الرسالة الأولى

(١) فصل في خواص العدد

ثم اعلم أن ما من عدد إلا وله خَاصِّيَّة أو عدة خواص، ومعنى الخَاصِّيَّة أنها الصفة المخصوصة للموصوف الذي لا يشركه فيها غيره، فخَاصِّيَّة الواحد أنه أصل العدد ومنشأه — كما بينا قبل — وهو يعد العدد كله الأزواج والأفراد جميعًا، ومن خَاصِّيَّة الاثنين أنه أول العدد مطلقًا وهو يعد نصف العدد الأزواج دون الأفراد، ومن خَاصِّيَّة الثلاثة أنها أول عدد الأفراد، وهي تعد ثلث الأعداد تارة الأفراد وتارة الأزواج، ومن خَاصِّيَّة الأربعة أنها أول عدد مجذور، ومن خَاصِّيَّة الخمسة أنها أول عدد دائر، ويقال: كري، ومن خاصية الستة أنها أول عدد تام، ومن خَاصِّيَّة السبعة أنها أول عدد كامل، ومن خَاصِّيَّة الثمانية أنها أول عدد مكعب، ومن خَاصِّيَّة التسعة أنها أول عدد فرد مجذور وأنها آخر مرتبة الآحاد. ومن خَاصِّيَّة العشرة أنها أول مرتبة العشرات، ومن خَاصِّيَّة الأحد عشر أنها أول عدد أصم، ومن خَاصِّيَّة الاثني عشر أنها أول عدد زائد.

وأما الواحد فليس له إلا حاشية واحدة وهي الاثنان والواحد نصفها وهي مثله مرتين، وأما قولنا: إن الواحد أصل العدد ومنشأه فهو أن الواحد إذا رفعته من الوجود ارتفع العدد بارتفاعه، وإذا رفعت العدد من الوجود لم يرتفع الواحد، وأما قولنا: إن الاثنين أول العدد مطلقًا فهو أن العدد كثرة الآحاد وأول الكثرة اثنان، وأما قولنا: إن الثلاثة أول الأفراد فهي كذلك؛ لأن الاثنين أول العدد وهو الزوج، ويليه ثلاثةٌ، وهي فرد، وأما قولنا: إنها تُعَدُّ ثلث العدد تارة الأفراد وتارة الأزواج فلأنها تتخطى العددين وتعد الثالث منهما، وذلك الثالث يكون تارة زوجًا وتارة فردًا، وأما قولنا: إن الأربعة أول عدد مجذور فلأنها من ضرب الاثنين في نفسه وكل عدد إذا ضُرب في نفسه يَصير جذرًا والمجتمع من ذلك مجذورًا.

وهذه الخَاصِّيَّة لا توجد لعدد قبل السبعة ولها خواصُّ أُخَرُ، سنذكرها عند ذكرنا أن الموجودات بحسب طبيعة العدد.

وأما ما قيل: إن الثمانية أول عدد مكعب فمعناه أن كل عدد إذا ضُرب في نفسه سُمِّيَ جذرًا والمجتمع منهما مجذورًا — كما بَيَّنَّا مِنْ قبل — وإذا ضرب المجذور في جذره سمي المجتمع من ذلك مكعبًا؛ وذلك أن الاثنين أول العدد، فإذا ضرب في نفسه كان المجتمع منه أربعة وهي أول عدد مجذور ثم ضرب المجذور في جذره الذي هو اثنان فخرج من ذلك ثمانية، فالثمانية أول عدد مكعب.

وأما ما قيل: إنها أول عدد مجسم فلأن الجسم لا يكون إلا من سطوح متراكمة، والسطح لا يكون إلا من خطوط متجاورة، والخط لا يكون إلا من نقط منتظمة، كَمَا بَيَّنَّا في رسالة «الهندسة»، فأقل خط من جزأين وأضيف سطح من خطين وأصغر جسم من سطحين، فينتج من هذه المقدمات أن أصغر جسم من ثمانية أجزاء؛ أحدها الخط وهو جزءان فإذا ضرب الخط في نفسه كان منه السطح وهو أربعة أجزاء، وإذا ضرب السطح في أحد طوليه كان منه العمق فيصير جملة ذلك ثمانية أجزاء طول اثنين في عرض اثنين في عمق اثنين.

وأما ما قيل: إن التسعة أول فرد مجذور فلأن الثلاثة في الثلاثة تسعة وليس من السبعة والخمسة والثلاثة شيءٌ مجذور.

وأما ما قيل: إن العشرة أول مرتبة العشرات فهو بَيِّنٌ، كما أن الواحد أول مرتبة الآحاد، وهذا بين ليس يحتاج إلى الشرح ولها خَاصِّيَّة أُخرى وهي تُشبه خَاصِّيَّة الواحد، وذلك أنه ليس لها من جنسها إلا طرفٌ واحدٌ، وهو العشرون، وهي نصفها كَمَا بَيَّنَّا للواحد أنه نصف الاثنين.

وأما ما قيل: إن الأحد عشر أولُ عدد أصم، فلأنه ليس له جزء ينطق به ولكن يقال: واحد من أحد عشر واثنان منه، وكل عدد هذا وصفُهُ يسمى أَصَمَّ مثل ثلاثة عشر وسبعة عشر وما شاكل ذلك، وهذه صورتها:

وبالجملة ما من عدد صحيح إلا وله خَاصِّيَّة تختص به دون غيره، ونحن تركنا ذكرها كراهية للتطويل.

•••

واعلم يا أخي، أيدك الله وإيانا بروح منه، أن العدد ينقسم قسمين: صحيح وكسور كما بينا قبل، فالصحيح ينقسم قسمين أزواجًا وأفرادًا، فالزوج هو كل عدد ينقسم بنصفين صحيحين، والفرد كل عدد يزيد على الزوج واحدًا أو ينقص عن الزوج بواحد، فأما نشوء عدد الزوج فيبتدئ من الاثنين بالتكرير دائمًا على ما يرى:

وأما نشوء الأفراد فيبتدئ من الواحد إذا أضيف إليه اثنان وأضيف إلى ذلك اثنان دائمًا بالغًا ما بلغ:

والزوج ينقسم على ثلاثة أنواع: زوج الزوج، وزوج الفرد، وزوج الزوج والفرد، فزوج الزوج هو كل عدد ينقسم بنصفين صحيحين متساويين ونصفه بنصفين دائمًا إلى أن تنتهي القسمةُ إلى الواحد، مثال ذلك أربعة وستون، فإنه زوج الزوج، وذلك أن نصفه اثنان وثلاثون، ونصفه ستة عشر، ونصفه ثمانية، ونصفه أربعة، ونصفه اثنان، ونصفه واحد. ونشوء هذا العدد يبتدئ من الاثنين إذا ضُرب في الاثنين ثم ضرب المجموع في الاثنين وما يجمع من ذلك في الاثنين، ثم ضرب المجموع في الاثنين دائمًا بلا نهاية.

ومن أراد أن يتبين هذا مستقصًى فليضعف بيوت الشطرنج فإنه لا يخرج إلا من هذا العدد، أعني زوج الزوج؛ ولهذا العدد خواص أُخر ذكرها نيقوماخس في كتابه بشرح طويل ونحن نذكر منها طرفًا؛ قال:

إن هذا العدد إذا رُتب على نظمه الطبيعي وهو واحد اثنان أربعة ثمانية ستة عشر اثنان وثلاثون أربعة وستون، وعلى هذا القياس بالغًا ما بلغ فإن مِنْ خاصيته أن من ضرب الطرفين أحدهما في آخر يكون مساويًا لضرب الواسطة في نفسها إن كان له واسطةٌ واحدةٌ، وإن كانت له واسطتان فمثل ضرب أحدهما في الأخرى، مثال ذلك أربعةٌ وستون فإنه الطرف الآخر والواحد الطرف الأول وله واسطةٌ واحدةٌ، وهي ثمانيةٌ، فأقول: إن ضرب الواحد في أربعة وستين أو الاثنين في اثنين وثلاثين أو الأربعة في ستة عشر مساوٍ لضرب ثمانية في نفسها، وهذه صورتها:

وإن زيدت فيه رتبة أخرى حتى يصير له واسطتان فأقول: إن ضرب الطرفين أحدهما في الآخر يكون مساويًا لضرب الواسطتين إحداهما في الأخرى؛ مثال ذلك مائة وثمانية وعشرون إذا ضرب في واحد وأربع وستون في اثنين أو اثنان وثلاثون في أربعة يكون مساويًا لضرب ستة عشر في ثمانية، وهذه صورتها:

ولهذا العدد خَاصِّيَّة أخرى أنه إذا جمع من واحد إلى حيث ما بلغ يكون أقل من ذلك العدد الذي انتهى إليه بواحد؛ مثال ذلك إذا أُخذ واحد واثنان وأربعة يكون جملتها أقل من ثمانية بواحد وإن زيدت الثمانية عليها يكون الجملة أقل من ستة عشر بواحد وإن زيدت الستة عشر عليها يكون الجملة أقل من اثنين وثلاثين بواحد، وعلى هذا القياس توجد مراتب هذا العدد بالغًا ما بلغ، وهذه صورتها:

وأما زوج الفرد فهو كل عدد ينقسم بنصفين مرة واحدة ولا ينتهي في القسمة إلى الواحد، مثل ستة وعشرة وأربعة عشر وثمانية عشر واثنين وعشرين وستة وعشرين، فإن كل واحد من هذه وأمثالها من العدد ينقسم مرة واحدة ولا ينتهي إلى الواحد، ونشوء هذا العدد من ضرب كل عدد فرد في اثنين، وهذه صورتها: «و ي يد يح كب كول لو لج مب مو» كل واحد من هذه الأعداد نصفٌ لِمَا فوقه من العدد، وأما زوجُ الزوج والفرد فهو كل عدد ينقسم بنصفين أكثر من مرة واحدة ولا ينتهي في القسمة إلى الواحد مثل اثني عشر وعشرين وأربعة وعشرين وثمانية وعشرين وأمثالها في الأعداد، وهذه صورتها:

ونشوء هذا العدد من ضرب زوج الفرد في اثنين مرة أو مرارًا كثيرة، ولها خواص تركنا ذكرها مخافة التطويل.

وأما العدد الفرد فيتنوع قسمين: فرد أول وفرد مركب، والفرد المركب نوعان مشترك ومتباين، تفصيل ذلك: أما الفرد الأول فهو كل عدد لا يعده غير الواحد عدد آخر مثل ثلاثة خمسة سبعة أحد عشر ثلاثة عشر سبعة عشر تسعة عشر ثلاثة وعشرين وأشباه ذلك من العدد، وخَاصِّيَّة هذا العدد أنه ليس له جزء سوى المسمى له؛ وذلك أن الثلاثة ليس لها إلا الثلث والخمسة ليس لها إلا الخمس وكذلك السبعة ليس لها إلا السبع، وهكذا الأحد عشر والثلاثة عشر والسبعة عشر، وبالجملة: جميع الأعداد الصم لا يعدها إلا الواحد فإن اسم جزئها مشتق منها.

وأما الفرد المركب فهو كل عدد يعده غير الواحد عدد آخر مثل تسعة وخمسة وعشرين وتسعة وأربعين وواحد وثمانين، وأمثالها من العدد، وهذه صورتها «ط كه مط فاقكا قسط»، وأما الفرد المشترك فهو كل عددين يعدهما غير الواحد عدد آخر مثل تسعة وخمسة عشر وواحد وعشرين؛ فإن الثلاثة تعدها كلها وكذلك خمسة عشر وخمس وعشرون وخمسة وثلاثون، فإن الخمسة تعدها كلها، فهذه الأعداد وأمثالها تسمى مشتركة في العدد الذي يعدها، وهذه صورتها «ط يه كا كه له»، وأما الأعداد المتباينة فهي كل عددين يعدهما عددان آخران غير الواحد، ولكن الذي يعد أحدهما لا يعد الآخر مثل تسعة وخمسة وعشرين؛ فإن الثلاثة تعد التسعة ولا تعد الخمسة والعشرين والخمسة تعد الخمسة والعشرين ولا تعد التسعة، فهذه الأعداد وأمثالُها يُقال لها: المتباينة.

(٢) فصل في الضرب والجذر والمكعبات، وما يستعمله الجبريون والمهندسون من الألفاظ ومعانيها

فنقول:

كل عددين — أي عددين كانا — إذا ضُرب أحدُهُما في الآخر؛ فإن المجتمِع من ذلك يسمى عددًا مربعًا، فإن كان العددان متساويَين يسمى المجتمع من ضربيهما عددًا مربعًا مجذورًا أو العددان يسميان جذرَي ذلك العدد؛ مثال ذلك: إذا ضرب اثنان في اثنين يكون أربعة وثلاثة في ثلاثة تسعة وأربعة في أربعة ستة عشر فالأربعة والتسعة والستة عشر وأمثالها من العدد؛ يُسمى كل واحد منها مربعًا مجذورًا، والاثنان والثلاثة والأربعة يسمى جذرًا؛ لأن الاثنين هو جذر الأربعة والثلاثة جذر التسعة والأربعة جذر الستة عشر، وعلى هذا القياس يُعتبر سائر المربعات المجذورات وجذورها:

وكل عددين مختلفين — أي عددين كانا — إذا ضُرب أحدُهما في الآخر فإن المجتمِع من ذلك يسمى عددًا مربعًا غير مجذور والعددان المختلفان يسميان جزأين له ويسميان ضلعين لذلك المربع وهي من ألفاظ المهندسين، مثال ذلك اثنان في ثلاثة أو ثلاثة في أربعة أو أربعة في خمسة، وأشباه ذلك؛ فإن المجتمِع من مثل هذه الأعداد المضروبة بعضها في بعض تسمى مربعات غير مجذورات.

(٣) فصل في مسائلَ من المقالة الثانية من كتاب إقليدس في الأُصُول

كل عددَين قسم أحدهما بأقسامٍ كم كانت فإن ضرب أحدهما في الآخر مساوٍ لضرب الذي لم يقسم في جميع أقسام العدد المقسوم قسمًا قسمًا، مثال ذلك عشرة وخمسة عشر وقسم الخمسة عشر ثلاثة أقسام سبعة وثلاثة وخمسة، فنقول «أ» إن ضرب العشرة في خمسة عشر مساوٍ لضرب العشرة في سبعة وفي ثلاثة وفي خمسة «ب» كل عدد قسم بأقسام كم كانت فإن ضرب ذلك العدد في مثله مساوٍ لضربه في جميع أقسامه؛ مثال ذلك عشرة قسمت بقسمين سبعة وثلاثة فأقول: إن ضرب العشرة في نفسها مساوٍ لضربها في سبعة وفي ثلاثة «ج» كل عدد قسم بقسمين فنقول: إن ضرب ذلك العدد في أحد قسميه مساوٍ لضرب ذلك القسم في نفسه، وفي القسم الآخر، مثال ذلك عشرةٌ قسمت بقسمين ثلاثة وسبعةٌ فأقول: إن ضرب العشرة في سبعة مساوٍ لضرب سبعةٍ في نفسها وثلاثة في سبعة، «د» كل عدد قسم قسمين فأقول: إن ضرب ذلك العدد في نفسه مساوٍ لضرب كل قسم في نفسه وأحدهما في الآخر مرتين؛ مثال ذلك عشرة قسمت قسمين سبعة وثلاثة فأقول: إن ضرب العشرة في نفسها مساوٍ لضرب سبعة في نفسها وثلاثة في نفسها وسبعة في ثلاثة مرتين، «ﻫ» كل عدد قسم بنصفين ثم بقسمين مختلفين فإن ضرب أحد المختلفين في الآخر وضرب التفاوُت في نفسه مساوٍ لضرب نصف ذلك العدد في نفسه.

مثاله عشرة قسمت بنصفين ثم بقسمين مختلفين ثلاثة وسبعة، فنقول: إن ضرب السبعة في ثلاثة والتفاوت في نفسها وهو اثنان مجموعًا مساوٍ لضرب الخمسة في نفسها، «و» كل عدد قسم بنصفين ثم يزاد فيه زيادة ما فأقول: إن ضرب ذلك العدد مع الزيادة في تلك الزيادة ونصف العدد في نفسه مجموعًا يكون مساويًا لضرب نصف ذلك العدد مع الزيادة في نفسه، مثاله عشرة قسمت بنصفين ثم زيد عليه اثنان فنقول: إن ضرب الاثني عشر في اثنين وخمسة في نفسها مجموعًا مساوٍ لضرب الاثنين وخمسة مجموعًا في نفسه، «ز» كل عدد قسم بقسمين فأقول: إن ضرب ذلك العدد في نفسه وضرب أحد القسمين في نفسه مجموعًا مساوٍ لضرب ذلك العدد في ذلك القسم مرتين، وضرب القسم الآخر في نفسه مجموعًا مثاله عشرة قسمت بقسمين سبعة وثلاثة فأقول: إن ضرب العشرة في نفسها وسبعة في نفسها مجموعًا مساوٍ لضرب العشرة في سبعة مرتين وثلاثة في نفسها مجموعًا، «ح» كل عدد قسم بقسمين ثم زِيد عليه مثل أحد القسمين فنقول: إن الذي يكون من ضرب جميع ذلك في نفسه مساوٍ لضرب ذلك العدد قبل الزيادة في تلك الزيادة أربع مرات والقسم الآخر في نفسه.

مثاله عشرةٌ قُسمت بقسمين سبعة وثلاثة، ثم زيدت عليه ثلاثة فنقول: إن ضرب الثلاثة عشر في نفسه مساوٍ لضرب عشرة في ثلاثة أربع مرات وضرب سبعة في نفسه مرة واحدة، «ط» كل عدد قسم بنصفين ثم بقسمين مختلفين فإن الذي يكون من ضرب القسمين المختلفين كل واحد منهما في نفسه مجموعًا مثلًا ما يكون من ضرب نصف ذلك في نفسه وضرب التفاوُت ما بين العددين في نفسه مجموعًا؛ مثال ذلك عشرةٌ قسمت بنصفين، ثم بقسمين مختلفين ثلاثة وسبعة فأقول: إن الذي يكون من ضرب سبعة في نفسها وثلاثة في نفسها مجموعًا مثلًا ما يكون من ضرب الخمسة في نفسها ومن ضرب الاثنين الذي هو التفاوُت ما بين القسمين في نفسه مجموعًا، «ي» كل عدد قسم بنصفين ثم زِيد فيه زيادة ما فإن الذي يكون من ضرب ذلك العدد مع الزيادة في نفسه وضرب الزيادة في نفسها مجموعًا مثلًا ما يكون من ضرب نصف العدد مع الزيادة في نفسه وضرب نصف العدد في نفسه.

مثال ذلك عشرةٌ قُسمت بنصفين ثم زِيد عليها اثنان فأقول: إن ضرب الاثنَي عشر في نفسه والاثنين في نفسه مجموعًا مثلًا ما يكون من ضرب سبعةٍ في نفسها وخمسة في نفسها مجموعًا.