تناقُض

إليك متناقضة مشوِّقة — من السهل وصفها — ما زالت تثير نوباتٍ من الغضب والانفعال بين علماء الإحصاء المحترفين، وأصحاب نظرية القرار.

المتناقضة هي مفارقة «ظاهرية»؛ فالتناقض الذاتي الحقيقي مستحيل، والدور الرئيسي للمفارقات في دراسات المنطق (يعتمد صنع القرار العقلاني على المنطق، كما هو الحال بالنسبة إلى كل أنواع التفكير العقلاني) هو تحدِّي ترابطِنا المنطقي؛ أي التأكُّد من أن كل شيء في مكانه المناسب. من الواضح، إلى حدٍّ ما، أن العبارتين التي تُناقِض كلٌّ منهما الأخرى لا يمكن أن تكونا كلتاهما صحيحتين — فلا يمكن أن تستقر العملة على الصورة والكتابة في الرمية ذاتها — لذا فمن الاختبارات القياسية للاتساق مع الذات بالنسبة إلى أي نظام منطقي هو أن توضِّح أنه مهما يكن ما تعتقد أن بإمكانك فعله، لا يمكن أن تثبت صحة عبارتين متناقضتين بوضوح. إن الطريق إلى الجنون هو الاختلاف مع ذاتك، وأن تَدَعَ الأمر يقف عند هذا، بَيْدَ أن إحدى الخطوات على طريق الحكمة هي حلُّ تلك الخلافات الداخلية «الظاهرية». لقد أمضى ألبرت أينشتاين العبقري العظيم جزءًا كبيرًا من سنوات منتصف عمره وهو يحاول أن يخترع متناقضات تُظهِر أن ميكانيكا الكم (نظرية جديدة ساعَدَ في تطويرها، ولكنه شَعَرَ بعدم الراحة تجاهَها فيما بعدُ) لا تتَّسِق مع ذاتها؛ لقد أخفَقَ في هذا، ولا تزال ميكانيكا الكم موجودة، بالرغم من أنها لا تزال تتحدَّى أولئك الذين يفكِّرون بعمقٍ بشأن متناقضات أينشتاين وعواقبها. لقد كان عبقريًّا بحقٍّ، واستنزف حلُّ متناقضاته أفضلَ ما كان لدى عالِم الفيزياء من جهد في تلك الأيام. لا تزال بعضٌ من متناقضاته صعبةً بالنسبة إلى الخبراء؛ فأولئك الذين يدَّعون أنهم لا يجدون صعوباتٍ لا يمكن أن يكونوا خبراء.

ومن أحد الأمثلة الجيدة للتناقض المنطقي، وربما أقدمها جميعًا هو متناقضة إبيميندس. كان إبيميندس فيلسوفًا كريتيًّا ذا تاريخ غامض بعض الشيء، عاش منذ ما يقرب من ألفَيْ وخمسمائة عامٍ، ويزعم أنه قال: كل الكريتيِّين «كاذبون»، وهذا — في إيجازٍ — هو الشكل القديم للمتناقضة. هل العبارة صحيحة أم خاطئة؟ لو كانت صحيحة، إذن فلا يمكنك تصديق قائلها الذي هو كريتي؛ لذا فلا يمكن أن تكون صحيحة، لكن لا بد أن تكون كذبةً إذن؛ ومن ثَمَّ فإن قائلها كاذب، وكيف يمكن أن نصدِّق أي شيء يقوله عن الكريتيين، بما فيه الزعم بأنهم جميعًا كاذبون؟ من السهل التوسُّع في هذه الفكرة وتنقيحها؛ فمثلًا: يمكن أن يحتوي هذا الكتابُ على عبارةٍ تخبرك بألَّا تصدق شيئًا في هذا الكتاب، بما فيه هذه العبارة. وقد كان تطوُّرٌ للأفكار الرئيسية التي انبثقت من متناقضة إبيميندس هو ما قاد عالم الرياضيات المتمرِّد كورت جودل لنظريته الشهيرة والثورية التي ظهرت عام ١٩٣١، والتي تقول إن كل النُّظُم الرياضية تحتوي على نظريات لا يمكن إثباتها أو دحضها (لم تكن نظريته واحدة منها؛ فقد استطاع إثباتَ صحتها). وقد أحدَثَ هذا صدمةً لدى علماء الرياضيات الذين اعتقدوا لأمد طويل أن الرياضيات الحقيقية لم يكن بها مثل هذه المشكلات؛ أي إنه يمكن إثبات صحة أو خطأ كل النظريات. لقد كان وجود المعضلات المستعصية على الحسم بمنزلة مفاجأة — فقد أعطى جودل مثالًا واضحًا — وكشْف عن بعض الحقائق الشديدة العمق بشأن الرياضيات.

نعود إلى إبيميندس؛ قد تعتقد عند هذه النقطة أن هذا المؤلِّف الماكر يعتقد أنه استطاع إقناعك بشيء غير حقيقي؛ فبالرغم من تاريخها الذي امتدَّ لألفَيْ وخمسمائة عام، فإنه ليس هناك وجود حقيقي لمتناقضة إبيميندس؛ لأن كلَّ ما قاله إبيميندس أنَّ كل الكريتيين كاذبون، وهذا يُثبِت — بالرغم من أنه هو نفسه كاذب — أن هناك كريتيًّا صادقًا في مكانٍ ما؛ إذن فما قاله كان كذبًا، ولكن ماذا بعدُ؟ تلك وسيلة للخروج من النسخة القديمة لهذه المتناقضة، لكنْ إن غيَّرناها قليلًا، وجعلناه يقول: «هذه العبارة كاذبة»، أو «هذا الكريتي كاذب»، فسنعود لنفس المأزق؛ فهذا يجعل العبارة مستقلةً ومنغلقةً على ذاتها تمامًا، وهو جوهر التناقض؛ أو بإمكانك أن تنتقل للخطوة التالية، ويكون لديك عبارتان؛ تقول الأولى إن الثانية خطأ، وتقول الثانية إن الأولى صحيحة، وهكذا باستمرار؛ إذن فالنسخة القديمة هي مجرد مسألة صنعة غير متقنة، أما التناقض فهو سليم. وبالفعل كانت المرجعية الذاتية في الرياضيات أساسًا لبرهان جودل.

لكن هذا انحراف عن الموضوع. إن المتناقضات تلعب دورًا مهمًّا في حمايتنا من التفكير السطحي، وفيما يلي متناقضةٌ من متناقضاتِ نظرية القرار مصاغةٌ بمصطلحاتٍ تماثِل تلك الموضَّحة في الفصل السابق. لا تتوقَّع أن يكون الحلُّ واضحًا.

كان اللاعبان، بيل وكو، يحتسيان الخمر في الحديقة بينما يناقشان خُرافاتٍ قديمةً بشأن الجن، وسرعان ما انجذَبَ أحد الجن لحديثهما، وتجسَّدَ خلف إحدى الشجيرات، واستمع لبرهة، وانبهر بعمق معرفتهما؛ فأراد أن يكافئهما على علمهما، لكن بدلًا من أن يمنحهما الأمنياتِ الثلاثَ التقليدية، قرَّرَ أن يكون واقعيًّا؛ لذا حرَّرَ شيكين (إذ كان له حساب في بنك سويسري). خلط الجني الشيكين ووضع كلًّا منهما في مظروف مغلق، ومنح الشيكين للاعبَيْن بترتيب عشوائي، وبينما كان يختفي مخلِّفًا تلك السحابة التقليدية من الدخان، سمعاه يقول إن الشيكين بمبالغ مختلفة، وإن أحدهما ضعف الآخَر تمامًا، لكنه لم يتفوَّه بشيء آخَر عن قيمتهما.

بعد رحيله نظر كل لاعب خلسةً للشيك الخاص به، وراح يتساءل إن كان هو الطرف الرابح أم الخاسر من الصفقة.

راح بيل يفكِّر بينه وبين نفسه قائلًا: إن الشيك الخاص بي مبلغ كبير، وخاصة أنه كسب مفاجئ، لكن لا بد أن الشيك الخاص بِكو إمَّا نصف مبلغي (إنْ حصلتُ أنا على النصيب الأكبر)، وإما ضعف قيمته (إن كان هو الحاصل على المبلغ الأكبر). إلى جانب ذلك، توحي الطريقة التي تمَّ بها الأمر — تحرير الشيكين وخلطهما قبل منحهما لنا — بأن فرصة حصول أيٍّ منَّا على الشيك الأكبر فرصة متكافئة، لكن هذا يعني أنني يجب أن أعرض المقايضة مع كو؛ إذ إن لديَّ فرصةً متكافئةً لمضاعفة نقودي أو خسارة نصفها، وهذا يعني وجود مكسب صافٍ متوقَّع (إنْ كنتَ تمتلك عشرة دولارات ومُنِحت فرصةً لقذف عملة لتحدِّد إذا ما كنتَ ستربح عشرة دولارات إضافية أم ستخسر خمسة من دولاراتك العشرة، فَلْتقبل العرض وَلْتبتهج بفهمك للاحتمالية. وَلْتنْسَ الآن ما ذكرناه في الفصل الرابع عن منفعة النقود). وهكذا قرَّرَ بيل، باستخدام مبادئ نظرية القرار، أن من مصلحته المقايضة مع كو، بل يبدو أنه استطاع أن يتخذ هذا القرار دون حتى فتح المظروف الخاص به؛ فالمبلغ الذي بداخله لم يكن مهمًّا بالنسبة إلى المنطق.

لكن كو راوَدَه نفس التفكير وانتهى إلى أنَّ من مصلحته أن يقايض بيل؛ لذا انتهَزَ الفرصة عندما اقترح بيل المقايضة. إن كلًّا منهما في نفس موقف الآخَر، وكلًّا منهما يعتقد أنه قد قَيَّم الاحتمالات والمنافع بأسلوب صحيح، وكلًّا منهما مقتنع بأن عليه المقايضة، ومن الواضح أن كلَيْهما امتثَلَ لقوانين المنطق؛ فهل يمكن أن يكون كلاهما على صواب؟ هذه لعبة صفرية في النهاية؛ ما يعني أن مكسب بيل هو خسارة لِكو والعكس صحيح؛ لذا لا يمكن أن يفوز كلاهما، لا بد أن يكون أحدهما على خطأ، بالرغم من أن كلًّا منهما مرَّ بنفس السلسلة المنطقية التي لا يرقى إليها الشكُّ ظاهريًّا. ليس هناك بالطبع خطأ من «الناحية المنطقية» في منافسةٍ يقتنع طرفاها بأنهما سيفوزان؛ فهذا يحدث في أغلب الأحيان في الرياضة، وعلاقات الحب، والحروب، لكن يُفترَض في هذه الحالة أن اللاعبَين يتصرَّفان بعقلانية؛ وهذا هو التناقض.

والآن نأتي إلى الحل؛ فكِّرْ جيدًا قبل أن تقرأ المزيد، أَعِدَّ قدحًا من الشاي، عانِقْ طفلًا أو صديقًا مميزًا لك؛ لقد نُشِر العديد من المقالات غير الصحيحة في صحف مرموقة عن هذا الموضوع؛ لذا فهو يستحق قليلًا من التفكير.

لقد ارتكَبَ كلٌّ من بيل وكو الخطيئة الكبرى حينما اعتقدَا أن احتمالية الحصول على الجائزة الكبرى ظلَّتْ كما هي، سواء قبل توزيع المظاريف وفتحها أم بعد ذلك. لقد خلط الجني المظروفين بحرصٍ قبل أن يسلِّمهما إياهما؛ لذا فإن من الصحيح تمامًا أنه «قبْل» التوزيع، كان لكلٍّ لاعب فرصة متساوية للحصول على الجائزة الكبرى، لكن هذا لا يعني أن أيًّا من بيل أو كو يمكن أن ينظر إلى مظروفه وينتهي إلى أنه لا تزال هناك فرصة متساوية لأنْ يكون المظروف الذي يحمله في يده يحمل بداخله النصيب الأصغر.

فكِّرْ في الأمر على هذا النحو. أيًّا ما قرَّرَ الجني أن يمنحه، سواء أكان ١٠٠٠٠ دولار، أم ١٠٠٠٠٠٠٠٠٠ (مليار) دولار، فبمجرد أن قسَّمَ الغنيمة لحزمتين غير متساويتين وخلطهما، بات من المحتمل أن يحصل بيل على واحدة أو الأخرى. ليس ثمة مشكلة هنا، لكن بمجرد أن وُزِّعت المظاريف وفُحِصت، صارت القصة مختلفة.

تذكَّرْ أنْ ليس لدى بيل أو كو أيُّ فكرة على الإطلاق عن حجم الحساب البنكي للجني (فالبنوك السويسرية تحتفظ بأسرارها الصغيرة)، أو حتى عن مستوى كرمه؛ فهو يحتفظ بشهامته لِذَاته، وكل ما يمكنهما أن يعرفاه على الأرجح هو ما يريانه في مظروفَيْهما الصغيرين؛ لذا إنْ نظَرَ بيل في مظروفه وعثر على شيك ﺑ ١٠٠٠٠٠ دولار، فكلُّ ما يعرفه بالفعل أن هناك احتمالين لسخاء الجني: إذا ما حصل كو على ٥٠٠٠٠ دولار، فإن الجني إذن قد وهبهما ١٥٠٠٠٠ دولار، «لكن» إن حصل كو على ٢٠٠٠٠٠، يكون الجني قد وهبهما ٣٠٠٠٠٠ دولار، وحصل هو (أي بيل) على المبلغ الأصغر؛ لذا فإن الاحتمالات التي عليه أن يقدِّرها ليست إنْ كان قد حصل على النصيب الأصغر أم الأكبر من مبلغ معين (والذي كان مبلغًا متساويًا قبل التوزيع)، بل ما إذا كان الجني قد منح ١٥٠٠٠٠ دولار أم ٣٠٠٠٠٠ دولار. تلك مجموعة مختلفة من البدائل، وليس لدى بيل أيُّ سببٍ على الإطلاق كي يصدق أن احتمالاتها متساوية، بل إنه إذا ما افترض أن هناك حدًّا لثروة الجن (أو كرمهم)، فمِن الأفضل أن يفترض الأسوأ؛ أي أن يكون الجني أكثرَ ميلًا لتفضيل المبلغ الأصغر؛ لذا من المرجح أنه يحمل الرزمة الأكبر وعليه أن يقنع بما لديه، وهذا هو النقيض لما كان يعتقده في الأساس.

قد يعتقد بالطبع أن الجن شديدو الثراء حتى إن اﻟ ١٥٠٠٠٠ دولار أو ٣٠٠٠٠٠ دولار لا تعني الكثير بالنسبة إليهم،؛ لذا فالاحتمالات بالفعل متساوية تقريبًا كما فكَّرَ في المقام الأول، ويكون من المنطقي مرة أخرى أن يلجأ للمقايضة. لكن الأمر السيئ أنه لا يستطيع أن يستمر في ترديد ذلك، بالنسبة إلى ملايين أو مليارات الدولارات؛ لأننا ببساطة نتحدَّث هنا عن احتمالية، ومجموع كل الاحتمالات «يجب» أن يكون واحدًا صحيحًا. فهذا قانون أساسي من قوانين الاحتمالية، ولا يستطيع بيل أَوْ كو أَوْ حتى الجنيُّ خرْقَه. وإن كانت كلُّ الاحتمالات واحدةً، مهما كان قدر النقود الذي نتحدَّث عنه، فلا يمكن أن يكون مجموعها في النهاية واحدًا صحيحًا. هذا يعني أنه «يجب» على كلٍّ مِن بيل وكو، إذا رغبَا في اتخاذ قرارات عقلانية، أن يُجريَا نوعًا من التقييم لحدود ثروة الجني وميله للسخاء، ومَن يفعلْ ذلك بالشكل الأفضل ويُضَاهِ ذلك التقييم بحجم جائزته، فسيتخذ القرار الأفضل بشأن المقايضة، ومَن يحمل المبلغ الأصغر في مظروفه، فسوف يحتمل أن يكون أكثر استعدادًا للمقايضة، وهذا في مجمله منطقيٌّ.

لكن هل أيٌّ منهما مُحِقٌّ بشأن الاحتمالية الفعلية؟ على الأرجح لا، بالنظر إلى خبرتهما المحدودة بحسابات الجن في البنوك ودوافعهم الخيرية. لكن ماذا بعدُ؟ تمامًا كما في الحياة الواقعية، مَن يقوم بأفضل تقييمٍ هو مَن يتخذ أفضل قرار، والحجة الأساسية بأن الاحتمالات كانت متساويةً عند توزيع المظاريف كانت مضلِّلة ببساطة؛ فهي تقارن المجموعة الخطأ من البدائل. لقد كانت حجة زائفة.

هناك درس مهم هنا، وهو أنك عندما تتحدَّث عن الاحتمالية، عليك أن تكون واضحًا بشأن البدائل التي تقارن احتمالياتها. والاحتماليات التي كانت متكافئةً حقًّا هي أنه إما بيل وإما كو سيحصل على المظروف الضخم، لكن بمجرد انتهاء عملية التوزيع، لا يعود هناك وجود لتلك المجموعة من البدائل، ولا يوجد معنًى لأي احتمالات لأشياءَ اتُّخِذ قرارٌ بشأنها بالفعل؛ إذن تتغيَّر الاحتمالات سريعًا مع تكشُّف الأحداث، وتتغيَّر الخيارات أو تُستبعَد، وهكذا. فبمجرد أن وُزِّعت المظاريف، أصبحت الخيارات بالنسبة إلى الاحتمالات القائمة بمنزلة خيارات بشأن قدر النقود التي وزَّعها الجني، وليس الشخص الذي حصل على النقود.

ليس هناك إذن تناقُض حقيقي، والدرس المستفاد هو أنه من السهل أن تُستدرَج نحو الخلط بين الاحتمالات البديهية (قبل معرفة الحقيقة) لمجموعة من الخيارات، وبين احتمالات تابعة (بعد معرفة الحقيقة) لمجموعة أخرى. ويمكن أن تكون المجموعتان مختلفتين تمامًا. لن يسمح لك أيُّ مضمارِ سباقٍ بأن تراهن في السباق بينما الخيول تشقُّ الطريقَ مُسرِعةً؛ يبدو الأمر بديهيًّا وواضحًا لدرجة أنه من المُخجِل أن نذكره، لكن هذا هو أصل التناقض في هذا الفصل. وَلْتنتبِهْ لهذه النقطة: من المحتمل أن يكون ذلك أكثر الأخطاء شيوعًا في إساءة الاستعمال الشائع للاحتمالات؛ فالاحتمالية هي الفرصة النسبية لوقوع حدث واحد وسط بحر من الأحداث المحتملة الأخرى، وأنت بحاجةٍ لمعرفة كلَيْهما من أجل استخدام الاحتمالية على نحو صحيح.