الزُّنبُركات

لقد اشترينا مؤخرًا مرتبة جديدة. ويحتوي النوع الذي اخترناه على ٥٩٠٠ زنبرك. أظهر المخطط المقطعي للمرتبة الذي شاهدناه في المتجر المتعدد الأقسام مصفوفات مكدسة من الزنبركات الملفوفة على نحو فضفاض، مع طبقة من الزنبركات الأصغر حجمًا في الأعلى. وتحتوي المراتب الفاخرة على ألفي زنبرك إضافية، داخل الطبقة الرئيسية. إن التكنولوجيا الحالية متطورة للغاية عن الأيام التي كانت فيها المرتبة تحتوي على نحو ٢٠٠ زنبرك كبير إلى حد ما وغير مريح للغاية.

إن الزنبرك هو أحد تلك الأشياء الموجودة في كل مكان، التي نادرًا ما تلاحَظ، حتى تتلف. فهناك زنبرك صمام في محركات السيارات، وزنبرك رفيع وطويل في أقلام الحبر الجاف القابلة للسحب، وزنبركات من مختلف الأشكال والأحجام في لوحات مفاتيح الكمبيوتر، ومحمِّصات الخبز، ومقابض الأبواب، والمنبهات، وأجهزة الترامبولين، والأرائك، ومشغلات أقراص البلو-راي. نحن لا نلاحظها لأنها مخفية داخل أجهزتنا وقطع أثاثنا، فنحن لا نراها بأعيننا، ومن ثَم لا ندرك وجودها وأهميتها. إن الزنبركات منتج مهم ومربح للغاية.

هل تعرف كيف يصنع الزُّنبُرك؟ أنا بالتأكيد لم أكن أعرف ذلك حتى عام ١٩٩٢، عندما رن هاتف مكتبي.

قال المتصل: «مرحبًا؟ معك لين رينولدز. أنا مهندس في جمعية بحوث ومصنعي الزنبركات في شيفيلد. لقد كنت أقرأ كتابك عن نظرية الفوضى، وقد ذكرت طريقة للعثور على شكل الجاذب الفوضوي من الملاحظات. أعتقد أنها قد تساعد في حل مشكلة واجهناها في مجال صناعة الزنبركات على مدى السنوات الخمسة والعشرين الماضية. لقد جربتها على بعض بيانات الاختبار، باستخدام جهاز كمبيوتر زد إكس ٨١ الخاص بي.»

كان زد إكس ٨١ الذي أنتجته شركة سينكلير واحدًا من أوائل أجهزة الكمبيوتر المنزلية التي تُنتَج على نطاق واسع، والذي كان يستخدم جهاز تليفزيون كشاشة وشريط كاسيت لتخزين البرمجيات. وقد كان بحجم كتاب مصنوع من البلاستيك بذاكرة رائعة تبلغ ١ كيلوبايت. ويمكنك إضافة ذاكرة خارجية حجمها ١٦ كيلوبايت من فتحة خلف الجهاز، بشرط أن تتخذ الاحتياطات اللازمة لمنع سقوطها. لقد صنعتُ إطارًا خشبيًّا لتثبيت الذاكرة المؤقتة في مكانها، واستخدم آخرون لبادة لاصقة من نوع «بلو تاك» للغرض نفسه.

إن هذا الجهاز لم يكن أحدث تقنية حَوسَبية متاحة حينها، لكن النتائج الأولية التي توصَّل إليها لين كانت واعدة بما يكفي لتأمين منحة قدرها ٩٠ ألف جنيه إسترليني (أي، حوالي ١٥٠ ألف دولار، في ذلك الوقت) من وزارة التجارة والصناعة، مع تمويلات مماثلة (كانت نوعية وليس نقدية) من مجموعة من مصنعي الزُّنبُركات والأسلاك. وقد خُصصت الأموال من أجل مشروع مدته ثلاث سنوات لتحسين اختبار مراقبة جودة الأسلاك الزنبركية، مما أدى إلى مشروعين آخرين على مدى مدة بلغت خمس سنوات. في إحدى المراحل، قُدر أن النتيجة يمكن أن توفر ١٨ مليون جنيه إسترليني (٣٠ مليون دولار) سنويًّا على صناعتَي الزنبركات والأسلاك.

هناك بالفعل الآلاف من تطبيقات الرياضيات المماثلة لحل المشكلات الصناعية، وهي تظهر طوال الوقت، دون أن يلاحظها أحد في أغلب الأحيان. والعديد منها يُعَد أسرارًا تجارية، تحميها اتفاقيات عدم الإفصاح. ومن وقت لآخر، تنشر المنظمات البريطانية، مثل مجلس أبحاث العلوم الهندسية والفيزيائية، أو معهد الرياضيات وتطبيقاتها؛ دراساتِ حالةٍ موجزة عن عدد قليل من هذه المشاريع، ويحدث الشيء نفسه في الولايات المتحدة الأمريكية وأماكن أخرى. من دون هذه المشاريع، والعديد من الاستخدامات المستهدفة الأخرى للرياضيات من قِبل الشركات الكبيرة والصغيرة، في جميع أنحاء العالم؛ ما كان ليوجد أي من الأجهزة والأدوات التي نستخدمها كل يوم. ومع ذلك، فهو عالَم خفي، والقليل منا، حتى، يشك في وجوده.

في هذا الفصل، سأكشف النقاب عن المشاريع الثلاثة التي شاركت فيها. ليس لأنها مهمة بشكل خاص، ولكن لأنني أعرف ما تتضمَّنه. لقد نُشرت الأفكار الأساسية الخاصة بها، في الغالب في الدوريات الصناعية، وهي تندرج في نطاق الملكية العامة. وهدفي أن أوضح لكم أن الطريقة التي تُستخدم بها الرياضيات في الصناعة غالبًا ما تكون غير مباشرة ومفاجئة، مع قدر بسيط من الصدفة.

مثل مكالمة لين الهاتفية.

•••

كانت المشكلة التي حيرت صناعتَي الأسلاك والزُّنبُركات لمدة ربع قرن بسيطةً وأساسية. تنشئ شركات تصنيع الزنبركات منتجاتها من خلال تشكيل الأسلاك التي توفِّرها شركات تصنيع الأسلاك باستخدام آلات لفٍّ معينة. وتعمل معظم الأسلاك بشكل جيد، وتنتج زنبركات في النطاقات الصحيحة من حيث الحجم والمرونة. لكن من وقت لآخر، لا تلتف شحنةٌ من الأسلاك بشكل صحيح، حتى في وجود مشغِّل ماهر للغاية. لم تستطع طرق مراقبة الجودة المعتادة في أوائل التسعينيات من القرن الماضي التمييز بين الأسلاك الجيدة والسيئة. فقد كانت تجتاز كلها نفس الاختبارات الخاصة بالتركيب الكيميائي وقوة الشد وما إلى ذلك. وعند الفحص بالعين، كان يبدو السلك السيئ تمامًا مثل السلك الجيد. ولكن عندما كان يُدخَل سلك جيد في آلة اللف، فإن ما كان يخرج هو الزنبرك الذي نريده؛ وعند إدخال السيئ، كان يبدو الناتج إما كزنبرك ولكن بحجم خاطئ، وإما في أسوأ الحالات مجرد كتلة متشابكة لا طائل منها.

إن محاولة لف السلك لم يكن اختبارًا ذا كفاءة أو فعالية. إذا كان السلك سيئًا، كان سيؤدي إلى انشغال آلة لف باهظة الثمن لبضعة أيام قبل أن يقتنع المشغِّل بأن هذه الدفعة من الأسلاك لن تصنع زنبركات أبدًا. لسوء الحظ، نظرًا لأن السلك قد اجتاز الاختبارات المعتادة، كان يمكن للشركة المصنِّعة أن تؤكد بشكل معقول أنه لا يوجد خطأ فيه؛ إذ لا بد أن هناك خطأً في إعداد آلة اللف. فأعربت الصناعتان عن أسفهما لهذا الوضع، وأرادا وسيلة موثوقًا فيها لاكتشاف من كان على حق، وكلاهما كان يريد إثبات أنه على حق. كانت النوايا الحسنة موجودة، لكنهما كانا بحاجة إلى اختبار موضوعي.

عندما بدأنا المشروع، كانت إحدى الخطوات الأولى هي أن نصطحب علماء الرياضيات إلى شركة لصناعة الزنبركات ونوضح لهم كيف يتحول السلك إلى زنبرك. يتَمَحْور الأمر كله حول الهندسة.

إن الزنبرك الأكثر شيوعًا هو زنبرك الضغط. ادفع طرفَيه أحدهما بالقرب من الآخر، وسيرتدان للخلف. إن أبسط تصميم هو الشكل الحلزوني، مثل السلم اللولبي. تخيل نقطة تدور وتدور حول دائرة بسرعة منتظمة؛ الآن أزحها بحيث تشكل زاوية قائمة مع الدائرة بسرعة منتظمة. المنحنى الذي تتبعه في الفراغ هو منحنًى حلزوني. لأسباب عملية، غالبًا ما يكون طرفا الزنبرك الحلزوني ملفوفين للداخل، كما لو كانت نقطة الحركة تدور أولًا حول دائرة في المستوى قبل البدء في التحرك بزاوية قائمة عليها، ثم تتوقف عن الحركة في هذا الاتجاه عند اللفة النهائية. هذا يحمي اللفة من تشابك طرفيها في أي شيء، كما يحمي الناس من أن يصبحوا هم هذا الشيء.

رياضيًّا، يتميَّز الشكل الحلزوني بخاصيَّتين هما الانحناء والالتواء. يقيس الانحناء درجة انثنائه. ويقيس الالتواء مقدار انحرافه عن المستوى الذي يحدده الاتجاه الذي يُثنى فيه. (من الواضح أن هناك تعريفًا تقنيًّا، ولكن دعونا لا نخوض في تفاصيل الهندسة التفاضلية للمنحنيات الفراغية.) بالنسبة إلى الشكل الحلزوني، تكون كلتا الكميتين ثابتتين. لذلك عندما تنظر إليه من الجانب، تكون اللفات متباعدة على نحو متساوٍ ومائلة بالزاوية نفسها، التي تأتي من السرعة الثابتة على طول محور الحلزون. وعندما تنظر من أحد الطرفين، فإن جميع اللفات تصطفُّ مع بعضها لتنشئ دائرة؛ هذه هي الحركة المنتظمة على نحو دائري. الدائرة الصغيرة تعني وجود انحناء كبير، في حين تعني الدائرة الكبيرة وجود انحناء صغير؛ والشكل الحلزوني الصاعد على نحو سريع يعني وجود التواء كبير، ويعني ذلك الصاعد ببطء وجود التواء صغير.

تجسد آلة اللف هاتين الخاصيتين آليًّا بطريقة بسيطة للغاية. تمرر آلة اللف السلك من بكرة كبيرة فضفاضة تُسمَّى سويفت، عبر أداة صغيرة معدنية صلبة. يؤدي هذا في الوقت نفسه إلى ثني السلك في اتجاه واحد، ويمنحه دفعة صغيرة بزاوية قائمة عليه. يؤدي الثني إلى حدوث انحناء، ويؤدي الدفع إلى حدوث التواء. ومع استمرار تلقيمها بالسلك، تخرج الآلة لفة وراء لفة من الحلزون. وعندما يصل الزنبرك للطول المطلوب، تقوم أداة أخرى بقطعه، وتصبح جاهزة لتشكيل الزنبرك التالي. وتعمل أداة إضافية على تغيير الالتواء إلى الصفر بالقرب من كل طرف لتسطيح هاتين اللفتين ولفهما للداخل. تكون تلك العملية سريعة، وتنتج عدة زنبركات في الثانية. وقد صنعت إحدى الشركات زنبركات صغيرة من سلك خاص بمعدل ١٨ زُنبُرُكًا في الثانية على كل آلة لف.

تعد شركات صناعة الأسلاك والزنبركات عمومًا شركات صغيرة نسبيًّا، أو تقنيًّا، شركات صغيرة ومتوسطة الحجم. إنها محاصرة بين موردين كبار، مثل شركة بريتيش ستيل، وعملاء كبار، مثل شركات السيارات والمراتب، مما يقلص من هوامش ربحها بشكل كبير. ومن أجل الاستمرار في السوق، يجب أن تظل على درجة عالية من الكفاءة. ولن يمكن لأي شركة من هذه الشركات بمفردها تحمُّلُ تكلفة وجود قسم أبحاث خاص بها، لذا فهي تعتمد على جمعية بحوث ومصنعي الزنبركات، التي تغيَّر اسمها لاحقًا إلى معهد تكنولوجيا الزنبركات، والتي هي بمنزلة كيانٍ مشتركٍ للبحث والتطوير، في مشروع تعاوني تموله الشركات الأعضاء فيه. وكان لين وزملاؤه قد حققوا في تلك الجمعية بالفعل بعض التقدم في مشكلة اللف، بناءً على تحليل ما يحدث من أخطاء. يعتمد انحناء والتواء لفات الزنبرك على الخصائص المادية للسلك، مثل المطاوعة؛ التي تعني مدى سهولة أو صعوبة ثَنْيه. عندما تشكل اللفات شكلًا حلزونيًّا منتظمًا، فهذا يرجع إلى أن هذه الخصائص منتظمة على طول السلك. وعندما لا تكون تلك الخصائص كذلك، فلن يُنتَج زُنبرك جيد. لذلك بدا من المحتمل أن ضعف قابلية الالتفاف ناتج عن التبايُن غير المنتظم لهذه الخصائص على طول السلك. إذن أصبح السؤال هو: كيف نكتشف مثل هذه التبايُنات؟

كانت الإجابة هي إجبار السلك على الالتفاف بلفِّه حول قضيب معدني، مثل لف مكرونة الاسباجيتي حول شوكة. ثم يمكننا قياس المسافات بين اللفات المتتالية. إذا كانت جميعها متساوية إلى حد كبير، إذن هذا سلك جيد. وإذا كانت غير متساوية، فهذا سلك سيئ. إلا أنه في بعض الأحيان يمكن أن تختلف كثيرًا ويظل السلك صالحًا لصنع الزنبركات. ربما ليس بنفس دقة السلك الجيد حقًّا، ولكنه جيد بما يكفي لبعض التطبيقات. لذا كان جوهر المشكلة هو: كيف يمكننا تحديد إلى أي مدًى يكون السلك «سيئًا»؛ بتعيين عدد معين لذلك؟

طبق مهندسو الجمعية جميع الأدوات الإحصائية المعتادة على قائمة القياسات، ولكن لا شيء تَوافق بدقة عالية مع قابلية الالتفاف. وهنا جاء الدور الذي لعبَه كتابي عن نظرية الفوضى.

•••

إن نظرية الفوضى، وهو اسم اخترعته وسائل الإعلام، معروفة بشكل أفضل لعلماء الرياضيات كجزء من النظرية الأوسع للديناميكا غير الخطية، التي تدور حول كيفية تصرف الأنظمة عندما يكون سلوكها خلال زمنٍ محكومًا بقاعدة رياضية محددة. قِس حالة النظام الآن، وطبق القاعدة، واستنتج الحالة لمدة زمنية صغيرة في المستقبل. ثم كرر الأمر. مع مرور الزمن، يمكنك حساب حالة النظام بقدر ما تريد في المستقبل. هذا الأسلوب هو الديناميكا. بوجه عام، تعني كلمة «غير خطية» أن القاعدة لا تجعل فقط الحالة المستقبلية متناسبة مع الحالة الحالية فقط، أو مع الاختلاف بين الحالة الحالية وحالة مرجعيةٍ ما. بالنسبة للزمن المتغير باستمرار، تُحدد القاعدة بواسطة معادلة تفاضلية، تربط معدَّل تغيُّر متغيرات النظام بقيمها الحالية.

هناك أيضًا نسخة متقطعة يمرر فيها الزمن خطوة بخطوة، والموصوفة بمعادلة فرقية: الحالة بعد خطوة واحدة هي ما يحدث للحالة الحالية عند تطبيق القاعدة. إن تلك النسخة هي التي تحل مشكلة اللف. لحسن الحظ، هذه هي أسهل واحدة يمكن فهمها. وهي تعمل كالتالي:

حيث يعني السهم «طبق القاعدة». على سبيل المثال، إذا كانت القاعدة «ضاعف العدد» وبدأنا بالحالة الأولية التي تساوي ١، فإن الخطوات المتتالية تُنتِج تسلسل الحالات ١، ٢، ٤، ٨ وهكذا، التي تتضاعف في كل مرة. هذه قاعدة خطية؛ لأن الناتج يتناسب مع المدخلات. لكن قاعدة مثل «أوجد مربع العدد واطرح منه ٣» غير خطية، وفي هذه الحالة تُنتِج تسلسل الحالات الآتي:

الذي يكرر نفس العددين مرارًا وتكرارًا. هذه ديناميكا «دورية»، وهي تشبه كثيرًا دورة الفصول، على سبيل المثال. والسلوك المستقبلي يمكن التنبؤ به تمامًا، في ضوء الحالة الأولية: إنها تبدل فقط بين ١ و−٢.

من ناحية أخرى، إذا كانت القاعدة «أوجد مربع العدد واطرح منه ٤»، فسنحصل على الآتي:

وستستمر الأعداد في التزايد أكثر فأكثر (باستثناء الثاني). لا يزال التسلسل قابلًا للتوقع؛ فقط استمر في تطبيق القاعدة. ونظرًا لأن القاعدة حتمية — أي، لا تحتوي على سمات عشوائية — تُحدد كل قيمة متتالية بشكل متفرد من خلال القيمة السابقة؛ لذلك يمكن التنبؤ على نحو تام ﺑ «المستقبل بأكمله».

الشيء نفسه ينطبق على النُّسخ ذات الزمن المستمر، على الرغم من أن القدرة على التنبؤ ليست واضحة في هذه الحالة. ويُسمى تسلسل الأعداد من هذا النوع بالمتسلسلة الزمنية.

متأثرين بأعمال جاليليو جاليلي ونيوتن، توصَّل علماء الرياضيات والعلماء إلى قواعد لا حصر لها من هذا النوع، مثل قاعدة جاليليو الخاصة بموضع جسم يسقط بفعل الجاذبية وقانون الجاذبية لنيوتن. أدت هذه العملية إلى الاعتقاد بأن أي نظام ميكانيكي يخضع لقواعد حتمية، لذلك يمكن التنبؤ به. ومع ذلك، اكتشف عالم الرياضيات الفرنسي الكبير أونري بوانكاريه ثغرةً في هذه الحجة، وقد نشرها في عام ١٨٩٠. إن قانون نيوتن للجاذبية يشير إلى أن أي جسمين سماويين، مثل نجم وكوكب، يتحركان في مدارين إهليلجيَّين حول مركز كتلتهما المشترك، وهو في هذه الحالة يكون عادةً داخل النجم. وتكون الحركة دورية، والدورة هي الزمن الذي يستغرقه الدوران مرة واحدة والعودة إلى موضع البداية. بحث بوانكاريه فيما يحدث إذا كانت هناك ثلاثة أجسام (شمس، وكوكب، وقمر)، ووجد أنه في بعض الحالات تكون الحركة غير منتظمة للغاية. أدرك علماء الرياضيات اللاحقون، الذين تابعوا هذا الاكتشاف مؤخرًا، أن هذا النوع من عدم الانتظام يجعل مستقبل مثل هذا النظام غير قابل للتوقع. إن الثغرة في «الإثبات» الخاص بإمكانية التنبؤ هي أنه صالحٌ فقط عندما يمكننا قياس الحالة الأولية وإجراء جميع العمليات الحسابية بدقة تامة؛ أي تكون دقيقة لعدد لا نهائي من المواضع العشرية. بخلاف ذلك، حتى التناقضات الصغيرة جدًّا يمكن أن تتزايد بسرعة هائلة، حتى تغمر القيمة الصحيحة.

هذه هي الفوضى أو، على وجه الدقة، الفوضى الحتمية. حتى عندما تعرف القواعد، وهي لا تحتوي على سمات عشوائية، فقد لا يمكن التنبؤ بالمستقبل من الناحية العملية، حتى لو أمكن التنبؤ به من الناحية النظرية. في الواقع، يمكن أن يكون السلوك غير منتظم لدرجة أنه يبدو عشوائيًّا. وفي نظام عشوائي حقًّا، لا توفر الحالة الحالية أي معلومات حول الحالة التالية. في النظام الفوضوي، توجد أنماط خفية. والأنماط السرية وراء الفوضى هي أنماط هندسية، ويمكن تصوُّرها من خلال رسم حلول للمعادلات النموذجية على هيئة منحنيات في الفراغ الذي إحداثياته عبارة عن متغيرات الحالة. في بعض الأحيان، إذا انتظرت بعض الوقت، تبدأ تلك المنحنيات في رسم شكل هندسي معقَّد. إذا كانت المنحنيات من نقاط بداية مختلفة ترسم جميعها الشكل نفسه، فإننا نطلق على الشكل اسم «جاذب». يميز الجاذب الأنماط الخفية في السلوك الفوضوي.

أحد الأمثلة القياسية على ذلك هو معادلات لورنز، وهي نظام ديناميكي ذو زمن مستمر يمثل نموذجًا لغاز الحمل الحراري، مثل الهواء الساخن في الغلاف الجوي. هذه المعادلات لها ثلاثة متغيرات. في مخططٍ لكيفية تغيرها، باستخدام نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد، ينتهي الأمر بمنحنيات الحل بالتحرك على طول شكل يُشبه إلى حدٍّ ما القناع؛ جاذب لورنز. وتنشأ الفوضى لأنه على الرغم من أن منحنيات الحل تتحرك حول هذا الجاذب (أو بالقرب جدًّا منه)، فإن الحلول المختلفة تتحرك بطرق مختلفة جدًّا. يمكن لأحدها (مثلًا) أن يلتفَّ ست مرات حول الحلقة اليسرى وخمس مرات حول الحلقة اليمنى؛ قد يلتف منحنًى قريبٌ ثماني مرات حول الحلقة اليسرى ثم ثلاث مرات حول الحلقة اليمنى، وهكذا. لذا فإن المستقبل المتوقع لهذه المنحنيات مختلف تمامًا، على الرغم من أنها تبدأ من قيم متغيرات متشابهة جدًّا.

ومع ذلك، فإن التنبؤات قصيرة المدى أكثر موثوقية. في البداية، يظل منحنيان متجاوران قريبين أحدهما من الآخر. فقط في وقت لاحق يبدآن في التباعد. لذلك يمكن التنبؤ بالنظام الفوضوي على المدى القصير، على عكس النظام العشوائي على نحو حقيقي، الذي لا يمكن التنبؤ به على الإطلاق. هذا أحد الأنماط الخفية التي تميز الفوضى الحتمية عن العشوائية.

عندما نعمل مع نموذج رياضي معين، فإننا نعرف جميع المتغيرات، ويمكننا استخدام الكمبيوتر لحساب كيفية تغيرها. يمكننا تصور الجاذب عن طريق رسم هذه التغييرات في الإحداثيات. عند مراقبة نظام حقيقي قد يكون فوضويًّا، فإن هذه الرفاهية ليست متاحة دائمًا. في أسوأ الحالات، قد نتمكن من قياس متغيِّر واحد فقط. ونظرًا لأننا لا نعرف المتغيرات الأخرى، فلا يمكننا رسم الجاذب.

وهنا يأتي دور رؤية لين. لقد ابتكر علماء الرياضيات طُرقًا بارعة «لإعادة بناء» الجاذب من قياسات متغيِّر واحد. أبسطها طريقة باكارد-تيكنز أو ما يُسمى بطريقة النافذة المنزلقة، التي طورها نورمان باكارد وفلوريس تيكنز. وهي تقدم متغيرات «وهمية» جديدة عن طريق قياس المتغير نفسه، ولكن في أزمنة مختلفة. لذا فبدلًا من المتغيرات الثلاثة الأصلية في أوقاتٍ متزامِنة، ننظر إلى متغير واحد فقط ضمن نافذة طولها ثلاث خطوات زمنية. ثم نحرك النافذة بطول خطوة واحدة ونفعل الشيء نفسه، ونكرر العملية عدة مرات. يوضح الشكل الأيسر كيف يعمل هذا مع جاذب لورنز. إنه مختلف عن الشكل الأيمن، ولكن ما لم تختر الخطوة الزمنية بشكل سيئ للغاية، فإن الصورتين سيكون لهما نفس الطوبولوجيا؛ الجاذب المعاد بناؤه هو نسخة مشوهة باستمرار من الجاذب الفعلي. هنا، تبدو كلتا الصورتين وكأنهما قناعان، مع فتحتين للعين، لكن إحداهما نسخة ملتوية من الأخرى.

توفِّر هذه الطريقة صورة نوعية للجاذب، تخبرنا عن نوع الفوضى المتوقَّع. لذا، عندما تساءل لين عما إذا كانت الحيلة نفسها ستنجح على بيانات الزُّنبُركات الخاصة به، رسم مخططًا ثنائي الأبعاد يعالج الفجوات المتتالية بين اللفات كمتسلسلةٍ زمنية، ويطبق طريقة إعادة بناء النافذة المنزلقة. ومع ذلك، لم يحصل على شكل هندسي واضح مثل القناع؛ ما حصل عليه كان سحابة غامضة من النقاط. يشير هذا إلى أن تسلسل الفجوات ربما لم يكن فوضويًّا بالمعنى التقني الذي يستخدمه علماء الرياضيات.

إذن لم تكن الطريقة مجدية؟

مطلقًا.

ما لفت انتباه لين كان هو الشكل العام لتلك السحابة الغامضة. كان قد جرى اختبار عينات الأسلاك بعناية شديدة على آلة اللف، لذلك كان يعرف أي العينات جيد أو سيئ أو متوسط الجودة. هل كان يمكن أن تحدد سحابة النقاط المعاد بناؤها مدى جودة كل عينة؟ على ما يبدو، كان يمكنها فعل ذلك. عندما كان السلك جيدًا حقًّا، ويلتف بسهولة ويصنع زُنبُركات دقيقة للغاية، كانت السحابة صغيرة وتقريبًا دائرية. وعندما كان السلك متوسط الجودة، يمكن لفه بسهولة إلى حد ما، ولكن يصنع زنبركات ذات أحجام متغيرة أكثر، كانت السحابة أكبر، لكنها لا تزال تقريبًا دائرية. في المقابل، عندما كان السلك سيئًا، ومن المستحيل لفه ليصنع زُنبركات، كانت السحابة طويلة ورفيعة، مثل السيجار.

إذا استمر النمط نفسه في عينات أخرى، فيمكننا تخطي الاختبار البطيء والمكلِّف على آلة اللف، واستخدام شكل وحجم السحابة الغامضة لتحديد السلك الجيد والمتوسط الجودة والسيئ. هذا من شأنه أن يحل المشكلة العملية المتمثلة في إيجاد اختبار رخيص وفعَّال لقابلية الالتفاف. لا يهم في الواقع ما إذا كان تباعد اللفات عشوائيًّا أو فوضويًّا أو مزيجًا من كليهما. ليس علينا أن نعرف بالضبط كيف تتباين الخصائص المادية على طول السلك، أو حتى ما هي تلك الخصائص. لا يتعين علينا بالتأكيد إجراء حسابات معقدة للغاية في نظرية المرونة، التي جرى التحقُّق منها عبر تجارب معقدة بالقدر نفسه، لفهم كيفية ترجمة هذه التباينات إلى قابلية لفٍّ جيدة أو سيئة. كل ما نحتاج إلى معرفته هو كيف يميز مخطط النافذة المنزلقة السلك الجيد من السيئ، ويمكننا التحقق من ذلك عن طريق اختباره على المزيد من عينات الأسلاك ومقارنة النتائج بأدائها على آلة اللف.

أصبح الآن واضحًا سبب عدم فائدة المقاييس الإحصائية القياسية للبيانات، مثل الوسيط (المتوسط) والتباين (الانتشار). تتجاهل هذه المقاييس الترتيب الذي تظهر به البيانات: كيف يرتبط كل تباعد بالتباعد السابق عليه. إذا غيرت أماكن الأعداد، فلن يتغير المتوسط والتباين، ولكن شكل سحابة النقاط يمكن أن يتغير على نحو كبير. وهذا، على الأرجح، هو مفتاح صنع الزُّنبُركات الجيدة.

•••

الفوضى ليست مجرد مرادف منمَّق لكلمة «عشوائي». فالفوضى قابلة للتوقع على المدى القصير. إذا ألقينا حجَرَ نرد، فإن الرمية الحالية لا تخبرنا بأي شيء عما سيحدث بعد ذلك. فأيًّا كان ناتج الرمية هذه المرة، فإنه من المحتمل ظهور أي من الأعداد الستة في المرة القادمة. هذا بافتراض أن حجر النرد عادل، وليس مُعدَّلًا لزيادة احتمالية ظهور عدد محدد. لكن الفوضى مختلفة. إذا كانت الفوضى حجر نرد، لكانت هناك أنماط. ربما يمكن أن يلي ظهور العدد ١ ظهور العدد ٢ أو ٥ فقط، بينما يلي ظهور العدد ٢ ظهور العدد ٤ أو ٦ فقط، وهكذا. يمكن توقع النتيجة التالية إلى حد ما، لكن الرمية الخامسة أو السادسة من الآن يمكن أن تصبح أي عدد من الستة. كلما أردت أن تعرف المزيد عن المستقبل، زادت درجة عدم اليقين في التنبؤ.

يتعلق جانب كبير من الرياضيات بالدقة. إن عددًا ما يساوي (أو لا يساوي) ٢. وهذا العدد ينتمي (أو لا ينتمي) إلى مجموعة الأعداد الأولية. لكن غالبًا ما يكون العالم الحقيقي أكثر ضبابية. قد يكون قياسٌ ما قريبًا من العدد ٢ ولكن لا يساويه تمامًا؛ علاوة على ذلك، إذا قسنا الكمية نفسها مرة أخرى، فقد تكون النتيجة مختلفة قليلًا. وعلى الرغم من أن عددًا ما لا يمكن أن يكون «شِبهَ عدد أولي»، فإنه بالتأكيد يمكن أن يكون «شِبه عدد صحيح». هذا الوصف مقبول لعدد مثل ١٫٩٩ أو ٢٫٠١، على سبيل المثال. في عام ١٩٦٥ صاغ لُطفي زاده وديتر كلاوا بشكل مستقل وصفًا رياضيًّا دقيقًا لهذا النوع من الضبابية، المعروف باسم نظرية المجموعات الضبابية، جنبًا إلى جنب مع المفهوم المرتبط بها والخاص بالمنطق الضبابي.

في نظرية المجموعات التقليدية، ينتمي العنصر (مثل عددٍ ما) إلى مجموعة محددة أو لا ينتمي إليها. في نظرية المجموعات الضبابية، يوجد مقياس عددي دقيق يحدد «مدى» انتمائه إليها. لذلك قد ينتمي العدد ٢ إلى المجموعة بمقدار النصف، أو بمقدار الثلث. إذا كان هذا المقياس هو ١، فإن العدد ينتمي بالتأكيد إلى المجموعة، وإذا كان العدد ٠، فهو لا ينتمي بالتأكيد. مع ٠ و١ فقط لدينا نظرية المجموعات التقليدية. إذا سمحنا بأي مقياس بين ٠ و١، فإن درجة العضوية الضبابية توضح المنطقة الرمادية بين هذين النقيضين.

سارع بعض علماء الرياضيات البارزين إلى رفض الفكرة، إما بزعم أن نظرية المجموعات الضبابية هي مجرد نظرية احتمال متخفية، أو المجادلة بأن منطق معظم الناس ضبابي بدرجة كافية دون الإصرار على أن الرياضيات يجب أن تسير بالطريقة نفسها. إن ما يحفِّز، على وجه التحديد، بعضَ الأكاديميين على أن يكونوا رافضين على الفور للأفكار الجديدة يحيرني للغاية، خاصة عندما تكون أسبابهم لفعل ذلك غير منطقية. لم يكن أحدٌ يقترح استبدال المنطق الضبابي بالمنطق القياسي. لقد جرى تقديم الأول فقط كسلاح آخَر في خزانة الأسلحة. وعلى الرغم من أن المجموعات الضبابية تبدو ظاهريًّا وكأنها احتمال، فإن القواعد مختلفة، وكذلك التفسير. فإذا كان عدد ما ينتمي إلى مجموعة باحتمال ١ /٢، وكنت من أنصار الاحتمال المتكرر، فأنت تقول إنه إذا كررنا التجربة عدة مرات، فسيكون العدد في المجموعة حوالي نصف الوقت. وإذا كنت من أنصار الاحتمال البايزي، فإن ثقتك في أن العدد ينتمي إلى المجموعة هي ٥٠٪. لكن في نظرية المجموعات الضبابية، لا يوجد عنصر احتمال. العدد موجود بالتأكيد في المجموعة، لكن المدى الذي ينتمي به إليها ليس ١. إنه بالضبط ١ / ٢. أما بالنسبة للزعم بأنه منطق سيئ؛ فالمنطق الضبابي له قواعد محددة، وأي حجة تستخدمه إما صحيحة أو لا، اعتمادًا على ما إذا كانت قد التزمت بهذه القواعد أم لا. أظن أن كلمة «ضبابية» قادت بعض الناس إلى الافتراض، دون عناء الاستكشاف، أن القواعد نفسها كانت طيِّعة وسيئة التعريف. لكن ليس الأمر كذلك.

هناك أمر آخر، لا شك أنه زاد الارتباك، وهو إلى أي مدى ستضيف المجموعات الضبابية والمنطق الضبابي أي شيء ذي قيمة للرياضيات. فمن السهل جدًّا إعداد أنظمة صورية كبيرة أفضل قليلًا من مجموعات صيغ خالية من المحتوى؛ أي «الهراء المجرد». أظن أنه كان من المغري للغاية أن أنظر إلى فكرة زادَهْ على هذا النحو، خاصة أن الأساسيات لم تكن عميقة أو صعبة. الآن، قد تكون التجربة هي أصدق برهان، لكن قيمة الفكرة الرياضية يمكن تقييمها بعدة طرق، إحداها فقط هي عمقها الفكري. وهناك طريقة أخرى، وهي إلى حد ما وثيقة الصلة بهذا الكتاب، وهي مدى المنفعة التي تقدمها. وقد تبين أن العديد من الأفكار الرياضية التافهة تقريبًا مفيدة للغاية. خذ مثلًا التمثيل العشري. إنه فكرة رائعة ومبتكَرة وبارعة وتُغير قواعد اللعبة، ولكنها ليست عميقة. فيمكن للطفل أن يفهمها.

ربما يفشل المنطق الضبابي ونظرية المجموعات الضبابية فيما يتعلق بمعيار العمق الفكري، على الأقل بالمقارنة مع فرضية ريمان أو مبرهَنة فيرما الأخيرة. لكنهما أثبتا أنهما مفيدان للغاية بالفعل. إنهما يثبتان كفاءتهما عندما لا نكون متأكدين تمامًا من دقة المعلومات التي نراقبها. فتُستخدم الرياضيات الضبابية الآن على نطاق واسع في مجالات متنوعة مثل اللغويات وصنع القرار وتحليل البيانات والمعلوماتية الحيوية. وهي تستخدم عندما تؤدي المهمة المطلوبة بشكل أفضل من أي بديل آخر، ويمكننا تجاهلها بأمان عندما لا تفعل ذلك.

بالنسبة لمشروع الشريط المعدني الخاص بنا، جربنا ثلاث طُرق تحكم مختلفة. أولًا: شغلنا الآلة مع إيقاف تشغيل نظام التحكم، لإنشاء أساس يمكن من خلاله الحكم على مدى فعالية أي نظام تحكُّم آخر. ساعدت البيانات التي حصلنا عليها أيضًا في تقدير البارمترات المختلفة في النماذج الرياضية. بعد ذلك، شغلناها باستخدام نظام تحكم متكامل، يستخدم صيغة رياضية ثابتة للتنبؤ بالتغيُّر في الضبط من لفة إلى أخرى. أخيرًا، استخدمنا نظام تحكم ضبط ذاتي ضبابي، يضبط قواعده الخاصة على نحو فوري وفقًا لأطوال الزنبرك المرصودة. عندما فعلنا ذلك مع أسلاك الفولاذ الكربوني، كان الانحراف المعياري لأطوال الزنبرك — وهو مقياس لمدى تبايُنها — ٠٫٠٧٧ دون تحكم، و٠٫٠٦٥ مع تحكم متكامل، و٠٫٠٣٩ مع ضبط ذاتي ضبابي. إذن فإن الطريقة القائمة على المنطق الضبابي عملت على نحو أفضل، وخفضت التباين إلى النصف.

•••

هناك مبدأ أساسي آخر في الرياضيات، وهو أنه بمجرد أن تجد شيئًا يؤدي المهمة المطلوبة، استفِد منه لأقصى درجة. غالبًا ما يمكن استغلال فكرة ذات قيمة مثبتة في ظروف ذات صلة ولكن مختلفة. لقد عاد مشروعنا الثالث، وهو أيضًا جزء من مشروع «ديناكون»، إلى آلة «فراكمات»، لكننا عدلنا جهاز الاختبار ليناسب صناعة تشبه صناعة الزنبركات، ولكنها تستخدم شريطًا معدنيًّا بدلًا من السلك.

من المؤكد أن لديك في منزلك بعض منتجات صناعة الأشرطة المعدنية. في المملكة المتحدة، يحتوي كل قابس كهربائي على منصهر مثبت بمِشبكين نحاسيَّين. هذه المشابك مصنوعة من بكرة كبيرة من شريط نحاسي رفيع وقليل العرض. تلقم آلة الشريط المعدني عبر سلسلة من الأدوات مُرَتَّبة في شكل شبه دائري، وكلها تشير إلى المركز حيث يمر الشريط. كل أداة تصنع انحناءً واحدًا في الشريط، بزاوية وموضع معينين، أو تثقب ثَقبًا، أو تنفذ أي عملية أخرى مطلوبة. أخيرًا، تقطع أداة قطع المشبك بعد الانتهاء من تصنيعه، الذي يسقط في حاوية. يمكن لآلة قياسية أن تصنع عشرة مشابك أو أكثر كل ثانية.

تُستخدم العملية نفسها لصنع مجموعة كبيرة من الأجسام المعدنية الصغيرة. وتتخصَّص إحدى الشركات البريطانية في صنع المشابك التي تربط دعامات الأسقف المعلقة، وتنتج مئات الآلاف منها كل يوم. ومثلما يواجه صانعو الزنبركات مشاكل في تقييم ما إذا كان السلك سيلتفُّ جيدًا أم لا، فإن صانعي المشابك يواجهون مشاكل في تقييم ما إذا كانت عينة معينة من الشريط ستَنثني بالطريقة المقصودة. مصدر المشكلة مماثل: الخصائص المادية المتغيرة، مثل المطاوعة، على طول الشريط. لذلك بدا من المعقول تجربة نفس طريقة إعادة بناء النافذة المنزلقة على الشريط المعدني.

ومع ذلك، ليس من المعقول محاولة إجبار الشريط المعدني على صنع لفات. إنه الشكل الخاطئ للقيام بذلك بسهولة، واللف له صلة قليلة بالطريقة التي تُصنع بها المشابك. إن الكمية الرئيسية هي مقدار انثناء الشريط تحت تأثير قوة مطبقة معينة. لذلك، بعد الكثير من التفكير، أعدنا تصميم آلة الاختبار، وتوصَّلنا إلى شيء أبسط بكثير. لقم الشريط بين ثلاث أسطوانات، بحيث تجبره تلك الموجودة في المنتصف على الانثناء. ثم اترك الأسطوانة التي في المنتصف تتحرك قليلًا، على زنبرك صلب، ثم قِس المسافة التي تتحرك بها بينما يمر الشريط تحتها. ينثني الشريط ثم يُسوَّى مرة أخرى، ويمكننا قياس القوة المطلوبة لثَنيه. إذا اختلفت مطاوعة الشريط عبر طوله، فهكذا الحال بالنسبة لهذه القوة.

بدلًا من القياسات المنفصلة لتباعُد لفات السلك، التي تُجرى بواسطة ميكرومتر ليزر، لدينا الآن قياسات متصلة للقُوى. تقيس الآلة أيضًا الاحتكاك السطحي، الذي تبيَّن أن له تأثيرًا مهمًّا على الجودة. ومع ذلك، فإن تحليل البيانات لم يتغير إلى حد كبير. كما أن آلة الاختبار هذه أصغر من آلة «فراكمات» وأبسط في الصنع، والجيد أن الاختبار لا يؤدي إلى خسائر؛ إذ يرجع الشريط إلى حالته الأولية، ويمكن استخدامه في التصنيع إذا أردنا.

•••

ماذا تعلَّمنا؟

ربما وفرنا لشركات صناعة الأسلاك والزنبرك الكثير من النقود، لذلك تعلَّمنا أن هذا النوع من تحليل البيانات الرياضية له قيمة مالية كبيرة. إلى حدٍّ ما، أقنع مجرد وجود آلة «فراكمات» صانعي الأسلاك بتحسين إجراءات الإنتاج الخاصة بهم، الأمر الذي بدوره ساعد صانعي الزُّنبركات. لا تزال آلات الاختبار قيد الاستخدام، ويستمر معهد تكنولوجيا الزنبركات في القيام بدوره موردًا مشتركًا للعديد من الشركات الصغيرة؛ إذ يتولَّى عمليات الاختبار من أجلها.

كما تعلَّمنا أن طريقة إعادة بناء النافذة المنزلقة يمكن أن تكون مفيدة حتى عندما لا تنتج البيانات عن نظام ديناميكي فوضوي لطيف وبسيط ودقيق رياضيًّا. هل الخصائص المادية للأسلاك تتباين على نحو فوضوي بالمعنى التقني؟ نحن لا نعرف. لم نكن في «حاجة» إلى معرفة ذلك كي نصنع آلية وآلة الاختبار الجديدتين. فلا يقتصر تطبيق الأساليب الرياضية على السياق المحدد الذي طُوِّرت من أجله في الأصل. إنها قابلة للتطبيق في سياقات أخرى عديدة.

لقد تعلمنا كذلك أنه في بعض الأحيان عندما نحاول نقل حيلة تعمل في سياق ما، كي نستخدمها في سياق جديد — مثل التحكم — فإنها لا تؤدي المهمة. وعندئذٍ عليك أن تبحث عن طُرق مختلفة تؤدي المهمة، مثل المنطق الضبابي.

وتعلمنا أيضًا أن هذا النوع من النقل يعمل بشكل جيد حقًّا في بعض الأحيان. على نحو أفضل، في بعض النواحي، من المحاولة الأولى. حيث تعمل آلتُنا الخاصة بالشريط المعدِني أيضًا على الأسلاك، وهي غير مهدرة للخامات.

وأفضل ما تعلَّمناه هو أنه عندما يتحد فريق من الأشخاص ذوي الخبرات المختلفة للغاية لحل مشكلة مشتركة، فيمكنهم حلها بطُرق لا يستطيع أي عضو في الفريق القيام بها بمفرده. ومع تقدم البشرية في القرن الحادي والعشرين، وهي تواجه مشاكل جديدة ومتفاعلة على نحو متبادل على كل المستويات، من الاجتماعي إلى التكنولوجي، يُعَد هذا درسًا مهمًّا للغاية.