَّة. في أي غاز، يتطاير عدد هائل من الجُزَيئات، وأحيانًا تتصادم وترتد عن بعضها. وتجعلها الارتدادات تتحرك على نحو عشوائي.

إن الحرارة هي شكل من أشكال الطاقة، تسببها حركة الجزيئات: كلما زادت سرعة تحركها، زادت سخونة الغاز، وارتفعت درجة الحرارة، التي تختلف عن الحرارة؛ فهي مقياس لنوعية الحرارة، وليس كميتها. وتوجد علاقات رياضية بين مواضع وسرعات الجزيئات والمتوسطات الديناميكية الحرارية. هذه العلاقة هي موضوع مجال يُسمَّى الميكانيكا الإحصائية، وهي تسعى إلى حساب المتغيرات الماكروسكوبية بِناءً على المتغيرات الميكروسكوبية، مع التركيز بشكل خاص على تحوُّلات الطَّور. على سبيل المثال، ماذا عن سلوك جزيئات الماء الذي يتغير عندما يذوب الثَّلج؟ وما علاقة درجة حرارة المادة به؟

•••

كانت مشكلة إيزينج مشابهة، ولكن بدلًا من تحوُّل جُزيئات الماء والثلج إلى ماء مع ارتفاع درجة الحرارة، كان يحلل دَوَرانات الإلكترونات والمغانط التي تفقد مغناطيسيتها عندما تصبح أكثر سخونة. كان لينس قد أسس نموذجه — الذي نسميه الآن نموذج إيزينج — بحيث يكون بسيطًا قدر الإمكان. وكما هو معروف في الرياضيات، قد يكون النموذج بسيطًا، لكن حله ليس كذلك.

لنتذكر أن «حل» نموذج إيزينج يعني حساب كيف تتغير السمات الإحصائية لمجموعة مغانط صغيرة مع درجة الحرارة. ويتلخص هذا في إيجاد الطاقة الإجمالية للنظام، وهذا يعتمد على نمط المغناطيسية؛ عدد وترتيب الدورانات لأعلى ولأسفل؛ المربعات السوداء والبيضاء في رقعة الشطرنج. وتُفضِّل الأنظمة الفيزيائية اتخاذ الحالات التي لها أقل طاقة ممكنة. لهذا السبب، على سبيل المثال، سقطت تفاحة نيوتن الأسطورية؛ فقد تقلَّصت طاقة وضع الجاذبية الخاصة بها بينما كانت تسقط نحو الأرض. لقد تمثلت عبقرية نيوتن في إدراك أن المنطق نفسه ينطبق على القمر، الذي يتساقط بشكل دائم، لكنه لا يصطدم بالأرض لأنه يتحرك أيضًا بشكل جانبي. وبإجراء العمليات الحسابية الصحيحة، أظهر أن قوة الجاذبية نفسها تفسر كلتا الحركتين من الناحية الكمية.

على أي حال، كل المغانط الصغيرة — الإلكترونات مع اتجاهات دورانها — تحاول أن تجعل طاقتها الكلية صغيرة قدر الإمكان. لكن كيفية فعلها لذلك، والحالة التي تتخذها، تعتمدان على درجة حرارة المادة. على المستوى الميكروسكوبي، الحرارة هي شكل من أشكال الطاقة التي تجعل الجُزَيئات والإلكترونات تتدافع بشكل عشوائي. كلما زادت سخونة المادة، زاد تدافعها. في المغناطيس، يتغير النمط الدقيق للدورانات باستمرار بسبب التدافع العشوائي، ولهذا السبب يؤدي «حل» النموذج إلى توزيع احتمالي إحصائي، وليس نمطًا محددًا من الدورانات. ومع ذلك، فإن الأنماط الأكثر احتمالًا تبدو جميعًا متشابهة إلى حدٍّ ما، لذلك يمكننا أن نسأل: كيف يبدو النمط النموذجي عند أي درجة حرارة محددة؟

إن الجزء المهم من نموذج إيزينج هو قاعدة رياضية لكيفية تفاعل الإلكترونات، التي تحدد طاقة أي نمط. ويقوم النموذج بافتراض مبسط مفاده أن الإلكترونات تتفاعل فقط مع جيرانها المباشرين. في أي تفاعل فرومغناطيسي، يكون إسهام الطاقة هذا سالبًا عندما يكون للإلكترونات المتجاورة الدوران نفسه. أما في الأنظمة الفرومغناطيسية المضادة يكون موجبًا عندما يكون للإلكترونات المتجاورة الدوران نفسه. هناك أيضًا إسهام آخر في الطاقة ناتج عن تفاعل كل إلكترون مع مجال مغناطيسي خارجي. في النماذج المبسطة، يكون لكل قُوى التفاعل بين الإلكترونات المتجاورة الحجم نفسه، ولا يوجد مجال مغناطيسي خارجي.

إن المدخل للجوانب الرياضية هو فهم كيف تتغير طاقة نمط معين عندما يتغير لون مربع واحد من الأسود إلى الأبيض، أو العكس. أي يتحول إلكترون واحد، في موقع عشوائي، من +١ (أسود) إلى −١ (أبيض) أو العكس. بعض هذه التحولات يزيد من إجمالي الطاقة، والبعض الآخر يقللها. تزداد احتمالية حدوث التحولات التي تقلل الطاقة الكلية؛ ومع ذلك، فإن تلك التي تزيدها لا تُستبعَد تمامًا، بسبب التدافع الحراري العشوائي. وعلى نحوٍ بديهي، نحن نتوقع أن يستقر نمط الدورانات في حالة تكون لها أقل طاقة. في مادة فرومغناطيسية، ينبغي أن يتسبب هذا في أن يكون لجميع الإلكترونات الدوران نفسه، ولكن من الناحية العملية هذا ليس ما يحدث تمامًا؛ لأنه سيستغرق وقتًا طويلًا جدًّا. بدلًا من ذلك، في درجات الحرارة المتوسطة، توجد رُقَع مميزة؛ حيث تكون الدورانات محاذية بشكل شبه مثالي، مما يخلق نمطًا غير منتظم من الأبيض والأسود. في درجات الحرارة المرتفعة، يتفوق التدافع العشوائي على التفاعلات بين الدورانات المتجاورة، وتصبح الرُّقَع صغيرة جدًّا بحيث لا توجد علاقة بين دوران الإلكترون ودورانات جيرانه، ومن ثَم فإن النمط يكون فوضويًّا ويبدو رماديًّا باستثناء تفاصيل بالأبيض والأسود قليلة للغاية. في درجات الحرارة المنخفضة تكبر الرُّقع، مما يؤدي إلى نمط أكثر تنظيمًا. هذه الأنماط لا تستقر أبدًا على نحو تام؛ فهناك دائمًا تغيرات عشوائية. ولكن، بالنسبة لدرجة حرارة معينة، تستقر السمات «الإحصائية» للنمط.

إن أكثر ما يثير اهتمام الفيزيائيين هو التحول من رُقَع لون منفصلة، حالة منظمة، إلى فوضى رمادية عشوائية. هذا تحوُّل طَوري. وتُظهر التجارب التي أُجرِيت على التحول الطَّوري الفرومغناطيسي، من المغنطة إلى إزالة المغنطة، أنه تحت درجة حرارة كوري يكون النمط المغناطيسي به رقع. وتختلف أحجام الرقع بعضها عن البعض، لكنها تتجمع حول حجم نموذجي معين، أو «مقياس طول»، وهو يصبح أصغر مع زيادة درجة الحرارة. وفوق درجة حرارة كوري، لا توجد أي رقع: يحدث خلط بين قيمتي الدوران. ما يحدث عند درجة حرارة كوري هو ما يثير اهتمام الفيزيائيين. توجد هنا رُقَع بأحجام مختلفة، ولكن لا يوجد مقياس طول سائد. تشكل الرقع فراكتالًا، وهو نمط بهيكلٍ مفصل على جميع المقاييس. والصورة المقربة لجزء من النمط لها نفس السمات الإحصائية مثل النمط بأكمله، لذلك لا يمكن استنتاج حجم الرقعة من النمط. إذن لم يعد هناك مقياس طول محدد جيدًا. ومع ذلك، يمكن إعطاء المعدل الذي يتغير به النمط أثناء التحول قيمة عددية، تُسمى الأُس الحرِج. ويمكن للتجارب قياس الأُس الحرج بدقة شديدة، لذا فهو يوفر اختبارًا حساسًا للنماذج النظرية. والهدف الرئيسي للمنظرين هو استنباط النماذج التي تعطي الأُس الحرج الصحيح.

لا تستطيع عمليات المحاكاة باستخدام الكمبيوتر «حل» نموذج إيزينج على نحو دقيق؛ فلا يمكنها تقديم صيغة للسمات الإحصائية مع إثبات رياضي دقيق على صحتها. قد تساعد أنظمة الجبر الحديثة المعتمِدة على الكمبيوتر الباحثين على تخمين الصيغة، إن وُجِدت، لكنها ستظل بحاجة إلى إثبات. يمكن أن توفر المزيد من عمليات المحاكاة التقليدية باستخدام الكمبيوتر أدلَّة قوية مع أو ضد مطابقة النموذج للواقع. إن الغاية المنشودة لعلماء الفيزياء الرياضية (وعلماء الرياضيات ذوي الميول الفزيائية، نظرًا لأن المشكلة الرئيسية رياضية بحتة، على الرغم من أنها مدفوعة بالفيزياء) هي الحصول على نتائج «دقيقة» حول الخصائص الإحصائية لأنماط الدورانات في نموذج إيزينج، خاصةً كيف تتغير هذه الخصائص بينما تمر درجة الحرارة عبر نقطة كوري. على وجه الخصوص، يسعى الباحثون إلى إثبات أن التحوُّل الطَّوري يحدث في النموذج، ويهدفون إلى توصيفه من خلال الأُس الحرج والسمات الفراكتالية للأنماط الأكثر احتمالية عند نقطة التحوُّل.

•••

الآن تصبح القصة تقنيَّة أكثر، لكنني سأحاول عرض الأفكار الرئيسية دون الخوض في التفاصيل. تابع ما سأعرضه ولا تقلق بشأن التفاصيل الدقيقة.

سرعان ما اشتُبه في أن السبب الرئيسي لهذه النتيجة السلبية هو بساطة النموذج. في الواقع، أشار إصبع الشك إلى أبعاد الشبكة. في الأساس، إن وجود بُعدٍ واحد قليل جدًّا بحيث لا يؤدي إلى نتائج واقعية. من الواضح أن الخطوة التالية كانت إجراء عمليات الجمع مرة أخرى لشبكة ثنائية الأبعاد، لكن هذا كان صعبًا بالفعل. فأساليب إيزينج كانت غير كافية. وفقط في عام ١٩٤٤، بعد العديد من التطورات التي جعلت مثل هذه الحسابات أكثر منهجية وبساطة، تمكن لارس أونساجر من حل مشكلة إيزينج مع شبكة ثنائية الأبعاد. كان هذا إنجازًا رياضيًّا بارعًا، وفر إجابة معقدة ولكن واضحة. حتى عندئذٍ، كان عليه أن يفترض عدم وجود مجال مغناطيسي خارجي.

•••

ما علاقة كل هذا الهراء المتعلق بدورانات الإلكترونات والمغانط بالبِرَك الذائبة في الثلج البحري في القطب الشمالي؟ إن ذوبان الثلج هو تحول طوري، لكن الثلج ليس مغناطيسًا والذَّوبان ليس متعلقًا بعكس اتجاه الدورانات. كيف يمكن أن تكون هناك صلة مفيدة؟

إذا كانت المفاهيم الرياضية مرتبطة بالتفسير الفيزيائي المحدد الذي أدى إلى ظهورها، فستكون الإجابة هي «لا يمكن أن تكون هناك صلة». ومع ذلك، الأمر ليس هكذا. إنه ليس دائمًا بالتأكيد. هذا هو بالضبط الموضع الذي يظهر فيه غموض الفعالية اللامعقولة للرياضيات، وهو أيضًا السبب وراء نسيان الناس، الذين يجادلون بأن الإلهام من الطبيعة يفسر «الفعالية»، ذكر الجانب اللامعقول.

غالبًا ما يكون المؤشِّر الأوَّلي على إمكانية حدوث هذا النوع من قابلية الانتقال، حيث تنتقل فكرة رياضية من مجال تطبيقي ما إلى آخر يبدو غير ذي صلة به، هو وجود تشابه غير متوقَّع في صيغة أو رسم بياني أو عدد أو صورة. عادةً ما يتبين أن هذا النوع من التشابه ليس أكثر من تورية بصرية، أو صدفة، لا تدل على شيء. ففي نهاية الأمر، هناك فقط عدد محدود من الرسوم البيانية أو الأشكال التي يمكن التعامل معها.

ولكن في بعض الأحيان، يكون هذا في واقع الأمر مؤشرًا على وجود علاقة عميقة.

وهذه هي الطريقة التي بدأ بها البحث الذي سأعرض له في بقية هذا الفصل. منذ نحو عشر سنوات، كان عالم رياضيات يُدعى كينيث جولدن ينظر في صور الثلج البحري في القطب الشمالي، ولاحظ أنها تحمل تشابهًا غريبًا مع صور رُقَع دورانات الإلكترونات بالقرب من التحول الطَّوري عند نقطة كوري. فتساءل عما إذا كان يمكن إعادة توظيف نموذج إيزينج لإلقاء الضوء على كيفية تشكُّل البِرَك الذائبة وامتدادها. يُطبق النموذج مع الثلج على نطاق أكبر بكثير، مع استبدال حالة التجمُّد/الذَّوَبان لمنطقة من سطح الثلج البحري تبلغ مساحتها مترًا واحدًا مربعًا بحالة الدوران لأعلى/لأسفل لإلكترون صغير.

استغرق الأمر بعض الوقت حتى تتحول هذه الفكرة إلى أفكار رياضية جدِّيَّة، ولكن عندما تحولت، قادت جولدن، بالاشتراك مع عالم الغلاف الجوي كورت سترونج، إلى نموذج جديد لتأثيرات تغير المناخ على الثلج البحري. وقد عرض بعض عمليات محاكاة لنموذج إيزينج على زميل متخصص في تحليل صور البِرَك الذائبة، واعتقد الزميل أنها صور لبِرَك حقيقية. أظهر التحليل الدقيق للسمات الإحصائية للصور — مثل العلاقة بين مساحات البِرَك ومحيطها، التي تقيس مدى عدم انتظام الحدود — أن الأرقام تتطابق بشكل وثيق للغاية.

تعتبر هندسة البرك الذائبة أمرًا حيويًّا في أبحاث المناخ؛ لأنها تؤثر على العمليات المهمة التي تتم على الثلج البحري والطبقات العليا من المحيط. ويتضمن ذلك: كيف يتغير بياض الثلج — مقدار الضوء والحرارة المشعة التي يعكسها — مع ذوبانه، وكيف تتفكك الكتل الجليدية الطافية، وكيف تتغير أحجامها. وهذا بدوره يؤثر على نمط الضوء والظلام تحت الثلج، مما يؤثر على التمثيل الضوئي في الطحالب وإيكولوجيا الميكروبات.

إن إحدى الميزات المثيرة للاهتمام لهذا البحث هي أن النموذج يعمل على مقاييس طول دقيقة جدًّا تصل إلى بضعة أمتار. معظم النماذج المناخية لها مقياس طول يصل إلى عدة كيلومترات. لذا فإن هذا النوع من النَّمْذَجة هو انطلاقة جديدة على نحو جوهري. لكنه لا يزال في مهده، ويحتاج النموذج إلى التطوير بحيث يصبح نموذجًا يتضمَّن المزيد من فيزياء ذوبان الثلج، وامتصاص أشعة الشمس وإشعاعها، وحتى الرياح. لكنه يقترح بالفعل طُرقًا جديدة لمقارنة الملاحظات بالنماذج الرياضية، ويبدأ في تفسير سبب تشكيل البرك الذائبة لمثل هذه الأشكال الفراكتالية المعقَّدة. وهو أيضًا أول نموذج رياضي للفيزياء الأساسية للبِرَك الذائبة.

رسم تقرير صحيفة «ذا جارديان» المقتبَس جزء منه في بداية هذا الفصل صورة قاتمة للأمور. فالتسارع الحالي لفقدان الثلج في القطب الشمالي، المستنتج من الملاحظات، وليس النماذج الرياضية، يشير ضِمنيًّا إلى أن مستوى سطح البحر بحلول عام ٢١٠٠ سيرتفع بمقدار ثُلثي متر، أي، حوالي قَدَمين. وهذا التقدير يزيد بمقدار سبعة سنتيمترات (ثلاث بوصات) عما توقعته الهيئة الدولية المعنية بتغيُّر المناخ سابقًا. وسيتعرض نحو ٤٠٠ مليون شخص لخطر الفيضانات كل عام؛ أي ١٠٪ أعلى من عدد ٣٦٠ مليونًا الذي توقعته سابقًا الهيئة سالفة الذكر. كما سيؤدي ارتفاع مستوى سطح البحر إلى زيادة حدة المد العاصفي، مما يتسبَّب في مزيد من الضرر للمناطق الساحلية. في التسعينيات من القرن العشرين، كانت جرينلاند تفقد ٣٣ مليار طن من الثلج كل عام. وعلى مدى السنوات العشر الماضية، ارتفع هذا إلى ٢٥٤ مليار طن سنويًّا، وفُقِد ما مجموعه ٣٫٨ تريليون طن من الثلج منذ عام ١٩٩٢. ونحو نصف هذا الفقدان ناتج عن تحرك الأنهار الجليدية بشكل أسرع وتفتتها عندما تصل إلى المحيط. والنصف الآخر ناتج عن الذوبان، المدفوع أساسًا من السطح. لذا أصبحت الآن فيزياء البرك الذائبة ذات أهمية حيوية للجميع.

إذا كان من الممكن جعل استعارة إيزينج أكثر دقة، فإن كل الأفكار الجيدة حول نموذج إيزينج التي جرى التوصل إليها من خلال الجهود المضنية لأجيال من علماء الفيزياء الرياضية، يمكن تطبيقها على البرك الذائبة. على وجه الخصوص، تفتح الصلة بهندسة الفراكتالات رؤًى جديدة حول الهندسة المعقَّدة للبِرَك الذائبة. وقبل كل شيء، تُعَد قصة العالم إيزينج مع ظاهرة ذوبان الثلج في القطب الشمالي مثالًا رائعًا على الفعالية اللامعقولة للرياضيات. فمن كان يمكن أن يتنبأ، قبل قرن من الزمان، بأن نموذج لينس للتحول الطَّوري للمادة الفرومغناطيسية يمكن أن تكون له أي علاقة بتغيُّر المناخ والاختفاء المستمر للغطاءين الثلجيين القطبيين؟